資源簡介

章末復習提升
　　
一、同角三角函數基本關系及誘導公式
1.(1)兩個基本關系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α；
(2)誘導公式：可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數值的化簡公式.記憶規律是：奇變偶不變，符號看象限.
2.解決“已知某個三角函數值，求其他三角函數值”的問題，關鍵在于觀察分析條件角與結論角，清除條件與結論之間的差異，還應注意整體思想的應用.
例1 (1)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為(　　)
A.－ B.
C.－ D.
(2)已知sin α是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，則·tan2(π－α)＝________.
答案　(1)B　(2)－
解析　(1)由sin αcos α＝>0，
且<α<.
知sin α<0，cos α<0且cos α>sin α，
所以cos α－sin α＝＝.
(2)∵方程2x2－x－1＝0的根為－或1，
又α是第三象限角，∴sin α＝－，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝，
∴原式＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
訓練1 已知α是三角形的內角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出來，并求其值.
解　(1)由sin α＋cos α＝，
得1＋2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－，
∵α是三角形的內角，
∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝＝
＝＝，
故得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)＝＝，
又tan α＝－，∴＝＝－.
二、三角函數式的化簡、求值
熟練掌握兩角和與差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是進行三角函數式化簡、求值的關鍵，注意公式的逆用與變形用.對于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，關鍵在于“變角”，使“目標角”變成“已知角”.
例2 (1)的值為(　　)
A.－ B.
C. D.－
(2)已知tan＝，且－<α<0，則＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)原式＝＝＝＝.
(2)因為tan＝＝，
所以tan α＝－，
因為－<α<0，所以sin α＝－，
則＝＝2sin α＝－.
訓練2 已知α，β∈，cos α＝，cos(α＋β)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求2α＋β的值.
解　(1)∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
又cos α＝，cos(α＋β)＝，
則sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
(2)cos(2α＋β)＝cos[(α＋β)＋α]
＝cos(α＋β)cos α－sin(α＋β)·sin α＝×－×＝0.
由α，β∈，得2α＋β∈，
∴2α＋β的值為.
三、三角函數的圖象與性質
正弦、余弦函數的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.正切函數的圖象只是中心對稱圖形，應熟記它們的對稱軸和對稱中心，并注意數形結合思想的應用.三角函數主要涉及定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性等有關性質.主要考查角度：(1)三角函數的性質；(2)三角函數圖象的變換.
例3 已知函數f(x)＝2sin＋a＋1(其中a為常數).
(1)求f(x)的單調區間；
(2)若x∈時，f(x)的最大值為4，求a的值.
解　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函數f(x)的單調遞增區間為，k∈Z.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函數f(x)的單調遞減區間為，k∈Z.
(2)因為0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)的最大值為2＋a＋1＝4，所以a＝1.
訓練3 (1)記函數f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期為T.若A.1 B.
C. D.3
答案　A
解析　因為解得2<ω<3.
因為y＝f(x)的圖象關于點中心對稱，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，
又2<ω<3，所以<ω＋<，
所以ω＋＝4π，解得ω＝，
所以f(x)＝sin＋2，
所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故選A.
(2)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ<π)是R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，且在區間上具有單調性，求φ和ω的值.
解　由f(x)是偶函數，得f(－x)＝f(x)，
即函數f(x)的圖象關于y軸對稱，
∴f(x)在x＝0時取得最值，
即sin φ＝1或－1.
∵0≤φ<π，∴φ＝.
由f(x)的圖象關于點M對稱，
可知sin＝0，
即ω＋＝kπ，k∈Z，
解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在上具有單調性，
∴T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω>0，
∴k＝1時，ω＝；
k＝2時，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
四、三角函數的圖象變換
由函數y＝sin x的圖象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象有兩種途徑：先平移再伸縮；先伸縮再平移，這兩種途徑的區別是平移的單位長度不同，其余參數不受影響，若相應變換的函數名稱不同時，要先用誘導公式轉化為同名的三角函數，再進行平移或伸縮.
例4 已知函數f(x)＝4sincos ωx在x＝處取得最值，其中ω∈(0，2).
(1)求函數f(x)的最小正周期；
(2)將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，得到函數g(x)的圖象.若α為銳角，且g(α)＝－，求cos α的值.
解　(1)f(x)＝4sincos ωx＝4cos ωx
＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx－
＝2sin－.
∵函數f(x)在x＝處取得最值，
∴2ω·－＝kπ＋，k∈Z，
解得ω＝2k＋，k∈Z.
又ω∈(0，2)，∴ω＝，
∴f(x)＝2sin－，
∴最小正周期T＝.
(2)將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度，得到函數y＝2sin－
＝2sin－的圖象，
再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，
得到函數y＝2sin－的圖象，
故g(x)＝2sin－.
∵g(α)＝2sin－＝－，且α為銳角，
∴sin＝，
∴cos＝＝，
∴cos α＝cos＝cos－sin
＝×－×＝.
訓練4 把函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位長度，得到一個最小正周期為2π的奇函數g(x)，求ω和φ的值.
解　依題意得f(x)第一次變換得到的函數解析式為m(x)＝2cos，再向左平移個單位長度，
則函數g(x)＝2cos.
因為函數g(x)的最小正周期為2π，所以ω＝2，
則g(x)＝2cos.
又因為函數g(x)為奇函數，
所以φ＋＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，則φ＝.
五、三角函數的應用
三角函數模型應用廣泛，構建函數模型解決實際問題，本章數學建模主要體現在三角函數在物理及現實生活中的應用.
例5 直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2米，過點P的一直線與走廊的外側兩邊交于A，B兩點，且與走廊的一邊的夾角為θ.
(1)將線段AB的長度l表示為θ的函數；
(2)一根長度為5米的鐵棒能否水平(即鐵棒與地面平行)通過該直角走廊？并說明理由.(鐵棒的粗細忽略不計)
解　(1)由題設，AP＝，BP＝.
∴l＝＋＝，其中0<θ<.
(2)l＝，
設t＝sin θ＋cos θ＝sin，
則2sin θcos θ＝t2－1.
∴l＝＝，∵0<θ<，∴<θ＋<，
∴1∴t－的最大值為，且t－>0，
∴l＝的最小值為4.
∵4>5，∴長度為5米的鐵棒能水平通過該直角走廊.
訓練5 如圖，某動物種群數量1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化.
(1)求出種群數量y關于時間t的函數表達式(其中t以年初以來的月為計量單位)；
(2)估計當年3月1日動物種群數量.
解　(1)設種群數量y關于t的解析式為y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
則
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又當t＝6時，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，取φ＝－，
∴y＝100sin＋800＝800－100cost(0≤t≤11，t∈N).
(2)當t＝2時，y＝800－100cos＝750，
即當年3月1日動物種群數量約是750.(共33張PPT)
第五章
章末復習提升
網絡構建
一、同角三角函數基本關系及誘導公式
例1
√
訓練1
熟練掌握兩角和與差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是進行三角函數式化簡、求值的關鍵，注意公式的逆用與變形用.對于給值求值問題，即由給出的某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，關鍵在于“變角”，使“目標角”變成“已知角”.
二、三角函數式的化簡、求值
例2
√
√
訓練2
三、三角函數的圖象與性質
正弦、余弦函數的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.正切函數的圖象只是中心對稱圖形，應熟記它們的對稱軸和對稱中心，并注意數形結合思想的應用.三角函數主要涉及定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性等有關性質.主要考查角度：(1)三角函數的性質；(2)三角函數圖象的變換.
例3
訓練3
√
由f(x)是偶函數，得f(－x)＝f(x)，
四、三角函數的圖象變換
由函數y＝sin x的圖象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象有兩種途徑：先平移再伸縮；先伸縮再平移，這兩種途徑的區別是平移的單位長度不同，其余參數不受影響，若相應變換的函數名稱不同時，要先用誘導公式轉化為同名的三角函數，再進行平移或伸縮.
例4
訓練4
五、三角函數的應用
三角函數模型應用廣泛，構建函數模型解決實際問題，本章數學建模主要體現在三角函數在物理及現實生活中的應用.
例5
訓練5章末復習提升
一、同角三角函數基本關系及誘導公式
1.(1)兩個基本關系式sin2α+cos2α=1及=tan α;
(2)誘導公式:可概括為k·±α(k∈Z)的各三角函數值的化簡公式.記憶規律是:奇變偶不變,符號看象限.
2.解決“已知某個三角函數值,求其他三角函數值”的問題,關鍵在于觀察分析條件角與結論角,清除條件與結論之間的差異,還應注意整體思想的應用.
例1 (1)已知sin αcos α=,且,則cos α-sin α的值為 (　　)
A.-
(2)已知sin α是方程2x2-x-1=0的根,α是第三象限角,則·tan2(π-α)=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練1 已知α是三角形的內角,且sin α+cos α=.
(1)求tan α的值;
(2)把用tan α表示出來,并求其值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、三角函數式的化簡、求值
熟練掌握兩角和與差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式是進行三角函數式化簡、求值的關鍵,注意公式的逆用與變形用.對于給值求值問題,即由給出的某些角的三角函數值,求另外一些角的三角函數值,關鍵在于“變角”,使“目標角”變成“已知角”.
例2 (1)的值為 (　　)
A.-
(2)已知tan,且-<α<0,則= (　　)
A.-
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練2 已知α,β∈,cos α=,cos(α+β)=.
(1)求sin β的值;
(2)求2α+β的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、三角函數的圖象與性質
正弦、余弦函數的圖象既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.正切函數的圖象只是中心對稱圖形,應熟記它們的對稱軸和對稱中心,并注意數形結合思想的應用.三角函數主要涉及定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性等有關性質.主要考查角度:(1)三角函數的性質;(2)三角函數圖象的變換.
例3 已知函數f(x)=2sin+a+1(其中a為常數).
(1)求f(x)的單調區間;
(2)若x∈時,f(x)的最大值為4,求a的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練3 (1)記函數f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期為T.若A.1 B.
D.3
(2)已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函數,其圖象關于點M對稱,且在區間上具有單調性,求φ和ω的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、三角函數的圖象變換
由函數y=sin x的圖象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象有兩種途徑:先平移再伸縮;先伸縮再平移,這兩種途徑的區別是平移的單位長度不同,其余參數不受影響,若相應變換的函數名稱不同時,要先用誘導公式轉化為同名的三角函數,再進行平移或伸縮.
例4 已知函數f(x)=4sin處取得最值,其中ω∈(0,2).
(1)求函數f(x)的最小正周期;
(2)將函數f(x)的圖象向左平移個單位長度,再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,縱坐標不變,得到函數g(x)的圖象.若α為銳角,且g(α)=,求cos α的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練4 把函數f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,然后再向左平移個單位長度,得到一個最小正周期為2π的奇函數g(x),求ω和φ的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
五、三角函數的應用
三角函數模型應用廣泛,構建函數模型解決實際問題,本章數學建模主要體現在三角函數在物理及現實生活中的應用.
例5 直角走廊的示意圖如圖所示,其兩邊走廊的寬度均為2米,過點P的一直線與走廊的外側兩邊交于A,B兩點,且與走廊的一邊的夾角為θ.
(1)將線段AB的長度l表示為θ的函數;
(2)一根長度為5米的鐵棒能否水平(即鐵棒與地面平行)通過該直角走廊 并說明理由.(鐵棒的粗細忽略不計)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練5 如圖,某動物種群數量1月1日低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化.
(1)求出種群數量y關于時間t的函數表達式(其中t以年初以來的月為計量單位);
(2)估計當年3月1日動物種群數量.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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