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函數概念問題的類型及解法
函數概念問題是近幾年高考的熱點內容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考試卷，就必然涉及到函數概念的問題。從題型上看可能是選擇題（或填空題），有時也可能出現大題；難度系數為低，中，高檔問題都有可能。縱觀近幾年各種考試試卷，歸結起來函數概念問題主要包括：①函數定義及運用；②函數解析式及運用；③函數定義域及運用；④函數值，值域（或最值）及運用等幾種類型。各種類型問題結構上具有某些特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答函數概念問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過對近幾年高一期末調研考試（或高一單元測試與專題練習）試卷中有關函數概念問題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、下列選項中，表示的不是同一個函數的是（ ）（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
A y=與y= B y=，xR與 s=，tR
C y=，x{0，1}與 y=x，x{0，1} D y=1與y=
判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
f(x)=，g(x)=x-5； （2）f(x)=，g(x)=；
f(x)=x，g(x)=； （4）f(x)=，g(x)=x；
f(x)=，g(x)=2x-5。
A （1），（2） B （2），（3） C （4） D （3），（5）
3、設M={x|0 x 2}，N={y|0 y 2}，給出下列四個圖像，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的有（ ）（成都市高2023級高一專題練習）
y y y3 -------| y
2 -- -| 2 -------| 2 | 2 -------|
1 | 1 | | 1 |
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
① ② ③ ④
A 0個 B 1個 C 2個 D 3個
4、設M，N是兩個非空集合，映射f：M→N，則下列說法正確的是（ ）（成都市高2023級高一專題練習）
A 集合N中每個元素必有原像 B 集合N中各個元素只能有一個原像C 集合M中的不同元素在集合N中的像不同 D 集合N中至少存在一個元素它有原像
『思考問題1』
（1）【典例1】是函數定義及運用的問題，解答這類問題需要理解函數的定義，明確函數的三要素，掌握判斷兩個函數相等的基本方法；
（2）函數的三要素是：①函數的定義域；②函數的對應法則；③函數的值域；
（3）判斷兩個函數是否相等的基本方法是：①分別求出兩個函數的定義域，看兩個函數的定義域是否相同；②確定兩個函數的對應法則，看兩個函數的對應法則是否一致；③根據①②得出結論。
〔練習1〕解答下列問題：
下列各組函數是同一函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
f(x)=，g(x)=x； （2）f(x)=x，g(x)=；
（3）f(x)=，g(x)=； （4）f(x)=-2x-1，g(x)=-2t-1。
A （1）（2） B （1）（3） C （3）（4） D （1）（4）
中文“函數”（function）一詞，最早由近代數學家李蓉蘭翻譯，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化。下列選項中兩個函數是同一個函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A f(x)=x-1（xR），g(x)=x-1（xN） B f(x)=，g(x)=
C f(x)=x，g(x)= D f(x)=x，g(x)=
下列對應關系f中，不是從集合A到集合B的映射的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A A={x|x是銳角} ，B=（0，1）， f：求正弦； B A=B=R，f：取絕對值
C A=B=R，f：求平方 D A=B=R，f：取倒數
【典例2】解答下列問題：
如果f（）=，則當x0，1 時， f(x)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A B C D -1
已知在x克a%的鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變為c%，則將y表示成x的函數關系式為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A y=x B y=x C y=x D y=x
3、已知函數f(x)的圖像關于直線x=-1對稱，且當x>0時，f(x)=，則當x<-2時，f(x)= （成都市高2023級高一單元測試）
4、已知f(-1)=x，則f(x)= 。（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
5、已知函數f(x)=2x+3，g(x)=，則復合函數f(g(x))的解析式為 （成都市高2023級高一單元測試）
6、在①f（2x-3）=4-6x，②f（x）+2f（-x）=3-3x，③對任意實數x，y，均有f（x+y）=2f（y）++2xy-+3x-3y這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答。已知函數f(x)滿足 ，求函數f(x)的解析式。（注意：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分）（成都市高2023級高一單元測試）
『思考問題2』
（1）【典例2】是函數解析式及運用的問題，解答這類問題需要理解函數解析式的定義，掌握求函數解析式的基本方法；
（2）函數解析式是指表示函數y與自變量x之間的關系的式子；
（3）求函數解析式的基本方法有：①待定系數法；②拼湊法；③換元法；④運用方程思想求解函數解析式；⑤直接代入法；⑥運用軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質求函數解析式；⑦根據應用問題的類型與特征求函數解析式。
[練習2]解答下列問題：
已知f（-1）=x-2，則f(x)= （成都市高2023級高一單元測試）
2、已知函數f(x)=-2x+3，g(x)=x+1，則函數g(f(x))的解析式為 （成都市高2023級高一單元測試）
3、已知函數（x-1）f（）-f(x)=x（x1），求函數f(x)的解析式。
【典例3】解答下列問題：
已知函數f(x)的定義域為（-1，0），則函數f(2x+1)的定義域為（ ）（成都市高203級高一單元測試）
A （-1，1） B （-1，-） C （-1，0） D （，1）
函數f(x)=lnx+的定義域為（ ）
A [0，2］ B （0，2] C （0，+∞） D （2，+∞）
3、已知函數f(x)=（x-2）的值域是[1,14]，則函數f(x)的定義域是 （成都市高2023級高一單元測試）
4、已知函數f(x)=（a>0，且a1）。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）求使f(x)<0的x的取值范圍。
『思考問題3』
【典例3】是函數定義域及運用的問題，這類問題主要包括：①已知函數的解析式，求函數定義域；②已知函數f(x)的定義域，求函數f〔g(x)〕的定義域；③已知函數f〔g(x)〕的定義域，求函數f(x)的定義域；④已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）。解答這類問題需要理解函數定義域的定義，掌握求函數定義域的基本方法；
解答已知函數的解析式，求函數定義域問題的基本方法是：①根據函數解析式有意義的條件（注意應該包括解析式有意義的所有條件）列出不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③求出函數f(x)的定義域。
（3）解答已知函數f(x)的定義域，求函數f〔g(x)〕的定義域問題的基本方法是：①將函數f(x)的定義域視為函數g(x)的值域得到不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③求出函數f〔g(x)〕的定義域。
（4）解答已知函數f〔g(x)〕的定義域，求函數f(x)的定義域問題的基本方法是：①根據函數f〔g(x)〕的定義域求出函數g(x)的值域；②將函數g(x)視為整體未知數；③求出函數f(x)的定義域。
（5）解答已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：①根據函數的解析式和定義域得到關于參數的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③求出參數的值（或取值范圍）。
〔練習3〕解答下列問題：
函數f(x)=+的定義域是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A [-1，+∞） B（-∞，0）∪ （0，+∞） C [-1，0）∪（0，+∞） D R
2、f(x)=+的定義域是（）（成都市高2023級高一專題練習）
A （2，-） B （-2，+∞） C （，+∞） D （-2，）∪ （，+∞）
3、已知函數f(x)的定義域為[-1，2]，則f(|x|)的定義域為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A [-1，2） B [-1，1] C （-2，2） D [-2，2]
【典例4】解答下列問題：
已知函數f(x)=，則f()=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A B C a D 3a
函數f(x)=x+的值域是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，1] B （-∞，1） C R D [1，+∞）
函數f(x)=x+1，x{-1，1，2}的值域是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 0，2，3 B 0≤f(x)≤3 C {0，2，3} D [0，3]
4、已知f(x)=x+2，x≤-1，若f(x)=3，則x的值是（ ）（成都市高2023級高一調研測試）
A 1 ，-12x，x≥2，
5、已知函數f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，則f(72)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A p+q B 3p+2q C 2p +3q D +
6、已知函數f(x)=，x（m，n]，的最小值為8，則實數m的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （0，1） B （1，2） C （1，2] D [1，2）
7、（多選）已知函數f(x)=x+2，x≤-1，關于函數f(x)的結論正確的是（ ）（成都市高2023
，-1A 函數f(x)的值域為（-∞，4） B f(1)=3
C 若f(x)=3，則x的值是 D f(x)<1的解集為（-1，1）
8、（多選）設f(x)=，02（x-1），x≥1，（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
9、定義在R上函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當x[0,2）時，f(x)=2-|x-1|，則使得
f(x)≤在[m，+）上恒成立的m的最小值是 。 （成都市高2023級高一期末調研考試）
10、已知函數f(x)=x(x-m)，mR，若函數f(x)在區間[1，2]上的最大值為3，則m= （成都市高2023級高一單元測試）
11、函數f(x)，g(x)分別由下表給出。（成都市高2023級高一單元測試）
x 1 2 3 x 1 2 3
f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1
則f(g(1))的值為 ；滿足f（g(x))>g(f(x))的x的值是 。
12、對于任意的實數a，b，min[a，b]表示a，b中較小的那個數，即min[a，b]= a，a≤b，
已知函數f(x)=3-，g(x)=1-x。 b，a>b，
求函數f(x）在區間[-1，1]上的最小值；
設h(x)=min[f（x），g(x)]，xR，求函數h(x)的最大值。
『思考問題4』
（1）【典例4】是函數值，函數值域（或最值）及運用的問題，這類問題主要包括：①已知函數的解析式，求函數值，函數值域（或最值）；②分段函數求函數值，函數值域（或最值）；③復合函數函數值，函數值域（或最值）；④抽象函數求函數值，函數值域（或最值）等幾種類型。解答這類問題需要理解函數值，函數值域（或最值）的定義，掌握求函數值，函數值域（或最值）的基本方法；
（2）已知函數的解析式，求函數值，函數值域（或最值）的基本方法是：①把給定的自變量x的值（或取值范圍）代入函數解析式；②通過運算求出函數值（或值域或最值）；
（3）分段函數求函數值，函數值域（或最值）的基本方法是：①確定給定的自變量值（或取值范圍）屬于哪一段，在此基礎上選定函數求值時符合的解析式；②把自變量值（或取值范圍）代入選定的解析式，并通過運算求出函數值，函數值域（或最值）；③得出問題的結果（注意：分段函數的值域是各段函數值域的并集，分段函數的最小值是各段函數最小值中最小的函數值，分段函數的最大值是各段函數最大值中最大的函數值，）
（4）復合函數求函數值，函數值域（或最值）的基本方法是：①根據給定的自變量求出內層函數的函數值；②把內層函數的函數值作為外層函數的自變量，代入外層函數的解析式，并通過運算求出函數值；③得出復合函數的函數值，函數值域（或最值）；
（5）抽象函數求函數值的基本方法是賦值法，其基本步驟是：①確定求所求函數值需要求出哪些自變量的函數值；②確定求各個自變量函數值時需要賦的值；③求出所求自變量的函數值。
[練習4]解答下列問題：
已知f（x）= 3x+1，x≤1，則f（3）= （ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 7 +3，x>1， B 2 C 10 D 12
2、若函數f(x)= + 2，x≤1，在（-∞，a]上的最大值為4，則實數a的取值范圍為（ ）
, （x-1），x>1，（成都市高2023級高一單元測試）
A [0，17] B （-∞，17] C [1，17] D [1，+∞）
由函數f(x)=-4x（x[0，5]）的最大值與最小值可以得其值域為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A [-4，+∞） B [0，5] C [-4，5] D [-4，0]
設函數f(x)滿足f(0)=1，且對任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,，則f(1)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 2 B -2 C 1 D -1
5、設函數f(x)= 2，x<2，則f(f(2))的值為 （成都市高2023級高一單元測試）
（-1），x≥2，
6、從甲城市到乙城市m分鐘的電話費有函數f(m)=1.06（[m]+）給出，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數（如[3]=3，[3.9]=3，[3.1]=3），則從甲城市到乙城市5.8分鐘的電話費為 （成都市高2023級高一單元測試）
7、函數f(x)=x(8-x)，x（0，8）的最大值為 （成都市高2023級高一單元測試）
8、已知函數f(x)=2x，x>0，則f（-）+f（）= （成都市高2023級高一單元測試）
f(x+1)，x≤0，
9、函數f(x)，x[3,5]的最小值是 （成都市高2023級高一單元測試）
函數概念問題的類型及解法
函數概念問題是近幾年高考的熱點內容之一，可以這樣毫不夸張地說，只要是高考試卷，就必然涉及到函數概念的問題。從題型上看可能是選擇題（或填空題），有時也可能出現大題；難度系數為低，中，高檔問題都有可能。縱觀近幾年各種考試試卷，歸結起來函數概念問題主要包括：①函數定義及運用；②函數解析式及運用；③函數定義域及運用；④函數值，值域（或最值）及運用等幾種類型。各種類型問題結構上具有某些特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答函數概念問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過對近幾年高一期末調研考試（或高一單元測試與專題練習）試卷中有關函數概念問題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、下列選項中，表示的不是同一個函數的是（ ）（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
A y=與y= B y=，xR與 s=，tR
C y=，x{0，1}與 y=x，x{0，1} D y=1與y=
【解析】
【考點】①函數定義與性質；②判斷兩個函數是否表示同一個函數的基本方法。
【解題思路】根據函數的性質，運用判斷兩個函數是否表示同一個函數的基本方法，結合問題條件對各選項的兩個函數是否表示同一個函數進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，函數 y=與y=的定義域都是[-3，3），對應法則
=相同，y=與y=表示同一個函數；對B，函數 y=xR與s=tR 的定義域都是R，對應法則=相同，y=xR與y=tR 表示同一個函數；對C，函數 y=，x{0，1}與 y=x，x{0，1} 的定義域都是{0，1}，當x{0，1}時，對應法則=x相同， y=，x{0，1}與 y=x，x{0，1} 表示同一個函數；
對D，函數 y=1的定義域為R，y=的定義域為（-，0）（0，+），定義域不相同， y=1與y=表示的表示同一個函數，D正確，選D。
判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
f(x)=，g(x)=x-5； （2）f(x)=，g(x)=；
f(x)=x，g(x)=； （4）f(x)=，g(x)=x；
f(x)=，g(x)=2x-5。
A （1），（2） B （2），（3） C （4） D （3），（5）
【解析】
【考點】①函數定義與性質；②判斷兩個函數是否表示同一個函數的基本方法。
【解題思路】根據函數的性質，運用判斷兩個函數是否表示同一個函數的基本方法，結合問題條件對各組中的兩個函數是否表示同一個函數進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對（1），函數f(x)=的定義域為（-，-3）（-3，+），函數g(x)=x-5 的定義域為R，兩個函數的定義域不相同，函數f(x)=與函g(x)=x-5不是同一個函數；對（2），函數f(x)=的定義域為[1，+），函數g(x)=的定義域為（-，-1][1，+），兩個函數的定義域不相同，函數f(x)=與函數g(x)=不是同一函數；對（3），函數f(x)=x的定義域為R，g(x)=的定義域為R，兩個函數的定義域相同，f(x)=x，g(x)==|x|，兩個函數的對應法則不相同，函數f(x)=x與函數g(x)=不是同一個函數； 對（4），函數f(x)=的定義域為R，函數g(x)=x的定義域為R，兩個函數的定義域相同，f(x)==x，兩個函數的對應法則相同，函數f(x)=與函數g(x)=x
是同一個函數；對（5），函數f(x)=的定義域為[，+），函數g(x)=2x-5的定義域為R，兩個函數的定義域不相同，函數f(x)=與函數g(x)=2x-5不是同一個函數，C正確，選C。
3、設M={x|0 x 2}，N={y|0 y 2}，給出下列四個圖像，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的有（ ）（成都市高2023級高一專題練習）
y y y3 -------| y
2 -- -| 2 -------| 2 | 2 -------|
1 | 1 | | 1 |
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
① ② ③ ④
A 0個 B 1個 C 2個 D 3個
【解析】
【考點】①映射的定義與性質；②函數的定義；③映射與函數的關系。
【解題思路】運用映射和函數的關系，根據函數的定義，結合圖像進行判斷確定具有從集合M到集合N的函數關系的個數就可得出選項。
【詳細解答】對①，自變量x的集合為{x|0 x 1} M={x|0 x 2}，不是從集合M到集合N的函數關系；對②，自變量x的集合為{x|0 x 2} = M={x|0 x 2}，函數值y的集合為{y|0 y 2}= N={y|0 y 2}，且對任意的x M={x|0 x 2}，通過對應法則有唯一的y N={x|0 x 2}與之對應，是從集合M到集合N的函數關系；對③，函數值y的集合為{x|0 x 3} N={x|0 x 2}，不是從集合M到集合N的函數關系；對④，自變量x的集合為{x|0 x 2} = M={x|0 x 2}，函數值y的集合為{y|0 y 2}= N={y|0 y 2}，但對任意的x M={x|0 x 2}，通過對應法則有y N={x|0 x 2}與之對應函數值不唯一，不是從集合M到集合N的函數關系，B正確，選B。
4、設M，N是兩個非空集合，映射f：M→N，則下列說法正確的是（ ）（成都市高2023級高一專題練習）
A 集合N中每個元素必有原像 B 集合N中各個元素只能有一個原像C 集合M中的不同元素在集合N中的像不同 D 集合N中至少存在一個元素它有原像
【解析】
【考點】①映射定義與性質；②原像定義與性質；③像定義與性質。
【解題思路】根據映射，原像和像的性質，結合問題條件對各選項說法是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，集合N中的元素不一定要原像，A錯誤；對B，集合N中的元素可能有多個原像，B錯誤；對C，集合M中的不同元素，在N中像可能相同，C錯誤；對D，集合M中的每一個元素，通過對應f在集合N中都有唯一確定的像與它對應，集合N中至少存在一個元素它有原像 ，D正確，綜上所述，D正確，選D。
『思考問題1』
（1）【典例1】是函數定義及運用的問題，解答這類問題需要理解函數的定義，明確函數的三要素，掌握判斷兩個函數相等的基本方法；
（2）函數的三要素是：①函數的定義域；②函數的對應法則；③函數的值域；
（3）判斷兩個函數是否相等的基本方法是：①分別求出兩個函數的定義域，看兩個函數的定義域是否相同；②確定兩個函數的對應法則，看兩個函數的對應法則是否一致；③根據①②得出結論。
〔練習1〕解答下列問題：
下列各組函數是同一函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
f(x)=，g(x)=x； （2）f(x)=x，g(x)=；
（3）f(x)=，g(x)=； （4）f(x)=-2x-1，g(x)=-2t-1。
A （1）（2） B （1）（3） C （3）（4） D （1）（4）
中文“函數”（function）一詞，最早由近代數學家李蓉蘭翻譯，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化。下列選項中兩個函數是同一個函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
A f(x)=x-1（xR），g(x)=x-1（xN） B f(x)=，g(x)=
C f(x)=x，g(x)= D f(x)=x，g(x)=
下列對應關系f中，不是從集合A到集合B的映射的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：D）
A A={x|x是銳角} ，B=（0，1）， f：求正弦； B A=B=R，f：取絕對值
C A=B=R，f：求平方 D A=B=R，f：取倒數
【典例2】解答下列問題：
如果f（）=，則當x0，1 時， f(x)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A B C D -1
【解析】
【考點】①函數解析式定義與性質；②已知函數f(g(x))的解析式，求函數f(x)解析式的基本方法。
【解題思路】根據函數解析式的性質，運用已知函數f(g(x))的解析式，求函數f(x)解析式的基本方法，結合問題條件求出函數f(g(x))的解析式就可得出選項。
【詳細解答】設=t，則x=（t0，1），f（）= f(t)==（t0，1），
f(x)=（ x0，1），B正確，選B。
已知在x克a%的鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變為c%，則將y表示成x的函數關系式為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A y=x B y=x C y=x D y=x
【解析】
【考點】①函數解析式定義與性質；②百分比濃度單元與性質；③求函數解析式的基本方法。
【解題思路】根據函數解析式和百分比濃度的性質，運用求函數解析式的基本方法，結合問題條件求出函數y關于x的解析式就可得出選項。
【詳細解答】x克a%的鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變為c%，ax%+by%=c(x+y)%，
（b-c）y=（c-a）x， y=x，B正確，選B。
3、已知函數f(x)的圖像關于直線x=-1對稱，且當x>0時，f(x)=，則當x<-2時，f(x)= （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【考點】①軸對稱圖形定義與性質；②函數解析式定義與性質；③求函數解析式的基本方法。
【解題思路】根據軸對稱圖形和函數解析式的性質，運用求函數解析式的基本方法，結合問題條件就可求出當x<-2時，函數f(x)的解析式。
【詳細解答】設P（x，y）是當x<-2時，函數f(x)圖像上的任意一點，它高一直線x=-1的對稱點為（，），函數f(x)的圖像關于直線x=-1對稱，=-2-x，=y，（-2-x，y），當x>0時，f(x)=，y===-，當x<-2時，函數f(x)的解析式為-。
4、已知f(-1)=x，則f(x)= 。（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
【解析】
【考點】①函數解析式定義與性質；②已知函數f(g(x))關于x的解析式，求函數f(x)解析
式的基本方法。
【解題思路】根據函數解析式的性質，運用已知函數f(g(x))關于x的解析式，求函數f(x)
解析式的基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x)的解析式。
【詳細解答】函數f(-1)=x==+2(-1)+1，f(x)=+2x+1（x≥-1）。
5、已知函數f(x)=2x+3，g(x)=，則復合函數f(g(x))的解析式為 （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【考點】①函數解析式定義與性質；②復合函數定義與性質；③求復合函數解析式的基本方法。
【解題思路】根據函數解析式和復合函數的性質，運用求復合函數解析式的基本方法，結合問題條件就可求出復合函數f(g(x))的解析式。
【詳細解答】函數f(x)=2x+3，g(x)=，f(g(x))=f（）=2+3。
6、在①f（2x-3）=4-6x，②f（x）+2f（-x）=3-3x，③對任意實數x，y，均有f（x+y）=2f（y）++2xy-+3x-3y這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并解答。已知函數f(x)滿足 ，求函數f(x)的解析式。（注意：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分）（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【考點】①函數解析式定義與性質；②已知函數f(g(x))關于x的解析式，求函數f(x)解析式的基本方法；③方程思想在求函數解析式中的運用；④抽象函數求解析式的基本方法。
【解題思路】根據函數解析式的性質，運用已知函數f(g(x))關于x的解析式，求函數f(x)解析式和抽象函數求解析式的基本方法與方程思想，結合問題條件就可求出函數f(x)的解析式。
【詳細解答】若選擇條件①f（2x-3）=4-6x，f（2x-3）=4-6x=+3（2x-3），
f(x)=+3x；若選擇條件②f（x）+f（-x）=3-3x，f（x）+2f（-x）=3-3x①，f（-x）+2f（x）=3+3x②，聯立①②解之得：f（x）=+3x；若選擇條件③對任意實數x，y，均有f（x+y）=2f（y）++2xy-+3x-3y，當x=y=0時，f（0+0）=2f（0）+0+0-0+0-0，f(0)=0；當x=x，y=0時，f（x+0）=2f（0）++0-0+3x-0，f(x)=+3x。
『思考問題2』
（1）【典例2】是函數解析式及運用的問題，解答這類問題需要理解函數解析式的定義，掌握求函數解析式的基本方法；
（2）函數解析式是指表示函數y與自變量x之間的關系的式子；
（3）求函數解析式的基本方法有：①待定系數法；②拼湊法；③換元法；④運用方程思想求解函數解析式；⑤直接代入法；⑥運用軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質求函數解析式；⑦根據應用問題的類型與特征求函數解析式。
[練習2]解答下列問題：
已知f（-1）=x-2，則f(x)= （成都市高2023級高一單元測試）（答案：f(x)=-1）
2、已知函數f(x)=-2x+3，g(x)=x+1，則函數g(f(x))的解析式為 （成都市高2023級高一單元測試）（答案：g(f(x))=-2x+4）
3、已知函數（x-1）f（）-f(x)=x（x1），求函數f(x)的解析式。
（答案：函數f(x)的解析式為f(x）=2x+1）
【典例3】解答下列問題：
已知函數f(x)的定義域為（-1，0），則函數f(2x+1)的定義域為（ ）（成都市高203級高一單元測試）
A （-1，1） B （-1，-） C （-1，0） D （，1）
【解析】
【考點】①函數定義域定義與性質；②已知函數f(x)的定義域，求函數f(g(x））定義域的基本方法。
【解題思路】根據函數定義域的性質，運用已知函數f(x)d的定義域，求函數f(g(x））定義域的基本方法，結合問題條件求出函數f(2x+1)的定義域就可得出選項。
【詳細解答】 函數f(x)的定義域為（-1，0），-1<2x+1<0，解之得：-1函數f(x)=lnx+的定義域為（ ）
A [0，2］ B （0，2] C （0，+∞） D （2，+∞）
【解析】
【考點】①函數定義域定義與性質；②已知函數f(x)的解析式，求函數f(x）定義域的基本方法。
【解題思路】根據函數定義域的性質，運用已知函數f(x)的解析式，求函數f(x）定義域的基本方法，結合問題條件得到關于x的不等式組，求解不等式組求出函數f(x)的定義域就可得出選項。
【詳細解答】 函數f(x)有意義，必有x>0①，2-x≥0②，聯立①②解之得：0f(x)的定義域為（0，2]，B正確，選B。
3、已知函數f(x)=（x-2）的值域是[1,14]，則函數f(x)的定義域是 （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【考點】①函數定義域定義與性質；②函數值域定義與性質；③對數函數單元與性質；④求函數定義域的基本方法。
【解題思路】根據函數定義域，值域和對數函數的性質，運用求函數定義域的基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x)的定義域。
【詳細解答】 函數f(x)=（x-2）的值域是[1,14]，2≤x-2≤14，解之得：4≤x≤16，
函數f(x)的定義域為[4，16]。
4、已知函數f(x)=（a>0，且a1）。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）求使f(x)<0的x的取值范圍。
【解析】
【考點】①函數定義域定義與性質；②對數函數定義與性質；③求函數定義域的基本方法；④求解分式不等式的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數定義域和對數函數的性質，運用求函數定義域和求解分式不等式的基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x)的定義域；（2）根據對數函數的性質，運用求解分式不等式的基本方法，結合問題條件對a>1和0【詳細解答】 （1）函數f(x)有意義，必有>0①，1-x0②，聯立①②解之得：-1<1，函數f(x)的定義域為（-1，1）；（2）當a>1時，f(x)<0，0<<1，解之得：
01，解之得：-11時，使f(x)<0的x的取值范圍是（0，1）；當0『思考問題3』
【典例3】是函數定義域及運用的問題，這類問題主要包括：①已知函數的解析式，求函數定義域；②已知函數f(x)的定義域，求函數f〔g(x)〕的定義域；③已知函數f〔g(x)〕的定義域，求函數f(x)的定義域；④已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）。解答這類問題需要理解函數定義域的定義，掌握求函數定義域的基本方法；
解答已知函數的解析式，求函數定義域問題的基本方法是：①根據函數解析式有意義的條件（注意應該包括解析式有意義的所有條件）列出不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③求出函數f(x)的定義域。
（3）解答已知函數f(x)的定義域，求函數f〔g(x)〕的定義域問題的基本方法是：①將函數f(x)的定義域視為函數g(x)的值域得到不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③求出函數f〔g(x)〕的定義域。
（4）解答已知函數f〔g(x)〕的定義域，求函數f(x)的定義域問題的基本方法是：①根據函數f〔g(x)〕的定義域求出函數g(x)的值域；②將函數g(x)視為整體未知數；③求出函數f(x)的定義域。
（5）解答已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：①根據函數的解析式和定義域得到關于參數的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③求出參數的值（或取值范圍）。
〔練習3〕解答下列問題：
函數f(x)=+的定義域是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
A [-1，+∞） B（-∞，0）∪ （0，+∞） C [-1，0）∪（0，+∞） D R
2、f(x)=+的定義域是（）（成都市高2023級高一專題練習）（答案：D）
A （2，-） B （-2，+∞） C （，+∞） D （-2，）∪ （，+∞）
3、已知函數f(x)的定義域為[-1，2]，則f(|x|)的定義域為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：D）
A [-1，2） B [-1，1] C （-2，2） D [-2，2]
【典例4】解答下列問題：
已知函數f(x)=，則f()=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A B C a D 3a
【解析】
【考點】①函數值定義與性質；②已知函數解析式，求函數值的基本方法。
【解題思路】根據函數值的性質，運用求函數值的基本方法，結合問題條件求出f()的值就可得出選項。
【詳細解答】 函數f(x)=，f()==a，C正確，選C。
函數f(x)=x+的值域是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，1] B （-∞，1） C R D [1，+∞）
【解析】
【考點】①函數值域定義與性質；②數學換元法及運用；③求函數值域的基本方法。
【解題思路】根據分段函數的性質，運用求分段函數值，值域和求解不等式的基本方法，結
合問題條件對各選項結論是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】設t=，t[0，+∞）,則z=，f(x)=x+，f(t)=+t
=-+t+，=-（-2t+1）+1=-+1≤1，函數f(x)=x+的值域是（-∞，1]，A正確，選A。
函數f(x)=x+1，x{-1，1，2}的值域是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 0，2，3 B 0≤f(x)≤3 C {0，2，3} D [0，3]
【解析】
【考點】①函數值域定義與性質；②函數值定義與性質；③求函數值域的基本方法。
【解題思路】根據函數值和函數值域性質，運用求函數值和函數值域的基本方法，結
合問題條件求出函數f(x)=x+1，x{-1，1，2}的值域就可得出選項。
【詳細解答】f(-1)=-1+1=0，f(1)=1+1=2，f(2)=2+1=3，函數f(x)=x+1，x{-1，1，2}的值域為{0，2，3}，C正確，選C。
4、已知f(x)=x+2，x≤-1，若f(x)=3，則x的值是（ ）（成都市高2023級高一調研測試）
A 1 ，-1【解析】 2x，x≥2，
【考點】①分段函數定義與性質；②求分段函數值的基本方法。
【解題思路】根據分段函數的性質，運用求分段函數值的基本方法，結合問題條件，求出x的值就可得出選項。
【詳細解答】當x≤-1時，f(x)=x+2=3，解之得：x=1（-∞，-1]，此時無解；當-15、已知函數f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，則f(72)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A p+q B 3p+2q C 2p +3q D +
【解析】
【考點】①抽象函數定義與性質；②求抽象函數值的基本方法。
【解題思路】根據抽象函數的性質，運用求抽象函數值的基本方法，結合問題條件求出f(72）
關于p，q的表示式就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，f(23)=f(6)=f(2)+f(3)=p+q，
f(26)=f(12)=f(2)+f(6)=p+p+q=2p+q，f(126)=f(72)=f(12)+f(6)=2p+q+p+q=3p+2q，B正確，選B。
6、已知函數f(x)=，x（m，n]，的最小值為8，則實數m的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （0，1） B （1，2） C （1，2] D [1，2）
【解析】
【考點】①函數最值定義與性質；②求函數最值的基本方法。
【解題思路】根據函數最值的性質，運用求函數最值的基本方法，結合問題條件確定出實數m的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），函數f(x)==3+，在（m，n]上單調遞減，函數f(x)在（m，n]上的最小值為8，f(n)==3+=8，解之得：n
=2，x（1，+∞），1≤m<2，若函數f(x)=，x（m，n]，的最小值為8，則實數m的取值范圍是[1，2 ），D正確，選D。
7、（多選）已知函數f(x)=x+2，x≤-1，關于函數f(x)的結論正確的是（ ）（成都市高2023
，-1A 函數f(x)的值域為（-∞，4） B f(1)=3
C 若f(x)=3，則x的值是 D f(x)<1的解集為（-1，1）
【解析】
【考點】①分段函數定義與性質；②求分段函數值的基本方法；③求分段函數值域的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據分段函數的性質，運用求分段函數值，值域和求解不等式的基本方法，結合問題條件對各選項結論是否正確解析判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，當x（-∞，-1]時， 函數f(x)的值域為（-∞，1]，當x（-1，2）時， 函數f(x)的值域為（0，4），函數f(x)在（-∞，2）上的值域為（-∞，4），A正確；
（-∞，-1]，此時無解；當-18、設f(x)=，02（x-1），x≥1，（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
【解析】
【考點】①分段函數定義與性質；②求分段函數值的基本方法。
【解題思路】根據分段函數的性質，運用求分段函數值的基本方法，結合問題條件得到關a的方程，求解方程求出a的值就可求出f(a)的值。
【詳細解答】當0=2a，a=，f(a)=；當a≥1時，f(a)=2（a-1），f(a+1)=2（a+1-1）=2a，f(a)=f(a+1)，2（a-1）=2a，-2=0顯然不成立，綜上所述，若f(a)=f(a+1)，則f(a)=。
9、定義在R上函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當x[0,2）時，f(x)=2-|x-1|，則使得
f(x)≤在[m，+）上恒成立的m的最小值是 。 （成都市高2023級高一期末調研考試）
【解析】
【考點】①函數值域定義與性質；②絕對值定義與性質；③求函數值域的基本方法。
【解題思路】根據函數值域和絕對值的性質，運用求函數值域的基本方法，結合問題條件得到關于m的不等式，求解不等式求出m的取值范圍就可求出m的最小值。
【詳細解答】如圖，當x[0,2）時，f(x)=2 y
-|x-1|，當x[0,2）時，函數f(x)的值域為[1， 2
2]，當x[2,4）時，x-2[0,2），定義在R上
函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當x[2,4）時， 1
函數f(x)的值域為[，1]，當x[4,6）時，x
-4[0,2），定義在R上函數f(x)滿足f(x+2)= 0 1 2 3 4 x
f(x)，當x[2,4）時，函數f(x)的值域為[，]，當x[2n,2n+2）（nN）時，
x-2n[0,2），定義在R上函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，當x[2n,2n+2）時，函數
f(x)的值域為[，]，≤，解之得：n≥4，當x≥8時，f(x)≤在[8，+）上恒成立，f(x)≤在[m，+）上恒成立，≤2，[m，+）[8，+），若f(x)≤在[m，+）上恒成立，則m的取值范圍為[8，+），m的最小值是8。
10、已知函數f(x)=x(x-m)，mR，若函數f(x)在區間[1，2]上的最大值為3，則m= （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【考點】①一元二次函數定義與性質；②函數最值定義與性質；③求一元二次函數在給定閉區間上最值的基本方法。
【解題思路】根據一元二次函數和函數最值的性質，運用求一元二次函數在給定閉區間上最值的基本方法，結合問題條件得到關于m的方程，求解方程就可求出m的值。
【詳細解答】函數f(x)=x(x-m)=-mx圖像的對稱軸為x=，當<1，即m<2時，函數f(x)在[1，2]上單調遞增，函數f(x)在區間[1，2]上的最大值為f(2)=4-2m=3，解之得：
m=<2，m=符合題意；當1≤<2即2≤m<4時，f(1)=1-m，f(2)=4-2m，f(2)-f(1)=3-m，若2≤m<3，函數f(x)在區間[1，2]上的最大值為f(2)=4-2m=3，解之得：m=<2，此時無解；若3≤m<4，函數f(x)在區間[1，2]上的最大值為f(1)=1-m=3，解之得：m=-2<2，此時無解；當≥2，即m≥4時，函數f(x)在[1，2]上單調遞減，函數f(x)在區間[1，2]上的最大值為f(1)=1-m=3，解之得：m=-2<4，此時無解，綜上所述，若函數f(x)在區間[1，2]上的最大值為3，則m=。
11、函數f(x)，g(x)分別由下表給出。（成都市高2023級高一單元測試）
x 1 2 3 x 1 2 3
f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1
則f(g(1))的值為 ；滿足f（g(x))>g(f(x))的x的值是 。
【解析】
【考點】①復合函數定義與性質；②求復合函數值的基本方法。
【解題思路】根據復合函數的性質，運用求復合函數值的基本方法，結合問題條件就可求出f(g(1))的值為的值，從而求出滿足f（g(x))>g(f(x))的x的值。
【詳細解答】g（1）=3，f(g(1))=f（3）=1；當x=1時，f（1）=1，g（1）=3，f(g(1))=f（3）=1，g(f(1))=g（1）=3，f(g(1))g(f(2))符合題意；當x=3時，f（3）=1，g（3）=1，f(g(3))=f（1）=1，g(f(3))=g（1）=3，f(g(1))g(f(x))的x的值為2。
12、對于任意的實數a，b，min[a，b]表示a，b中較小的那個數，即min[a，b]= a，a≤b，
已知函數f(x)=3-，g(x)=1-x。 b，a>b，
求函數f(x）在區間[-1，1]上的最小值；
設h(x)=min[f（x），g(x)]，xR，求函數h(x)的最大值。
【解析】
【考點】①一元二次函數定義與性質；②函數最值定義與性質；③求一元二次函數在給定閉區間上最值的基本方法；④分段函數定義與性質；⑤求分段函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據一元二次函數和函數最值的性質，運用求一元二次函數在給定閉區間上最值的基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x）在區間[-1，1]上的最小值；（2）
根據分段函數和函數最值的性質，運用求分段函數最值的基本方法，結合問題條件就可求出
函數h(x)的最大值；
【詳細解答】（1）函數f(x)=3-圖像的對稱軸為y軸，且開口向下，當x[-1，1]時，f(-1)=f(1)=3-1=2，函數f(x）在區間[-1，1]上的最小值為2；（2）在同一直角坐標系中作出函數f(x)=3-，g(x)=1-x的圖像如圖 y
所示，根據圖像得到函數h(x)的解析式為：
h(x) = 3-，x≤-2或x≥1，當x（-∞， - -1 0 x
x+1，-2值為h(-2)=3-4=-1；當x（-2，1）時，函數h(x)無最大值；當x（1，+∞）時，函數h(x)的最大值為h(1)=3-1=2，2>-1，綜上所述，函數h(x)的最大值為2。
『思考問題4』
（1）【典例4】是函數值，函數值域（或最值）及運用的問題，這類問題主要包括：①已知函數的解析式，求函數值，函數值域（或最值）；②分段函數求函數值，函數值域（或最值）；③復合函數函數值，函數值域（或最值）；④抽象函數求函數值，函數值域（或最值）等幾種類型。解答這類問題需要理解函數值，函數值域（或最值）的定義，掌握求函數值，函數值域（或最值）的基本方法；
（2）已知函數的解析式，求函數值，函數值域（或最值）的基本方法是：①把給定的自變量x的值（或取值范圍）代入函數解析式；②通過運算求出函數值（或值域或最值）；
（3）分段函數求函數值，函數值域（或最值）的基本方法是：①確定給定的自變量值（或取值范圍）屬于哪一段，在此基礎上選定函數求值時符合的解析式；②把自變量值（或取值范圍）代入選定的解析式，并通過運算求出函數值，函數值域（或最值）；③得出問題的結果（注意：分段函數的值域是各段函數值域的并集，分段函數的最小值是各段函數最小值中最小的函數值，分段函數的最大值是各段函數最大值中最大的函數值，）
（4）復合函數求函數值，函數值域（或最值）的基本方法是：①根據給定的自變量求出內層函數的函數值；②把內層函數的函數值作為外層函數的自變量，代入外層函數的解析式，并通過運算求出函數值；③得出復合函數的函數值，函數值域（或最值）；
（5）抽象函數求函數值的基本方法是賦值法，其基本步驟是：①確定求所求函數值需要求出哪些自變量的函數值；②確定求各個自變量函數值時需要賦的值；③求出所求自變量的函數值。
[練習4]解答下列問題：
1、已知f（x）= 3x+1，x≤1，則f（3）= （ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 7 +3，x>1， B 2 C 10 D 12（答案：D）
2、若函數f(x)= + 2，x≤1，在（-∞，a]上的最大值為4，則實數a的取值范圍為（ ）
, （x-1），x>1，（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A [0，17] B （-∞，17] C [1，17] D [1，+∞）
3、由函數f(x)=-4x（x[0，5]）的最大值與最小值可以得其值域為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
A [-4，+∞） B [0，5] C [-4，5] D [-4，0]
設函數f(x)滿足f(0)=1，且對任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,，則f(1)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：A）
A 2 B -2 C 1 D -1
5、設函數f(x)= 2，x<2，則f(f(2))的值為 （成都市高2023級高一單元測試）
（-1），x≥2， （答案：f(f(2))的值為2）
6、從甲城市到乙城市m分鐘的電話費有函數f(m)=1.06（[m]+）給出，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整數（如[3]=3，[3.9]=3，[3.1]=3），則從甲城市到乙城市5.8分鐘的電話費為 （成都市高2023級高一單元測試）（答案：5.8分鐘的電話費為5.83元）
7、函數f(x)=x(8-x)，x（0，8）的最大值為 （成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數f(x)=x(8-x)，x（0，8）的最大值為16）
8、已知函數f(x)=2x，x>0，則f（-）+f（）= （成都市高2023級高一單元測試）
f(x+1)，x≤0，（答案：f（-）+f（）=4）
9、函數f(x)，x[3,5]的最小值是 （成都市高2023級高一單元測試）
（答案：函數f(x)，x[3,5]的最小值是）

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