資源簡介

青島、泰山版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書
八年級數(shù)學(xué)（下冊）簡介
泰山版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué) 八年級（下冊）》，是根據(jù)教育部2001年頌布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》的基礎(chǔ)理念、課程目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)編寫的。本套教科書由泰山出版社組織編寫，由青島出版社和泰山出版社聯(lián)合出版，2006年3月經(jīng)全國中小學(xué)教材審查委員會審查通過，并被教育部列入了全國中小學(xué)教材用書目錄。
一、本套教科書編寫的指導(dǎo)思想
本套教科書把全面落實《課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的基本理念作為編寫的指導(dǎo)思想，具體體現(xiàn)在以下四個方面：
1. 教科書內(nèi)容全面體現(xiàn)義務(wù)教育的普及性、基礎(chǔ)性和發(fā)展性，面向全體學(xué)習(xí)。為人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育創(chuàng)造條件，使學(xué)生既能獲得現(xiàn)代社會的公民所必須的最基本的數(shù)學(xué)知識、技能、思想及活動經(jīng)驗，又能使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。
2. 以教科書內(nèi)容呈現(xiàn)方式的變革促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革。教科書以學(xué)生的發(fā)展為本，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程，使動手實踐、自主探索與合作交流成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式。把教科書編的“容易些、有趣些、鮮活些。”
3. 教科書從內(nèi)容方面全面體現(xiàn)50多年來我國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，努力反映我國數(shù)學(xué)教育改革實驗的優(yōu)秀成果，并吸取了國外數(shù)學(xué)教材編寫的成功經(jīng)驗。
4. 重視現(xiàn)代信息技術(shù)的運用。本套教科書的設(shè)計注重現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用，配合教學(xué)內(nèi)容，教科書引入科學(xué)計算器及計算機，供有條件的學(xué)校和學(xué)生選擇使用。
二、本冊教科書的主要內(nèi)容及課程目標(biāo)
本冊教科書包括《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”、“課題學(xué)習(xí)”四個領(lǐng)域的內(nèi)容。全書采用“混編”的形式，共五章加一個“課題學(xué)習(xí)”，供八年級下學(xué)期使用，全書約需60課時。
第7章“二次根式”。包括二次根式及其性質(zhì)、二次根式的加減法、二次根式的乘除法共3節(jié)。本章是在學(xué)習(xí)了平方根、算術(shù)平方根的概念及開平方運算的基礎(chǔ)上安排的。二次根式在傳統(tǒng)的教材中，內(nèi)容較多，是數(shù)學(xué)的難點之一。但考慮到二次根式是后繼學(xué)習(xí)不可缺少的基礎(chǔ)知識，本冊教科書在刪繁就簡的基礎(chǔ)上仍然單獨設(shè)章，這是本套教科書整體結(jié)構(gòu)安排的特點之一。
本章內(nèi)容的重點是二次根式的運算。二次根式的有關(guān)概念及其性質(zhì)，教科書是通過特例驗證，在“觀察與思考”“實驗與探究”“合作與交流”等教學(xué)活動中合情歸納的，沒有給出一般性的證明。
本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：
了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算。
第8章“平面圖形的全等與相似”。包括全等形與相似形、全等三角形、怎樣判定三角形全等、相似三角形、怎樣判定三角形相似、相似三角形的性質(zhì)，相似多邊形共7節(jié)。全章以實驗幾何為主，為學(xué)生提供觀察、操作、歸納、類比、猜測的素材，在探索圖形性質(zhì)，與他人合作交流等活動過程中，發(fā)展合情推理，學(xué)習(xí)有條理的思考與表達(dá)。
本章是在學(xué)生已學(xué)習(xí)“平面圖形的認(rèn)識”“軸對稱與軸對稱圖形”的基礎(chǔ)上，將全等形與相似形融合在一起編寫，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的整體性，認(rèn)識特殊與一般的關(guān)系。本章教學(xué)內(nèi)容的處理充分體現(xiàn)了本套教科書的編寫特色，即通過特設(shè)的板塊“觀察與思考”“實驗與探究”“交流與發(fā)現(xiàn)”等，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，讓學(xué)生在觀察、嘗試、畫圖、估算、歸納、類比等自主參與的活動中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，使其理解知識，掌握技能，積累經(jīng)驗，感悟思想。
本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：
（1）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角。
（2）探索兩個三角形全等的條件，給出判定兩個三角形全等的方法。
（3）了解兩個三角形相似的概念，探索兩個三角形相似的條件，給出判定兩個三角形相似的方法。
（4）了解相似三角形的性質(zhì)。
（5）了解相似多邊形的概念及其性質(zhì)。
第9章“解直角三角形”。包括銳角三角比、30°，45°，60°角的三角比、用計算器求銳角三角比、解直角三角形、解直角三角形的應(yīng)用共5節(jié)。本章是在學(xué)過相似三角形及二次根式的基礎(chǔ)上安排的。這部分內(nèi)容兼有幾何和代數(shù)和特點，具有一定的綜合性，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活地運用各種學(xué)過的知識發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識，了解數(shù)學(xué)的價值。
本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：
（1）利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角比（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角比。
（2）會使用計算器由已知銳角求它的三角比；由已知的三角比求它的對應(yīng)銳角。
（3）能用銳角三角比解直角三角形，能用相關(guān)知識，解決一些簡單的實際問題。
第10章“數(shù)據(jù)離散程度的度量”。包括數(shù)據(jù)的離散程度、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差、用科學(xué)計算器計算方差和標(biāo)準(zhǔn)差共4節(jié)。本章是在八（上）學(xué)過“樣本與估計”，知道描述數(shù)據(jù)的集中趨勢的量——平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的基礎(chǔ)上安排的。
本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：
（1）探索如何表示一組數(shù)據(jù)的離散程度，會計算極差和方差，并會用它們表示數(shù)據(jù)的離散程度。
（2）能用計算器處理較為復(fù)雜的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。
第11章“幾何證明初步”。包括定義與命題、為什么要證明、什么是幾何證明、反證法、平行線的性質(zhì)定理和判定定理、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形證明舉例共7節(jié)。全章以演繹幾何為主，將以前在實驗與探究等教學(xué)活動中，通過合情歸納發(fā)現(xiàn)的角、平行線、三角形等的性質(zhì)和判定方法，在這里都給予推理論證。推理論證不是通過語言敘述來過渡，而是直接通過圖形使用數(shù)學(xué)符號推理論證，開始出現(xiàn)綜合法推理論證的格式，對學(xué)生進行正規(guī)的命題證明的訓(xùn)練。
本章重點是幾何證明。教科書單設(shè)“為什么要證明”“什么是幾何證明”兩節(jié)，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目的，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)習(xí)信心，這是以往任何教科書沒有明確回答的內(nèi)容，是本套教科書的特色之一。
本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：
（1）了解定義、命題、定理、推論的意義，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題與逆命題的概念。
（2）知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達(dá)形式，學(xué)會綜合法證明的格式。
（3）了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的，體會反證法的含義。
（4）證明平行線的性質(zhì)定理和判定定理。
（5）證明三角形的內(nèi)角和定理，掌握它的推論。
（6）證明兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。
（7）證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。
（8）證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理。
（9）證明等腰三角形的性質(zhì)定理及判定定理。證明等邊三角形的性質(zhì)定理及判定定理。
（10）掌握直角三角形的判定定理及直角三角形全等的判定定理。
本冊的“課題學(xué)習(xí)”是“有趣的分形圖”。它是在學(xué)生已學(xué)習(xí)了“平面圖形的全等與相似”以后安排的。通過對典型的分形圖的認(rèn)識和實際繪制，體驗大自然中的一些不規(guī)則現(xiàn)象與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，在欣賞分形圖中，感受數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合。
本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：
1. 了解什么是分形圖；
2. 通過對典型的分形圖的欣賞和繪制，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，啟迪創(chuàng)新意識。
三、教材分析和教學(xué)建議
（一）第7章二次根式
1. 二次根式的概念是從形式的描述來定義的。二次根式必須具備兩條：
（1）從形式上看，二次根式必須有二次根號；
（2）被開方式a可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式。a如果是數(shù)，這個數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，如果是代數(shù)式，這個代數(shù)式的值必須是非負(fù)的。
2. 二次根式（a≥0）本身就是a的算術(shù)平方根，因而（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)，即
≥0（a≥0）。
根據(jù)平方根的定義，有
（）2 =a（a≥0）。
這個等式從左往右看，是根式的乘方運算，它將帶根號的式子轉(zhuǎn)化為不帶根號的式子；這個等式從右往左看，即
a =（）2（a≥0）。
利用它可以把任意一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式，它將為某些運算帶來方便。
≥0是二次根式的一個簡單性質(zhì)，反映二次根式總是一個非負(fù)數(shù)；a≥0是二次根式的一個必備條件，限制被開方式必須是非負(fù)的，這兩者要區(qū)分開。
注意書寫的意義，2表示2×，不要和帶分?jǐn)?shù)的表示法相混淆。含假分?jǐn)?shù)的根式，如只能寫成，不能寫成1，b表示b×，b可以取負(fù)數(shù)。
在二次根式中對字母取值問題的討論，目的在于鞏固對“被開方式必須是非負(fù)數(shù)”的了解，但這種討論只限于可以用簡單的一元一次不等式解決的范圍內(nèi)。
3. 二次根式的化簡，本章的基本要求是只限定在a≥0的條件下，=a（a≥0）；對于a＜0的情形，教科書在“挑戰(zhàn)自我”欄目中通過實例引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)
= -a（a＜0）。
但不要求學(xué)生掌握，更不要求學(xué)生在解題時進行討論，教科書約定：“如果沒有特別說明，本章中根號內(nèi)的所有字母均表示正數(shù)”。
（）2與是兩個重要的根式，要區(qū)分它們的異同。
4. 類比積的乘方的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。教科書是通過具體例子列出積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，這個性質(zhì)可以證明。事實上
當(dāng)a≥0，b≥0，≥0，≥0，≥0。
∵（）2 = ab，∴是ab的算術(shù)平方根。
又∵（·）2 =（）2·（）2 = ab，∴·也是ab的算術(shù)平方根。
∵ab的算術(shù)平方根只有一個，∴=·。
利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以化簡二次根式。應(yīng)用這個性質(zhì)時要注意：
（1）a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，只有在a≥0，b≥0的條件下，才能應(yīng)用這個性質(zhì)。要防止出現(xiàn)=·的錯誤。
（2）如果被開方式不是積的形式，必須先化成積的形式。
（3）如果被開方式中有的因數(shù)或因式能開得盡方，這些因數(shù)或因式應(yīng)該全部用它的算術(shù)平方根來代替而移在根號外面。
（4）這個性質(zhì)可以推廣到多個因數(shù)（每個因數(shù)都是非負(fù)數(shù)）。
5. 與積的算術(shù)平方根一樣，教科書對商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，也是采用以實例說明的方法導(dǎo)出公式的，這個性質(zhì)也可以依照前例加以證明。
商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，是二次根式化簡和運算的基礎(chǔ)。公式中的條件， a≥0，b＞0是為了保證式子有意義，特別是b與a不同，要求b＞0。
根據(jù)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，化去二次根式中根號內(nèi)的分母，可以將二次根式化簡，教科書通過例5（4）化簡介紹了化去根號內(nèi)分母的兩種方法，不提分母有理化。
化去根號內(nèi)的分母是根式性質(zhì)的應(yīng)用，是化簡二次根式的基礎(chǔ)，要使學(xué)生明白其中的算理：被開方數(shù)中的分子、分母同乘一個不為零的數(shù)（或代數(shù)式），根式的值不變。同乘一個數(shù)（式）的目的在于使分母成為完全平方數(shù)（或平方式），然后用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)時，分母開得盡方，能達(dá)到化去根號內(nèi)分母的目的。在解決這類問題時，要防止變化過程中只乘分母，不乘分子的錯誤。
如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，在運算時一定要化成假分?jǐn)?shù)，要防止出現(xiàn)如
=2
的錯誤。
6. 將算術(shù)平方根的性質(zhì)=·（a≥0，b≥0），及=（a≥0，b＞0）反過來，就得到二次根式的乘法及除法的運算法則：
·=（a≥0，b≥0），
=（a≥0，b＞0）。
這里利用了相等關(guān)系的對稱性，將等式作對稱變換，可以達(dá)到一式兩用的目的。
在進行乘法運算時，被開方數(shù)相乘應(yīng)考慮因式分解或因數(shù)分解，如·直接可得，而不要先寫成再分解。
2·5應(yīng)這樣來理解計算的步驟：
2·5= 2××5×
= 2×5××
=（2×5）×（×）
=10。
二次根式運算的結(jié)果，要化成最簡二次根式。
7. 最簡二次根式是指滿足下列兩個條件的二次根式：
（1）被開方式中不含分母（也就是被開方式的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式）；
（2）被開方式中的每一個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2（也就是被開方式中不含能開得盡方的因數(shù)或因式）。
最簡二次根式定義中的“每一個因式”包括被開方式中所能分解成的各個因式，如不是最簡二次根式，因為8=22×2。
二次根式化簡時，應(yīng)注意可能出現(xiàn)的如下錯誤：
= 3 + 2，= +，= 2= 2·，2 = ，==。
遇到二次根式的運算問題，一般應(yīng)先對二次根式進行化簡，然后再進行運算，這樣會使運算簡便。
8. 同類二次根式是學(xué)習(xí)了化簡二次根式的方法以后學(xué)習(xí)的另一個重要概念，化為同類二次根式的目的是進行二次根式的加減運算。
對于同類二次根式的定義，應(yīng)強調(diào)兩點：一是把幾個二次根式都要化成為最簡二次根式；二是根號內(nèi)的被開方數(shù)相同，根號前的數(shù)字或字母系數(shù)可以不同。不經(jīng)過化簡，直接根據(jù)被開方數(shù)的異同來判斷幾個二次根式是否是同類二次根式往往是不正確的。
“最簡二次根式”是對某一個二次根式而言，“同類二次根式”是對化簡后的幾個二次根式而言。
9. 二次根式的加減法，其實質(zhì)是合并同類二次根式，它類似于整式加減法的合并同類項。
二次根式相加減，應(yīng)先把各個二次根式進行化簡，然后把其中的同類二次根式分別合并。
這里，本教科書將多年其他教材沿用的敘述進行了修改，將“應(yīng)先把各個二次根式化成最簡二次根式”改為“應(yīng)先把各個二次根式進行化簡”，將“把同類二次根式分別合并”改為“把其中的同類二次根式分別合并”。這樣修改更科學(xué)，更符合實際。比如“計算+”按其他教材對法則的敘述就不好解釋。
10. 二次根式一章不僅體現(xiàn)了化歸、分類的思想方法，蘊含了類比推理方法，還集中反映了逆向思維方法。
（1）關(guān)于類比。
例如，二次根式的性質(zhì)類比乘方的性質(zhì)，二次根式的加減類比整式的加減。實際上，如果用分?jǐn)?shù)指數(shù)來表示根式的根指數(shù)，那么二次根式的性質(zhì)就是乘方運算，同類二次根式就是“同類項”。
（2）本章體現(xiàn)逆向思維方法比較集中，而且經(jīng)常是正逆兩方面的思維交織在一起，容易引起混淆。
例如，對于化簡，可以利用3 =（）2直接約分：==；也可以把它看作二次根式的除法來運算：===；還可以利用分式的性質(zhì)： = =。
11. 二次根式的化簡
對任意實數(shù)a，都有a2≥0，所以，二次根式總有意義，根據(jù)算術(shù)平方根的定義：
當(dāng)a＞0時，=a，①
當(dāng)a＝0時，=0，②
當(dāng)a＜0時，=？這是要研究的中心問題。
對于任意實數(shù)a來說，a2 =（-a）2，│a│=│-a│。所以，由算術(shù)平方根的定義知，當(dāng)a＜0時，-a＞0，所以
==-a（a＜0，-a＞0）。③
將①②③合并起來，就可得到=
（）2與是兩種不同的運算，應(yīng)加以區(qū)分。
12. 泰九韶公式的轉(zhuǎn)化
S =
=
=
=
=
=
設(shè)a + b + c = 2p，則上式可化為
S=
=。
這便是海倫公式。
（二）第8章 平面圖形的全等與相似
1. 《課程標(biāo)準(zhǔn)》在編寫建議中強調(diào)指出，“教材的整體要呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)”。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材中，全等三角形與相似三角形是分章編寫的，先研究全等形，隔較長的一段時間再研究相似形。這種割裂的安排，沒有處理好全等與相似的關(guān)系。事實上，人們在對這兩類圖形的形狀和大小認(rèn)識時，全等和相似的感知是共性的，形狀相同是二者的共性，全等形是相似比為1時相似形。從理論上講，全等和相似是特殊與一般、個性與共性的關(guān)系，由全等形的判定定理，通過類比可以得到相似形的判定定理。因此，對于這兩個概念本冊教科書沒有將其拆開放在不同的章中，而是將全等形與相似形整合為一章，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展過程，又順應(yīng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，有利于學(xué)生較快地理解和掌握知識。這種編排在以往及現(xiàn)行的教材中均未見過，這是本套教科書在結(jié)構(gòu)上的一個創(chuàng)新。
另外，對于推理能力的培養(yǎng)，本書采取分層遞進，螺旋上升的處理方法。學(xué)生在七（下）了解了三角形的基本概念，八（上）學(xué)習(xí)了圖形的軸對稱，又通過“實驗與探究”得到等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)。在學(xué)生的幾何直覺與合情推理能力有了一定發(fā)展的基礎(chǔ)上，本冊教科書安排“平面圖形的全等與相似”，在組織學(xué)生自主探索與合作交流的過程中，通過“觀察與發(fā)現(xiàn)”、“實驗與探究”、猜想、歸納揭示出所研究的平面圖形的本質(zhì)屬性，明確規(guī)定它們的含義，并嘗試應(yīng)用這些圖形的已有性質(zhì)去研究推導(dǎo)出圖形的其他性質(zhì)。在應(yīng)用中滲透推理訓(xùn)練，這里的訓(xùn)練是由因?qū)Ч囊徊酵评恚捎梦淖终Z言進行說理。
2. 平面幾何是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)。借助圖形引入概念，直觀性強，效果好。全等形與相似形的定義是全章的基礎(chǔ)。“能夠完全重合的平面圖形，叫做全等形”。全等三角形的判定方法，就是通過作圖、疊合進行探究發(fā)現(xiàn)的，“完全重合”是關(guān)鍵，教科書安排的發(fā)現(xiàn)過程不是個案，特別注意到它的一般性。如P28的“實驗與探究”：
由（1）、（2）的個別情形轉(zhuǎn)向（3）一般情形進行探究，然后由（4）猜想、歸納結(jié)論，導(dǎo)出命題：判定方法1。教師要理解教科書為什么安排這樣操作，這點既有嚴(yán)格的科學(xué)性，又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成過程。
3. 全等形是能夠重合的圖形，它們的形狀和大小是完全一樣的，僅是位置不同。判斷不同位置的全等形是數(shù)學(xué)中的一個難點，應(yīng)給予重視。圖形的形狀和大小是由線段的長度和角的大小決定的，因此全等形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。對全等三角形來說，對應(yīng)邊相等與對應(yīng)角相等的重要性質(zhì)，是證明兩條線段相等和兩個角相等的主要依據(jù)。因此教學(xué)中應(yīng)重視這一重要性質(zhì)的教學(xué)。
4. 找出全等三角形的對應(yīng)元素，是判定和運用全等三角形的關(guān)鍵。教學(xué)中要注意防止學(xué)生把對角與對應(yīng)角、對邊與對應(yīng)邊混為一談。此外，兩個任意三角形之間沒有對應(yīng)角、對應(yīng)邊之說。對應(yīng)角、對應(yīng)邊、對應(yīng)頂點是全等三角形定義后的衍生概念。對于“如果兩個三角形的三條對應(yīng)邊相等，那么這兩個三角形全等”的說法是錯誤的。
“對應(yīng)”的思想對研究全等三角形尤為重要，因此在全等三角形的教學(xué)中，應(yīng)貫穿這一重要的思想，要結(jié)合圖形，訓(xùn)練學(xué)生辨認(rèn)全等三角形的對應(yīng)元素，特別當(dāng)圖形比較復(fù)雜，兩個圖形有公共或重合的元素時，要反復(fù)訓(xùn)練他們從中找出對應(yīng)的部分，通過一段訓(xùn)練后，可總結(jié)一下尋找全等三角形對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角的規(guī)律：
全等三角形的公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角，對頂角是對應(yīng)角；
若兩個角相等，這兩個角就是對應(yīng)角，對應(yīng)角的對邊是對應(yīng)邊；
若兩條邊相等，這兩條邊就是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊的對角是對應(yīng)角；
兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；
兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角。
5. 用全等符號“≌”表示兩個三角形全等時，應(yīng)要求把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，這樣會給證明兩個三角形全等的問題帶來方便。全等符號“≌”中，“∽”表示形狀相同（即相似），“=”表示大小相等，這兩層含義可向?qū)W生指明，全等形就意味著形狀相同、大小相等。
6. 三角形全等的三個判定方法，都是通過實驗與探究，讓學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)結(jié)論。這些結(jié)論，沒有冠以“公理”或“定理”的名稱，因為到目前為止，還沒有給出“命題”“公理”“定理”的概念。為了訓(xùn)練學(xué)生初步掌握推理的方法，在教科書給出的每個三角形全等的判定方法后，都配有簡單的例題。在教學(xué)例題時，要重視圖形語言、符號語言和書面語言的表達(dá)與轉(zhuǎn)化。例如，由符號語言△ABC≌△DEF，可畫出圖形（如圖①②）
書面語言表達(dá)為：三角形ABC全等于三角形DEF；按符號語言的表示法，可以知道對應(yīng)頂點是A與D，B與E，C與F；對應(yīng)邊是AB與DE，BC與EF，CA與FD，對應(yīng)角是∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F。
例題1（P26）、例3（P32）涉及兩個三角形的公用邊，在練習(xí)題中涉及到兩個三角形的公用角（如P32 T2），這些都是隱含在題目中的條件，需要去尋找。
解題時要注意分析題中的條件哪些是直接條件，哪些是隱含條件，如何將隱含條件轉(zhuǎn)化為直接條件。題目的結(jié)論有時不是判斷兩個三角形全等，而是判斷線段相等或角相等，這時就要通過判斷線段或角分別所在的兩個三角形全等，然后再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊（對應(yīng)角）相等得出結(jié)論，如P31例2、P32例3。
7. 形狀相同的平面圖形叫做相似形?！靶螤钕嗤笔且环N感性認(rèn)識，其實質(zhì)含義是什么，怎樣進行數(shù)學(xué)表述？教科書從相似三角形概念入手，組織“實驗與探究”；對兩個在方格紙上畫好的“形狀相同”的三角形（大小不同）進行度量（度量各角的大小，各邊的長）、計算（相對應(yīng)的邊的比例）、比較，明確“對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例”是“形狀相同”的數(shù)學(xué)表述。由此給出相似三角形的定義，并衍生對應(yīng)角、對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊的概念（本冊教科書沒有明確相似比的概念，因原《課標(biāo)》沒提，只提“對應(yīng)邊的比”）。
根據(jù)相似三角形的定義，全等三角形也是相似三角形，因為它們對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例（對應(yīng)邊的比為1），全等三角形是相似三角形的特例，相似三角形是全等三角形的推廣。
兩個相似三角形的相似比（即對應(yīng)邊的比），與三角形的順序有關(guān)，如果△ABC與△A′B′C′的相似比為k1，則△A′B′C′與△ABC的相似比為k2=，即k1與k2互為到數(shù)，這是因為線段比的前項和后項交換后得到不同比的緣故。
8. 三角形相似的判定方法的導(dǎo)出，教科書首先用類比的方法，由全等三角形的判定方法猜想相似三角形的判定方法，然后再通過“實驗與探究”，讓學(xué)生動手操作：畫圖、疊合、度量、計算、分析、歸納、得出結(jié)論。如P42判定方法2的給出。
9. 判定三角形相似的題目有兩類：一是根據(jù)給定的條件，判定兩三角形相似，并會用語言說明理由；二是已知兩個三角形相似，確定對應(yīng)角或?qū)?yīng)邊，并要求說明理由，這是訓(xùn)練推理證明的一種手段。
10. 相似三角形的性質(zhì)，可由學(xué)生相互交流發(fā)現(xiàn)。
11. 相似多邊形的概念一定要突出“具有相同形狀”這個本質(zhì)特征，其數(shù)學(xué)表述就是“邊數(shù)相同，一個多邊形的各個角分別與另一個多邊形的各個角相等，各邊對應(yīng)成比例”。其中“各邊對應(yīng)成比例”容易忽略，會造成P52習(xí)題8.6，T2（2）的判斷失誤。
12. 本章“挑戰(zhàn)自我”及習(xí)題的難度較大，涉及知識多，如P41，測量電線桿的高度，就涉及物理中的一個光學(xué)性質(zhì)：光線的入射角等于反射角；P43的作圖就涉及基本作圖；P45在網(wǎng)格中作出相似比為的相似三角形，就涉及勾股定理，解答如圖：
P54、綜合練習(xí)，B組T4就涉及解分式方程。
已知PQ = 12，EF = FQ = 1.6，AC = BD = 9.6。
設(shè)AP = QB = x。
由△CAB∽△FQB，所以=，
即=。所以x = 3（米）。
AB = 2x+12 = 18（米）。
13. 本章的練習(xí)與習(xí)題中，選了不少開放型題目，應(yīng)鼓勵學(xué)生探究，如P35習(xí)題8.3 T4，P39習(xí)題8.4 T3，P44練習(xí)T2，P54綜合練習(xí)A組T2，B組T3。
（三）第9章 解直角三角形
1. 引入銳角三角比的概念，是為解直角三角形作準(zhǔn)備。銳角三角比的定義，本章是采用直角三角形中邊與邊的比值來定義的。優(yōu)點是比較直觀，便于學(xué)生理解和證明，銳角三角比的定義是本章的基礎(chǔ)，正確理解這個定義及其表示法是學(xué)好本章其他內(nèi)容的關(guān)鍵，因為只有正確的掌握了銳角三角比的定義，才能正確掌握直角三角形中邊與角的相互關(guān)系，從而利用這些關(guān)系來解直角三角形。
在銳角三角比的概念教學(xué)中，應(yīng)指出以下幾點：
（1）銳角三角比是一種比值，它們只有數(shù)值，沒有單位，是無名數(shù)。這三個比值只與角的大小有關(guān)，與夾這個角的兩邊的長短無關(guān)；
（2）對于角A的每一個確定的值，這三個比值都有唯一確定的值與它對應(yīng)；
（3）銳角三角比的符號都是一個整體，不能把sinA看成是sin與A的積，離開角A的sin沒有意義，只有連起來才表示角A的正弦。對于利用直角三角形給出的銳角三角比的定義，一開始不宜采用sinA = 之類的提法，因為這樣 使學(xué)生把注意力集中在a、b、c等字母上，而忽視了sinA = 這些本質(zhì)的東西。因此，在教學(xué)中，首先要讓學(xué)生熟練地用角的對邊、鄰邊、斜邊之間的比值來表示銳角的三角比。
2. 根據(jù)學(xué)生已掌握的幾何知識，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生依次求出45°，30°，60°角的三角比。因為這幾個特殊角的三角比應(yīng)用廣泛，務(wù)必要求學(xué)生熟記這些三角比，熟記的關(guān)鍵在于理解，不能專靠強記，因此，理解這些三角比的推導(dǎo)過程十分必要。
為了幫助記憶，可采用下列方法：
（1）30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次為1，2，3的算術(shù)平方根（即，，），而余弦值正好把順序反過來。30°，45°，60°角的正切值的分母都是3，分子依次是31，32，33的算術(shù)平方根。
（2）借助下面三個圖形來記憶，學(xué)生即使遺忘，還可以根據(jù)圖形重新求出三角比。
3. 一般銳角三角比是借助科學(xué)計算器求出的，不同的計算器有不同的輸入法，不論哪種計算器，都必須在角的度量單位為“度”的狀態(tài)下進行計算。應(yīng)掌握用計算器解決三類問題：
（1）已知銳角的值求三角比；
（2）已知銳角三角比求銳角；
（3）銳角三角比的四則運算。
4. 直角三角形中六個元素間的關(guān)系，是解直角三角形的根據(jù)。
直角三角形六個元素間的關(guān)系，可歸納為三種：
（1）銳角之間的關(guān)系；（2）三邊之間的關(guān)系；（3）邊角之間的關(guān)系。其中的每個關(guān)系式都包含三個元素，知道其中兩個元素就可以求出第三個元素?！敖庵苯侨切巍本褪怯芍苯侨切沃幸阎?，求出未知元素的過程。
選擇關(guān)系式解直角三角形有兩條基本原則：一是應(yīng)當(dāng)選擇可以應(yīng)用題目中已知數(shù)據(jù)的關(guān)系式；二是應(yīng)當(dāng)盡量選擇便于計算的關(guān)系式。解題中選擇合適的關(guān)系式是一個難點，解決這一難點的關(guān)鍵，就是要熟悉直角三角形中邊角關(guān)系式變形后的式子，如sinA=的變形： a = csinA，c = 。
解完直角三角形后，要對結(jié)果進行檢驗，有兩種比較方便的方法，一種是觀察A+B是否等于90°（如果解題時已用過A+B=90°這一關(guān)系式，就不再用它來檢驗）；第二種方法是觀察b2 = c2 - a2 = （c +a）（c -a）是否成立（如果解題時已用過勾股定理，就不能再用它來檢驗）。解直角三角形得到的結(jié)果，一般都是一些近似值，如果檢驗得到的值相差較大，就說明結(jié)果有錯誤。
5. 解直角三角形的問題可分四種情況，一般解法是：
（1）已知斜邊和一直角邊，如a，c，可由sinA = ，求角A；
（2）已知兩直角邊，如a，b，可由tanA=，求角A；
（3）已知斜邊和一銳角，如c，A，求對邊用公式a = csinA；求鄰邊用公式b = ccosA；
（4）已知一直角邊和一銳角（分兩種情況）：
①已知銳角和鄰邊，如A，b，求對邊用公式a = btanA；求斜邊用公式c =。
②已知銳角和對邊，如A，a，求鄰邊用公式b=；求斜邊用公式c=。
對于已知三角形不是直角三角形的求解問題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。轉(zhuǎn)化的途徑是作輔助線，引三角形一邊上的高，將原三角形分割為兩個直角三角形，然后求解。
6. 解直角三角形在實際生產(chǎn)、生活中有著廣泛地應(yīng)用，本章特設(shè)“解直角三角形的應(yīng)用”一節(jié)，通過例題進一步感悟轉(zhuǎn)化思想。在數(shù)學(xué)建模中，知道怎樣將有關(guān)實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。本節(jié)內(nèi)容不著眼于知識上的加深，題型的廣泛，而是著力于培養(yǎng)學(xué)生將變化萬千的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決的能力。
在“解直角三角形的應(yīng)用”教學(xué)中，要注意：
（1）講清實際問題中一些術(shù)語的意義，如仰角、俯角、方位角、坡度、傾斜角等。
（2）對實際問題最好有示意圖，其中包括所要解的三角形，并且在圖上標(biāo)注已知條件，對學(xué)生的要求是把問題與示意圖對照起來，找出合適的三角形解題。
（3）實際問題中有一些常識性的內(nèi)容要注意它們的含義，在解題時，這些常識性的內(nèi)容可能是一個不可缺少的條件。
7. 在解直角三角形應(yīng)用問題的教學(xué)過程中，可以介紹一些測量高度、距離的方法，其中一些簡單的測量，可以讓學(xué)生自己動手嘗試，這樣可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識，感受數(shù)學(xué)的價值。
8. “挑戰(zhàn)自我”及部分題目的答案或提示。
（1）P67，挑戰(zhàn)自我。
∵BC = CD = 1，
∴∠CBD = 45°，BD = 。
∵BD=BD′，∠D′=∠BDD′，
∠D′=∠CBD== 22.5°。
在Rt△DD′C中，D′C = 1+，
∴tanD′=，即tan22.5°=。
（注：分母不要求有理化）。
（2）P75，練習(xí)2。
如圖，作AD⊥BC，垂足為D，
∵AB∶BC = 5∶8，設(shè)AB = 5a，
BC = 8a，∴BD = 4a，
在Rt△ABD中，
AD ==3a，
sinB ==，cosB = =。
（3）P76，習(xí)題9.4 B組 1。
如圖∠C = 90°，CD⊥AB，垂足為D，
AB = 6，AD = 2，BD = 4。
∵△ACD∽△CDB，
∴=，即CD2 =AD·DB =8，∴CD =2，
在Rt△ACD中，
AC===2，
∴sinA===，cosA===，
tanA===。
（4）P76，習(xí)題9.4 B組2。
如圖，作△ABC的高BD，垂足為D。
在Rt△BCD中，BC =4，
∠BCD=180°- 118°= 62°，
BD = BCsin∠BCD = 4sin62°= 3.53。
（5）P83，習(xí)題9.5 A組1（“情境導(dǎo)航”中的問題）
如圖，MN為地平線，PO為原底層中心鉛垂線，
A為塔頂中心。
作AB⊥PO，垂足為B，作AC⊥MN，垂足為C。
AO = 47.5米，AB = 2.3米，
①在Rt△AOC中，OC = AB = 2.3，
∴ AC ==
= 47.44（米）。
②在Rt△AOB中，
由sin∠AOB ==，得∠AOB = 2.78°=2°47′。
③∠AOC = 90°- 2°4 7′= 87°1 3′。
（6）P84，習(xí)題9.5 B組2。
如圖，在Rt△PAC中，∵∠A=45°，∴PC =AC，
在Rt△PBC中，∵∠PBC =60°，
∴= tan60°=，BC = ，
∵PC = AC = 60+BC，∴PC = 60 +，
PC ==142（米），BC = PC – 60 = 82（米）。
在Rt△QBC中，∵∠QBC=30°，
∴QC = BCtan30°= 82×=47（米），
PQ = PC-QC = 142 - 47 = 95（米）。
（7）P88，綜合練習(xí) B組2。
如圖，設(shè)CE⊥AD，垂足為E，CE=200（米），
作BF⊥CE，垂足為F，BG⊥AD，垂足為G。
∵∠CAD =45°，∴CE = AE。
在Rt△CBF中 ，設(shè)CF = x。
∵∠CBF=60°，∴BF =。
在Rt△ABG中，BG = EF = 200-x，
∵∠BAG = 30°∴AG = = 。
∵GE = BF，AE = AG + GE，AE = CE，
∴ A G + BF = C E，即 + = 200，解方程 ，得x =126.8（米）。
在Rt△CBF中，
BC ===146（米）。
（四）第10章 數(shù)據(jù)離散程度的度量
1. 在統(tǒng)計里，有兩類描述一組數(shù)據(jù)分布狀況的特征數(shù)，一類描述數(shù)據(jù)的集中趨勢——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；另一類描述數(shù)據(jù)的離散程度或波動大小——極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。描述數(shù)據(jù)集中趨勢的量，已在八（上）作了研究。本章的內(nèi)容是研究描述數(shù)據(jù)離散程度的量。所以要研究這兩類特征數(shù)，是因為：第一，有時很難知道數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，而這兩類特征數(shù)字能對數(shù)據(jù)的情況作出簡要的描述；第二，在許多實際問題中，并不需要知道考察對象的一切性質(zhì)，而只需要了解它的某些性質(zhì)；第三，理論上可以證明，一些典型的分布規(guī)律可以由這兩個特征數(shù)字（平均數(shù)和方差）唯一確定。
2. 衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小，最簡單的量是極差。極差是指一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差。極差這個統(tǒng)計量不夠精細(xì)，但計算簡單。在有的情況下，只需要知道極差就行了。例如，天氣預(yù)報通常只報最高氣溫和最低氣溫，因為對于一般人來說，只需要知道這兩個極端值及表示氣溫波動范圍的極差就夠了。但極差只考慮一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，因而個別遠(yuǎn)離群體的極端值在很大程度上影響著極差，使極差不能充分反映一組數(shù)據(jù)的實際離散程度，因而在應(yīng)用上有很大的局限性。
3. 極差只反應(yīng)了兩個極端數(shù)據(jù)之間的差異大小，沒有反映其他數(shù)據(jù)的離散程度（波動大?。?，所以還需要尋找更精細(xì)的刻劃數(shù)據(jù)離散程度的方法。由于平均數(shù)是最常用的反映集中趨勢的特征數(shù)，人們就自然以平均數(shù)作為基準(zhǔn)去衡量每一個數(shù)據(jù)與它的偏差。
一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的值（可稱為偏差）有正有負(fù)，求它們的和有時恰好相互抵消。所以用偏差的和來表示一組數(shù)據(jù)的離散程度不行。
為了防止正偏差與負(fù)偏差的相互抵消，可以取各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和來刻劃數(shù)據(jù)的離散程度。如果用M表示，即
M =│x1-│+│x2-│+…+│xn-│
這個特征數(shù)的計算，雖然能保證各個偏差為非負(fù)數(shù)，但出現(xiàn)了數(shù)學(xué)上不便于處理的絕對值問題。
如果選用各個偏差的平方來描述這組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小，那么既可以避免正、負(fù)偏差相互抵消，而且在數(shù)學(xué)運算中也便于處理。
但是，由于各個偏差的平方都是非負(fù)數(shù)，所以數(shù)據(jù)容量越大，平方和也就越大。為了消除數(shù)據(jù)容量的影響，采用各個偏差的平方的平均數(shù)來描述一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大小比較合適，這就是方差。
4. 方差的定義
S2 = [（x1-）2 +（x2-）2 +…+（xn-）2 ]。
方差越大，這組數(shù)據(jù)就越離散，數(shù)據(jù)的波動也就越大；方差越小，這組數(shù)據(jù)就越聚合，數(shù)據(jù)的波動也就越小。這一公式可以簡單記憶為“方差等于差方的平均數(shù)”。
方差的概念是本章的教學(xué)難點。根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，教學(xué)中不探究為什么這樣定義方差，對“標(biāo)準(zhǔn)差”也不作要求。事實上，比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，從所得結(jié)果看，采用方差或標(biāo)準(zhǔn)差實際上是等價的。這是因為
S21＞S22S1＞S2（S1，S2均為非負(fù)數(shù)）。
5. P100“挑戰(zhàn)自我”的解答：
即兩組數(shù)據(jù)的方差一樣。
7. P104習(xí)題10.3 B組1答案：一組新數(shù)據(jù)的方差是4S2。
（五）第11章 幾何證明初步
1. 從本章開始進入幾何的推理證明，引入了符號推理；給出了命題的意義、結(jié)構(gòu)、推理證明的步驟，并要求會寫出命題的已知、求證，會進行簡單命題的推理證明。這是幾何證明中的演繹推理的入門，教師要恰當(dāng)?shù)匕盐彰恳还?jié)的推理論證的要求，不可操之過急。雖然經(jīng)過七（下）、八（上）有關(guān)幾何內(nèi)容用文字語言說理的訓(xùn)練，但嚴(yán)格的演繹推理證明仍是幾何入門的難點。
2. 定義是明確規(guī)定一個概念的含義，即指出概念所反映的本質(zhì)屬性，使 它和其他概念不混淆。因此，定義一方面可作為性質(zhì)使用，另一方面也可以作為判定的方法。如直角三角形的定義：“有一個內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形”，作性質(zhì)使用：“若△ABC是直角三角形，則有一個內(nèi)角是直角（或等于90°）”，作為判定的方法：“在△ABC中，若 ∠C=90°，則△ABC是直角三角形”。
3. 表示判斷的語句叫做命題。判斷就是確定“是”或“不是”，命題的作用就在于作出一個判斷，它要肯定某個事物是什么或不是什么，不能同時既肯定又否定。關(guān)于區(qū)分什么是命題、什么不是命題，可通過具體例子簡單地介紹，不要作探究。如“長度相等的兩條線段是相等的線段”、“畫兩條長度相等的線段”、“你會畫兩條長度相等的線段嗎？”“三個語句中，只有第一句是命題，第二三句都不是命題，因為第二句是描述一個過程，第三句是疑問句，它們都不能肯定什么或否定什么，學(xué)生能區(qū)分這類的語句就夠了。
命題是由條件和結(jié)論兩部分組成，找出一個命題的條件和結(jié)論是準(zhǔn)確認(rèn)識判斷的關(guān)鍵。如果給出的一個命題已經(jīng)具有“如果…，那么…”的形式，那么區(qū)分命題的條件和結(jié)論并不困難。難點是找出條件和結(jié)論不明顯的命題中的條件和結(jié)論。如“同角（或等角）的余角相等”，“對頂角相等”等不是寫成“如果…，那么…”形式的命題，一般方法是先添補一些命題中省略的詞句，再找出結(jié)論，然后再分析什么是已知的，這就是條件。
因為判斷有正確和錯誤兩種，所以命題相應(yīng)的有真假之分。一個命題是正確的，它就是真命題；如果不正確，它就是假命題。學(xué)生已熟悉很多真命題，對假命題卻不熟悉，嚴(yán)格地說，命題的真實性都需要通過推理的方法證實。學(xué)生已熟悉的很多“真命題”都沒有通過推理證實，要判斷一個命題是假命題，只要找出一個具備命題的條件，但不符合命題的結(jié)論的例子就可以了，這個例子就是反例。幾何中由于假命題的存在，所以對命題的推理證明就十分必要的了。
4. 學(xué)習(xí)幾何為什么要證明，這是學(xué)生一直困惑的問題，幾乎所有現(xiàn)行教材都沒有給學(xué)生明確地回答這個問題。為回答這個問題，在本冊“幾何證明初步”一章中，單設(shè)一節(jié)“為什么要證明”。通過從觀察、實驗、歸納、類比等活動中得到的結(jié)論不一定都正確的事例，引導(dǎo)學(xué)生探究、交流，使其感悟證明的意義及證明的必要性。接著本章又獨設(shè)“什么是幾何證明”一節(jié)，根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出的8條基本事實以及等式（不等式）的基本性質(zhì)，作為證明其他命題的起始依據(jù)，除基本事實及等式的基本性質(zhì)外，其他命題的真實性都要由基本事實、定義，已證實的結(jié)論及已知條件出發(fā)，通過邏輯推理的方法加以證實。在七（下）、八（上）及前一章進行說理訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，本節(jié)以證明“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”、“對頂角相等”為例，介紹了證明一個命題的全過程，概括了幾何證明的一般步驟，目的是使學(xué)生了解綜合法證明幾何命題的格式，為以后的幾何證明訓(xùn)練打下基礎(chǔ)。這兩節(jié)的安排是本套教科書的特色之一。
5. 教學(xué)幾何證明，應(yīng)按下列步驟進行：（1）根據(jù)題意，畫出圖形；（2）結(jié)合圖形，寫出已知、求證；（3）寫出證明。
畫圖時，命題中出現(xiàn)的點、線都要畫出，并注上字母。畫圖要注意不能畫成特殊圖形。
證明是由一系列的推理組成，推理是從一個或幾個判斷說出一個新判斷的思維形式。推理時，無論是寫出“∵……”或“∴……”都需要有根據(jù)。在“∵……”后面，加括號填寫已知、已證事項，在“∴……”后面加括號填寫定義、基本事實、已證明的真命題等。初學(xué)證明時，在每一步推理后面的括號內(nèi)都要填寫理由，其目的是使學(xué)生明確，推理必須步步有據(jù)，不能“想當(dāng)然”，以此培養(yǎng)邏輯思維的縝密性。
初學(xué)證明時，一般按下面的原則填寫理由：若用到題目中的已知條件，則填寫“已知”；若用到前面已推出的結(jié)論，則填寫“已證”；若用到某個概念的定義，則填寫“某某的定義”；若用到基本事實或定理，則填寫它的內(nèi)容。
6. 平行線的判定與性質(zhì)是互逆命題。教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生理解這兩種命題的不同本質(zhì)。“判定”具有作出判斷的意思。“平行線的判定”就是作出這兩條直線平行的判斷，因此，平行線的判定必須在兩條直線的位置不能確定的前提下，應(yīng)用平行線判定公理或定理說出兩直線平行或不平行的結(jié)論。平行線的性質(zhì)是在已知兩直線平行的條件下得出的一些性質(zhì)，它的前提是“平行”，“性質(zhì)”是平行的產(chǎn)物。
在這里，“判定”是證明兩直線平行的依據(jù)，“性質(zhì)”則是證明兩個角相等或互補的一種依據(jù)。應(yīng)用“判定”或“性質(zhì)”，特別要注意它們因果關(guān)系的正確表述，“判定”是以“兩直線平行”為結(jié)束的推理過程，判定的根據(jù)應(yīng)填寫在結(jié)論之后。“性質(zhì)”是以“兩直線平行”為開始的推理過程，推出兩角相等或互補的結(jié)論。
7. 幾何中有許多互逆的命題，它們從正反兩個方面揭示了圖形的特征性質(zhì)，所以互逆命題是重要概念。以前學(xué)過的命題，如“兩直線平行，同位角相等”與“同位角相等，兩直線平行”，勾股定理與它的逆命題等都是互逆命題。這些命題的條件和結(jié)論比較簡單，學(xué)生接受它們困難不大，但對于不是以“如果……，那么……”形式給出的命題，敘述它們的逆命題困難比較大，是教學(xué)中的一個難點，教學(xué)要求不應(yīng)過高。
原命題是真命題，逆命題不一定是真命題，教學(xué)中應(yīng)舉出這樣的例子，防止學(xué)生認(rèn)為原命題正確，逆命題也正確。逆命題與逆定理是不同的概念。
8. 三角形內(nèi)角和定理在小學(xué)曾通過實驗獲得過證實，但實驗證得的結(jié)論，其真實性還需要通過邏輯推理的方法證明。證明這個定理的關(guān)鍵是添加輔助線。為了使學(xué)生了解為什么要這樣作輔助線，可以回顧在小學(xué)曾做過的實驗，如何將一個三角形的三個角拼成一個平角。輔助線的概念首次接觸，輔助線通常畫成虛線，添加輔助線一律用“作××”。這里，畫輔助線的目的是通過平行線把三角形的三個角移到一起。輔助線的畫法很多，由此得到的證明方法也很多，鼓勵有余力的學(xué)生去研究。借助證明三角形內(nèi)角和定理的圖形，很容易得到有關(guān)三角形外角性質(zhì)的兩個推論。
由直角三角形的定義很容易證明直角三角形的一個重要性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余（安排在練習(xí)中）及直角三角形的判定方法：有兩角互余的三角形是直角三角形（安排在習(xí)題11.4）。
9. “幾何證明舉例”一節(jié)涉及的內(nèi)容較多，幾乎包括了原初中幾何教材中“全等三角形”、“等腰三角形”、“直角三角形”、“角平分線”、“線段的垂直平分線”的所有《課程標(biāo)準(zhǔn)》列出的內(nèi)容，作為例題給出證明的定理有：
判定三角形全等的“角角邊”定理；
判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理；
到一條線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；
如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形；
等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°；
兩個全等三角形的對應(yīng)高相等；
在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么這個銳角所對的直角邊等于斜邊的一半。
作為練習(xí)或習(xí)題要求學(xué)生證明的定理有：
線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等；
等腰三角形的兩個底角相等；
等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線、頂角的平分線；
等腰三角形兩底角的平分線相等；
在角的內(nèi)部，并且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；
角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；
有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。
10. 等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理，為研究“角相等”和“線段相等”相互轉(zhuǎn)化提供了重要依據(jù)。在運用這兩個定理時，（1）要注意“在同一個三角形中”這個隱含條件；（2）會區(qū)分這兩個互逆定理的條件和結(jié)論。雖然這兩個定理都是對“等腰”來說的，但在性質(zhì)定理中是已知 “等腰”，然后得出兩角相等的結(jié)論，即“由邊推角”；在判定定理中卻是已知兩角相等，而要證明“等腰”，即“由角推邊”；（3）要重視糾正學(xué)生在解題中不顧問題的條件，一概用全等三角形來證明兩角相等或線段相等的思維定勢。
對于線段垂直平分線的教學(xué)，也應(yīng)弄清線段垂直平分線定理及其逆定理的聯(lián)系與區(qū)別，這可與角平分線的性質(zhì)定理及判定定理相對照，加深學(xué)生的認(rèn)識。
11. 從“什么是幾何證明”第2課時開始，學(xué)生將進入推理論證的訓(xùn)練，這里主要是平行線的判定及性質(zhì)的應(yīng)用?！皫缀巫C明舉例”逐步進入難度稍大的推理論證的訓(xùn)練。有些題目需要進行兩步推理論證，第一步由已知條件判定一組三角形全等，第二步由全等的性質(zhì)得出結(jié)論。個別題目需要進行兩次三角形全等的證明，然后才能得出結(jié)論。為了減緩學(xué)習(xí)難度，結(jié)合例題讓學(xué)生練習(xí)把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，根據(jù)語言畫出相應(yīng)的圖形，教師的示范 作用很重要。有些教師教學(xué)例題時直接借助多媒體，在屏幕上打出已知、求證及圖形，將證明也不加分析直接打出證明過程。這樣做就削弱了對學(xué)生推理證明能力的培養(yǎng)。對例題的教學(xué)，要求教師必須做到：板書——工整、規(guī)范；畫圖——準(zhǔn)確、美觀；語言——清晰、簡練。教師的板書，就是學(xué)生作業(yè)的“鏡子”，要求學(xué)生必須做到的，教師要率先做出榜樣；好的言傳身教，對初學(xué)幾何證明的學(xué)生的確能起到潛移默化的作用。
12. 對一個幾何命題，當(dāng)用直接證法比較困難時，可以采用間接證法，反證法就是一種間接證法。有關(guān)反證法的思想前面已有所孕伏，如“兩條直線相交，只有一個交點”， 不是有理數(shù)的證明等。本冊教科書將其獨列一節(jié)，目的是使學(xué)生初步了解反證法的基本思想和證明步驟，進一步開拓思路，知道更多的證明方法。
教科書通過幾何和代數(shù)中論證過程比較簡明的例題，使學(xué)生領(lǐng)會什么是反證法，并且歸納出證明的一般步驟。
反證法的實質(zhì)是駁倒欲證結(jié)論的反面，從而反襯出結(jié)論的正確。其基本思路是：不直接證明命題的結(jié)論，而是先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后推導(dǎo)出與已經(jīng)證明了的定理，公理（基本事實）、定義或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而判定與結(jié)論相反的假設(shè)不成立，得出命題的結(jié)論成立。
反證法證明命題的三個步驟，第二步的關(guān)鍵是從第一步的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾。這里的推理論證，必須像前面運用直接證法一樣，注意每一步都要有根有據(jù)。這里的推理論證沒有統(tǒng)一的方法。
用反證法證題時，由于要假設(shè)求證的命題結(jié)論不成立，就必須考慮結(jié)論的反面可能出現(xiàn)的情況。如果結(jié)論的反面只有一種情況，那么只須否定這種情況，就足以證明原結(jié)論是正確的；如果結(jié)論的反面不止一種情況，那么必須把各種可能情況全部列舉出來，并且一一加以否定之后，才能肯定原結(jié)論是正確的。因此必須注意全面考慮結(jié)論的反面可能出現(xiàn)的情況。
13. 本章個別題目的解答。
（1）P119習(xí)題11.2 B組 1。
設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離為s，汽船在靜水中的般行速度為v，水的流速為a，則
t1=+=，t2=+=，
t1-t2=-=-，
當(dāng)a = 0時，t1 = t2；
當(dāng)a≠0時，t1≠t2。
（2）P129，習(xí)題11.4 B組1
在△AGD中
∠A+∠AGD+∠D =180°，
∠AGD =∠C +∠GHC，
∠GHC =∠EHD，
∠EHD =∠B+∠E，
∴∠A+∠AGD+∠D =∠A+∠C+∠GHC+∠D，
=∠A+∠C+∠EHD+∠D
=∠A+∠C+∠B+∠E+∠C =180°。
（六）課題學(xué)習(xí)“有趣的分形圖”的有關(guān)計算
謝爾賓斯基三角形
圖1
1. 設(shè)圖1（1）中三角形的面積為1，那么圖1（2）中涂色的中點三角形的面積為。圖1（2）中涂色的中點三角形的周長與圖1（1）中三角形的周長之比為。
2. 圖1（3）中所有未涂色三角形的面積之和為×=，所以圖1（3）中所有涂色三角形的面積為1-=。
圖1（3）中所有涂色三角形的周長與（1）中三角形的周長之比為。
科克雪花曲線
圖2
1. 設(shè)圖2（1）為正三角形，邊長為1，面積為S，則圖2（1）的邊數(shù)=3；周長=1×3；面積=S。
2. 圖2（2）：
邊數(shù)=3×4=12；邊長=1×=；
周長=1××12=4；
面積 = S + S××3 =（1+×3）S = S。
3. 圖2（3）：
邊數(shù)=（3×4）×4=3×42=48；
邊長=1××=（）2；
周長=（）2×48=（）2×3×42=；
面積=S +（××12）S = [1+×3+（）2×3×4] S =S。
4. 圖2（4）：
邊數(shù)=3×43=192；邊長 =（）3；
周長=（）3×3×43 =；
面積=[1+×3+（）2×3×4+（）3×3×42] S=S。
5. 一般地，圖2（n）：
邊數(shù)=3×4n-1；邊長=（）n-1；
周長=（）n-1×3×4n-1=3×()n-1；
面積=[1+×3+（）2×3×4+（）3×3×42+…+（） n-1×3×4 n-2] S。
四、使用教科書應(yīng)注意的問題
1. 吃透教材，領(lǐng)會編者意圖
教科書編寫的依據(jù)是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，不同版本的教科書的編寫規(guī)格，處理數(shù)學(xué)知識的方式是不同的，如本書在探討判定三角形全等的方法1時，是這樣安排的：
教科書在這里安排（2）目的是什么？為什么又安排（3）呢？
又如：11.1節(jié)例1后，提出“想一想，例1中哪些命題是錯誤的？”為什么不提“哪些命題正確的？”再如11.1中的習(xí)題11.1 A組3，“下列命題，哪些是假命題？如果是假命題舉出一個反例”。這里為什么不提“哪些是真命題？”
教科書中安排了不少沒有給出解答的實際問題，如P61第九章的情境導(dǎo)航：蘇州虎丘塔的傾斜問題；P76“9.5 解直角三角形的應(yīng)用”的導(dǎo)入：測量東方明珠塔的高度等，這是為什么？
學(xué)生經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，可以在實際情境中通過活動體會數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)，認(rèn)識數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價值，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力。教科書的這種呈現(xiàn)方式體現(xiàn)了“問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式。即從實際的問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，運用各種數(shù)學(xué)語言（文字語言、圖形語言、符號語言等）表達(dá)問題，使學(xué)生通過自主探索與合作交流的過程建立數(shù)學(xué)模型，獲得合理的解答，從而完成學(xué)生的認(rèn)知、建構(gòu)和問題解決的過程。這樣的呈現(xiàn)方式體現(xiàn)了以學(xué)生為本的課程理念，有利于學(xué)生理解并掌握相關(guān)的知識與方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的意識，學(xué)會如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣，增進學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，獲得對數(shù)學(xué)較為全面的體驗與理解，促進一般能力的發(fā)展。
2. 適當(dāng)安排學(xué)生的課外作業(yè)
為了滿足學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同需求，教科書設(shè)計了包含多種層次的練習(xí)系統(tǒng)。其中，“ 練習(xí)”是對所學(xué)知識的鞏固和初步應(yīng)用，安排在課堂內(nèi)，供全體學(xué)生使用；“習(xí)題”幫助學(xué)生消化、應(yīng)用和拓展所學(xué)知識，安排為課后作業(yè)；“綜合練習(xí)”是各章的復(fù)習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固和進一步提高。本冊教材的習(xí)題和綜合練習(xí)都設(shè)置了A，B兩組不同層次的問題，其中A組為鞏固性問題，供全體學(xué)生使用，B組為拓展性問題，供學(xué)有余力的學(xué)生選用。與教科書配套的練習(xí)冊是按章節(jié)順序安排的，練習(xí)冊的最基本單元是課時，每一課時與每章綜合練習(xí)均設(shè)計了“復(fù)習(xí)與鞏固”、“拓展與延伸”和“探索與創(chuàng)新”三組不同層次、不同要求的習(xí)題。“復(fù)習(xí)與鞏固”相當(dāng)于教材中的A組題的要求，意在幫助學(xué)生及時消化、鞏固本課時的基礎(chǔ)知識、基本方法，通過練習(xí)初步掌握相應(yīng)的基本技能，是全體學(xué)生學(xué)習(xí)本課時應(yīng)達(dá)到的基本要求；“拓展與延伸”意在幫助學(xué)生拓展和應(yīng)用本課時內(nèi)容，幫助學(xué)生通過獨立思考，積累分析問題與解決問題的基本經(jīng)驗，增強應(yīng)用意識和實踐能力，該欄目中的習(xí)題大部分學(xué)生通過努力都能完成；“探索與創(chuàng)新”意在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，鍛煉克服困難的意志，體驗獲得成功的樂趣，該欄目的習(xí)題供學(xué)有余力的學(xué)生選用。練習(xí)冊力求促進學(xué)生在知識、能力、情感態(tài)度、價值觀諸方面的和諧發(fā)展，注意本學(xué)科各內(nèi)容間相互銜接以及與其他學(xué)科內(nèi)容的聯(lián)系，體現(xiàn)開放多元與兼容并蓄的時代精神。
3. 適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅是數(shù)學(xué)知識、技能的教學(xué)，應(yīng)注意對其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法的滲透。在各章內(nèi)容呈現(xiàn)時要恰當(dāng)?shù)伢w現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，如探究圖形性質(zhì)的歸納思想，幾何證明中的演繹思想，二次根式加減中的類比思想，解直角三角形中的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想及模型思想等。
對數(shù)學(xué)思想方法的介紹是以滲透的方式進行，在每章的回顧與總結(jié)時，可適當(dāng)點撥。
4. 在重視數(shù)學(xué)的科學(xué)價值的同時，關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價值
既重視數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，又關(guān)注其文化內(nèi)涵，是本套教科書的一個特色。本冊設(shè)計了“廣角鏡”、“史海漫游”等固定欄目，以這些欄目為載體，結(jié)合各章具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，向?qū)W生生動地介紹了世界古今數(shù)學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)家的光輝成就，深入淺出地反映了數(shù)學(xué)對于人類社會發(fā)展的工具作用和數(shù)學(xué)的人文精神，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，提高他們的科學(xué)文化素養(yǎng)。
其中“廣角鏡”選取了與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的其他數(shù)學(xué)素材，以及該教學(xué)內(nèi)容在其他學(xué)科或生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用素材，意在開拓學(xué)生的視野。如P78“用雷達(dá)測定目標(biāo)的高度”、 P33“三角形的穩(wěn)定性”等。配合相應(yīng)的教材內(nèi)容，“史海漫游”提供了有關(guān)的數(shù)學(xué)史料和數(shù)學(xué)家介紹，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展，了解人類為構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈而付出的艱辛的、創(chuàng)造性的勞動。如P47“漫談相似與全等”、P118“一個閃耀著智慧光輝的推理典范”等。上述欄目從各個不同的角度，展示了數(shù)學(xué)的社會價值和豐富的文化內(nèi)涵。設(shè)計這些欄目的目的，一是拓寬學(xué)生的知識面，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價值，二是培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和查閱資料的能力，三是增加教科書的趣味性和可讀性。這些欄目都屬于學(xué)生的閱讀材料，可以安排在課內(nèi)閱讀，也可以安排在課外閱讀。

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