資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.6直角三角形六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：直角三角形兩個銳角互余
【經典例題1】如圖，在中，是角平分線，，垂足為D，點D在點E的左側，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．利用三角形內角和定理可得，結合是角平分線，可得，再利用直角三角形的兩銳角互余，可求得，由此可求的度數．
【詳解】解： ，，
，
是角平分線，
，
又 ，
，
．
故選：A．
【變式訓練1-1】如圖，在中，，，平分，交于點D，若，則 ．
【答案】12
【分析】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，含30度角的直角三角形的性質，等角對等邊，掌握以上知識是解題的關鍵．根據直角三角形的兩個銳角互余，可得，根據三角形角平分線定義可得，可得，即可求解．
【詳解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案為：12．
【變式訓練1-2】如圖，中，為的中線，，則 °．
【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，直角三角形的兩個銳角互余，先根據為的中線，得出，，因為，所以，即可作答．
【詳解】解：∵為的中線，
∴，，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓練1-3】如圖，直線，的頂點A在直線n上，，若，，求 ．
【答案】/40度
【分析】本題考查了平行線的性質，直角三角形兩銳角互余，熟記性質是解題的關鍵．根據兩直線平行，內錯角相等可得，再求出，然后根據直角三角形兩銳角互余求解即可．
【詳解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
故答案為：．
【變式訓練1-4】在直角三角形中，∠B=90°，∠A=2∠C，則的度數為 ．
【答案】/30度
【分析】本題考查了直角三角形兩個銳角互余．根據直角三角形兩個銳角互余得出，即可解答．
【詳解】解：∵∠B=90°，∠A=2∠C
∴，
解得：，
故答案為：．
【變式訓練1-5】如圖中，，垂直平分斜邊，交于D，E是垂足，連接，則 度．
【答案】20
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質等知識點的應用，解題的關鍵是掌握利用定理進行推理的能力．先求出，根據線段垂直平分線求出，求出，由即可解答．
【詳解】解：中，，斜邊為，
，
，
垂直平分斜邊，
，
，
，
故答案為：20．
題型二：含30°角的直角三角形
【經典例題2】如圖，在中，，，點是的中點；過點作交于點，，則的長度為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】此題主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，理解在直角三角形中，的角所對的直角邊是斜邊的一半是解決問題的關鍵．連接，先求出，，再根據線段垂直平分線的性質得，，由此得，進而利用直角三角形的性質得，然后求出，再利用直角三角形的性質即可求出的長．
【詳解】解：連接，如圖：

在中，，，
，
，
點是的中點，，
是線段的垂直平分線，
，
，
在中，，，
，
，，
，
在中，，，
．
故選：B．
【變式訓練2-1】如圖，將一個有角的三角板的直角頂點放在一張寬為的紙帶邊沿上．另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成角，則三角板的直角邊的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了含度角的直角三角形的性質和勾股定理，明確題意、熟練掌握上述知識是解題的關鍵．
如圖，作于H，根據含度角的直角三角形的性質求解即可．
【詳解】解：如圖，作于H，

∵三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成角，即，，
∴等腰直角三角形的直角邊，
故選B．
【變式訓練2-2】如圖，在中，，，，，的長是 ．
【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質和判定，含角的直角三角形的性質，根據等腰三角形的性質即可求得，再根據含有角的直角三角形的性質即可求得，進而得到線段的長度．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
故答案為：．
【變式訓練2-3】如圖，在中，，，垂足為點，，，則的長為 ．
【答案】4
【分析】本題考查的是直角三角形的性質，三角形內角和定理，掌握在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．先由直角三角形的性質得到，，再求出，得到，則，據此可得答案．
【詳解】解：∵，
∴
∵，
，，
∵
，
，
，
，
．
故答案為：．
【變式訓練2-4】如圖，在中，垂直平分，分別交于點，平分，則的長為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，含的直角三角形的性質，先線段垂直平分線的性質得出，利用等邊對等角得出，利用角平分線的定義得出，利用三角形內角和定理求出，利用角平分線的性質得出，利用含的直角三角形的性質求出，進而即可求解．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
故答案為：6．
【變式訓練2-5】如圖，在四邊形中，，，連接，則的值為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了三角形的面積，等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵．延長與的延長線交于點E，過點A作的延長線于點F，先證，，即可求出的長，再根據直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半求出的長，最后根據三角形的面積公式計算即可．
【詳解】解：延長與的延長線交于點E，過點A作的延長線于點F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案為：6．
題型三：斜邊上的中線等于斜邊的一半
【經典例題3】如圖，在中，，，均為的高，連結交于點．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了垂直平分線性質和判定，直角三角形性質，等腰三角形性質，根據題意得到垂直平分線段，得到，結合直角三角形性質得到，利用等腰三角形性質得到，再根據求解，即可解題．
【詳解】解：為的高，且，
垂直平分線段，
，
為的高，即，
，
，
，
，
故選：A．
【變式訓練3-1】如圖，在中，，于點D，，E是斜邊的中點，連接，則的度數為 ．
【答案】45
【分析】本題主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，理解直角三角形斜邊上的中線性質是解答關鍵．根據同角的余角相等得到，，根據互余和求得，進而得到，再利用直角三角形斜邊上的中線性質來求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵E是斜邊的中點，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，是斜邊上的中線，，則的長是 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”即可得出答案．
【詳解】在中，，是斜邊上的中線，，
，
故答案為：4．
【變式訓練3-3】如圖，在中，于點D，，E是的中點，則等于 ．
【答案】/度
【分析】先由得出，再根據直角三角形兩銳角互余求出的度數，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，算出，最后結合三角形的外角性質作答即可．本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形外角性質，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是掌握直角三角形斜邊中線的性質．
【詳解】解：∵，
∴，
，
在中，，
∵E是的中點，
∴
∴
故答案為：
【變式訓練3-4】如圖，在中，，，D是的中點，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質、直角三角形的特征，根據等腰三角形的性質得，，再根據直角三角形的特征即可求解，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，如圖：
，，
，
D是的中點，，
，
，
，
，，
，
故答案為：．
【變式訓練3-5】如圖，在中，點在上，且，點為的中點，點為的中點，連接交于點，連接．
(1)求證：．
(2)若，求線段、、之間的數量關系．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由，點為的中點，根據等腰三角形的“三線合一”性質可得是直角三角形，由點為的中點，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得結論；
（2）當時，可得為等腰直角三角形，由線段垂直平分線的性質可得，再由，得．
【詳解】（1），為的中點，
，
，
又為的中點，
；
（2），，
，
，
又為的中點，
，
為的垂直平分線，
，
，
又，
．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線的性質和線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練運用等腰三角形和直角三角形的性質．
題型四：銳角互余的三角形是直角三角形
【經典例題4】具備下列條件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了直角三角形以及三角形的內角和定理．根據三角形內角和等于，，得到，，得到具備條件A的不是直角三角形；根據，得到，得到具備條件B的是直角三角形；根據得到，得到具備條件C的是直角三角形；根據得到，得到具備條件D的是直角三角形．熟練掌握三角形內角和定理，直角三角形定義，是解決問題的關鍵．
【詳解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合題意；
B、由及可得，是直角三角形，故不符合題意；
C、由及可得， 是直角三角形，故不符合題意；
D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合題意．
故選：A．
【變式訓練4-1】下列對的判斷，錯誤的是（ ）
A．若，，則是等邊三角形
B．若，則是直角三角形
C．若，，則是等腰三角形
D．若，，則
【答案】D
【分析】利用等邊三角形的性質（有一個角是的等腰三角形是等邊三角形）即可判斷A；設三個角的度數之比為，利用三角形內角和為計算求解即可判斷B；利用三角形內角和為求解未知角度數即可判斷C；根據等腰三角形的性質（等邊對等角）即可判斷D．
【詳解】選項A：，，
是等邊三角形，故本選項正確，不符合題意．
選項B：，，
最大角的度數是．
是直角三角形，故本選項正確，不符合題意．
選項C：，，
．
．
是等腰三角形，故本選項正確，不符合題意．
選項D：，
．
，
．
，故本選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質與判定的理解能力以及三角形的內角和定理．涉及有一個角是的等腰三角形是等邊三角形；在同一個三角形中，有兩個底角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的兩個底角度數相等（等邊對等角）；內部有一個角為的三角形為直角三角形；任意三角形內角和為．明確相關知識點進行分析是解本題的關鍵．
【變式訓練4-2】如圖，在中，是邊上的高，E是邊上一點，交于點M，且．求證：是直角三角形．
【答案】見解析
【分析】本題考查了直角三角形的性質與判定；由是邊上的高，得；再由，即可得結論成立．
【詳解】解：∵是邊上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【變式訓練4-3】如圖，在中，D為上一點，，．
(1)判斷的形狀；
(2)判斷是否與垂直．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】本題考查了直角三角形的性質，三角形內角和定理，垂直的定義，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵，（1）證出即可得到結論，（2）求出，可得出．
【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練4-4】如圖，在中，，是的高．
(1)圖中有幾個直角三角形？是哪幾個？
(2)和有什么數量關系？并說明理由．
【答案】(1)圖中有3個直角三角形，分別是，，
(2)，理由見解析
【分析】（1）由題中已知條件，是高，可以得到、、都是直角．
（2）由（1）得到，，是直角三角形，且、、是直角，所以，由此可以得到．
【詳解】（1） ，是高，
，
圖中有個直角三角形，分別是，，；
（2） ，，是直角三角形，且、、是直角，
，，
．
【點睛】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，三角形高的定義，熟練掌握直角三角形的定義是解題的關鍵．
【變式訓練4-5】如圖，中，．
(1)試說明是的高；
(2)如果 ，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】（1）由等量代換可得到，故是直角三角形，即；
（2）由面積法可求得的長．
【詳解】（1）∵
∴
∵
∴
∴是直角三角形，即，
∴是的高；
（2）∵
∴，
∵，
∴．
【點睛】此題考查了同角的余角相等，三角形的面積，直角三角形的判定，正確理解直角三角形的判定是解題的關鍵．
題型五：直角三角形中最值問題
【經典例題5】如圖，在中，，點為邊上的動點，當最小時，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，垂線段最短，三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質．在下方作，過點A作于點F，過點M作于點E，根據含30度角的直角三角形的性質得出，根據，兩點之間線段最短，且垂線段最短，得出當、M、E三點共線，且時，最小，即最小，求出此時的度數即可．
【詳解】解：在下方作，過點A作于點F，過點M作于點E，如圖所示：

則，
∴，
∵兩點之間線段最短，且垂線段最短，
∴當、M、E三點共線，且時，最小，即最小，
∴當點E在點F時，最小，
∵，，
∴，
即此時．
故選：D．
【變式訓練5-1】如圖，點C為直線上一個定點，點D為直線上一個動點，直線外有一點P，，當最短時，則的長是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】本題考查了含30度角的直角三角形，垂線段最短，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質是解題的關鍵．
根據垂線段最短可得：當時，最短，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質進行計算，即可解答．
【詳解】解：當時，最短，
在中，，
，
故選：B．
【變式訓練5-2】如圖，點是等邊的邊的中點，，射線于點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當的值最小時，則長為 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題等邊三角形的性質，直角三角形的性質，準確計算是解題的關鍵．作點關于直線的對稱點，過作于，交與，則此時，的值最小，即的值最小，再根據等邊三角形的性質計算即可；
【詳解】作點關于直線的對稱點，過作于，交與，則此時，的值最小，即的值最小，

∵是等邊三角形，，
∴，
∴，
∵是的中點，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
故答案是．
【變式訓練5-3】如圖，，點在射線上，且，點、點分別是射線、上的動點，當最小時，則 ．
【答案】
【分析】本題考查軸對稱求最值問題，解含的直角三角形，熟練掌握的直角三角形是解題的關鍵；
由沿翻折得，作，根據的直角三角形即可求解；
【詳解】解：由沿翻折得，作
此時最小，
，
，
則，
則，
故答案為：
【變式訓練5-4】如圖，點E在等邊的邊上，，射線，垂足為點C，點P是射線上一動點，點F是線段上一動點，當的值最小時，，則的長為 ．
【答案】7
【分析】本題考查最短路徑問題、等邊三角形的性質、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握利用軸對稱性質求最短距離的方法是解答的關鍵．作點E關于射線的對稱點，過作于F，交射線于P，連接，此時的值最小，利用等邊三角形的性質和三角形的內角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性質求得，進而求得即可求解．
【詳解】解：作點E關于射線的對稱點，過作于F，交射線于P，連接，如圖，則，
∴，此時的值最小，則，
∵是等邊三角形，
∴，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：7．
【變式訓練5-5】如圖，等邊中，為邊上的高，點M、N分別在、上，且，連、，當最小時，則 ， ．
【答案】
【分析】①過點C作，使得，證明，得到，那么當，，三點共線時，最短，求出此時的度數即可；
②過點N作于K，于G，設 ，等邊的邊長為，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半以及等腰直角三角形的性質，分別用和表示出和，然后利用三角形的面積公式表示兩個三角形的面積，化簡即可得出答案．
【詳解】
解：如圖1，過點C作，使得，連接，．
是等邊三角形，，，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
B，N，H共線時，的值最小，
如圖2中，當B，N，H共線時，
，，
，
∴當的值最小時，；
如圖3，過點N作于K，于G，設 ，等邊的邊長為，
則，，
，
，
在中，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：，
，，
在中，，
，
，
故答案為：，．
【點睛】
本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質，三角形的外角性質，等邊三角形的性質，兩點之間線段最短，30度所對的直角邊等于斜邊的一半，三角形的面積公式等知識點，學會添加輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．
題型六：直角三角形綜合題型
【經典例題6】如圖， 在中， 于F，于E， M為的中點．
(1)若 ，求的周長；
(2)若求的度數．
【答案】(1)14
(2)
【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟練應用以上性質是解題的關鍵．
（1）首先根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，進而得出的周長；
（2）根據等腰三角形的性質，得，，再根據三角形的內角和定理求出，，進而求出的度數，再根據等邊對等角，即可得出答案．
【詳解】（1）解：于F，于E，M為的中點，
，，
，，
的周長；
故的周長為14．
（2），
，，，
，，
，
∴
故的度數為．
【變式訓練6-1】如圖，在中，是邊上的高，是的平分線．
(1)若，求的度數：
(2)若，求的度數（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內角和是解題的關鍵．
（1）根據三角形的內角和得到，根據角平分線的定義得到，根據余角的定義得到，根據角的和差即可解答；
（2）同（1）思路即可解答．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練6-2】 如圖，在中，，直線經過點C，且于點D，于點E．
(1)當直線繞點C旋轉到圖1的位置時．求證：①；②；
(2)當直線繞點C旋轉到圖2的位置時．求證：；
(3)當直線繞點C旋轉到圖3的位置時．求證：．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查三角形內角和定理，直角三角形的性質，解題的關鍵在于熟練掌握全等三角形性質和判定．
（1）①利用三角形內角和定理和等量代換得到，再利用“”證明三角形全等，即可解題；②利用全等三角形性質得到，，再結合等量代換即可證明；
（2）由（1）①同理可證，利用全等三角形性質得到，，再結合等量代換即可證明：
（3）解題方法與（2）類似．
【詳解】（1）證明①在中，，
，
于D ，于E，
，
，
，
，
；
②，
，，
；
（2）證明：由（1）①同理可證，
，，
；
（3）解：，
理由如下：
由（1）①同理可證，
，，
．
【變式訓練6-3】如圖，是的高，是的角平分線，是的中線．
(1)若，，求的度數；
(2)若，與的周長差為3，求的長．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）根據三角形的高的概念得到，根據直角三角形的性質求出，根據角平分線的定義求出，根據三角形的外角性質計算即可；
（2）根據三角形的中線的概念得到，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【詳解】（1）是的高，
，
，
，
是的角平分線，，
，
；
（2）是中點，
，
與的周長差為3，
，
，
，
，
【點睛】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個頂點向對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高；三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．
【變式訓練6-4】如圖，在中，，D為延長線上一點，且于點E，交于點F．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)連接，若，，，求的長．
【答案】(1)答案見解析
(2)4
【分析】本題考查了等腰三角形的性質與判定，直角三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質與判定及直角三角形的性質是解題的關鍵．
（1）根據等腰三角形的性質得到，然后根據直角三角形的性質，即可逐步證明，再根據等腰三角形的判定，即可證明結論；
（2）先證明，得到，再根據直角三角形的性質，即得答案．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練6-5】如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點E，使．
(1)求證：；
(2)若F是的中點，連接，且，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)24
【分析】此題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的判定和性質、三角形內角和定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質是解題的關鍵．
（1）由等邊三角形的性質得到.進一步證明，，即可得到結論；
（2）求出，得到，則.即可得到，由是等邊三角形即可得答案．
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴.
又∵是中線，
∴平分，
∴.
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：由（1）可知，
又∵F是的中點，
∴.
∵，
∴.
又∵為直角三角形，
∴，
∴.
∵是中線，
∴
∵是等邊三角形，
∴，
∴的周長為
【變式訓練6-6】在中，，M是邊的中點，于點H，平分．
(1)求證：平分；
(2)過點M作的垂線交的延長線于點E，
①求證：；
②是什么三角形？證明你的猜想．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②是等腰直角三角形，理由見解析
【分析】（1）要證明平分，則需證明，因為平分．所以，所以只需要證明即可；通過直角三角形斜邊上的中線性質可得，從而得到，然后運用等量代換及同角的余角相等即可證明，則可證明結論；
（2）①通過同一平面內，垂直于同一直線的兩直線平行可以得到，然后運用二直線平行，內錯角相等及等量代換可得，從而根據等角對等邊可得；
②易得，從而得到是等腰三角形，再根據，即可證明是等腰直角三角形．
【詳解】（1）證明：中，，
∵M是邊的中點，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，
∴平分；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②是等腰直角三角形，理由如下：
∵且，
∴
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、角平分線的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
2.6直角三角形六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：直角三角形兩個銳角互余
【經典例題1】如圖，在中，是角平分線，，垂足為D，點D在點E的左側，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如圖，在中，，，平分，交于點D，若，則 ．
【變式訓練1-2】如圖，中，為的中線，，則 °．
【變式訓練1-3】如圖，直線，的頂點A在直線n上，，若，，求 ．
【變式訓練1-4】在直角三角形中，∠B=90°，∠A=2∠C，則的度數為 ．
【變式訓練1-5】如圖中，，垂直平分斜邊，交于D，E是垂足，連接，則 度．
題型二：含30°角的直角三角形
【經典例題2】如圖，在中，，，點是的中點；過點作交于點，，則的長度為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式訓練2-1】如圖，將一個有角的三角板的直角頂點放在一張寬為的紙帶邊沿上．另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成角，則三角板的直角邊的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖，在中，，，，，的長是 ．
【變式訓練2-3】如圖，在中，，，垂足為點，，，則的長為 ．
【變式訓練2-4】如圖，在中，垂直平分，分別交于點，平分，則的長為 ．
【變式訓練2-5】如圖，在四邊形中，，，連接，則的值為 ．
題型三：斜邊上的中線等于斜邊的一半
【經典例題3】如圖，在中，，，均為的高，連結交于點．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖，在中，，于點D，，E是斜邊的中點，連接，則的度數為 ．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，是斜邊上的中線，，則的長是 ．
【變式訓練3-3】如圖，在中，于點D，，E是的中點，則等于 ．
【變式訓練3-4】如圖，在中，，，D是的中點，，則 ．
【變式訓練3-5】如圖，在中，點在上，且，點為的中點，點為的中點，連接交于點，連接．
(1)求證：．
(2)若，求線段、、之間的數量關系．
題型四：銳角互余的三角形是直角三角形
【經典例題4】具備下列條件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練4-1】下列對的判斷，錯誤的是（ ）
A．若，，則是等邊三角形
B．若，則是直角三角形
C．若，，則是等腰三角形
D．若，，則
【變式訓練4-2】如圖，在中，是邊上的高，E是邊上一點，交于點M，且．求證：是直角三角形．
【變式訓練4-3】如圖，在中，D為上一點，，．
(1)判斷的形狀；
(2)判斷是否與垂直．
【變式訓練4-4】如圖，在中，，是的高．
(1)圖中有幾個直角三角形？是哪幾個？
(2)和有什么數量關系？并說明理由．
【變式訓練4-5】如圖，中，．
(1)試說明是的高；
(2)如果 ，求的長．
題型五：直角三角形中最值問題
【經典例題5】如圖，在中，，點為邊上的動點，當最小時，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練5-1】如圖，點C為直線上一個定點，點D為直線上一個動點，直線外有一點P，，當最短時，則的長是（ ）
A． B．2 C． D．4
【變式訓練5-2】如圖，點是等邊的邊的中點，，射線于點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當的值最小時，則長為 ．

【變式訓練5-3】如圖，，點在射線上，且，點、點分別是射線、上的動點，當最小時，則 ．
【變式訓練5-4】如圖，點E在等邊的邊上，，射線，垂足為點C，點P是射線上一動點，點F是線段上一動點，當的值最小時，，則的長為 ．
【變式訓練5-5】如圖，等邊中，為邊上的高，點M、N分別在、上，且，連、，當最小時，則 ， ．
題型六：直角三角形綜合題型
【經典例題6】如圖， 在中， 于F，于E， M為的中點．
(1)若 ，求的周長；
(2)若求的度數．
【變式訓練6-1】如圖，在中，是邊上的高，是的平分線．
(1)若，求的度數：
(2)若，求的度數（用含的式子表示）．
【變式訓練6-2】 如圖，在中，，直線經過點C，且于點D，于點E．
(1)當直線繞點C旋轉到圖1的位置時．求證：①；②；
(2)當直線繞點C旋轉到圖2的位置時．求證：；
(3)當直線繞點C旋轉到圖3的位置時．求證：．
【變式訓練6-3】如圖，是的高，是的角平分線，是的中線．
(1)若，，求的度數；
(2)若，與的周長差為3，求的長．
【變式訓練6-4】如圖，在中，，D為延長線上一點，且于點E，交于點F．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)連接，若，，，求的長．
【變式訓練6-5】如圖，是等邊三角形，是中線，延長至點E，使．
(1)求證：；
(2)若F是的中點，連接，且，求的周長．
【變式訓練6-6】在中，，M是邊的中點，于點H，平分．
(1)求證：平分；
(2)過點M作的垂線交的延長線于點E，
①求證：；
②是什么三角形？證明你的猜想．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑