資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2.7.1探索勾股定理（一）八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：用勾股定理理解三角形
【經(jīng)典例題1】若直角三角形中，有兩邊長(zhǎng)是3和4，則第三邊長(zhǎng)為 ．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，中，，是高，，，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練1-2】若直角三角形的三邊長(zhǎng)為5，12，，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，四邊形中，，且∠B=90°．求四邊形的面積．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，有一塊凹四邊形的綠地，，，，，，求這塊綠地的面積．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，在四邊形中，，，，，．

(1)求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形的面積．
題型二：勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題
【經(jīng)典例題2】有三個(gè)正整數(shù)，如果其中兩個(gè)數(shù)的平方的和等于第三個(gè)數(shù)的平方，那么這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù)，例如：3，4，5這三個(gè)數(shù)，因?yàn)椋梢杂?jì)算得出，所以3，4，5是勾股數(shù)．運(yùn)用上述信息進(jìn)行判斷，下列選項(xiàng)中是勾股數(shù)的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
【變式訓(xùn)練2-1】下列幾組數(shù)中，是勾股數(shù)的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③、、（k為正整數(shù)）；④
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【變式訓(xùn)練2-2】下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（ ）
A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1.5，2，2.5 D．5，11，12
【變式訓(xùn)練2-3】我們知道，以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，稱(chēng)3，4，5為勾股數(shù)組，記為，可以看作；同時(shí)8，6，10也為勾股數(shù)組，記為，可以看作．類(lèi)似的，依次可以得到第三個(gè)勾股數(shù)組．請(qǐng)根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律，寫(xiě)出第5個(gè)勾股數(shù)組： ．
【變式訓(xùn)練2-4】觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出第8組勾股數(shù)： ．
【變式訓(xùn)練2-5】勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”，觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，，；7，，；這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6，8，；8，，；若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為，為正整數(shù)），則弦是（結(jié)果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
題型三：以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積
【經(jīng)典例題3】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為，正方形A的邊長(zhǎng)為，正方形B的邊長(zhǎng)為，正方形C的邊長(zhǎng)為，則正方形D的邊長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，分別以直角三角形的三邊為斜邊向外作直角三角形，且，，，這三個(gè)直角三角形的面積分別為，且，，則（ ）
A． B．25 C．30 D．35
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用表示．若，則的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【變式訓(xùn)練3-3】如圖是勾股樹(shù)衍生圖案，它由若干個(gè)正方形和直角三角形構(gòu)成，，，，S 分別表示其對(duì)應(yīng)正方形的面積，若已知上方左右兩端的兩個(gè)正方形的面積分別是64，9，則的值為
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，所有涂色四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面積分別為，，，則正方形的面積為 ．
【變式訓(xùn)練3-5】在直線(xiàn)L上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別1、4、9，正放置的四個(gè)正方形的面積依次為，，，，則的值是 ．
【變式訓(xùn)練3-6】勾股定理是數(shù)學(xué)史上的兩個(gè)寶藏之一，小亮學(xué)習(xí)了數(shù)方格、借助于面積的方法知道了勾股定理，學(xué)習(xí)之余，他又對(duì)（）進(jìn)行了一系列的探究、猜想、驗(yàn)證和運(yùn)用，請(qǐng)你和他一起完成下面的過(guò)程：
(1)填空：
①如圖1，將放置在邊長(zhǎng)都為1的正方形網(wǎng)格中，則之間的關(guān)系是______．
②如圖2，假設(shè)以的三邊向形外作等邊三角形為：，若，則之間的關(guān)系是_______．
(2)如圖3，以的三邊為直徑向形外作半圓，若，那么你在（1）中所發(fā)現(xiàn)的之間的關(guān)系是否還成立，并說(shuō)明理由．
(3)如圖4，以的三邊為直徑向形外作半圓，已知陰影部分的面積為8，則______．（直接填寫(xiě)出結(jié)果）
題型四：勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題
【經(jīng)典例題4】如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，為的高，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、、是小正方形的頂點(diǎn)，則等于 度．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．若于點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在邊長(zhǎng)為的小正方形網(wǎng)格中，、、、、均為格點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在 個(gè)位置使得是腰長(zhǎng)為的等腰三角形．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的度數(shù)是 ．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在一個(gè)由4×4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)絡(luò)，陰影部分面積是 ．
【變式訓(xùn)練4-6】如圖，正方形網(wǎng)格中的，若小方格邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)解決下列問(wèn)題．
(1)________；________；________；
(2)求的面積；
(3)判斷是什么形狀，并說(shuō)明理由．
題型五：勾股定理與折疊問(wèn)題
【經(jīng)典例題5】如圖，長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為．則的面積為 （ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，在長(zhǎng)方形中，、，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，將沿直線(xiàn)折疊，點(diǎn)剛好落在邊上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將其沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，的長(zhǎng)為（ ）
A．7 B． C． D．15
【變式訓(xùn)練5-3】 在長(zhǎng)方形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，延長(zhǎng)，與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（　　）
A． B． C．4 D．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，將矩形折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，折痕為，若，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為 ．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，將，分別沿，翻折使得A與重合，B與重合，若，則 ．
【變式訓(xùn)練5-6】直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線(xiàn)對(duì)折，使它落在斜邊上，且與重合，求的長(zhǎng)．
題型六：利用勾股定理求兩條線(xiàn)段的平方和（差）
【經(jīng)典例題6】對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，若，，則 ．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，在中，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足條件：，．若，，，則 ．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于 ．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，在中，．
(1)求證：；
(2)當(dāng)，，時(shí)，求的值．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，中，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：.
(2)若，，，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，在中，已知，是斜邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的周長(zhǎng)及的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練6-6】如圖，E、F是等腰的斜邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，且．

求證：
(1)；
(2)．
題型七：利用勾股定理證明線(xiàn)段關(guān)系
【經(jīng)典例題7】如圖，，直線(xiàn) 與 的兩邊分別交于 ， 兩點(diǎn)，作等邊三角形 ，使點(diǎn) 在 內(nèi)部，在 外部．
(1)求 的度數(shù)．
(2)用等式表示線(xiàn)段 ，， 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式訓(xùn)練7-1】如圖，，垂足為．

圖1 圖2
(1)求證：；（圖1）
(2)求的度數(shù)；（圖1）
(3)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：；并猜想的關(guān)系．
【變式訓(xùn)練7-2】在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．
(1)若點(diǎn)G在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，（如圖①），求證：；
(2)若直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)M，N（如圖②），求證：；
(3)若．求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．
(4)將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形（如圖③），，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的面積．
【變式訓(xùn)練7-3】我們定義：如果兩個(gè)等腰三角形頂角相等，且頂角頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉手全等模型”．
(1)例如，如圖1，與都是等腰三角形，其中，則________（________）；
(2)類(lèi)比：如圖2，已知與都是等腰三角形，，，且，求證：；
(3)拓展：如圖3，，，，試探索線(xiàn)段，，之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明結(jié)論．
【變式訓(xùn)練7-4】在和中，點(diǎn)在邊上，，，．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練7-5】圖1，中，，D，E是直線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，且．探究線(xiàn)段、、三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2，將沿折疊，得，連接，看能否將三條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，…請(qǐng)你參照小明的思路，探究并解決下列問(wèn)題：
(1)猜想、、三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(2)如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明．
題型八：勾股定理的證明方法
【經(jīng)典例題8】勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練8-1】下面四幅圖中，能證明勾股定理的有（ ）
A．一幅 B．兩幅 C．三幅 D．四幅
【變式訓(xùn)練8-2】勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，聰聰在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，突發(fā)靈感，給出了如下拼圖：兩個(gè)全等的直角三角板和直角三角板，頂點(diǎn)D在邊上，頂點(diǎn)B、F重合，連接．設(shè)交于點(diǎn)G，若，，，．請(qǐng)你回答以下問(wèn)題：
(1)填空：　　　，　　　；
(2)請(qǐng)用兩種方法計(jì)算四邊形的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理．
【變式訓(xùn)練8-3】將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示的方式放置，三角形的長(zhǎng)直角邊記為a，短直角邊記為b，斜邊記為c，試通過(guò)各部分圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．
【變式訓(xùn)練8-4】請(qǐng)你利用如圖圖形證明勾股定理：在四邊形中，于點(diǎn)E，且．求證：．
【變式訓(xùn)練8-5】用圖1所示的四個(gè)全等的直角三角形可以拼成圖2的大正方形．
請(qǐng)根據(jù)信息解答下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)用含a，b，c的代數(shù)式表示大正方形的面積．
方法1：______．
方法2：______．
(2)根據(jù)圖2，求出a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系．
(3)如果大正方形的邊長(zhǎng)為10，且，求小正方形的邊長(zhǎng)．
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2.7.1探索勾股定理（一）八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：用勾股定理理解三角形
【經(jīng)典例題1】若直角三角形中，有兩邊長(zhǎng)是3和4，則第三邊長(zhǎng)為 ．
【答案】5或
【分析】本題考查了勾股定理，分第三邊為斜邊和斜邊長(zhǎng)為4兩種情況，分別根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可，能夠分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在直角三角形中，
①當(dāng)?shù)谌厼樾边叄瑒t第三邊長(zhǎng)為；
②當(dāng)斜邊長(zhǎng)為4，則第三邊長(zhǎng)為；
綜上，第三邊長(zhǎng)為5或；
故答案為：5或．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，中，，是高，，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，由題意可得，由勾股定理得出，同理得出，最后再由勾股定理即可得出答案．
【詳解】解：∵中，，，，
∴，
∴，
∵是高，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練1-2】若直角三角形的三邊長(zhǎng)為5，12，，則的值為 ．
【答案】119或169
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是分情況討論，避免遺漏．分長(zhǎng)為的邊為斜邊和直角邊兩種情況討論，利用勾股定理分別求解即可．
【詳解】解：當(dāng)長(zhǎng)為的邊為斜邊時(shí)，可有，
當(dāng)長(zhǎng)為的邊為直角邊時(shí)，可有，
綜上所述，的值為119或169．
故答案為：119或169．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，四邊形中，，且∠B=90°．求四邊形的面積．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理證明，最后根據(jù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接，
在中， 由勾股定理得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，有一塊凹四邊形的綠地，，，，，，求這塊綠地的面積．
【答案】這塊空地的面積是
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，連接，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理說(shuō)明，最后根據(jù)得出答案．
【詳解】解：連接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形面積為：
．
答：這塊空地的面積是．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，在四邊形中，，，，，．

(1)求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形的面積．
【答案】(1)的長(zhǎng)為
(2)四邊形的面積為
【分析】本題考查勾股定理及其逆定理：
（1）利用勾股定理解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，則四邊形的面積等于與面積之和．
【詳解】（1）解：，
，
，，
，
的長(zhǎng)為；
（2），，
，
是直角三角形，
∠D=90°，
四邊形的面積的面積的面積
，
四邊形的面積為．
題型二：勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題
【經(jīng)典例題2】有三個(gè)正整數(shù)，如果其中兩個(gè)數(shù)的平方的和等于第三個(gè)數(shù)的平方，那么這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù)，例如：3，4，5這三個(gè)數(shù)，因?yàn)椋梢杂?jì)算得出，所以3，4，5是勾股數(shù)．運(yùn)用上述信息進(jìn)行判斷，下列選項(xiàng)中是勾股數(shù)的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4
【答案】B
【分析】本題考查勾股數(shù)，根據(jù)題意給出的勾股數(shù)的定義，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，不符合題意；
B、，符合題意；
C、，不符合題意；
D、，不符合題意；
故選B．
【變式訓(xùn)練2-1】下列幾組數(shù)中，是勾股數(shù)的有（ ）
①5、12、13；②13、14、15；③、、（k為正整數(shù)）；④
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】B
【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．勾股數(shù)是滿(mǎn)足 的三個(gè)正整數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：滿(mǎn)足 的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)，
④中的數(shù)據(jù)不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)；
①滿(mǎn)足，故是勾股數(shù)；
②，故不是勾股數(shù)；
③由于k為正整數(shù)，則、、為正整數(shù)，且，
故是勾股數(shù)，
∴是勾股數(shù)的有2組，
故選：B．
【變式訓(xùn)練2-2】下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（ ）
A．7，24，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1.5，2，2.5 D．5，11，12
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，勾股數(shù)必須是正整數(shù)．欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小小數(shù)的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．
【詳解】解：A選項(xiàng)，，7，24，25是勾股數(shù)；
B選項(xiàng)，三個(gè)數(shù)都不是正整數(shù)，0.3，0.4，0.5不是勾股數(shù)；
C選項(xiàng)，1.5和2.5不是正整數(shù)，1.5，2，2.5不是勾股數(shù)；
D選項(xiàng)，，5，11，12不是勾股數(shù)；
故選：A．
【變式訓(xùn)練2-3】我們知道，以3，4，5為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，稱(chēng)3，4，5為勾股數(shù)組，記為，可以看作；同時(shí)8，6，10也為勾股數(shù)組，記為，可以看作．類(lèi)似的，依次可以得到第三個(gè)勾股數(shù)組．請(qǐng)根據(jù)上述勾股數(shù)組規(guī)律，寫(xiě)出第5個(gè)勾股數(shù)組： ．
【答案】
【分析】本題考查數(shù)字型規(guī)律探究、勾股數(shù)，能從數(shù)字等式中找到變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．
根據(jù)給出的3組數(shù)以及勾股數(shù)的定義即可得出答案．
【詳解】解：上述四組勾股數(shù)組的規(guī)律是：，
即，
∴
所以第5個(gè)勾股數(shù)組為，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練2-4】觀察下列幾組勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根據(jù)上面的規(guī)律，寫(xiě)出第8組勾股數(shù)： ．
【答案】17，144，145
【分析】觀察得出規(guī)律：第組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)為，第二個(gè)數(shù)為，第三個(gè)數(shù)為，即可解決問(wèn)題．本題考查了勾股數(shù)的運(yùn)用以及數(shù)字規(guī)律．
【詳解】解：①；；．
②；；．
③；；．
④；；．
則第組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)為：，
第二個(gè)數(shù)為：，
第三個(gè)數(shù)為：，
第8組勾股數(shù)為：17，144，145，
故答案為：17，144，145．
【變式訓(xùn)練2-5】勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”，觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，，；7，，；這類(lèi)勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6，8，；8，，；若此類(lèi)勾股數(shù)的勾為，為正整數(shù)），則弦是（結(jié)果用含的式子表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股數(shù)，熟練掌握勾股定理求勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．
由題意得為偶數(shù)，設(shè)其股是，則弦為，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：∵為正整數(shù)，
∴為偶數(shù)，
設(shè)其股是，則弦為，
由勾股定理得，，
解得，
弦是，
故選：A．
題型三：以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積
【經(jīng)典例題3】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為，正方形A的邊長(zhǎng)為，正方形B的邊長(zhǎng)為，正方形C的邊長(zhǎng)為，則正方形D的邊長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得正方形A的邊長(zhǎng)為，正方形B的邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，，結(jié)合正方形C的邊長(zhǎng)為，則正方形D的邊長(zhǎng)為，解答即可．
本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，利用直角三角形的邊長(zhǎng)與正方形的面積的關(guān)系，結(jié)合勾股定理計(jì)算判斷即可．
【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，得正方形A的邊長(zhǎng)為，正方形B的邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，，結(jié)合正方形C的邊長(zhǎng)為，則正方形D的邊長(zhǎng)為．
故選B．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，分別以直角三角形的三邊為斜邊向外作直角三角形，且，，，這三個(gè)直角三角形的面積分別為，且，，則（ ）
A． B．25 C．30 D．35
【答案】B
【分析】本題考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)為直角三角形且，可得到，同理可得到及，在中，由勾股定理得出：，繼而可得，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵為直角三角形，且，
∴在中，有，
∴，
∴，
同理可得：，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
故選：B．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用表示．若，則的值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本題主要考查了勾股定理，正方形面積，根據(jù)勾股定理，結(jié)合正方形的面積公式即可求解
【詳解】解：在中，由勾股定理得，，
∵以的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用表示．
∴,
∴
∴,
故選：C
【變式訓(xùn)練3-3】如圖是勾股樹(shù)衍生圖案，它由若干個(gè)正方形和直角三角形構(gòu)成，，，，S 分別表示其對(duì)應(yīng)正方形的面積，若已知上方左右兩端的兩個(gè)正方形的面積分別是64，9，則的值為
【答案】55
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)勾股定理可得，，，，然后列式解答即可．
【詳解】解：建立如圖的數(shù)據(jù)，
由題意得，，，，，，
∴
，
故答案為：55．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，所有涂色四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形．若正方形，，的面積分別為，，，則正方形的面積為 ．
【答案】18
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，理解并掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．設(shè)正方形，，，的邊長(zhǎng)分別為，中間正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而可得，即可獲得答案．
【詳解】解：如下圖，設(shè)正方形，，，的邊長(zhǎng)分別為，中間正方形的邊長(zhǎng)為，
根據(jù)題意，可得，
∵所有三角形都是直角三角形，
∴，
∴，
即正方形的面積為18．
故答案為：18．
【變式訓(xùn)練3-5】在直線(xiàn)L上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別1、4、9，正放置的四個(gè)正方形的面積依次為，，，，則的值是 ．
【答案】10
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，本題中證明是解題的關(guān)鍵．
證，得，同理，．
【詳解】解：如圖所示，
在和中，
，
，
，，
，
同理可證，
．
故答案為：10．
【變式訓(xùn)練3-6】勾股定理是數(shù)學(xué)史上的兩個(gè)寶藏之一，小亮學(xué)習(xí)了數(shù)方格、借助于面積的方法知道了勾股定理，學(xué)習(xí)之余，他又對(duì)（）進(jìn)行了一系列的探究、猜想、驗(yàn)證和運(yùn)用，請(qǐng)你和他一起完成下面的過(guò)程：
(1)填空：
①如圖1，將放置在邊長(zhǎng)都為1的正方形網(wǎng)格中，則之間的關(guān)系是______．
②如圖2，假設(shè)以的三邊向形外作等邊三角形為：，若，則之間的關(guān)系是_______．
(2)如圖3，以的三邊為直徑向形外作半圓，若，那么你在（1）中所發(fā)現(xiàn)的之間的關(guān)系是否還成立，并說(shuō)明理由．
(3)如圖4，以的三邊為直徑向形外作半圓，已知陰影部分的面積為8，則______．（直接填寫(xiě)出結(jié)果）
【答案】(1)①；②
(2)還成立，理由見(jiàn)解析
(3)8
【分析】（1）①根據(jù)正方形的面積公式、勾股定理，理由網(wǎng)格計(jì)算，得到答案；
②由勾股定理和等邊三角形的面積公式可求解；
（2）由勾股定理和半圓的面積公式可求解；
（3）由面積的和差關(guān)系可求解．
【詳解】（1）解：①，理由如下：
由網(wǎng)格可知：，，，
、、之間的關(guān)系是，
故答案為：；
②，理由如下：
，，，，
；
故答案為：；
（2）解：還成立，理由如下：
，，，，
；
；
（3）解：圖中陰影部分的面積，，
．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理找到面積的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題型四：勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題
【經(jīng)典例題4】如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，為的高，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意利用割補(bǔ)法求得的面積，利用勾股定理算出的長(zhǎng)，再利用等面積法即可求得的長(zhǎng)．
【詳解】由題可得：
，
，
∴，
解得：，
故選：D．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、、是小正方形的頂點(diǎn)，則等于 度．
【答案】45
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
連接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形即可．
【詳解】解：如圖：連接，
由勾股定理得：,
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴．
故答案為：45．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．若于點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為
【答案】2
【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面積公式得到的面積，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：由勾股定理得：，，，
，，，
，
是直角三角形，
，
的面積，
，
．
故答案為：2．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在邊長(zhǎng)為的小正方形網(wǎng)格中，、、、、均為格點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在 個(gè)位置使得是腰長(zhǎng)為的等腰三角形．
【答案】
【分析】本題主要考查等腰三角形的判定，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的定義畫(huà)出圖形即可．
【詳解】解：如圖，滿(mǎn)足條件的等腰三角形有個(gè)，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的度數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握運(yùn)用勾股定理判斷三角形成為直角三角形成為解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)勾股定理求得，再運(yùn)用勾股定理逆定理證明，進(jìn)而得到；同理得，最后根據(jù)角的和差即可解答．
【詳解】解：如圖：連接，
∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，
∴根據(jù)勾股定理可得 ，
∵在 中，
，
又，
，
同理得，
．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在一個(gè)由4×4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)絡(luò)，陰影部分面積是 ．
【答案】
【分析】此題考查了勾股定理及正方形的面積的計(jì)算．結(jié)合網(wǎng)格圖，利用勾股定理求正方形邊長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．先利用勾股定理計(jì)算得長(zhǎng)，再利用正方形面積公式即可求得答案．
【詳解】∵為直角三角形，由勾股定理得：
，
故易知陰影為正方形，
故
故答案為：
【變式訓(xùn)練4-6】如圖，正方形網(wǎng)格中的，若小方格邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)解決下列問(wèn)題．
(1)________；________；________；
(2)求的面積；
(3)判斷是什么形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)直角三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，割補(bǔ)法求三角形的面積，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)勾股定理求解即可；
（2）用割補(bǔ)法求解即可；
（3）根據(jù)勾股定理逆定理求解即可．
【詳解】（1），，
故答案為：
（2）的面積
故答案為：5
（3）∵
∴是直角三角形．
題型五：勾股定理與折疊問(wèn)題
【經(jīng)典例題5】如圖，長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為．則的面積為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，設(shè)，在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，利用面積公式求出的面積即可．
【詳解】解：∵四邊形為長(zhǎng)方形，
∴，
∵折疊，
∴，
設(shè)，則：，
在中，，即：，
解得：；
即：，
∴的面積為．
故選：A．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，在長(zhǎng)方形中，、，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，將沿直線(xiàn)折疊，點(diǎn)剛好落在邊上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及用勾股定理解三角形，熟練掌握長(zhǎng)方形的性質(zhì)折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題關(guān)鍵．
根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)得到，，由折疊性質(zhì)得到，，然后利用股股定理，得到，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理得，列出關(guān)于的方程，求解即可得出答案．
【詳解】解：四邊形為長(zhǎng)方形，，，
將沿直線(xiàn)折疊，點(diǎn)剛好落在邊上的點(diǎn)處，
，，
在中，，
，
設(shè)，則，，
在中，，
即，
解得：，
即的長(zhǎng)為，
故選：C
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將其沿直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，的長(zhǎng)為（ ）
A．7 B． C． D．15
【答案】B
【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，根據(jù)題意得：，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得，
故選：B．
【變式訓(xùn)練5-3】 在長(zhǎng)方形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，延長(zhǎng)，與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作，可得，設(shè)，勾股定理求出的長(zhǎng)，表示出的長(zhǎng)，等積法列出方程求出的值即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，
∵長(zhǎng)方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
設(shè)，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故選：B．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，將矩形折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)D落在點(diǎn)處，折痕為，若，當(dāng)時(shí)，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理．根據(jù)題意設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)，證明，即可得出，，，利用兩次勾股定理即可得出答案．
【詳解】解：∵矩形經(jīng)得到點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，，，
在中，
，
∴ ，
∴，
則
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得：，
∴．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，將，分別沿，翻折使得A與重合，B與重合，若，則 ．
【答案】3
【分析】連接，依據(jù)勾股定理以及直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到的長(zhǎng)，進(jìn)而得出是等腰三角形；再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出與相等，進(jìn)而得到是等腰三角形，即可得出的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖所示，連接，
設(shè)，，
在中，，，，
，
中，是的中點(diǎn)，
，
又，
，
，即，
，
又，
，
∴，
又∵，
∴，
，
又，
，
，即，
，
，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，直角三角形斜邊上中線(xiàn)，等腰三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．
【變式訓(xùn)練5-6】直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿直線(xiàn)對(duì)折，使它落在斜邊上，且與重合，求的長(zhǎng)．
【答案】
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識(shí)．先根據(jù)勾股定理求出，由折疊可得：，，，進(jìn)而求出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：兩直角邊，，
，
由折疊可得：，，，
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
．
題型六：利用勾股定理求兩條線(xiàn)段的平方和（差）
【經(jīng)典例題6】對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，若，，則 ．
【答案】73
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．
在和中，根據(jù)勾股定理得，進(jìn)一步得，再根據(jù)，然后根據(jù)等量代換即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，根據(jù)勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案為：73．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，在中，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足條件：，．若，，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查的是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
連接，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，證明，進(jìn)而求出DC，再用勾股定理即可得結(jié)論．
【詳解】解：連接，
是的垂直平分線(xiàn)，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于 ．
【答案】69
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．
【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2 AD2，
CD2＝AC2 AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2 AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2 AD2＋MD2，
∴MC2 MB2＝（AC2 AD2＋MD2） （AB2 AD2＋MD2），
＝132 102，
＝69．
故答案為：69．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，在中，．
(1)求證：；
(2)當(dāng)，，時(shí)，求的值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
【分析】本題考查了勾股定理和平方差公式的相關(guān)證明和計(jì)算及解二元一次方程組，熟練掌握和運(yùn)用勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）在和中，分別運(yùn)用勾股定理可得，，利用邊相等，聯(lián)立兩式移項(xiàng)即得證．
（2）根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論，可求出的值，利用平方差公式，結(jié)合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出．
【詳解】（1）證明： ，
在和中，根據(jù)勾股定理得，
，，
，
移項(xiàng)得：．
故．
（2）解： ，，
，
，
，即，
，
，解得，
，
．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，中，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：.
(2)若，，，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂線(xiàn)的性質(zhì)；
（1）延長(zhǎng)至使，連接，證明，從而得，，由得為中垂線(xiàn)，故，在中根據(jù)勾股定理即可的結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論可得，，在中利用勾股定理即可解決．
【詳解】（1）證明：作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：設(shè)，
，，，
則，
，
，
，
即：，
由（1）知：，，，
，，
，
，
即：，
解得：，
即：．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，在中，已知，是斜邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求的周長(zhǎng)及的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)的周長(zhǎng)為，
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
（1）由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，在利用勾股定理建立線(xiàn)段的平方關(guān)系，再等量代換即可求證；
（2）在中，由勾股定理得的長(zhǎng)度，結(jié)合線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、勾股定理，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵是斜邊的中點(diǎn)，，
∴是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵是斜邊的中點(diǎn)，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周長(zhǎng)為.
∵
∴，
即，
解得：．
【變式訓(xùn)練6-6】如圖，E、F是等腰的斜邊BC上的兩動(dòng)點(diǎn)，且．

求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)條件證即可；
（2）根據(jù)條件證，從而得到．由（1）得．進(jìn)而在中，根據(jù)勾股定理即可求證．
【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，
，，
∵，∴，
，
在和中，
∴，
∴；
（2）證明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在與中，
∴，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì)，利用勾股定理證明線(xiàn)段的平方關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)已知條件進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．
題型七：利用勾股定理證明線(xiàn)段關(guān)系
【經(jīng)典例題7】如圖，，直線(xiàn) 與 的兩邊分別交于 ， 兩點(diǎn)，作等邊三角形 ，使點(diǎn) 在 內(nèi)部，在 外部．
(1)求 的度數(shù)．
(2)用等式表示線(xiàn)段 ，， 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)，勾股定理，全等三角形，作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角的和差得到，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義解題即可；
（2）過(guò)B作，使，連接，．可以得到，進(jìn)而得到，，，根據(jù)為等邊三角形得到，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），
證明如下：過(guò)B作，使，連接，，
∵為等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練7-1】如圖，，垂足為．
圖1 圖2
(1)求證：；（圖1）
(2)求的度數(shù)；（圖1）
(3)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：；并猜想的關(guān)系．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)見(jiàn)解析；
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；
（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出的條件；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到的度數(shù)；
（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識(shí)，結(jié)合勾股定理即可得出的關(guān)系．
【詳解】（1）證明：，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
；
（3）；
證明：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
又，
，
．
【變式訓(xùn)練7-2】在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．
(1)若點(diǎn)G在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，（如圖①），求證：；
(2)若直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)M，N（如圖②），求證：；
(3)若．求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．
(4)將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形（如圖③），，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)
(4)
【分析】（1）證得，進(jìn)一步得，即可求證；
（2）將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則，．由（1）知；根據(jù)題意可推出均為等腰直角三角形，結(jié)合即可求證；
（3）根據(jù)為等腰直角三角形即可求解；
（4）延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于M點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于N點(diǎn)，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過(guò)點(diǎn)H作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O，可證；由題意得為等腰直角三角形，推出；證明四邊形是矩形推出；根據(jù)，通過(guò)線(xiàn)段之間的等量關(guān)系可得出，即可求解；
【詳解】（1）證明：由題意得：
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
（2）證明：將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．
則，．
由（1）知，
∴．
∵，
∴，
∴均為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
（3）解：由（2）可知：為等腰直角三角形，
∴
（4）解：延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于M點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于N點(diǎn)，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過(guò)點(diǎn)H作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O，如圖所示：
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即
又∵，
∴
即：
∵，
∴
∵為等腰直角三角形，
∴的面積
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何綜合問(wèn)題，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握舉一反三的數(shù)學(xué)思想，作出正確的輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-3】我們定義：如果兩個(gè)等腰三角形頂角相等，且頂角頂點(diǎn)互相重合，則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”．因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象的可以看作兩雙手，所以通常稱(chēng)為“手拉手全等模型”．
(1)例如，如圖1，與都是等腰三角形，其中，則________（________）；
(2)類(lèi)比：如圖2，已知與都是等腰三角形，，，且，求證：；
(3)拓展：如圖3，，，，試探索線(xiàn)段，，之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明結(jié)論．
【答案】(1)，
(2)見(jiàn)解析
(3)，見(jiàn)解析
【分析】（1）先證，再根據(jù)即可證明；
（2）先證，再根據(jù)即可證明；
（3）連接，先證，則可得，，進(jìn)而可得．
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理．熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵與都是等腰三角形，
∴，
又∵
∴，即，
在和中，，
∴．
故答案為： ，
（2）證明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
連接，如圖所示：
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【變式訓(xùn)練7-4】在和中，點(diǎn)在邊上，，，．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
【答案】(1)，理由見(jiàn)詳解
(2)
【分析】（1）依題意得和均為等腰直角三角形，則，證和全等得，，則，然后在中由勾股定理可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）連接，，過(guò)斷作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，依題意得和均為等邊三角形，則，同理可證和全等得，，則，進(jìn)而得，，由此可求出，，設(shè)，則，，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，則，然后在中由勾股定理求出即可得的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：，，之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：
當(dāng)時(shí)，則，
，，
和均為等腰直角三角形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即；
（2）解：連接，，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，如下圖所示：
當(dāng)時(shí)，，
，，
和均為等邊三角形，
，
同理可證：，
，，
，
，
，
在中，，，
，由勾股定理得：，
設(shè)，則，
，，
，
，
為等邊三角形，，
是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，理解等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理構(gòu)造方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練7-5】圖1，中，，D，E是直線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，且．探究線(xiàn)段、、三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2，將沿折疊，得，連接，看能否將三條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，…請(qǐng)你參照小明的思路，探究并解決下列問(wèn)題：
(1)猜想、、三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(2)如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明．
【答案】(1)
(2)不變，，證明見(jiàn)詳解
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
（1）通過(guò)證明，得到，在中，有，即；
（2）作，且截取，連接，連接，先證明，再證明，則，在 中，，即．
【詳解】（1）解：，
∵中，，
∴，
將沿折疊，得，連接
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，有，即．
（2）解：結(jié)論不變，
作，且截取，連接，連接，
∵
，
∴，，
又，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
在 中，，即．
題型八：勾股定理的證明方法
【經(jīng)典例題8】勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查勾股定理的證明過(guò)程，關(guān)鍵是要牢記勾股定理的概念，在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．分別利用每個(gè)圖形面積的兩種不同的計(jì)算方法，再建立等式，再整理即可判斷．
【詳解】解：A、由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積，
，
整理可得，故A選項(xiàng)可以證明勾股定理；
B、大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，
，
整理得，故B選項(xiàng)可以證明勾股定理，
C、大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，
，
整理得，故C選項(xiàng)可以證明勾股定理，
D、大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和，
，
以上公式為完全平方公式，故D選項(xiàng)不能說(shuō)明勾股定理，
故選：D．
【變式訓(xùn)練8-1】下面四幅圖中，能證明勾股定理的有（ ）
A．一幅 B．兩幅 C．三幅 D．四幅
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理的證明，先表示出圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴整理得：，即能證明勾股定理，故符合題意；
如圖，
∴，
∴不能證明勾股定理，故不符合題意；
如圖，
∵，
∴整理得：，即能證明勾股定理，故符合題意；
如圖，
∵，
∴整理得：，即能證明勾股定理，故符合題意；
故選C．
【變式訓(xùn)練8-2】勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，聰聰在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，突發(fā)靈感，給出了如下拼圖：兩個(gè)全等的直角三角板和直角三角板，頂點(diǎn)D在邊上，頂點(diǎn)B、F重合，連接．設(shè)交于點(diǎn)G，若，，，．請(qǐng)你回答以下問(wèn)題：
(1)填空：　　　，　　　；
(2)請(qǐng)用兩種方法計(jì)算四邊形的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理．
【答案】(1)，
(2)，，證明見(jiàn)解析
【分析】本題考查了圖形的面積計(jì)算以及勾股定理的證明
（1）根據(jù)全等的性質(zhì)得到，然后利用互余的性質(zhì)證明即可；
（2）結(jié)合（1）小問(wèn)的結(jié)論用兩種面積算法證明即可；
熟知數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是關(guān)鍵
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
；
，
，
故答案為：90，；
（2）方法一∶
方法二：
根據(jù)上面的方法可得出
【變式訓(xùn)練8-3】將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示的方式放置，三角形的長(zhǎng)直角邊記為a，短直角邊記為b，斜邊記為c，試通過(guò)各部分圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，連接， 首先說(shuō)明再用兩種方法表示出四邊形的面積，化簡(jiǎn)即可，運(yùn)用兩種方法表示四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，如圖：
∵兩個(gè)三角形全等，
∴四邊形的面積為：
．
【變式訓(xùn)練8-4】請(qǐng)你利用如圖圖形證明勾股定理：在四邊形中，于點(diǎn)E，且．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】連接，根據(jù)四邊形面積的兩種不同表示形式，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可求解．本題考查了勾股定理的證明，解題時(shí)，利用了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)．
【詳解】證明：如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
∴
即．
【變式訓(xùn)練8-5】用圖1所示的四個(gè)全等的直角三角形可以拼成圖2的大正方形．
請(qǐng)根據(jù)信息解答下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)用含a，b，c的代數(shù)式表示大正方形的面積．
方法1：______．
方法2：______．
(2)根據(jù)圖2，求出a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系．
(3)如果大正方形的邊長(zhǎng)為10，且，求小正方形的邊長(zhǎng)．
【答案】(1)；[或]
(2)
(3)小正方形的邊長(zhǎng)為2
【分析】本題考查勾股定理的幾何背景，完全平方公式與幾何圖形的面積：
（1）直接法和分割法兩種方法表示出大正方形的面積即可；
（2）根據(jù)等積法得到數(shù)量關(guān)系即可；
（3）利用完全平方公式變形求值即可．
【詳解】（1）解：方法一：大正方形的面積=；
方法二：大正方形的面積=；
（2）由（1）可知：，
整理，得：；
（3）由（2）可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴小正方形的面積為，
∴小正方形的邊長(zhǎng)為2．
【變式訓(xùn)練8-6】如圖，，，且、、三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，試?yán)眠@個(gè)圖形證明勾股定理公式．
【答案】見(jiàn)詳解
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理證明．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
由圖知，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，用字母表示出來(lái)，化簡(jiǎn)后，即證明勾股定理．
【詳解】證明：∵，
，
，
，
三個(gè)直角三角形其面積分別為和．
直角梯形的面積為．
由圖形可知：，
整理得，
∴．
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