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2.7.2探索勾股定理（二）十一大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：以弦圖為背景的計算題
【經典例題1】在數學實踐課上，老師給每位同學準備了四塊全等的直角三角形紙板，小邦同學拿到紙板后隨手做拼圖游戲，結果拼出如圖所示的圖形，小友同學熱愛思考，借助這個圖形設計了一道數學題：如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形中，C、D、E在同一直線上，設，，則的長是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的應用．設，則，求得，在中，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：設，則，
∵，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴，
故選：B．
【變式訓練1-1】如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間陰影部分是一個小正方形，這樣就組成一個“趙爽弦圖”．若，，則的面積為（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【分析】本題考查勾股定理的應用，利用中間小正方形的面積=大正方形的面積個全等的直角三角形的面積，求出即可．
【詳解】解：有圖形可得：個全等的直角三角形的面積=大正方形的面積中間小正方形的面積，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練1-2】如圖，是個全等的直角三角形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積是，小正方形的面積是，若用表示直角三角形的兩條直角邊（），請觀察圖案，下列式子不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理，完全平方公式，由圖可得，，即可判斷；進而由完全平方公式可得，即可判斷；正確識圖是解題的關鍵．
【詳解】解：由圖形可得，，，故正確；
∴，故正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故正確；
∵，
∴，故錯誤；
故選：．
【變式訓練1-3】勾股定理被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成的．記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，，若正方形的邊長為6，則 ．
【答案】108
【分析】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式，設全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且，則，，，先證明，再證明，即可得到答案．
【詳解】解：設全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b，且，
由題意可知：，，，
∵正方形的邊長為6，
∴，
∴
，
故答案為：108．
【變式訓練1-4】如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，若圖1中的直角三角形的長直角邊為5，大正方形的面積為29，連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，求圖3中陰影部分的面積
【答案】21
【分析】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型．利用勾股定理，求出，從而得到，再由陰影部分的面積等于大正方形的面積減去空白部分面積，即可求解．
【詳解】解：如圖，
根據題意得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積為．
故答案為：21
【變式訓練1-5】如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，小正方形的面積為6，則大正方形的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理，由題意可知，中間小正方形的邊長為，根據勾股定理以及題目給出的已知數據即可求出大正方形的面積為．
【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為，
，即①，
∵，
②，
得，
∴大正方形的面積，
故答案為：．
【變式訓練1-6】閱讀材料，解決問題：
三國時期吳國的數學家趙爽創建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關系．如圖2，這是由8個全等的直角邊長分別為，，斜邊長為的三角形拼成的“弦圖”．
(1)在圖2中，正方形的面積可表示為______，正方形的面積可表示為______（用含，的式子表示）；
(2)請結合圖2用面積法說明，，三者之間的等量關系；
(3)已知，，求正方形的面積．
【答案】(1)；
(2)；
(3)正方形的面積為39
【分析】本題考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面積，關鍵是應用正方形的面積公式進行計算．
（1）由正方形面積公式即可得到答案；
（2）由正方形的面積正方形的面積直角三角形的面積，即可得到答案；
（3）由正方形的面積正方形的面積直角三角形的面積，得到正方形的面，代入有關數據即可計算．
【詳解】（1）解：正方形的面積可表示為，正方形的面積可表示為．
故答案為：；；
（2）解：正方形的面積正方形的面積直角三角形的面積，
，
；
（3）解：正方形的面積正方形的面積直角三角形的面積，
正方形的面積．
題型二：勾股定理與無理數
【經典例題2】如圖所示，以數軸上的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數4的點為圓心、正方形的對角線長為半徑畫弧，交數軸于點A，則點A表示的數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查勾股定理及數軸上兩點間距離公式，熟記勾股定理的公式是解題的關鍵．根據勾股定理的公式算出正方形的對角線長，即可得到答案．
【詳解】解：根據題意得數軸上正方形的邊長為4，
則正方形的對角線長為：，
則點A表示的數為
故選：D．
【變式訓練2-1】如圖，在中，，，在數軸上，以原點為圓心，斜邊的長為半徑畫弧，交負半軸于一點，則這個點表示的實數是（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理和用數軸上的點表示無理數，熟練掌握知識點是解題的關鍵，先利用勾股定理求出的長度，再根據在數軸的正負半軸求解即可．
【詳解】在中，，，
∴，
∵以原點為圓心，斜邊的長為半徑畫弧，交負半軸于一點，
∴這個點表示的實數是，
故選：B．
【變式訓練2-2】如圖，在數軸上點表示原點，點表示的數為，，垂足為，且，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數軸正半軸于點，則點表示的數為 ．
【答案】
【分析】本題考查了實數與數軸，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，據此即可求解，掌握勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵點表示原點，點表示的數為
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴點表示的數為，
故答案為：．
【變式訓練2-3】（1）如圖①，半徑為1個單位長度的圓沿數軸從實數－1對應的點向右滾動一周，圓上的點(開始時點與－1對應的點重合)恰好與數軸上的點重合，則點對應的實數是 ．
（2）如圖②，數軸上的點表示原點，垂直于數軸，垂足為D，且，點D表示的數為，以為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點(點在的左側)，則點表示的數為 ．

【答案】 /
【分析】本題考查圓的周長與數軸問題，實數與數軸問題，求出圓的周長及圓弧的半徑是本題的關鍵．
（1）要求點對應的實數就是求出的長，運用圓周長公式可求出，進而即可得解；
（2）和均為半徑，根據勾股定理求出的長，從而得到點表示的數．
【詳解】解：（1）∵圓滾動一周，恰好從點到點，
∴，
∴，
即點對應的實數是．
故答案為：．
（2）在中，，
∴，
∴點C表示的數為．
故答案為：．
【變式訓練2-4】如圖，在中，，，，在數軸上，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點，則點表示的數是 ．
【答案】/
【分析】本題考查的是勾股定理，實數與數軸的關系，正確運用勾股定理求出的長是解題的關鍵，要理解數軸上的點與實數的對應關系．根據題意運用勾股定理求出的長，即可得到答案．
【詳解】解：在中，，，
由勾股定理得，，
則點表示的數為．
故答案為：．
【變式訓練2-5】如圖，已知的直角邊在數軸上，其中為個單位長度．為的角平分線，則點所對應數軸上的數是 ．
【答案】/
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，實數與數軸，過點作于，由勾股定理得，再證明，可得，，即得，設，則，由勾股定理得，解得，設點所對應數軸上的數為，再利用兩點間距離公式即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：過點作于，則，
∵，
∴，，
∵為的角平分線，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
設，則，
∵，
∴，
解得，
∴，
設點所對應數軸上的數為，
則，
∴，
故答案為：．
題型三：勾股定理的應用之求梯子滑落的高度
【經典例題3】如圖，一只小貓沿著斜立在墻角的木板往上爬，木板底端距離墻角O處為．當小貓從木板底端爬到頂端時，木板底端向左滑動了，木板頂端向下滑動了，則小貓在木板上爬動的距離為（ ）m ．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，要求小貓在木板上爬動的距離，即求木板長，可以設，，則根據木板長不會變這個等量關系列出方程組，即可求的長度，在中，根據即可求．
【詳解】解：如圖，
已知，
設，
則，
則在中，，
在中，，
聯立方程組解得：，
故選：B．
【變式訓練3-1】一架長10米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端6米，如果梯子的頂端沿墻下滑2米，那么梯足將滑（ ）
A．米 B．米 C．1米 D．2米
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接著利用勾股定理求出，進而得到，據此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，在中，，且，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∴梯足將滑2米，
故選：D．
【變式訓練3-2】如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時為當梯子的頂端A沿墻向下滑的距離與梯子底端B向外移的距離相等時，的長是 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，先根據勾股定理求出的長，根據勾股定理即可得出結論．
【詳解】解：
設
解得：
故答案為：．
【變式訓練3-3】如圖，李師傅在兩墻，之間施工（兩墻與地面垂直），他架了一架長為的梯子，此時梯子底端距離墻角點．
(1)此時梯子的頂端點距離地面有多高？
(2)若梯子底端點沒有固定好，向后滑動到墻角處，使梯子頂端沿墻下滑了到點處，求梯子底端向后滑動的距離．
【答案】(1)梯子的頂端點距離地面有高
(2)梯子底端向后滑動的距離為
【分析】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．
（1）利用勾股定理直接求解即可；
（2）由（1）知，進而勾股定理求得，根據即可求解．
【詳解】（1）解：本題題意得：，
，
梯子的頂端點距離地面有高；
（2）解：由（1）知，
根據題意得：，
，
，
，
梯子底端向后滑動的距離為
【變式訓練3-4】如圖，一架m長的梯子斜靠在一豎直的墻上，，這時，梯子的底端B到墻底C的距離為1m．
(1)求此時梯子的頂端A距地面的高度；
(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑m，那么梯子底端B外移m嗎？
【答案】(1)此時梯子的頂端A距地面的高度為m
(2)梯子底端B外移距離不是m
【分析】本題考查了勾股定理的應用，注意計算的準確性即可．
（1）根據即可求解；
（2）由題意得求出即可求解；
【詳解】（1）解：∵mm，
∴
∴此時梯子的頂端A距地面的高度為m
（2）解：由題意可知梯子的頂端A沿墻下滑m后，
∴m
∴
∴梯子底端B外移距離不是m
【變式訓練3-5】如圖，一個梯子長25米，頂端A靠在墻上（墻與地面垂直），這時梯子下端B與墻角C距離為7米．
(1)求梯子頂端A與地面的距離的長；
(2)若梯子的頂端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑動的距離的長．
【答案】(1)梯子頂端A與地面的距離的長為24米
(2)梯子的下端B滑動的距離的長為8米
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，正確應用勾股定理是解題關鍵．
（1）直接利用勾股定理得出的長；
（2）利用勾股定理得出的長進而得出答案．
【詳解】（1）由勾股定理可得：24（米），
答：梯子頂端A與地面的距離的長為24米；
（2）∵梯子的頂端A下滑到E，使，
∴（米），
∴15（米），
則（米），
答：梯子的下端B滑動的距離的長為8米．
題型四：勾股定理的應用之求高度
【經典例題4】古代數學名著《算法統宗》中有一首計算秋千繩索長度的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”．翻譯成現代文：如圖，秋千靜止的時候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進兩步（尺），此時踏板升高離地五尺（尺），則秋千繩索（或）的長度為（ ）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．設秋千繩索長為尺，用表示出的長，在直角三角形中，利用勾股定理列出關于的方程，求出方程的解即可得到結果．
【詳解】解：設秋千繩索長為尺，
則（尺），
在中，，即，
解得：，
故選：C．
【變式訓練4-1】我圖古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？（注：丈、尺是長度單位，1丈尺）意思為：如圖，有一個邊長為1丈的正方形水池，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面．則這根蘆葦的長度是 尺
【答案】13
【分析】本題考查勾股定理的應用，設這根蘆葦的長度是尺，根據勾股定理列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設這根蘆葦的長度是尺，由題意，得：水深為尺，
由勾股定理，得：，
解得：；
故答案為：13．
【變式訓練4-2】某市園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為1.6米．
(1)求風箏的垂直高度；
(2)如果小明想風箏沿方向下降12米，則他應該往回收線多少米？
【答案】(1)21.6米
(2)8米
【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關鍵．
（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；
（2）根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（負值舍去），
所以，（米，
答：風箏的高度為21.6米；
（2）解：由題意得，米，
米，
（米，
（米，
他應該往回收線8米．
【變式訓練4-3】學校需要測量旗桿的高度．同學們發現系在旗桿頂端的繩子垂到了地面還多出了一段，但這條繩子的長度未知．請你應用勾股定理提出一個解決這個問題的方案（畫出圖形，結合圖形說明需要測量的數據，把這些數據用字母表示，并用這些字母表示旗桿的高度）．
【答案】詳見解析．
【分析】本題考查了勾股定理的應用，根據勾股定理即可求解，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】解：測量繩子垂到地面多出一段的長度，用字母表示，
用表示旗桿，將繩子拉直底端接觸地面，構成如圖所示的，測量，
在中，，，，
由勾股定理，得，即，
∴，
因此，旗桿的高度為．
【變式訓練4-4】如圖，要從電線桿離地面處向地面拉一條的鋼纜，求地面鋼纜固定點A到電線桿底部 B的距離（結果保留小數點后一位）．
【答案】4.9米
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖，領會數形結合的思想的應用．根據電線桿與地面垂直，利用勾股定理求得的長即可．
【詳解】解：由題意得：電線桿與地面垂直，
故地面鋼纜固定點A 到電線桿底部B 的距離為：（米）．
答：地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離約為4.9米．
【變式訓練4-5】如圖，某攀巖中心攀巖墻的頂部A處安裝了一根安全繩，讓它垂到地面時比墻高多出了1米，發現其下端剛好接觸地面（即米），，求攀巖墻的高度．
【答案】12米
【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，將實際問題轉化為勾股定理問題成為解題的關鍵．
設攀巖墻的高為x米，則繩子的長為米，然后在中，根據勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：設攀巖墻的高為x米，則繩子的長為米，
在中，，
∴，解得．
答：攀巖墻的高為12米．
【變式訓練4-6】2024年5月29日，我國谷神星一號海射型遙二運載火箭在日照市黃海海域發射，將4顆衛星順利送入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功．如圖是火箭從海平面處發射，當火箭到達點時，從岸邊處的雷達站測得的距離是；當火箭到達點時，測得，求火箭從點上升到點的高度．（結果保留根號）

【答案】火箭從點上升到點的高度為
【分析】本題考查了勾股定理，含的直角三角形的性質，等腰三角形的性質等知識，先利用含的直角三角形的性質，得出，在中，利用勾股定理求出，利用等角對等邊求出，即可求解．
【詳解】解：在中，，
．
設，則，
在中，由勾股定理可列方程：
．解得．
即．
，，
．
．
．
．
答：火箭從點上升到點的高度為．
題型五：勾股定理的應用之求小鳥飛行的距離
【經典例題5】如圖，有兩棵樹和（都與水平地面垂直），樹高8米，樹梢D到樹的水平距離（）的長度為8米，米，一只小鳥從樹梢D飛到樹梢B，則它至少要飛行的長度為（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．連接，求出米，然后由勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵
∴
∵樹高8米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故選A．
【變式訓練5-1】如圖，一段斜坡上有兩棵樹，兩棵樹之間的水平距離為，豎直距離為，樹的高度都是2m．一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的應用．如圖，根據題意得：，利用勾股定理即可求出結果．
【詳解】解：如圖，
根據題意得：，
，
一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛，
故選：B．
【變式訓練5-2】如圖，在與水平面成角的斜坡上有兩棵一樣高的柳樹，兩棵樹水平距離，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（ ）米．
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本題主要考查含角的直角三角形的性質，勾股定理，根據，即可求解．
【詳解】解：由題意得：，
∴
∵，，
∴（負值舍去）
∴
∴小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了8米
故選：C．
【變式訓練5-3】如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的C處，當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時間至少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查勾股定理解實際問題，讀懂題意，作出圖形，數形結合求出最短路徑長度是解決問題的關鍵．
過作于，如圖所示，由勾股定理求出最短路徑長即可得到答案．
【詳解】解：過作于，如圖所示：
由題意可知，，
，
根據兩點之間線段最短，則它要飛回巢中所飛的最短路徑為，由勾股定理可得，
∴它要飛回巢中所需的時間至少是，
故選：A．
【變式訓練5-4】如圖，庭院中有兩棵樹，小鳥要從一棵高10m的樹頂飛到一棵高4m的樹頂上，兩棵樹相距8m，則小鳥至少要飛 米．

【答案】10
【分析】根據勾股定理求出AB的長即可．
本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，過點作

∵
∴四邊形矩形
∴
∴，
在中，由勾股定理得，
，
則小鳥至少要飛，
故答案為：10．
【變式訓練5-5】數學興趣小組利用所學數學知識來解決實際問題，實踐報告如下：
活動課題 風箏離地面垂直高度探究
問題背景 風箏由中國古代勞動人民發明于東周春秋時期，距今已2000多年．相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風箏起源．興趣小組在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度．
測量數據抽象模型 小組成員測量了相關數據，并畫出了如圖所示的示意圖，測得水平距離的長為15米，根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米，牽線放風箏的手到地面的距離為米．
問題產生 經過討論，興趣小組得出以下問題： （1）運用所學勾股定理相關知識，根據測量所得數據，計算出風箏離地面的垂直高度． （2）如果想要風箏沿方向再上升12米，且長度不變，則他應該再放出多少米線？
問題解決 ……
該報告還沒有完成，請你幫助興趣小組解決以上問題．
【答案】（1）米；（2）8米
【分析】本題考查了用勾股定理解決實際問題，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為、，斜邊為，那么．
（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；
（2）根據勾股定理計算即可得到結論．
【詳解】解：（1）由題意得，，米，米，
在中，由勾股定理，可得：（米，
（米．
答：線段的長為米．
（2）如圖，當風箏沿方向再上升12米，
所以米，
在中，，米，
由勾股定理，可得（米，
則應該再放出（米，
答：他應該再放出8米長的線．
題型六：勾股定理的應用之解決水杯中筷子問題
【經典例題6】如圖所示，將一根長為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長為，則h的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題將勾股定理與實際問題相結合，解題的關鍵是根據題意畫出圖形求出h的最大及最小值．先根據題意畫出圖形，再根據勾股定理解答即可．
【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，．
當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，
如圖所示：
此時， ，
故．
所以h的取值范圍是：．
故選∶D．
【變式訓練6-1】如圖為一個帶蓋的圓柱形鉛筆筒，已知圓柱底面積為，筆筒高度為，則該圓柱形筆筒所能容納鉛筆的最大長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題是勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意．先根據圓柱底面積求出半徑，進而得到底面圓的直徑，再求出圓桶內最長對角線的長，即可求解．
【詳解】解：圓柱底面積為，
該筆筒的底面半徑為：，
該筆筒的直徑為：，
圓桶內最長對角線的長為：，
則桶內能容下的最長的鉛筆為，
故選：C．
【變式訓練6-2】如圖所示，將一根長為的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中， 設筷子露在杯子外面的長度為h，則h的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理的應用，能夠讀懂題意和求出的值最大值與最小值是解題關鍵．
當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最長．然后分別利用已知條件以及根據勾股定理即可求出的取值范圍．
【詳解】解：如圖1所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最長，
，
如圖2所示，當筷子的底端在點時，筷子露在杯子外面的長度最短，
在中，，，
，
此時，
的取值范圍是．
故選：D．
【變式訓練6-3】一支鉛筆斜放在圓柱體的筆筒中，如圖所示，筆筒的內部底面直徑是，內壁高．若這支鉛筆在筆筒外面部分長度是，則這支鉛筆的長度是（ ）．
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【分析】首先根據題意畫出圖形，利用勾股定理計算出的長度．然后結合題意即可求解．
此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出筆筒內鉛筆的長度是解決問題的關鍵．
【詳解】解：如圖：
根據題意可得圖形：
在中：，
∵這支鉛筆在筆筒外面部分長度是，
∴這支鉛筆的長度是．
故選：B．
【變式訓練6-4】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題．即，，，則（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本題考查勾股定理的實際應用．設，則，由勾股定理列出方程進行求解即可．
【詳解】解：設，則，
由題意，得：，
解得：，即，
故選：C．
【變式訓練6-5】我國古代數學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？設水深為x尺，根據題意，可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查勾股定理的應用，根據題意，這根蘆葦的長度為尺，利用勾股定理列方程即可．
【詳解】解：設水深為x尺，則這根蘆葦的長度為尺，
根據題意，得，
故答案為：A．
題型七：勾股定理的應用之解決航行問題
【經典例題7】如圖，甲、乙兩艘輪船同時從港口O出發，甲輪船以12海里/時的速度沿西北方向勻速航行，乙輪船沿東北方向勻速航行，1小時后兩艘輪船相距20海里，則乙輪船每小時航行 海里．
【答案】16
【分析】本題考查了勾股定理的實際應用，根據方位角可以知道兩船所走的方向正好構成了直角，然后根據路程速度時間，根據勾股定理即可得出答案．
【詳解】解：∵甲輪船以12海里/時的速度沿西北方向勻速航行，乙輪船沿東北方向勻速航行，
∴，
∴
∵甲以12海里/時的速度沿西北方向勻速航行了1小時，
∴（海里），
∵海里，
在中，（海里），
∴乙輪船平均每小時航行（海里）．
故答案為：16．
【變式訓練7-1】在筆直的鐵路上、兩點相距，、為兩村莊，，，于，于，現要在上建一個中轉站，使得、兩村到站的距離相等．則應建在距 ．
【答案】15
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用．利用，再結合勾股定理求出即可．
【詳解】解：設，則，
，
，
故，
解得；．
故答案為：15．
【變式訓練7-2】如圖，在離水面高度為的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時拉緊的繩子的長為，此人把繩子收緊后船移動到點 D 的位置(即繩子的長為9米)，問船向岸邊移動了多少米 (結果保留根號)
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握勾股定理．在中，利用勾股定理計算出長，再根據題意可得長，然后再次利用勾股定理計算出長，再利用可得長．
【詳解】解：在中：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：船向岸邊移動了米．
【變式訓練7-3】某天，暴風雨突然來襲，海上搜救中心接到海面上遇險船只從A，B兩地發出的求救信號．搜救中心及時派出甲、乙兩艘搜救艇同時從港口O出發，甲搜救艇以12海里/時的速度沿北偏東的方向向A地出發，乙搜救艇以16海里/時的速度沿南偏東的方向向B地出發，2小時后，甲、乙兩艘搜救艇同時到達遇險船只A，B處．求此時甲、乙兩艘搜救艇之間的距離．
【答案】此時甲、乙兩艘搜救艇之間的距離AB是40海里
【分析】本題主要考查了方向角的有關計算，勾股定理的應用，先根據題意得出，，（海里），（海里），證明為直角三角形，再根據勾股定理求出結果即可．
【詳解】解：由題意，得：
，，（海里），（海里），
∴
，
在中，由勾股定理得：，
∴（海里），
答：此時甲、乙兩艘搜救艇之間的距離是40海里．
【變式訓練7-4】如圖，某港口P有甲，乙兩艘漁船．兩船同時離開港口后，甲船沿北偏東方向以每小時的速度航行，乙船沿南偏東某方向以每小時的速度航行，它們兩個小時后分別位于R，Q處，且相距．請求出乙船沿哪個方向航行．

【答案】乙船航行的方向是南偏東
【分析】本題考查了方位角問題，勾股定理的逆定理；分別求出、、的值，可得，由勾股定理的逆定理得為直角三角形，即可求解；
理解方位角，掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
【詳解】解：根據題意得，
，
，
甲船航行的距離∶
（），
乙船航行的距離∶
（），
，
，
，
為直角三角形，
，
，
故乙船航行的方向是南偏東．
【變式訓練7-5】如圖，一艘船由A島沿北偏東方向航行至B島，然后再沿北偏西方向航行至C島．
(1)求A，C兩島之間的距離；
(2)確定C島在A島的什么方向？
【答案】(1)
(2)北偏西
【分析】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是對方向角的熟練掌握．
（1）根據，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距離；
（2）證明，根據即可求解．
【詳解】（1）如圖，由題意可知：，
∵，
∴，
∴，
在中，，
答：A，C兩島之間的距離是；
（2）又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴C島在A島北偏西的方向上．
【變式訓練7-6】一艘輪船從港向南偏西方向航行到達島，再從島沿方向航行到達島，港到航線的最短距離是．
(1)若輪船速度為小時，求輪船從島沿返回港所需的時間；
(2)求島在港的什么方向？
【答案】(1)從島返回港所需的時間為小時；
(2)島在港的北偏西．
【分析】（）中，利用勾股定理求得的長度，則，然后在中，利用勾股定理來求的長度，則時間路程速度；
（）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定義作答；
本題考查了勾股定理及逆定理的應用，方向角問題，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】（1）由題意，
中，，得，
∴．
∴．
∴．
則（小時），
答：從島返回港所需的時間為小時；
（2）∵，，
∴．
∴，
∴
∴島在港的北偏西．
題型八：勾股定理的應用之求地毯長度
【經典例題8】如圖是臺階的示意圖，若每個臺階的寬度都是，每個臺階的高度都是，連接，則的長度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分別求得直角三角形的兩直角邊的長后即可利用勾股定理求得斜邊的長．
【詳解】解∶如圖，
由題意，得，，，
∴，
故選：B．
【變式訓練8-1】如圖，在高為，斜坡長為的樓梯臺階上鋪地毯（ ）
A．7 B．8 C．9 D．5
【答案】A
【分析】此題考查了勾股定理的應用及平移的知識，利用勾股定理求出的長度是解答本題的關鍵．先求出的長，利用平移的知識可得出地毯的長度．
【詳解】解：在中，（米），
故可得地毯長度（米），
故選：A．
【變式訓練8-2】如圖，在高為，坡面長為的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．當地毯鋪滿樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可．
【詳解】解：由勾股定理得：
樓梯的水平寬度，
∵地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，
∴地毯的長度至少是．
故選C．
【變式訓練8-3】某賓館裝修，需在臺階上鋪上地毯．已知臺階寬，其剖面圖如圖，需要購買多少平方米的地毯才能鋪滿所有臺階？
【答案】需要購買平方米的地毯才能鋪滿所有臺階．
【分析】此題考查了勾股定理的應用，根據題意，結合圖形，把樓梯臺階的橫豎分別向上向左平移，得到一個長方形，進一步求出面積即可．
【詳解】解：如圖，由題意可得，，
利用平移可知，把樓梯臺階的橫豎分別向上向左平移，得到一個長方形，地毯的長為，
∴地毯面積為，
答：需要購買平方米的地毯才能鋪滿所有臺階．
【變式訓練8-4】如圖，樓梯的高度為，樓梯坡面的長度為，要在樓梯的表面鋪上地毯，那么地毯的長度至少需要多少米？（精確到）
【答案】米
【分析】考查了勾股定理的應用，根據圖形可得，地毯的長度等于，利用勾股定理求出的長，即可求解，理解地毯的長度等于是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，由勾股定理得，，
∴米，
∴米，
答：地毯的長度至少需要米．
【變式訓練8-5】如圖，在一個長為，寬為的長方形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬平行，橫截面是邊長為的正方形，若點A處有一只螞蟻，它從點A處爬過木塊到達點C處去吃面包碎，則它需要走的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查平面展開最短路徑問題，兩點之間線段最短，有一定的難度，要注意培養空間想象能力，將木塊展開，然后根據兩點之間線段最短解答，解題的關鍵是能將側面展開成長方形，從而用勾股定理求解．
【詳解】解：由題意可知，將木塊展開，相當于是個正方形的邊長，
∴長為米；寬為米．
于是最短路徑為：米．
故選：B．

題型九：勾股定理的應用之判斷是否超速
【經典例題9】如圖，一輛小汽車在一條限速40的街路上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面車速檢測儀A的正前方60處的C點，測得小汽車所在的B點與車速檢測儀A之間的距離為100．
(1)求B，C間的距離．
(2)這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．
【答案】(1)B，C間的距離為80
(2)這輛小汽車沒有超速
【分析】】此題主要考查了勾股定理的應用；
（1）根據勾股定理求出BC的長；
（2）直接求出小汽車的時速，進而比較得出答案．
【詳解】（1）解：在中，
∵，
∴，
答：B，C間的距離為80；
（2）這輛小汽車沒有超速．
理由：∵小汽車速度為，
，
∴這輛小汽車沒有超速．
【變式訓練9-1】超速行駛是引發交通事故的主要原因，上周末，小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？
【答案】此車超過每小時80千米的限制速度．
【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，含30度角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質與判定等等，首先，根據在直角三角形中，可得到米，，再根據在直角三角形中，可得到米，根據可求得AB的長；再結合速度的計算方法，求出車的速度，然后將車的速度與80千米/時進行比較，即可得到結論．
【詳解】解：由題意知：米，，
在中，∵，，
∴米，
在中，∵，
∴，
∴米；
在中，由勾股定理得米，
∴(米)，
∵從A處行駛到B處所用的時間為3秒，
∴速度為，
∴此車超過的限制速度．
【變式訓練9-2】如下圖，實驗中學位于一條南北向公路l的一側A處，門前有兩條長度均為100米的小路、通往公路l，與公路l交于B，C兩點，且B，C兩點相距120米．
(1)為方便學生出入，現在打算修一條從實驗中學到公路l的新路（點D在l上），使得學生從學校走到公路路程最短，應該如何修路（請在圖中畫出） 并計算新路的長度．
(2)為保證學生的安全，在公路l上的點E和點C處設置了一組區間測速裝置，點E在點B的北側，且距實驗中學A處170米．一輛汽車經過區間共用時21秒，若此段公路限速為（約），請判斷該車是否超速，并說明理由．
【答案】(1)見解析，新路長度是80米
(2)該車沒有超速，見解析
【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．
（1）根據垂線段最短，過點A作，交l于點D，則即為所求；根據等腰三角形和勾股定理求出即可；
（2）根據勾股定理求出，得出，求出該車的速度為，然后再進行比較即可．
【詳解】（1）解：過點A作，交l于點D，則即為所求，如圖所示：
∵，，，
∴，，
∴在中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴新路長度是80米．
（2）解：該車沒有超速．
理由：在中，，
由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴，
該車經過區間用時，
∴該車的速度為，
∵．
∴該車沒有超速．
【變式訓練9-3】某城市規定小汽車在街道上的行駛速度不得超過70千米/時，一輛小汽車在一條城市街道上直行，某一時刻剛好行駛到路對面“車速檢測儀A”正前方30米C處，過了2秒后，測得小汽車位置B與“車速檢測儀A”之間的距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．
【答案】超速了，理由見解析
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，根據題意得出汽車的速度是解題關鍵．
直接利用勾股定理得出的長，進而得出汽車的速度，即可比較得出答案．
【詳解】解：由題意知，米，米，且在中，是斜邊，
∴，即
∴米千米，
且2秒時，所以速度為千米/時，
∵，
∴該小汽車超速了．
【變式訓練9-4】學生安全是近幾年社會關注的重大問題，其中交通安全隱患主要是超速．如圖，某校門前一條直線公路建成通車，在該路段限速，為了檢測車輛是否超速，在公路旁設立了觀測點C，從觀點C測得一小車從點A到達點B行駛了．若測得，，．此車超速了嗎？請說明理由．
【答案】此車沒有超速，詳見解析
【分析】此題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，含角直角三角形的性質，
過點C作于點H．求出，得到，勾股定理求出，然后得到，，然后求出小車平均速度，然后比較求解即可．
【詳解】解：過點C作于點H．
∵
∴
∴，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴小車平均速度
而
∴此車沒有超速．
【變式訓練9-5】如圖，一輛汽車在一條限速的筆直的公路上沿直線勻速行駛，某一時刻汽車行駛到車速檢測儀A正前方處的點C處，后汽車行駛到距離車速檢測儀A點的點B處．
(1)求B、C間的距離；
(2)這輛汽車超速了嗎 請說明理由．
【答案】(1)B、C間的距離為
(2)這輛汽車未超速，理由見解析
【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
（1）利用勾股定理代入數據即可求得答案．
（2）先根據，間的距離求得小汽車在內行駛的速度，再和限速比較大小即可．
【詳解】（1）解：在中，由，，且為斜邊，
根據勾股定理可得．
答：，間的距離為．
（2）解：這輛小汽車沒有超速，理由如下：
，
而，
，
∴這輛小汽車沒有超速．
題型十：勾股定理的應用之判斷是否受臺風影響
【經典例題10】如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向的B處，以每小時的速度向北偏東的方向移動，距離臺風中心的范圍內是受臺風影響的區域，
(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？
(2)若A城受到臺風的影響，求A城受臺風影響的時間有多長？
【答案】(1)A城受到這次臺風的影響，理由見解析
(2)3小時
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，以及等腰三角形的性質，關鍵是正確構造直角三角形，利用勾股定理解決問題．
（1）點到直線的線段中垂線段最短，故應由點向作垂線，垂足為，若則城不受影響，否則受影響；
（2）點到直線的長為的點有兩點，分別設為、，則是等腰三角形，由于，則是的中點，在中，解出的長，則可求長，在長的范圍內都是受臺風影響，再根據速度與距離的關系則可求時間．
【詳解】（1）解：由點向作垂線，垂足為，
在中，，，則，
因為，所以城要受臺風影響；
（2）設上點，，則還有一點，有．
因為，所以是等腰三角形，
因為，
所以是的中點，則，
在中，，，
由勾股定理得，，
則，
遭受臺風影響的時間是：（小時）．
【變式訓練10-1】如圖，在點正北方的處有一信號接收器，點在點的北偏東的方向，一電子狗從點向點的方向以的速度運動并持續向四周發射信號，信號接收器接收信號的有效范圍為．
(1)求出點到線段的最小距離；
(2)請判斷點處是否能接收到信號，并說明理由．若能接收信號，求出可接收信號的時間．
【答案】(1)點到線段的最小距離為；
(2)能，可接收信號的時間．
【分析】本題考查等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．
（1）作于．求出即可解決問題；
（2）當時，，同理，根據，求出運動時間即可解決問題；
【詳解】（1）解：作于．
在中，，，
則是等腰直角三角形，
，
，
答：點到線段的最小距離為；
（2）解：，
點處能接收到信號．
當時，，
當時，，
，
可接收信號的時間．
答：可接收信號的時間．
【變式訓練10-2】臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力，如圖，有一臺風中心沿東西方向由點A向點B移動，已知點C為一海港，且點C與直線上兩點A、B的距離分別為和，又，以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域．

(1)海港C會受臺風影響嗎？為什么？
(2)若臺風的速度為，臺風影響該海港持續的時間有多長？
【答案】(1)海港C會受到臺風影響，理由見解析
(2)臺風影響該海港持續的時間有
【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性質是解題的關鍵．
（1）過點C作于D點，根據勾股定理逆定理可得為直角三角形，再由三角形的面積公式可得，即可求解；
（2）當時，即臺風經過段時，正好影響到海港C，此時為等腰三角形，根據勾股定理求出，從而得到，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點C作于D點，
∵，
∴，
∴為直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域，
∴海港C會受到臺風影響；
（2）解：由（1）得，
如圖所示，當時，即臺風經過段時，正好影響到海港C，此時為等腰三角形，
，
∴，
∵臺風的速度為，
∴，
∴臺風影響該海港持續的時間有．
【變式訓練10-3】臺風“煙花”登錄我國沿海地區，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由向移動，已知點為一海港，且點與直線上的兩點、的距離分別為，，又，經測量，距離臺風中心及以內的地區會受到影響．
(1)求的度數；
(2)海港受臺風影響嗎？為什么？
(3)若臺風中心的移動速度為25千米時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？
【答案】(1)90°
(2)受臺風影響；理由見解析
(3)8小時
【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用．
（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進而得出的度數；
（2）利用三角形面積得出的長，進而得出海港是否受臺風影響；
（3）利用勾股定理得出以及的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間．
【詳解】（1），，，
，
是直角三角形，；
（2）海港受臺風影響，理由：過點作于，
∵是直角三角形，
，
，
，
以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域，
海港受臺風影響；
（3）當，時，正好影響港口，
，
，
臺風的速度為25千米小時，
（小時）．
答：臺風影響該海港持續的時間為8小時．
【變式訓練10-4】某市夏季經常受臺風天氣影響，臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿東西方向由點A行駛向點B，已知點C為一海港，當時，A點到B，C兩點的距離分別為和，以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域．
(1)求；
(2)海港C受臺風影響嗎？為什么？
(3)若臺風的速度為，則臺風影響該海港持續的時間有多長？
【答案】(1)
(2)海港C受臺風影響，理由見解析；
(3)4小時
【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）依據三角形中三邊的關系確定的度數；
（2）利用三角形面積得出的長，進而得出海港C是否受臺風影響；
（3）利用勾股定理得出以及的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間．
【詳解】（1）解：，
，
，，
（2）解：海港C受臺風影響，理由如下：
過點C作，
，
，
，
以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域，
海港C受臺風影響；
（3）解：當，時，正好影響C港口，
，，
，
臺風的速度為，
小時，
答：海港C受臺風影響的時間會持續4小時．
【變式訓練10-5】今年，第十五號臺風登陸江蘇，A市接到臺風警報時，臺風中心位于A市正南方向的B處，正以的速度沿方向移動．
(1)已知A市到的距離，那么臺風中心從B點移到D點經過多長時間？
(2)如果在距臺風中心的圓形區域內都將受到臺風影響，那么A市受到臺風影響的時間是多長？
【答案】(1)臺風中心從B點移到D點經過6小時．
(2)A市受臺風影響的時間為3.75小時．
【分析】此題主要考查了勾股定理的應用，等腰三角形三線合一性質，根據題意熟練應用勾股定理是解題關鍵．
（1）在中，根據勾股定理求出，臺風的速度已知，即可得出臺風中心從B點移到D點所經過長時間；
（2）假設A市從P點開始受到臺風的影響，到Q點結束，根據題意在圖中畫出圖形，可知，A市在臺風從P點到Q點均受影響，即得出兩點的距離，便可求出A市受臺風影響的時間．
【詳解】（1）解：由題意得，在中，
，
∴，
∴小時，
即臺風中心從B點移到D點需要6小時；
（2）解：以A為圓心，以為半徑畫弧，交于P、Q，
則A市在P點開始受到影響，Q點恰好不受影響（如圖），
由題意，，在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴（小時）
∴A市受臺風影響的時間為3.75小時．
題型十一：勾股定理的應用之選址使到兩地距離相等
【經典例題11】為加快新農村建設，提高人居環境，計劃要在道路m上修建一個天然氣站E，同時向D，C兩個居民區提供優質天然氣，供居民取暖，做飯．已知如圖：D到道路m的距離，C到道路m的距離，A，B兩地距離．氣站E應建在道路m的什么位置，使得C，D兩居民區到氣站E的距離相等？
(1)請你設計出氣站E的位置（在圖中用尺規作圖作出符合條件的點，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)計算出氣站E到A處的距離．
【答案】(1)見解析；
(2)氣站E距離A處．
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握垂直平分線的性質．
（1）由，可知點E在線段的垂直平分線上，即可得答案；
（2）設，，得，，再利用解答即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，點E即為所求．
（2）解：設，
∵，
又∵
∴
解得
∴氣站E距離A處．
【變式訓練11-1】如圖，開州大道上，兩點相距，，為兩商場，于，于．已知，．現在要在公路上建一個土特產產品收購站，使得，兩商場到站的距離相等，

(1)求站應建在離點多少處？
(2)若某人從商場以的速度勻速步行到收購站，需要多少小時？
【答案】(1)站應建在離站處
(2)需要2小時
【分析】本題考查了勾股定理的應用，利用勾股定理正確建立方程是解題關鍵．
（1）先根據垂直的定義可得，再根據勾股定理可得，，從而可得，設，則，據此建立方程，解方程即可得；
（2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出時間．
【詳解】（1）解：∵使得，兩村到站的距離相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
設，則，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：站應建在離站處；
（2）解：，
（小時）
答：需要2小時．
【變式訓練11-2】為了加快我市經濟社會發展，實現十九大報告提出的到2020年全面建成小康社會的目標，我市準備在鐵路上修建一個火車站E，以方便鐵路同旁的C、D兩城的居民出行，如圖，C城到鐵路的距離，D城到鐵路的距離，，經市政府與鐵路部門協商最后確定在與C、D兩城距離相等的E處修建火車站．求、各是多少．
【答案】，．
【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，利用勾股定理列方程是解題的關鍵．
設，則，根據，由勾股定理即可列出方程．
【詳解】解：設，則，
根據題意得，
∴
，
解得
∴，．
【變式訓練11-3】如圖，小區A與公路l的距離米，小區B與公路l的距離米，已知米．
(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區的路程相等，求的長；
(2)現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．
【答案】(1)475米
(2)1000米
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，坐標與圖形的性質，勾股定理，確定出Q、P的位置是本題的關鍵．
（1）設，則，根據利用勾股定理即可得出結果．
（2）作A關于l的對稱點，連接，交l于P，由對稱性得的最小值為線段的長，作于點E，在中，根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】（1）解：如圖1，
根據題意得：，
設，則，
，
解得，
即的長為475米；
（2）如圖，作點A關于直線l的對稱點，連接，交直線l于點P．
則，
，
的最小值為，
如圖，作于點E，
在中，
米，米，
米，
的最小值為1000米．
【變式訓練11-4】如圖甲，筆直的公路上，兩點相距20，，為兩村莊，于點，于點，已知，，現在計劃在公路的段上建一個土特產品收購站．
(1)若規劃，兩村到收購站的距離相等，則收購站應建在離點多遠處？
(2)若規劃，兩村到收購站的距離的和最短，請在圖乙中通過作圖畫出收購站的位置，計算得到距離的和最短值為 ．
【答案】(1)
(2)圖見解析，25
【分析】本題考查了作圖—應用設計作圖、勾股定理、軸對稱—最短路線問題，熟練掌握勾股定理的應用是解題的關鍵．
（1）設，則，在與中，由勾股定理結合得出方程，求出的值即可求解；
（2）作點關于的對稱點，連接交于點，則點即為所求，長即為距離的和最短值，過點作交的延長線于點，在中由勾股定理求出的長即可．
【詳解】（1）解：（1）設，則，
在與中，由勾股定理得，
，，
∵，
∴，
∴，
解得，
即收購站應建在離點處；
（2）如圖，作點關于的對稱點，連接交于點，則點即為所求，長即為距離的和最短值，
過點作交的延長線于點，
則．
故答案為：25．
【變式訓練11-5】2024年“廣西三月三·八桂嘉年華”文化旅游品牌活動在南寧青秀山風景區拉開帷幕．大家身著民族服飾共赴一場民俗文化盛宴．如圖，在地圖上A、B兩站直線距離為25km，C、D為青秀山和園博園民俗文化活動場地，且于A，于B．已知，，現在小明要在直線上找到地點E，使得：
(1)若要使得C、D兩活動點到地點E的距離相等，則小明所在的E站應在離A站多少處？
(2)若要使得地點E到C、D兩地的距離之和最短，則小明所在的E站應在離A站多少處？并求出的最短距離．
【答案】(1)小明所在的E站應在離A站處
(2)則要使得地點E到C、D兩地的距離之和最短，則小明所在的E站應在離A站多少15處，此時的值為．
【分析】本題考查了勾股定理的應用以及等角對等邊的性質，利用勾股定理正確建立方程是解題關鍵．
（1）先根據垂直的定義可得，再根據勾股定理可得，，從而可得，設，則，據此建立方程，解方程即可得．
（2）作點D關于的對稱點，連接交于點，即到C、D站的距離之和最短，過點作的延長線于點F，證明，由勾股定理得出，的最小值即為，再得出，根據等角對等邊得出．
【詳解】（1）解：∵使得兩活動點到地點站的距離相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
設，則，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
則小明所在的E站應在離A站處．
（2）作點D關于的對稱點，連接交于點，
即到C、D站的距離之和最短，過點作的延長線于點F，
則，，，
∴，
∴．
∴的最小值即為，即
此時，
∴，
∴，
∴，
則要使得地點E到C、D兩地的距離之和最短，則小明所在的E站應在離A站多少15處，此時的值為．
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2.7.2探索勾股定理（二）十一大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：以弦圖為背景的計算題
【經典例題1】在數學實踐課上，老師給每位同學準備了四塊全等的直角三角形紙板，小邦同學拿到紙板后隨手做拼圖游戲，結果拼出如圖所示的圖形，小友同學熱愛思考，借助這個圖形設計了一道數學題：如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形中，C、D、E在同一直線上，設，，則的長是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間陰影部分是一個小正方形，這樣就組成一個“趙爽弦圖”．若，，則的面積為（ ）
A．20 B．24 C．36 D．48
【變式訓練1-2】如圖，是個全等的直角三角形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積是，小正方形的面積是，若用表示直角三角形的兩條直角邊（），請觀察圖案，下列式子不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】勾股定理被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成的．記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，，若正方形的邊長為6，則 ．
【變式訓練1-4】如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，若圖1中的直角三角形的長直角邊為5，大正方形的面積為29，連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，求圖3中陰影部分的面積
【變式訓練1-5】如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，若，小正方形的面積為6，則大正方形的面積為 ．
【變式訓練1-6】閱讀材料，解決問題：
三國時期吳國的數學家趙爽創建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關系．如圖2，這是由8個全等的直角邊長分別為，，斜邊長為的三角形拼成的“弦圖”．
(1)在圖2中，正方形的面積可表示為______，正方形的面積可表示為______（用含，的式子表示）；
(2)請結合圖2用面積法說明，，三者之間的等量關系；
(3)已知，，求正方形的面積．
題型二：勾股定理與無理數
【經典例題2】如圖所示，以數軸上的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數4的點為圓心、正方形的對角線長為半徑畫弧，交數軸于點A，則點A表示的數是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】如圖，在中，，，在數軸上，以原點為圓心，斜邊的長為半徑畫弧，交負半軸于一點，則這個點表示的實數是（ ）
A． B． C． D． 2
【變式訓練2-2】如圖，在數軸上點表示原點，點表示的數為，，垂足為，且，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數軸正半軸于點，則點表示的數為 ．
【變式訓練2-3】（1）如圖①，半徑為1個單位長度的圓沿數軸從實數－1對應的點向右滾動一周，圓上的點(開始時點與－1對應的點重合)恰好與數軸上的點重合，則點對應的實數是 ．
（2）如圖②，數軸上的點表示原點，垂直于數軸，垂足為D，且，點D表示的數為，以為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點(點在的左側)，則點表示的數為 ．

【變式訓練2-4】如圖，在中，，，，在數軸上，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點，則點表示的數是 ．
【變式訓練2-5】如圖，已知的直角邊在數軸上，其中為個單位長度．為的角平分線，則點所對應數軸上的數是 ．
題型三：勾股定理的應用之求梯子滑落的高度
【經典例題3】如圖，一只小貓沿著斜立在墻角的木板往上爬，木板底端距離墻角O處為．當小貓從木板底端爬到頂端時，木板底端向左滑動了，木板頂端向下滑動了，則小貓在木板上爬動的距離為（ ）m ．
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】一架長10米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端6米，如果梯子的頂端沿墻下滑2米，那么梯足將滑（ ）
A．米 B．米 C．1米 D．2米
【變式訓練3-2】如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時為當梯子的頂端A沿墻向下滑的距離與梯子底端B向外移的距離相等時，的長是 ．
【變式訓練3-3】如圖，李師傅在兩墻，之間施工（兩墻與地面垂直），他架了一架長為的梯子，此時梯子底端距離墻角點．
(1)此時梯子的頂端點距離地面有多高？
(2)若梯子底端點沒有固定好，向后滑動到墻角處，使梯子頂端沿墻下滑了到點處，求梯子底端向后滑動的距離．
【變式訓練3-4】如圖，一架m長的梯子斜靠在一豎直的墻上，，這時，梯子的底端B到墻底C的距離為1m．
(1)求此時梯子的頂端A距地面的高度；
(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑m，那么梯子底端B外移m嗎？
【變式訓練3-5】如圖，一個梯子長25米，頂端A靠在墻上（墻與地面垂直），這時梯子下端B與墻角C距離為7米．
(1)求梯子頂端A與地面的距離的長；
(2)若梯子的頂端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑動的距離的長．
題型四：勾股定理的應用之求高度
【經典例題4】古代數學名著《算法統宗》中有一首計算秋千繩索長度的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”．翻譯成現代文：如圖，秋千靜止的時候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進兩步（尺），此時踏板升高離地五尺（尺），則秋千繩索（或）的長度為（ ）
A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺
【變式訓練4-1】我圖古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？（注：丈、尺是長度單位，1丈尺）意思為：如圖，有一個邊長為1丈的正方形水池，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的岸邊，它的頂端恰好碰到池邊的水面．則這根蘆葦的長度是 尺
【變式訓練4-2】某市園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為1.6米．
(1)求風箏的垂直高度；
(2)如果小明想風箏沿方向下降12米，則他應該往回收線多少米？
【變式訓練4-3】學校需要測量旗桿的高度．同學們發現系在旗桿頂端的繩子垂到了地面還多出了一段，但這條繩子的長度未知．請你應用勾股定理提出一個解決這個問題的方案（畫出圖形，結合圖形說明需要測量的數據，把這些數據用字母表示，并用這些字母表示旗桿的高度）．
【變式訓練4-4】如圖，要從電線桿離地面處向地面拉一條的鋼纜，求地面鋼纜固定點A到電線桿底部 B的距離（結果保留小數點后一位）．
【變式訓練4-5】如圖，某攀巖中心攀巖墻的頂部A處安裝了一根安全繩，讓它垂到地面時比墻高多出了1米，發現其下端剛好接觸地面（即米），，求攀巖墻的高度．
【變式訓練4-6】2024年5月29日，我國谷神星一號海射型遙二運載火箭在日照市黃海海域發射，將4顆衛星順利送入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功．如圖是火箭從海平面處發射，當火箭到達點時，從岸邊處的雷達站測得的距離是；當火箭到達點時，測得，求火箭從點上升到點的高度．（結果保留根號）

題型五：勾股定理的應用之求小鳥飛行的距離
【經典例題5】如圖，有兩棵樹和（都與水平地面垂直），樹高8米，樹梢D到樹的水平距離（）的長度為8米，米，一只小鳥從樹梢D飛到樹梢B，則它至少要飛行的長度為（ ）
A．10米 B．9米 C．8米 D．7米
【變式訓練5-1】如圖，一段斜坡上有兩棵樹，兩棵樹之間的水平距離為，豎直距離為，樹的高度都是2m．一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，至少要飛（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，在與水平面成角的斜坡上有兩棵一樣高的柳樹，兩棵樹水平距離，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（ ）米．
A．4 B．6 C．8 D．10
【變式訓練5-3】如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的C處，當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時間至少是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-4】如圖，庭院中有兩棵樹，小鳥要從一棵高10m的樹頂飛到一棵高4m的樹頂上，兩棵樹相距8m，則小鳥至少要飛 米．

【變式訓練5-5】數學興趣小組利用所學數學知識來解決實際問題，實踐報告如下：
活動課題 風箏離地面垂直高度探究
問題背景 風箏由中國古代勞動人民發明于東周春秋時期，距今已2000多年．相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風箏起源．興趣小組在放風箏時想測量風箏離地面的垂直高度．
測量數據抽象模型 小組成員測量了相關數據，并畫出了如圖所示的示意圖，測得水平距離的長為15米，根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米，牽線放風箏的手到地面的距離為米．
問題產生 經過討論，興趣小組得出以下問題： （1）運用所學勾股定理相關知識，根據測量所得數據，計算出風箏離地面的垂直高度． （2）如果想要風箏沿方向再上升12米，且長度不變，則他應該再放出多少米線？
問題解決 ……
該報告還沒有完成，請你幫助興趣小組解決以上問題．
題型六：勾股定理的應用之解決水杯中筷子問題
【經典例題6】如圖所示，將一根長為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長為，則h的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】如圖為一個帶蓋的圓柱形鉛筆筒，已知圓柱底面積為，筆筒高度為，則該圓柱形筆筒所能容納鉛筆的最大長度為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-2】如圖所示，將一根長為的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中， 設筷子露在杯子外面的長度為h，則h的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練6-3】一支鉛筆斜放在圓柱體的筆筒中，如圖所示，筆筒的內部底面直徑是，內壁高．若這支鉛筆在筆筒外面部分長度是，則這支鉛筆的長度是（ ）．
A．10 B．15 C．20 D．25
【變式訓練6-4】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題．即，，，則（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【變式訓練6-5】我國古代數學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？設水深為x尺，根據題意，可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
題型七：勾股定理的應用之解決航行問題
【經典例題7】如圖，甲、乙兩艘輪船同時從港口O出發，甲輪船以12海里/時的速度沿西北方向勻速航行，乙輪船沿東北方向勻速航行，1小時后兩艘輪船相距20海里，則乙輪船每小時航行 海里．
【變式訓練7-1】在筆直的鐵路上、兩點相距，、為兩村莊，，，于，于，現要在上建一個中轉站，使得、兩村到站的距離相等．則應建在距 ．
【變式訓練7-2】如圖，在離水面高度為的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時拉緊的繩子的長為，此人把繩子收緊后船移動到點 D 的位置(即繩子的長為9米)，問船向岸邊移動了多少米 (結果保留根號)
【變式訓練7-3】某天，暴風雨突然來襲，海上搜救中心接到海面上遇險船只從A，B兩地發出的求救信號．搜救中心及時派出甲、乙兩艘搜救艇同時從港口O出發，甲搜救艇以12海里/時的速度沿北偏東的方向向A地出發，乙搜救艇以16海里/時的速度沿南偏東的方向向B地出發，2小時后，甲、乙兩艘搜救艇同時到達遇險船只A，B處．求此時甲、乙兩艘搜救艇之間的距離．
【變式訓練7-4】如圖，某港口P有甲，乙兩艘漁船．兩船同時離開港口后，甲船沿北偏東方向以每小時的速度航行，乙船沿南偏東某方向以每小時的速度航行，它們兩個小時后分別位于R，Q處，且相距．請求出乙船沿哪個方向航行．

【變式訓練7-5】如圖，一艘船由A島沿北偏東方向航行至B島，然后再沿北偏西方向航行至C島．
(1)求A，C兩島之間的距離；
(2)確定C島在A島的什么方向？
【變式訓練7-6】一艘輪船從港向南偏西方向航行到達島，再從島沿方向航行到達島，港到航線的最短距離是．
(1)若輪船速度為小時，求輪船從島沿返回港所需的時間；
(2)求島在港的什么方向？
題型八：勾股定理的應用之求地毯長度
【經典例題8】如圖是臺階的示意圖，若每個臺階的寬度都是，每個臺階的高度都是，連接，則的長度是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-1】如圖，在高為，斜坡長為的樓梯臺階上鋪地毯（ ）
A．7 B．8 C．9 D．5
【變式訓練8-2】如圖，在高為，坡面長為的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練8-3】某賓館裝修，需在臺階上鋪上地毯．已知臺階寬，其剖面圖如圖，需要購買多少平方米的地毯才能鋪滿所有臺階？
【變式訓練8-4】如圖，樓梯的高度為，樓梯坡面的長度為，要在樓梯的表面鋪上地毯，那么地毯的長度至少需要多少米？（精確到）
【變式訓練8-5】如圖，在一個長為，寬為的長方形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬平行，橫截面是邊長為的正方形，若點A處有一只螞蟻，它從點A處爬過木塊到達點C處去吃面包碎，則它需要走的最短路程是（ ）

A． B． C． D．
題型九：勾股定理的應用之判斷是否超速
【經典例題9】如圖，一輛小汽車在一條限速40的街路上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面車速檢測儀A的正前方60處的C點，測得小汽車所在的B點與車速檢測儀A之間的距離為100．
(1)求B，C間的距離．
(2)這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．
【變式訓練9-1】超速行駛是引發交通事故的主要原因，上周末，小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？
【變式訓練9-2】如下圖，實驗中學位于一條南北向公路l的一側A處，門前有兩條長度均為100米的小路、通往公路l，與公路l交于B，C兩點，且B，C兩點相距120米．
(1)為方便學生出入，現在打算修一條從實驗中學到公路l的新路（點D在l上），使得學生從學校走到公路路程最短，應該如何修路（請在圖中畫出） 并計算新路的長度．
(2)為保證學生的安全，在公路l上的點E和點C處設置了一組區間測速裝置，點E在點B的北側，且距實驗中學A處170米．一輛汽車經過區間共用時21秒，若此段公路限速為（約），請判斷該車是否超速，并說明理由．
【變式訓練9-3】某城市規定小汽車在街道上的行駛速度不得超過70千米/時，一輛小汽車在一條城市街道上直行，某一時刻剛好行駛到路對面“車速檢測儀A”正前方30米C處，過了2秒后，測得小汽車位置B與“車速檢測儀A”之間的距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．
【變式訓練9-4】學生安全是近幾年社會關注的重大問題，其中交通安全隱患主要是超速．如圖，某校門前一條直線公路建成通車，在該路段限速，為了檢測車輛是否超速，在公路旁設立了觀測點C，從觀點C測得一小車從點A到達點B行駛了．若測得，，．此車超速了嗎？請說明理由．
【變式訓練9-5】如圖，一輛汽車在一條限速的筆直的公路上沿直線勻速行駛，某一時刻汽車行駛到車速檢測儀A正前方處的點C處，后汽車行駛到距離車速檢測儀A點的點B處．
(1)求B、C間的距離；
(2)這輛汽車超速了嗎 請說明理由．
題型十：勾股定理的應用之判斷是否受臺風影響
【經典例題10】如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向的B處，以每小時的速度向北偏東的方向移動，距離臺風中心的范圍內是受臺風影響的區域，
(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？
(2)若A城受到臺風的影響，求A城受臺風影響的時間有多長？
【變式訓練10-1】如圖，在點正北方的處有一信號接收器，點在點的北偏東的方向，一電子狗從點向點的方向以的速度運動并持續向四周發射信號，信號接收器接收信號的有效范圍為．
(1)求出點到線段的最小距離；
(2)請判斷點處是否能接收到信號，并說明理由．若能接收信號，求出可接收信號的時間．
【變式訓練10-2】臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力，如圖，有一臺風中心沿東西方向由點A向點B移動，已知點C為一海港，且點C與直線上兩點A、B的距離分別為和，又，以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域．

(1)海港C會受臺風影響嗎？為什么？
(2)若臺風的速度為，臺風影響該海港持續的時間有多長？
【變式訓練10-3】臺風“煙花”登錄我國沿海地區，風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由向移動，已知點為一海港，且點與直線上的兩點、的距離分別為，，又，經測量，距離臺風中心及以內的地區會受到影響．
(1)求的度數；
(2)海港受臺風影響嗎？為什么？
(3)若臺風中心的移動速度為25千米時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？
【變式訓練10-4】某市夏季經常受臺風天氣影響，臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿東西方向由點A行駛向點B，已知點C為一海港，當時，A點到B，C兩點的距離分別為和，以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域．
(1)求；
(2)海港C受臺風影響嗎？為什么？
(3)若臺風的速度為，則臺風影響該海港持續的時間有多長？
【變式訓練10-5】今年，第十五號臺風登陸江蘇，A市接到臺風警報時，臺風中心位于A市正南方向的B處，正以的速度沿方向移動．
(1)已知A市到的距離，那么臺風中心從B點移到D點經過多長時間？
(2)如果在距臺風中心的圓形區域內都將受到臺風影響，那么A市受到臺風影響的時間是多長？
題型十一：勾股定理的應用之選址使到兩地距離相等
【經典例題11】為加快新農村建設，提高人居環境，計劃要在道路m上修建一個天然氣站E，同時向D，C兩個居民區提供優質天然氣，供居民取暖，做飯．已知如圖：D到道路m的距離，C到道路m的距離，A，B兩地距離．氣站E應建在道路m的什么位置，使得C，D兩居民區到氣站E的距離相等？
(1)請你設計出氣站E的位置（在圖中用尺規作圖作出符合條件的點，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)計算出氣站E到A處的距離．
【變式訓練11-1】如圖，開州大道上，兩點相距，，為兩商場，于，于．已知，．現在要在公路上建一個土特產產品收購站，使得，兩商場到站的距離相等，

(1)求站應建在離點多少處？
(2)若某人從商場以的速度勻速步行到收購站，需要多少小時？
【變式訓練11-2】為了加快我市經濟社會發展，實現十九大報告提出的到2020年全面建成小康社會的目標，我市準備在鐵路上修建一個火車站E，以方便鐵路同旁的C、D兩城的居民出行，如圖，C城到鐵路的距離，D城到鐵路的距離，，經市政府與鐵路部門協商最后確定在與C、D兩城距離相等的E處修建火車站．求、各是多少．
【變式訓練11-3】如圖，小區A與公路l的距離米，小區B與公路l的距離米，已知米．
(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區的路程相等，求的長；
(2)現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．
【變式訓練11-4】如圖甲，筆直的公路上，兩點相距20，，為兩村莊，于點，于點，已知，，現在計劃在公路的段上建一個土特產品收購站．
(1)若規劃，兩村到收購站的距離相等，則收購站應建在離點多遠處？
(2)若規劃，兩村到收購站的距離的和最短，請在圖乙中通過作圖畫出收購站的位置，計算得到距離的和最短值為 ．
【變式訓練11-5】2024年“廣西三月三·八桂嘉年華”文化旅游品牌活動在南寧青秀山風景區拉開帷幕．大家身著民族服飾共赴一場民俗文化盛宴．如圖，在地圖上A、B兩站直線距離為25km，C、D為青秀山和園博園民俗文化活動場地，且于A，于B．已知，，現在小明要在直線上找到地點E，使得：
(1)若要使得C、D兩活動點到地點E的距離相等，則小明所在的E站應在離A站多少處？
(2)若要使得地點E到C、D兩地的距離之和最短，則小明所在的E站應在離A站多少處？并求出的最短距離．
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