資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2.7.3探索勾股定理（三）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷三邊是否能構(gòu)成直角三角形
【經(jīng)典例題1】三角形的三邊a，b，c滿足，則此三角形（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【變式訓(xùn)練1-1】已知的三邊分別為a、b、c，下列條件中，不能判定為直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-2】線段a、b、c組成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-3】下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-4】在中，的對(duì)邊分別是a，b，c，下列對(duì)的判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則是直角三角形
B．若，則是等邊三角形
C．若，則
D．若 則是等腰直角三角形
【變式訓(xùn)練1-5】在中，，，的對(duì)邊分別是，，，下列條件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序號(hào)）．
題型二：圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)
【經(jīng)典例題2】如圖，在方格中作以為一邊的，要求點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，這樣的能作出（ ）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)
【變式訓(xùn)練2-1】在如圖所示的的方格圖中，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn)．點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，滿足為以為斜邊的直角三角形．這樣的點(diǎn)C有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在方格中作以為一邊的，要求點(diǎn)也在格點(diǎn)上，這樣的能做出（ ）
A．個(gè) B．個(gè) C． 個(gè) D．個(gè)
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，在小正方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上），使為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個(gè)，且兩個(gè)三角形不全等）

【變式訓(xùn)練2-4】如圖所示的方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B在小正方形的頂點(diǎn)上.在圖中畫出△ABC(點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上)，使△ABC為直角三角形.
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，在4×9的方格圖中，□ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按下列要求作圖：
(1)在CD邊上找一格點(diǎn)E，使得AE平分∠DAB.
(2)在CD邊上找一格點(diǎn)F，使得BF⊥AE.
題型三：利用勾股定理的逆定理求解
【經(jīng)典例題3】如圖，已知中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，的垂直平分線交于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N為垂足，若，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積是
【變式訓(xùn)練3-2】已知： 如圖， 四邊形中， 求四邊形 的面積．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，在四邊形中，，，，，，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，，垂足為D ，，．
(1)求的度數(shù)？并說明理由；
(2)P是邊上一點(diǎn)，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，已知在中，，求的面積．
【變式訓(xùn)練3-6】如圖，在四邊形中，，
(1)證明：是直角三角形；
(2)求四邊形的面積．
題型四：勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用
【經(jīng)典例題4】如圖，在港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東的方向以每小時(shí)海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)海里的速度前進(jìn)，小時(shí)后甲船到島，乙船到島，兩島相距海里，則乙船沿 方向航行．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，中山路一側(cè)有兩個(gè)送奶站，為中山路上一供奶站，測(cè)得，，，．小明從點(diǎn)C處出發(fā)，沿中山路向東一直行走，求小明與B送奶站的最近距離．
【變式訓(xùn)練4-2】2020年是第六屆全國(guó)文明城市創(chuàng)建周期的第三年，是“強(qiáng)基固本、全力沖刺”的關(guān)鍵之年．“創(chuàng)城”，既能深入改變一座城市的現(xiàn)代化進(jìn)程，也能深刻影響生活在此間的人們．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的四邊形空地．如圖，已知，，，，技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測(cè)量某兩點(diǎn)之間距離為15m，便快速確定了．
(1)請(qǐng)寫出技術(shù)人員測(cè)量的是哪兩點(diǎn)之間的距離，并說明他確定的理由；
(2)若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為100元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口A出發(fā)，分別沿方向和方向航行，甲船速度為16海里/時(shí)，乙船速度為12海里/時(shí)，離開港口1小時(shí)后兩船分別到達(dá)點(diǎn)E，F(xiàn)處，且相距20海里．若甲船沿東北方向航行，則乙船沿哪個(gè)方向航行？
【變式訓(xùn)練4-4】在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得千米，千米，千米．
(1)問是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：與是否垂直？）請(qǐng)通過計(jì)算加以說明；
(2)求原來的路線的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練4-5】某校為加強(qiáng)學(xué)生勞動(dòng)教育，將勞動(dòng)基地按班級(jí)進(jìn)行分配，如圖是八年級(jí)勞動(dòng)實(shí)踐基地的示意圖形狀，經(jīng)過同學(xué)共同努力，測(cè)得，，，，．
(1)求B、D之間的距離；
(2)求四邊形的面積．
題型五：勾股定理逆定理的拓展應(yīng)用
【經(jīng)典例題5】定義：a，b，c為正整數(shù)，若，則稱c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”． 如，則13是“完美勾股數(shù)”，5，12是13的“伴侶勾股數(shù)”．
(1)數(shù)10________“完美勾股數(shù)”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三邊a，b，c滿足． 求證：c是“完美勾股數(shù)”．
(3)已知m，且，，，，c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”． 多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求該多項(xiàng)式的另一個(gè)因式．
【變式訓(xùn)練5-1】在中，，設(shè)為最長(zhǎng)邊，當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀（按角分類）．
(1)當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為________三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為________三角形；
(2)猜想：當(dāng)________時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)________時(shí)，為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判斷：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的取值為________；
當(dāng)為銳角三角形時(shí)，則的取值范圍________；
當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，則的取值范圍________．
【變式訓(xùn)練5-2】閱讀下列內(nèi)容，并解決問題．
一道習(xí)題引發(fā)的思考
小明在學(xué)習(xí)《勾股定理》一章內(nèi)容時(shí)，遇到了一個(gè)習(xí)題，并對(duì)有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究：
【習(xí)題再現(xiàn)】古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a=2m，b= m -1，c= m +1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對(duì)嗎 如果對(duì)，你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎
【資料搜集】定義：勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)．一般地，若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2=c ，那么a，b，c稱為一組勾股數(shù)．
關(guān)于勾股數(shù)的研究；我國(guó)西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了"勾三，股四，弦五"，這組數(shù)（3、4、5）是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股數(shù)．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖都進(jìn)行過勾股數(shù)的研究，習(xí)題中的表達(dá)式是柏拉圖給出的勾股數(shù)公式，這個(gè)表達(dá)式未給出全部勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九章算術(shù)》．
【問題解答】
（1）根據(jù)柏拉圖的研究，當(dāng)m=6時(shí)，請(qǐng)直接寫出一組勾股數(shù)；
（2）若m表示大于1的整數(shù)，試證明（m -1，2m，m +1）是一組勾股數(shù)；
（3）請(qǐng)舉出一個(gè)反例（即寫出一組勾股數(shù)），說明柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出所有的勾股數(shù)．
【變式訓(xùn)練5-3】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且a是最長(zhǎng)邊，我們可以利用a，b，c三條邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6，則最長(zhǎng)邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請(qǐng)解答以下問題：
（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．
（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，12，x．且這個(gè)三角形是直角三角形，求的值．
（3）當(dāng)，時(shí)，判斷的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍．
【變式訓(xùn)練5-4】我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱　 　，　 　．
（2）如圖（1），請(qǐng)你在圖中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊，且對(duì)角線相同的所有勾股四邊形OAMB．
（3）如圖（2），以邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，連接DE、DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
【變式訓(xùn)練5-5】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且最大，我們可以利用，，之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則最長(zhǎng)邊是，，故由③可知該三角形是銳角三角形．
（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則該三角形是 ；
（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，且這個(gè)三角形是直角三角形，則的值為 ；
（3）帶一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，，，其中是最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，則該三角形是 三角形．
題型六：求最短路徑
【經(jīng)典例題6】如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為、寬為、高為的長(zhǎng)方體紙箱的點(diǎn)沿紙箱表面爬到點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，圓柱形容器的底面周長(zhǎng)是，高是，在外側(cè)地面S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處的點(diǎn)F處有一蒼蠅，急于捕捉蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線長(zhǎng)度是 ．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為和，高為．若一只螞蟻從點(diǎn)P開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到的中點(diǎn)，若，點(diǎn)移動(dòng)的最短距離為5，則圓柱的底面周長(zhǎng)為 ．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，圓柱的高為，底面周長(zhǎng)為，用一根繩子由點(diǎn)A逆時(shí)針繞圓柱兩圈到點(diǎn)B，則這根繩子的長(zhǎng)度至少需要 ．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，圓柱形杯子容器高為，底面周長(zhǎng)為，在杯子內(nèi)壁離杯底 的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯子外壁，離杯子上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到達(dá)內(nèi)壁處的最短距離為 ．
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2.7.3探索勾股定理（三）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷三邊是否能構(gòu)成直角三角形
【經(jīng)典例題1】三角形的三邊a，b，c滿足，則此三角形（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形
【答案】B
【分析】本題考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，將所給的等式化簡(jiǎn)可得，利用勾股定理的逆定理可求解．
【詳解】解：三角形的三邊a，b，c滿足，
，
，
三角形為直角三角形，
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-1】已知的三邊分別為a、b、c，下列條件中，不能判定為直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分析出A、C的正誤；根據(jù)勾股定理逆定理可分析出B、D的正誤．
【詳解】解：A、，，
，
為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、，
能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、設(shè)，，，
，
解得：，
則，
不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，
能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【變式訓(xùn)練1-2】線段a、b、c組成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的條件能否構(gòu)成直角三角形，從而求解即可，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、∵，
∴能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
、∵，
∴不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
、∵，
∴能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
、∵，
∴能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
【變式訓(xùn)練1-3】下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、∵，，
∴，
∴能夠組成直角三角形，該選項(xiàng)符合題意；
、∵，，
∴，
∴不能夠組成直角三角形，該選項(xiàng)不合題意；
、∵，，
∴，
∴不能夠組成直角三角形，該選項(xiàng)不合題意；
、∵，，
∴，
∴不能夠組成直角三角形，該選項(xiàng)不合題意；
故選：．
【變式訓(xùn)練1-4】在中，的對(duì)邊分別是a，b，c，下列對(duì)的判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則是直角三角形
B．若，則是等邊三角形
C．若，則
D．若 則是等腰直角三角形
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理，等邊三角形的判定，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出，據(jù)此可判斷A；根據(jù)等邊三角形的判定定理即可判斷B；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷C、D．
【詳解】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故A正確，不符合題意；
B、∵，
∴是等邊三角形，故B正確，不符合題意；
C、∵，
∴，
∴，
∴，故C錯(cuò)誤，符合題意；
D、設(shè)，
∴，
∴是等腰直角三角形，故D正確，不符合題意；
故選：C．
【變式訓(xùn)練1-5】在中，，，的對(duì)邊分別是，，，下列條件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序號(hào)）．
【答案】①②/②①
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；②根據(jù)勾股定理逆定理證明即可；③根據(jù)勾股定理逆定理證明即可．
【詳解】①，
，
，
，
是直角三角形；
②，
，
，
是直角三角形，且；
③，，
，
，即，
不是直角三角形；
綜上，是直角三角形的有①②，
故答案為：①②．
題型二：圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)
【經(jīng)典例題2】如圖，在方格中作以為一邊的，要求點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，這樣的能作出（ ）
A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)
【答案】C
【分析】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵，當(dāng)是斜邊時(shí)有四個(gè)，當(dāng)是直角邊時(shí)有2個(gè)．
【詳解】解：當(dāng)是斜邊時(shí)，則第三個(gè)頂點(diǎn)所在的位置有：C、D、E、H四個(gè)；
當(dāng)是直角邊，A是直角頂點(diǎn)時(shí)，第三個(gè)頂點(diǎn)是F點(diǎn)；
當(dāng)是直角邊，B是直角頂點(diǎn)時(shí)，第三個(gè)頂點(diǎn)是G．
因而共有6個(gè)滿足條件的頂點(diǎn)．
故選C．
【變式訓(xùn)練2-1】在如圖所示的的方格圖中，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn)．點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，滿足為以為斜邊的直角三角形．這樣的點(diǎn)C有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．
【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)，
故選D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在方格中作以為一邊的，要求點(diǎn)也在格點(diǎn)上，這樣的能做出（ ）
A．個(gè) B．個(gè) C． 個(gè) D．個(gè)
【答案】D
【分析】可以分A、B、C分別是直角頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論即可解決．
【詳解】解：當(dāng)AB是斜邊時(shí)，則第三個(gè)頂點(diǎn)所在的位置有：C、D，E，H四個(gè)；
當(dāng)AB是直角邊，A是直角頂點(diǎn)時(shí)，第三個(gè)頂點(diǎn)是F點(diǎn)；
當(dāng)AB是直角邊，B是直角頂點(diǎn)時(shí)，第三個(gè)頂點(diǎn)是G．
因而共有6個(gè)滿足條件的頂點(diǎn)．
故選D．
【點(diǎn)睛】正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，在小正方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上），使為直角三角形，并說明理由.（要求畫出兩個(gè)，且兩個(gè)三角形不全等）

【答案】為直角三角形，理由詳見解析.
【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可.
【詳解】解：如圖所示.
如圖1，在中，
，，
因?yàn)椋?br/>所以，
即為直角三角形.
如圖2，在中，
.
在中，.
在中，.
所以，
所以，即為直角三角形.
【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)勾股定理逆定理畫直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會(huì)運(yùn)用是關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練2-4】如圖所示的方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B在小正方形的頂點(diǎn)上.在圖中畫出△ABC(點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上)，使△ABC為直角三角形.
【答案】見解析
【分析】本題是直角三角形定義的應(yīng)用問題，如果三角形有一個(gè)內(nèi)角是直角，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形中是直角的內(nèi)角最多只有一個(gè).從圖中可以看出線段AB沒有經(jīng)過任何一個(gè)小正方形的邊，因此從點(diǎn)A、B處構(gòu)造直角比較困難；所以考慮在點(diǎn)C處構(gòu)造直角，通過點(diǎn)A和點(diǎn)B分別作水平和豎直的直線，則直線交點(diǎn)就是點(diǎn)C的位置.
【詳解】過點(diǎn)A作豎直的直線，過點(diǎn)B作水平的直線，交點(diǎn)處就是點(diǎn)C，如圖①；或者過點(diǎn)A作水平的直線，過點(diǎn)B作豎直的直線，交點(diǎn)處就是點(diǎn)C，如圖②.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的定義、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的關(guān)鍵是掌握直角三角形的定義、勾股定理和勾股定理的逆定理.
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，在4×9的方格圖中，□ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，按下列要求作圖：
(1)在CD邊上找一格點(diǎn)E，使得AE平分∠DAB.
(2)在CD邊上找一格點(diǎn)F，使得BF⊥AE.
【答案】作圖見解析
【詳解】(1)如圖： AE就是所求圖形
(2)如圖： BF就是所求圖形
題型三：利用勾股定理的逆定理求解
【經(jīng)典例題3】如圖，已知中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，的垂直平分線交于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N為垂足，若，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理及其逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．本題難點(diǎn)是添加輔助線構(gòu)造直角三角形．
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，的長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．
【詳解】解：連接，，
∵的垂直平分線交于點(diǎn)D，的垂直平分線交于點(diǎn)E，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理可得：，
故選：A．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積是
【答案】
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及其逆定理．
根據(jù)勾股定理可求得，再由勾股定理得逆定理可證是直角三角形，則根據(jù)即可求解．
【詳解】解：連接，
，，，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練3-2】已知： 如圖， 四邊形中， 求四邊形 的面積．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，根據(jù)題意求得，可得，故是直角三角形，據(jù)此即可求解；
【詳解】解：連接，如圖所示：
∵，
∴，
∴
∴是直角三角形
∴
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，在四邊形中，，，，，，求的度數(shù)．
【答案】．
【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，先求出邊的長(zhǎng)度，再利用勾股定理逆定理判斷出為直角三角形．
【詳解】解：，，
，
設(shè)，則，
又，
，
或（舍去），
，，
又，，
，，
，
是直角三角形，
．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，，垂足為D ，，．
(1)求的度數(shù)？并說明理由；
(2)P是邊上一點(diǎn)，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)4或或5
【分析】（1）先由勾股定理求出和，再由勾股定理逆定理證出為直角三角形即可；
（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求解即可．
【詳解】（1）解：，
理由：∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：分三種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖，
∵，，
∴，
∴；
②當(dāng)時(shí)，如圖，
∵
∴，
∴；
③當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于E，如圖，
∵，，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為4或或5．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和逆定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理和逆定理、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論，以免漏解．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，已知在中，，求的面積．
【答案】54
【分析】此題考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面積，熟記勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根據(jù)三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴（負(fù)值舍去），
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴的面積．
【變式訓(xùn)練3-6】如圖，在四邊形中，，
(1)證明：是直角三角形；
(2)求四邊形的面積．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形．
（1）根據(jù)，，，易得，可證是直角三角形，；
（2）首先把求四邊形的面積分割為求和的面積，然后利用三角形的面積公式分別求出這兩個(gè)三角形的面積，最后將兩個(gè)三角形的面積相加就可以求出四邊形的面積．
【詳解】（1）證明：，，，
，，
，
是直角三角形，且；
（2）解：解：，，，
，
四邊形的面積的面積的面積
．
題型四：勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用
【經(jīng)典例題4】如圖，在港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東的方向以每小時(shí)海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)海里的速度前進(jìn)，小時(shí)后甲船到島，乙船到島，兩島相距海里，則乙船沿 方向航行．
【答案】南偏東
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解題關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
首先根據(jù)速度和時(shí)間計(jì)算、的路程，再根據(jù)勾股定理逆定理證明，進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：由題意得：甲船的路程：（海里），
乙船的路程：（海里），
∵，
∴，
∵是北偏東方向，
∴是南偏東．
故答案為：南偏東．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，中山路一側(cè)有兩個(gè)送奶站，為中山路上一供奶站，測(cè)得，，，．小明從點(diǎn)C處出發(fā)，沿中山路向東一直行走，求小明與B送奶站的最近距離．
【答案】小明與B送奶站的最近距離為
【分析】由勾股定理逆定理，即可得到；過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，和勾股定理求出的長(zhǎng)即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴；
過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)即為小明與送奶站的最近距離，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
即小明與B送奶站的最近距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和逆定理，含30度角的直角三角形，垂線段最短．熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4-2】2020年是第六屆全國(guó)文明城市創(chuàng)建周期的第三年，是“強(qiáng)基固本、全力沖刺”的關(guān)鍵之年．“創(chuàng)城”，既能深入改變一座城市的現(xiàn)代化進(jìn)程，也能深刻影響生活在此間的人們．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的四邊形空地．如圖，已知，，，，技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測(cè)量某兩點(diǎn)之間距離為15m，便快速確定了．
(1)請(qǐng)寫出技術(shù)人員測(cè)量的是哪兩點(diǎn)之間的距離，并說明他確定的理由；
(2)若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為100元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？
【答案】(1)測(cè)量的是A，C兩點(diǎn)之間的距離，理由見解析；
(2)元．
【分析】本題考查了勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）直接運(yùn)用勾股逆定理進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．
（2）直接運(yùn)用勾股逆定理進(jìn)行列式計(jì)算，得證，再計(jì)算，，最后相加，即可作答．
【詳解】（1）連接，
技術(shù)人員測(cè)量的是A，C兩點(diǎn)之間的距離，
理由測(cè)量的是A，C兩點(diǎn)之間的距離，
理由如下：∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴
∴
∴，
，
∴
∴綠化這片空地共需花費(fèi)元．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口A出發(fā)，分別沿方向和方向航行，甲船速度為16海里/時(shí)，乙船速度為12海里/時(shí)，離開港口1小時(shí)后兩船分別到達(dá)點(diǎn)E，F(xiàn)處，且相距20海里．若甲船沿東北方向航行，則乙船沿哪個(gè)方向航行？
【答案】乙船航向?yàn)槟掀珫|．
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，方向角的應(yīng)用．連接，利用勾股定理的逆定理證明，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：連接，
由題意可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即乙船航向?yàn)槟掀珫|．
【變式訓(xùn)練4-4】在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得千米，千米，千米．
(1)問是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：與是否垂直？）請(qǐng)通過計(jì)算加以說明；
(2)求原來的路線的長(zhǎng)．
【答案】(1)是，理由見解析
(2)2.5千米
【分析】此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答．
（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理解答即可．
【詳解】（1）解：是，
理由是：在中，
∵
∴
∴，
∴是從村莊C到河邊的最近路；
（2）解：設(shè)，則，
由勾股定理得：
∴
解得
答：原來的路線的長(zhǎng)為2.5千米．
【變式訓(xùn)練4-5】某校為加強(qiáng)學(xué)生勞動(dòng)教育，將勞動(dòng)基地按班級(jí)進(jìn)行分配，如圖是八年級(jí)勞動(dòng)實(shí)踐基地的示意圖形狀，經(jīng)過同學(xué)共同努力，測(cè)得，，，，．
(1)求B、D之間的距離；
(2)求四邊形的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；
（1）由勾股定理得，即可求解；
（2）可得，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，求四邊形的面積，即可求解；
【詳解】（1）解：連接，
，
，
故B、D之間的距離為；
（2）解：，
，
是直角三角形，
，
四邊形的面積
．
題型五：勾股定理逆定理的拓展應(yīng)用
【經(jīng)典例題5】定義：a，b，c為正整數(shù)，若，則稱c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”． 如，則13是“完美勾股數(shù)”，5，12是13的“伴侶勾股數(shù)”．
(1)數(shù)10________“完美勾股數(shù)”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三邊a，b，c滿足． 求證：c是“完美勾股數(shù)”．
(3)已知m，且，，，，c為“完美勾股數(shù)”，a，b為c的“伴侶勾股數(shù)”． 多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求該多項(xiàng)式的另一個(gè)因式．
【答案】(1)是
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查了勾股數(shù)和新定義的綜合應(yīng)用．
（1）根據(jù)完美勾股數(shù)的定義可得答案；
（3）利用完全平方公式證明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的關(guān)系式，將m，n的關(guān)系式代入，根據(jù)多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求解即可．
【詳解】（1）解：，
數(shù)10是“完美勾股數(shù)”，
故答案為：是；
（2）證明：
，
，
是“完美勾股數(shù)”；
（3）解：由題意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一個(gè)因式為，
，
∴另一個(gè)因式為．
【變式訓(xùn)練5-1】在中，，設(shè)為最長(zhǎng)邊，當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀（按角分類）．
(1)當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為________三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為________三角形；
(2)猜想：當(dāng)________時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)________時(shí)，為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判斷：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的取值為________；
當(dāng)為銳角三角形時(shí)，則的取值范圍________；
當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，則的取值范圍________．
【答案】(1)銳角；鈍角
(2)
(3)①；②；③
【分析】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
（1）當(dāng)兩直角邊為6、8時(shí)，利用勾股定理可得斜邊的長(zhǎng)度，當(dāng)三角形最長(zhǎng)的邊小于所求邊為銳角三角形，反之為鈍角三角形；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，可求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理求出下面情況的取值范圍．
【詳解】（1）解：當(dāng)兩直角邊為6、8時(shí)，斜邊
當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為銳角三角形
當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為鈍角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
當(dāng)時(shí)，為銳角三角形；
當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形；
（3）解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，；
當(dāng)為銳角三角形時(shí)，，
；
當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，，
則的取值范圍為，
兩邊之和大于第三邊，
．
【變式訓(xùn)練5-2】閱讀下列內(nèi)容，并解決問題．
一道習(xí)題引發(fā)的思考
小明在學(xué)習(xí)《勾股定理》一章內(nèi)容時(shí)，遇到了一個(gè)習(xí)題，并對(duì)有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究：
【習(xí)題再現(xiàn)】古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a=2m，b= m -1，c= m +1，那么a，b，c為勾股數(shù)．你認(rèn)為對(duì)嗎 如果對(duì)，你能利用這個(gè)結(jié)論得出一些勾股數(shù)嗎
【資料搜集】定義：勾股數(shù)是指可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)．一般地，若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2=c ，那么a，b，c稱為一組勾股數(shù)．
關(guān)于勾股數(shù)的研究；我國(guó)西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)了"勾三，股四，弦五"，這組數(shù)（3、4、5）是世界上最早發(fā)現(xiàn)的一組勾股數(shù)．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、柏拉圖學(xué)派、我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽、古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖都進(jìn)行過勾股數(shù)的研究，習(xí)題中的表達(dá)式是柏拉圖給出的勾股數(shù)公式，這個(gè)表達(dá)式未給出全部勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是《九章算術(shù)》．
【問題解答】
（1）根據(jù)柏拉圖的研究，當(dāng)m=6時(shí)，請(qǐng)直接寫出一組勾股數(shù)；
（2）若m表示大于1的整數(shù)，試證明（m -1，2m，m +1）是一組勾股數(shù)；
（3）請(qǐng)舉出一個(gè)反例（即寫出一組勾股數(shù)），說明柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能構(gòu)造出所有的勾股數(shù)．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）答案不唯一，例如，等
【分析】（1）把直接代入，，即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可證明結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股數(shù)解答即可．
【詳解】（1）把代入，，得：
，，，
這組勾股數(shù)為；
（2）表示大于1的整數(shù)，
，，都是正整數(shù)，且是最大邊，
，
是一組勾股數(shù)；
（3），等，它們是勾股數(shù)，但柏拉圖給出的勾股數(shù)公式不能夠造出．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)以及勾股定理的逆定理，弄清題意，理解勾股數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-3】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且a是最長(zhǎng)邊，我們可以利用a，b，c三條邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4，5，6，則最長(zhǎng)邊是6，，故由③可知該三角形是銳角三角形，請(qǐng)解答以下問題：
（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是7，8，9，則該三角形是________三角形．
（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5，12，x．且這個(gè)三角形是直角三角形，求的值．
（3）當(dāng)，時(shí)，判斷的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍．
【答案】（1）銳角；（2）169或119；（3）見解析
【分析】（1）直接利用定義結(jié)合三角形三邊得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形結(jié)合三邊關(guān)系得出答案．
【詳解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是銳角三角形，
故答案為：銳角；
（2）∵這個(gè)三角形是直角三角形，當(dāng)x為斜邊，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
當(dāng)12是斜邊，
則52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值為169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是鈍角三角形，
則或，
則或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
則或，
則或；
若△ABC是銳角三角形，
則或，
則或，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三邊關(guān)系，正確進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-4】我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱　 　，　 　．
（2）如圖（1），請(qǐng)你在圖中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊，且對(duì)角線相同的所有勾股四邊形OAMB．
（3）如圖（2），以邊AB作如圖正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，連接DE、DC，∠DCB＝30°．求證：DC2+BC2＝AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．
【答案】（1）直角梯形，長(zhǎng)方形；（2）圖見解析；（3）證明見解析
【分析】（1）利用含有直角的四邊形找出特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形即可；
（2）利用勾股定理計(jì)算畫出即可；
（3）首先證明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，連接CE，進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．
【詳解】解：（1）填直角梯形，長(zhǎng)方形；
（2）如圖，
（3）證明：∵△ABD為等邊三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
連接EC，連接AC．則△BCE為等邊三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理，三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．
【變式訓(xùn)練5-5】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且最大，我們可以利用，，之間的關(guān)系來判斷這個(gè)三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則最長(zhǎng)邊是，，故由③可知該三角形是銳角三角形．
（1）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則該三角形是 ；
（2）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，且這個(gè)三角形是直角三角形，則的值為 ；
（3）帶一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，，，其中是最長(zhǎng)邊長(zhǎng)，則該三角形是 三角形．
【答案】 銳角三角形 或 鈍角
【分析】（1）直接利用定義結(jié)合三角形三邊得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x的值；
（3）直接利用已知結(jié)合三邊關(guān)系得出答案．
【詳解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是銳角三角形，
故答案為：銳角三角形；
（2）∵這個(gè)三角形是直角三角形，當(dāng)x為斜邊，
∴52+122=x2，
∴x=13，
當(dāng)12是斜邊，
則52+x2=122，
解得：x=，
綜上所述：x=13或．
故答案為：13或；
（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，
∴a2＞b2+c2，
∴該三角形是鈍角三角形．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正確進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解題關(guān)鍵．
題型六：求最短路徑
【經(jīng)典例題6】如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為、寬為、高為的長(zhǎng)方體紙箱的點(diǎn)沿紙箱表面爬到點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用最短路線問題，把長(zhǎng)方體按照三種方式展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理分別求出的長(zhǎng)度即可求解，正確畫出長(zhǎng)方體的展開圖是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：將長(zhǎng)方體按如圖所示展開，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，線段為點(diǎn)到點(diǎn)的最短路線，此時(shí)；
將長(zhǎng)方體按如圖所示展開，得；
將長(zhǎng)方體按如圖所示展開，得；
∵，
∴螞蟻爬行的最短路線的長(zhǎng)是，
故選：．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，圓柱形容器的底面周長(zhǎng)是，高是，在外側(cè)地面S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處的點(diǎn)F處有一蒼蠅，急于捕捉蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線長(zhǎng)度是 ．
【答案】20
【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，畫出圓柱側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，結(jié)合勾股定理計(jì)算出最短路線即可．
【詳解】解：如圖所示，將圓柱沿著經(jīng)過點(diǎn)F的高展開，
由題意得，
在中，由勾股定理得，
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴蜘蛛所走最短路徑長(zhǎng)度為，
故答案為：20．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為和，高為．若一只螞蟻從點(diǎn)P開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為
【答案】
【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，先得到長(zhǎng)方體側(cè)面展開圖，再利用勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】解：長(zhǎng)方體側(cè)面展開圖如圖所示．
由題意，得，．
在中，，
∴；
故答案為：
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到的中點(diǎn)，若，點(diǎn)移動(dòng)的最短距離為5，則圓柱的底面周長(zhǎng)為 ．
【答案】6
【分析】本題考查利用勾股定理最短路徑問題，得出點(diǎn)P移動(dòng)的最短距離是是解答的關(guān)鍵．
根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求出即可求解．
【詳解】解：圓柱的側(cè)面展開圖如圖，點(diǎn)P移動(dòng)的最短距離為，
根據(jù)題意，，，
∴，
∴圓柱的底面周長(zhǎng)為．
故答案為：6．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，圓柱的高為，底面周長(zhǎng)為，用一根繩子由點(diǎn)A逆時(shí)針繞圓柱兩圈到點(diǎn)B，則這根繩子的長(zhǎng)度至少需要 ．
【答案】13
【分析】此題主要考查了平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是利用兩點(diǎn)之間，線段最短．關(guān)鍵是在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．將圓柱的側(cè)面展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定最短路線，再根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，將圓柱沿展開，設(shè)點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得的長(zhǎng)度和就是這根繩子的長(zhǎng)度的最短長(zhǎng)度．
由題可得：，
，
由勾股定理得：，，
，
故答案為：13．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，圓柱形杯子容器高為，底面周長(zhǎng)為，在杯子內(nèi)壁離杯底 的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯子外壁，離杯子上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到達(dá)內(nèi)壁處的最短距離為 ．
【答案】20
【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，軸對(duì)稱最短路徑問題，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作交延長(zhǎng)線于E，連接交于F，則的長(zhǎng)即為所求，據(jù)此利用勾股定理求解即可．
【詳解】解；如圖所示，將圓柱展開，
作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作交延長(zhǎng)線于E，連接交于F，
由題意得，，，
∴由勾股定理得，
故答案為：．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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