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2.8直角三角形全等的判定七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：用HL證明全等
【經典例題1】已知：如圖，中，D是中點，垂足為E，垂足為F，且，求證：是等腰三角形．

【答案】見解析
【分析】本題考查的知識點是全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質．由點是中點，可得，再證明可得，然后根據等角對等邊可得即可證明結論．
【詳解】證明：∵D是中點，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【變式訓練1-1】圖，已知，于點G，于點F，且．
(1)求證：；
(2)嗎？請說明理由；
(3)若，是什么三角形？
【答案】(1)見解析
(2)，見解析
(3)是等邊三角形
【分析】（1）由，，，，即可證明，
（2）由，即可證明，
（3）根據題意由余角的性質可得，即可得到是等邊三角形．
本題考查全等三角形的判定和性質以及直角三角形的性質和等邊三角形的判定，熟練掌握并證明三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：證明：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
（2）解：∵，
，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形．
【變式訓練1-2】如圖，已知點B、E、F、C依次在同一條直線上，，，垂足分別為F、E，且，．證明：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據推出，即可根據證明．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
【變式訓練1-3】如圖，已知，E、在線段上，與交于點，且，．求證：
【答案】見詳解
【分析】由于與是直角三角形，根據直角三角形全等的判定的方法即可證明．此題考查了直角三角形全等的判定，解題關鍵是由通過等量代換得到．
【詳解】證明：，
，即，
，
與都為直角三角形，
在和中，
，
．
【變式訓練1-4】如圖，在 中，為 的高，點 為 上一點，交 于點 F，，． 求證： ．

【答案】證明見解析
【分析】此題考查了全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質和判定．
首先根據題意得到，然后證明出，進而得到結論．
【詳解】為 的高，
，
，
在和中，
，
．
【變式訓練1-4】如圖，，點、分別在、上，，、垂足分別為、，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了兩個直角三角形全等的判定方法的運用，即：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．根據判定兩個三角形全等的方法“斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”可證，從而得出，進而可證得，從而得出．
【詳解】證明：，，
和是直角三角形，
在和中，
，
．
．
又，
；
．
在和中，
，
．
．
【變式訓練1-5】如圖，已知，若用“”證明，需添加什么條件？寫出來并證明．
【答案】，證明見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據“”證明，已知，則添加（斜邊相等）即可證明．
【詳解】解：條件是，
，
，
和是直角三角形，
證明：在和中，
，
．
題型二：利用“HL”求線段長度
【經典例題2】如圖，在中，，，邊的垂直平分線交的外角的平分線于點D，垂足為E，于點F，于點G，連接．則的長是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定，線段的垂直平分線定理，角平分線性質等知識點，添加適當的輔助線構造全等三角形是解此題的關鍵．
連接，證，得出，再證，得 ，然后證，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
．
故選：A．
【變式訓練2-1】如圖，在中，，，平分，交于點，于點，且，則的周長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的性質與判定，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，然后求出的周長．
【詳解】解：平分，，，
，
在和中，
，
，
，
的周長，
，
，
，
，
，
，
的周長為．
故選：B
【變式訓練2-2】如圖所示，在中，，為的平分線，，，，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線的性質定理、角平分線的定義，由角平分線的定義得出，再由角平分線的性質定理即可得出，再證明即可得出，即可得解．
【詳解】解：∵為的平分線，
∴，
∵，，
∴，
在和，
，
∴
∴，
∴．
故選：A．
【變式訓練2-3】在中，，是上的一點，且，過作交于，如果，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查三角形全等的判定和性質．利用“”得到，利用全等三角形對應邊相等得到，最后根據，等量代換即可確定出的長．熟練掌握三角形全等的判定定理及性質定理是解題關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
【變式訓練2-4】如圖， 在中，，的平分線交于點E，于點 D， 若 的周長為12，則 的周長為 4 ，則為 （　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本題考查角平分線的性質、全等三角形的性質與判定，根據角平分線的性質可得，，證得，可得，再根據三角形周長可得，即可求解．
【詳解】解：∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵ 的周長為 4 ， 的周長為12，
∴，，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練2-5】如圖，在中，，，是的角平分線，于點．若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形性質和三角形內角和定理得到，利用角平分線性質得到，利用三角形內角和定理得到，進而得到，利用勾股定理得到，進而得到，再證明，利用全等三角形性質得到，即可求得的長．
【詳解】解：，，
，
是的角平分線，于點，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故選：C．
【點睛】本題考查等腰三角形性質，三角形內角和定理，角平分線性質，勾股定理，全等三角形性質和判定，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．
題型三：利用“HL”求角度
【經典例題3】如圖，中，的平分線與邊的垂直平分線交于點，過作于點，連接，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作，連接，如圖所示，由中垂線的性質得到，結合等腰三角形的判定與性質得到，再結合角平分線的性質及三角形全等的判定與性質得到．
【詳解】解：過點作，連接，如圖所示：
點在線段的垂直平分線上，
，
，
點在的角平分線上，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查求角度，涉及中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形全等的判定與性質等知識，熟記相關幾何性質，數形結合表示角度是解決問題的關鍵．
【變式訓練3-1】如圖，中，，中，，，邊上的高相等，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質，三角形外角的性質，熟練掌握全等三角形的判定及性質是關鍵．分別過、兩點作，于點、，證明得利用三角形的外角性質即可得解。
【詳解】解：分別過、兩點作，于點、，
∵在和中，
∴
∴
∵，
∴
故選：．
【變式訓練3-2】如圖，，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據直角三角形兩銳角互余求出，再利用“”證明和全等，根據全等三角形對應角相等可得．本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形兩銳角互余的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖：
，，
，
在和中，
，
，
．
故選：C．
【變式訓練3-3】如圖，已知于點，交于點，于點，且．若，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的內角和定理，先由、得到，然后結合，得證，進而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小．
【詳解】解：，，
，
，，
，
，
，，
，
．
故選：B．
【變式訓練3-4】如圖，在等腰三角形中，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的邊上的一點，則當為等腰三角形時，的度數是（ ）
A． B． C．減 D．或
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．過D作，，易證，，再根據四邊形內角和即可得到答案．
【詳解】解：連接，
∵，，
∴，
∵點P是等腰的腰上的一點，，D為的中點，
∴，
過D作，，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故選C
【變式訓練3-5】如圖，的外角的平分線與內角的平分線相交于點，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據外角與內角性質得出的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出，即可得出答案
【詳解】解：延長，作，，，

設，
∵平分，
∴，，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴．
故選．
【點睛】本題考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據角平分線的性質得出是解題的關鍵．
題型四：添條件問題
【經典例題4】如圖，于P，，添加下列一個條件，能利用“”判定的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據利用“”判定，必須添加斜邊相等即可得出答案，熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵于P，，
∴利用“”判定，必須添加斜邊相等，即，
故選：D．
【變式訓練4-1】如圖，，，要根據“”證明，還應添加一個條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據垂直定義求出，再根據全等三角形的判定定理推出即可．
【詳解】解：還需要添加的條件是，
理由是：∵，，
，
在和中，
，
∴，
故選：C．
【變式訓練4-2】如圖，在和中，點B、D、C、E在同一條直線上，點C和點E重合．，，若添加一個條件后可用“”定理證明，添加的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．根據進行判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，添加的條件為，
∵，，
∴，
故選：D．
【變式訓練4-3】如圖，已知在和中，，，，若用“HL”判定，則需要添加的條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了對全等三角形判定定理的理解和掌握，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．根據全等三角形的判定定理進行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
.，，符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項符合題意；
.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，是證明三角形全等的，故該選項不符合題意；
.，，不符合兩直角三角形全等的判定定理，是證明三角形全等的，故該選項不符合題意；
.，，不能證明這兩個直角三角形全等，故該選項不符合題意；
故選：．
【變式訓練4-4】如圖，，，要根據“HL”證明，則還需要添加一個條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據垂直定義求出，再根據全等三角形的判定定理推出即可．
【詳解】解：還需要添加的條件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
，
故選：D．
【變式訓練4-5】如圖，已知，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定定理的應用，根據垂直定義得出，根據圖形可知是公共直角邊，根據直角三角形全等的判定得出需要添加的條件是斜邊相等，能熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
故選：．
【變式訓練4-6】如圖，于點D，于點F，．證明不是利用“”的條件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等是解答本題的關鍵．根據直角三角形全等的判定方法進行判斷即可．
【詳解】解：∵于點D，于點F，．
∴，
∵，
∴補充：或，
可得：，故A，C不符合題意；
補充，
∴，
∴，故D不符合題意；
補充，
∴，
∴，故B符合題意；
故選B
題型五：直角三角形全等判定綜合問題之多結論問題
【經典例題5】如圖，在中，為上一點，，垂足為，垂足為，下面結論：①；②；③，其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】連接，直接證明，即可求證③，再利用等腰三角形的性質導角，可以判定，可判斷②．
【詳解】證明：連接，
∵，，
∴和均為直角三角形，
∵，
∴，故③符合題意；
∴，故①符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴， 故②符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，平行線的判定，等腰三角形的性質，掌握基礎知識是解本題的關鍵．
【變式訓練5-1】如圖，在三邊都不相等的中，，垂足為M，，垂足為N，且，Q在AC上，，下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等邊對等角，平行線的性質與判定等等：先證明得到，再由等邊對等角推出，則，據此可判斷①②；再根據，即可判斷③；由平行線的性質得到，由，得到，據此可判斷④．
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，故③正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④錯誤；
故選：C．
【變式訓練5-2】如圖，點D是的外角平分線上一點，且滿足，過點D作于點E ，交的延長線于點F，則下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題考查角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并準確識圖判斷出全等的三角形是解題的關鍵．根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，再證明；然后得到，證明，得，然后求出；根據得到，然后由，即可證明出；根據可得，然后根據三角形內角和定理得到．
【詳解】解：如圖所示，
∵平分，，，
∴，
在和中，
∴，故①不符合題意；
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，故②符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故③不符合題意；
∵，
∴，
又∵，
∴，故④符合題意；
故選B．
【變式訓練5-3】如圖，中，、的角平分線、交于點，延長、，，，則下列結論中正確的個數（ ）
①；②；③；④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定和性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．過點作于，根據角平分線的判定定理和性質定理判斷①；證明，根據全等三角形的性質得出，判斷②；根據三角形的外角性質判斷③；根據全等三角形的性質判斷④．
【詳解】解：①過點作于，
平分，平分，，，，
，，
，
，，，
，，，
與不一定相等，
與不一定相等，
點不一定是的中點，
與不一定相等，故①不正確；
②，，
，
，
，
，
，
，
，
，②正確；
③平分，平分，
，，
，③正確；
④由①可知，
，，
，故④正確，
故選：C．
【變式訓練5-4】如圖，在等邊中，于D，延長到E，使，F是的中點，連接并延長交于G，的垂直平分線分別交于點M，點N，連接，下列結論：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】①根據角的和與差及等腰三角形的性質可判斷①正確；
②設，則，表示和的長，可判斷②正確；
③作輔助線，構建三角形全等，先根據角平分線的性質得，由線段垂直平分線的性質得，證明，可判斷③正確；
④分別表示和的長，可判斷④不正確；
⑤根據等邊三角形的性質和三角形外角的性質得，由，可得，可判斷⑤錯誤．
【詳解】解：是等邊三角形，
，
是的中點，
，
，
，
，
，
，故⑤正確；
設，則，
，，
中，，
，
，故②正確；
③如圖，過N作于H，連接，
在等邊三角形中，
，
平分，
，
，
是的垂直平分線，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故③正確；
是的垂直平分線，
，
等邊中，，
，
，故④錯誤；
，
，
，
，
，故①錯誤；，
綜上所述，正確的②③⑤，共3個，
故選：B
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、含角的直角三角形的性質等知識；熟練掌握勾股定理和等邊三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
【變式訓練5-5】如圖，為的外角平分線上一點并且滿足，．過作于，交的延長線于，則下列結論：；②；；．其中正確的結論有（ ）

A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，準確計算是解題的關鍵．
根據角平分線的性質和定理判斷全等即可；
【詳解】解：∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正確；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，

又∵，
∴，故③正確；
∵平分，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，故④正確；
綜上所述，正確的有①②③④；
故選D．
【變式訓練5-6】如圖，在中．．，平分，于點，則下列結論：①平分；②；③平分；④，正確的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】證明判斷①；利用余角性質判斷②；根據等腰三角形的三線合一判斷③；利用全等三角形的性質及等角對等邊判斷④．此題考查了角平分線的性質定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．
【詳解】解：，平分，，
，
在和中，
，
∴，
，
平分，故①正確；
，
，
，故②正確；
，
，
不平分，故③不正確；
，，
，
，
，
，
，
，，
，故④正確；
故選：C．
題型六：直角三角形全等判定綜合問題之動點問題
【經典例題6】如圖，，垂足為點A，，，射線，垂足為點B，一動點E從A點出發以2/秒的速度沿射線運動，點D為射線上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持，當點E運動t秒時，與全等．則符合條件的t值有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查三角形全等的判定和性質，一元一次方程的應用．利用分類討論的思想，結合三角形全等的判定和性質列出方程求解即可；分類討論：①當點E在線段上，且時，②當點E在線段延長線上，且時，③當點E在線段上，且時和④當點E在線段延長線上，且時，再分別列出一元一次方程求解即可．
【詳解】解：分類討論：①當點E在線段上，且時，，
∵動點E的速度為2/秒，
∴，
∴，
解得：；
②當點E在線段延長線上，且時，，
∵動點E的速度為2/秒，
∴，
∴，
解得：；
③當點E在線段上，且時，，
∵動點E的速度為2/秒，
∴，
∴，
解得：；
④當點E在線段延長線上，且時，，
∵動點E的速度為2/秒，
∴，
∴，
解得：．
綜上可知符合條件的t值有4個．
故選C．
【變式訓練6-1】如圖，中，，，，平分，動點M從點A出發，以每秒的速度沿邊勻速運動，連接，當是以為為腰的等腰三角形時，點M的運動時間為 秒．
【答案】或4或
【分析】本題考查了角平分線的性質，勾股定理，等腰三角形的定義，全等三角形的性質與判定；分三種情形：①當時，點在上，②當時，分別構建方程求解即可；
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，
∵中，，，，
∴，
設，，
∵平分，
∴，則，
在中，
∴
∴，則
在中，
解得：
∴，則
①當時，
動點從點出發，以每秒的速度沿邊勻速運動，
∴點的運動時間為秒，
②當時，當在上時，
∵
∴
∴點的運動時間為秒，
當在上時，
在中，
∴
∴
∴
∴點的運動時間為秒
綜上所述，點的運動時間或4或
故答案為：或4或．
【變式訓練6-2】如圖，，垂足為點A，，，射線，垂足為點B，一動點E從A點出發以2厘米/秒沿射線運動，點D為射線上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持，當點E經過 秒時，與全等．
【答案】0，3，9，12
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質，分四種情況：當E在線段上，時，；當E在上，時，；當E在線段上，時，；當E在上，時，；分別利用三角形全等的性質進行求解即可，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴
①當E在線段上，時，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點E的運動時間為（秒）；
②當E在上，時，，
則，
∴，
點E的運動時間為（秒）；
③當E在線段上，時，
∵，
∴，
這時E在A點未動，因此時間為0秒；
④當E在上，時，，
則，
∴，
點E的運動時間為（秒）．
綜上所述，當點E經過0秒，或3秒，9秒，12秒時，與全等．
故答案為：0，3，9，12．
【變式訓練6-3】如圖，，垂足為，，，射線，垂足為，動點從點出發以的速度沿射線運動，點為射線上一動點，滿足，隨著點運動而運動，當點運動 秒時，與點、、為頂點的三角形全等（時間不等于）．
【答案】或或
【分析】本題考查了三角形全等的判定，分兩種情況：①當 P在線段 上，②當 P在射線 上，再分別分和 兩種情況解答即可求解，運用分類討論思想解答是解題的關鍵．
【詳解】解：①當在線段上，時，，
∵，
∴，
∴，
∴點的運動時間為秒；
②當在線段上，時，，
則，
∴，
即時間為秒，不合題意；
③當在射線上，時，，
∴，
∴，
∴點的運動時間為秒；
④當在射線上，時，，
則，
∴，
∴點的運動時間為秒；
綜上，當點運動或或秒時，與點、、為頂點的三角形全等，
故答案為：或或．
【變式訓練6-4】如圖，在中，，厘米，厘米，動點以4厘米/秒的速度從點向點運動，動點以2厘米/秒的速度從點向點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為秒．
(1)與有什么數量關系______；
(2)求證：在運動過程中，不管取何值，都有；
(3)當取何值時，與全等．
【答案】(1)=．
(2)見詳解．
(3)當秒時，△DFE與△DMG全等．
【分析】（1）在RtAFD和RtAMD中，由“HL”可證RtAFD≌RtAMD，可得AF=AM；
（2）由角平分線的性質得DF=DM，再由三角形的面積公式可求解；
（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質可求解．
【詳解】（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
在RtAFD和RtAMD中，，
∴RtAFD≌RtAMD（HL）；
∴AF=AM；
故答案為：AF=AM
（2）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵，，
∴，
∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，
動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，
∴AE=4t（cm），CG=2t（cm），
∴即，
∴在運動過程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC．
（3）解：若△DFE與△DMG全等，且DF=DM，∠EFD=∠GMD=90°，
∴EF=MG，
①當0＜t＜2時，點G在線段CM上，點E在線段AF上，
∴EF=10-4t,MG=4-2t,
∴10-4t=4-2t,
∴t=3（不合題意，舍去）；
②當2≤t＜2.5時，點G在線段AM上，點E在線段AF上，
EF=10-4t,MG=2t-4，
∴10-4t=2t-4，
∴；
綜上所述，當秒時，DFE與DMG全等；
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質以及三角形面積等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
【變式訓練6-5】如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣B﹣C方向，朝著點C運動．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．
　
(1)在運動過程中，當t 取何值時，點P恰好在∠BAC的角平分線上；
(2)在運動過程中，當t 取何值時，△PBC是等腰三角形．
【答案】(1)t＝時，點P恰好在∠BAC的角平分線上
(2)當t的值為1.4或2或2.5時，△PBC是等腰三角形
【分析】（1）當點P'在∠BAC的角平分線上時，過點P作PD⊥AB，在△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，證明Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），得AD＝AC＝8，從而求得BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，求解即可；
（2）由圖可知，當△BCP是等腰三角形時，點P必在線段AB上，分三種情況：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分別求得點P運動的路程，再除以速度即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，當點P在∠BAC的角平分線上時，過點P作PD⊥AB，
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC.
由題意知，PD=PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t，BP＝2t﹣10.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8；
∵PC=PD，AP=AP，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝2.
在Rt△BDP中，22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得t＝．
（2）解：①若BC＝BP，
則點P運動的長度為AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2.
②若PC＝BC，
過點C作CH⊥AB于點H，則BP＝2BH.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB CH＝AC BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝＝＝3.6，
∴BP＝2BH＝7.2.
∴點P運動的長度為AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4.
③若PC＝PB，
則∠PCB=∠B.
∵∠PCB+∠PCA =∠A+∠B=90°，
∴∠PCA =∠A
∴AP=PC=PB=5.
點P運動的長度為AP＝2t＝5，
∴t＝2.5．
綜上，t的值為1.4或2或2.5．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理在動點問題中的應用，數形結合、分類討論并熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．
題型七：直角三角形全等綜合
【經典例題7】如圖，已知平分的外角，為上一點，．
(1)如圖，求證：；
(2)判斷的形狀并證明；
(3)如圖，過點作于點，若，，求線段的長．
【答案】(1)見解析
(2)是等腰三角形，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據三角形內角和定理以及對頂角相等即可解決問題；
（2）在射線上截取，連接，證明，得到，再證明即可；
（3）作于點E證明，即可．
【詳解】（1）如圖，設交于點．
，，
又，，
（2）結論：是等腰三角形．
理由：在射線上截取，連接．
平分，
．
在和中，
∵，
，
，．
，
，
，
，即為等腰三角形；
（3）如圖，作于點G．
平分，，，
．
在和中，
，
．
在和中，
，
，
．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題．
【變式訓練7-1】如圖，在中，，于點D，平分交于點，交于點，過點作，交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】（1）根據平行線的性質，得到，即可得證；
（2）角平分線的性質，得到，證明，得到，進而得到是線段的垂直平分線，分割法求出四邊形的面積即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴是線段的垂直平分線，
∴四邊形的面積．
【點睛】本題考查平行線的性質，三角形的內角和定理，角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，中垂線的判定，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．
【變式訓練7-2】如圖，中，，于點D．
(1)求證：；
(2)過點C作于點E，交于點F，若．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定和性質是本題的關鍵．
（1）由“”即可證；
（2）由直角三角形的性質可得，，從而得出，再由“”可證，可得，再證明即可得結論．
【詳解】（1）證明：，
，
在和中，
，
；
（2）證明：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練7-3】如圖1，平分，，，垂足分別為點D、E．
(1)求證：；
(2)在圖1的條件下，如圖2，點M、N分別在、上，且，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)4
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，（1）根據角平分線性質得到，利用證明，根據全等三角形的性質即可得解；
（2）利用證明，根據全等三角形的性質得出，根據線段的和差求解即可．
【詳解】（1）證明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練7-4】如圖，在中，，于點D，平分交于點E，交于點F，過點E作，交AB于點G，連接．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)10
【分析】（1）根據，，得到得到即可證明．
（2）根據平分，且，繼而得證．
（3）先證明，再判定線段垂直平分線，利用三角形面積公式解答即可．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）證明：∵平分，且，，
∴．
（3）解：∵
∴．
∴．
∴直線是線段的垂直平分線，
∴，
∴四邊形的面積為．
【點睛】本題考查了角平分線的性質，平行線的性質，全等三角形的性質，線段垂直平分線的判定，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
【變式訓練7-5】如圖，已知，垂直平分線段，平分，于點，于點．
(1)求證：；
(2)若，求；
(3)試探索線段、、三者之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)，理由見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線性質、線段垂直平分線性質及三角形內角和定理等知識，熟練運用全等三角形的判定與性質、角平分線性質、線段垂直平分線性質及三角形內角和定理是解題的關鍵．
（1）根據角平分線性質得到，根據線段垂直平分線性質得到，利用即可判定；
（2）根據全等三角形的性質及等腰三角形的性質推出，，根據三角形內角和定理推出，根據鄰補角定義求解即可；
（3）根據全等三角形的性質及線段的和差求解即可．
【詳解】（1）證明：平分，于點，于點，
，
垂直平分線段，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練7-6】如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點在邊上，連接，過點作，垂足為，若．
(1)求證：①；
②；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)
【分析】（1）①根據條件可證得，然后根據角的關系即可得證；②連接，根據條件可證得，然后根據邊長關系等量代換即可得解；
（2）由三角形全等的性質可得到，根據等邊對等角性質得到，由三角形內角和計算出，然后由即可得解．
【詳解】（1）證明：①，，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
②連接，
，，
，
在和中，
，
，
，
由①知，
，
；
（2）解：，
，
由①知，
，
，
，
，
又，
，
，
．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質、等腰三角形性質、三角形內角和等知識，熟練掌握相關知識并采用等量代換的方法是解題關鍵．
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2.8直角三角形全等的判定七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：用HL證明全等
【經典例題1】已知：如圖，中，D是中點，垂足為E，垂足為F，且，求證：是等腰三角形．

【變式訓練1-1】圖，已知，于點G，于點F，且．
(1)求證：；
(2)嗎？請說明理由；
(3)若，是什么三角形？
【變式訓練1-2】如圖，已知點B、E、F、C依次在同一條直線上，，，垂足分別為F、E，且，．證明：．
【變式訓練1-3】如圖，已知，E、在線段上，與交于點，且，．求證：
【變式訓練1-4】如圖，在 中，為 的高，點 為 上一點，交 于點 F，，． 求證： ．

【變式訓練1-4】如圖，，點、分別在、上，，、垂足分別為、，且．求證：．
【變式訓練1-5】如圖，已知，若用“”證明，需添加什么條件？寫出來并證明．
題型二：利用“HL”求線段長度
【經典例題2】如圖，在中，，，邊的垂直平分線交的外角的平分線于點D，垂足為E，于點F，于點G，連接．則的長是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練2-1】如圖，在中，，，平分，交于點，于點，且，則的周長為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖所示，在中，，為的平分線，，，，則等于（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】在中，，是上的一點，且，過作交于，如果，則等于（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】如圖， 在中，，的平分線交于點E，于點 D， 若 的周長為12，則 的周長為 4 ，則為 （　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【變式訓練2-5】如圖，在中，，，是的角平分線，于點．若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
題型三：利用“HL”求角度
【經典例題3】如圖，中，的平分線與邊的垂直平分線交于點，過作于點，連接，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖，中，，中，，，邊上的高相等，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】如圖，，則 （ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-3】如圖，已知于點，交于點，于點，且．若，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練3-4】如圖，在等腰三角形中，，D為的中點，點E在上，，若點P是等腰三角形的邊上的一點，則當為等腰三角形時，的度數是（ ）
A． B． C．減 D．或
【變式訓練3-5】如圖，的外角的平分線與內角的平分線相交于點，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
題型四：添條件問題
【經典例題4】如圖，于P，，添加下列一個條件，能利用“”判定的條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，，，要根據“”證明，還應添加一個條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖，在和中，點B、D、C、E在同一條直線上，點C和點E重合．，，若添加一個條件后可用“”定理證明，添加的條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】如圖，已知在和中，，，，若用“HL”判定，則需要添加的條件是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練4-4】如圖，，，要根據“HL”證明，則還需要添加一個條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-5】如圖，已知，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練4-6】如圖，于點D，于點F，．證明不是利用“”的條件是（　　）
A． B． C． D．
題型五：直角三角形全等判定綜合問題之多結論問題
【經典例題5】如圖，在中，為上一點，，垂足為，垂足為，下面結論：①；②；③，其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【變式訓練5-1】如圖，在三邊都不相等的中，，垂足為M，，垂足為N，且，Q在AC上，，下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練5-2】如圖，點D是的外角平分線上一點，且滿足，過點D作于點E ，交的延長線于點F，則下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練5-3】如圖，中，、的角平分線、交于點，延長、，，，則下列結論中正確的個數（ ）
①；②；③；④．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練5-4】如圖，在等邊中，于D，延長到E，使，F是的中點，連接并延長交于G，的垂直平分線分別交于點M，點N，連接，下列結論：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式訓練5-5】如圖，為的外角平分線上一點并且滿足，．過作于，交的延長線于，則下列結論：；②；；．其中正確的結論有（ ）

A．個 B．個 C．個 D．個
【變式訓練5-6】如圖，在中．．，平分，于點，則下列結論：①平分；②；③平分；④，正確的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
題型六：直角三角形全等判定綜合問題之動點問題
【經典例題6】如圖，，垂足為點A，，，射線，垂足為點B，一動點E從A點出發以2/秒的速度沿射線運動，點D為射線上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持，當點E運動t秒時，與全等．則符合條件的t值有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練6-1】如圖，中，，，，平分，動點M從點A出發，以每秒的速度沿邊勻速運動，連接，當是以為為腰的等腰三角形時，點M的運動時間為 秒．
【變式訓練6-2】如圖，，垂足為點A，，，射線，垂足為點B，一動點E從A點出發以2厘米/秒沿射線運動，點D為射線上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持，當點E經過 秒時，與全等．
【變式訓練6-3】如圖，，垂足為，，，射線，垂足為，動點從點出發以的速度沿射線運動，點為射線上一動點，滿足，隨著點運動而運動，當點運動 秒時，與點、、為頂點的三角形全等（時間不等于）．
【變式訓練6-4】如圖，在中，，厘米，厘米，動點以4厘米/秒的速度從點向點運動，動點以2厘米/秒的速度從點向點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為秒．
(1)與有什么數量關系______；
(2)求證：在運動過程中，不管取何值，都有；
(3)當取何值時，與全等．
【變式訓練6-5】如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線A﹣B﹣C方向，朝著點C運動．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．
　
(1)在運動過程中，當t 取何值時，點P恰好在∠BAC的角平分線上；
(2)在運動過程中，當t 取何值時，△PBC是等腰三角形．
題型七：直角三角形全等綜合
【經典例題7】如圖，已知平分的外角，為上一點，．
(1)如圖，求證：；
(2)判斷的形狀并證明；
(3)如圖，過點作于點，若，，求線段的長．
【變式訓練7-1】如圖，在中，，于點D，平分交于點，交于點，過點作，交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若，，求四邊形的面積．
【變式訓練7-2】如圖，中，，于點D．
(1)求證：；
(2)過點C作于點E，交于點F，若．求證：．
【變式訓練7-3】如圖1，平分，，，垂足分別為點D、E．
(1)求證：；
(2)在圖1的條件下，如圖2，點M、N分別在、上，且，，，求的長．
【變式訓練7-4】如圖，在中，，于點D，平分交于點E，交于點F，過點E作，交AB于點G，連接．
(1)求證：；
(2)求證：；
(3)若，，求四邊形的面積．
【變式訓練7-5】如圖，已知，垂直平分線段，平分，于點，于點．
(1)求證：；
(2)若，求；
(3)試探索線段、、三者之間的數量關系，并說明理由．
【變式訓練7-6】如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點在邊上，連接，過點作，垂足為，若．
(1)求證：①；
②；
(2)若，，求的度數．
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