資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.4.1等腰三角形的判定定理（一）八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：格點圖中畫等腰三角形
【經典例題1】如圖，在正方形網格中，A，B兩點都在小方格的頂點上，如果點C也是圖中小方格的頂點，且是等腰三角形，那么點C的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練1-1】如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點C的個數是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式訓練1-2】如圖，網格中的每個小正方形的邊長為1，A，B是格點，以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式訓練1-3】如圖，在方格紙中，每一個小正方形的邊長為1，按要求畫一個三角形，使它的頂點都在小方格的頂點上．
(1)在圖1中畫一個以為直角邊且面積為3的直角三角形．
(2)在圖2中畫一個以為腰的等腰三角形．
【變式訓練1-4】在的正方形網絡中，B，C兩點均在格點上，請僅用無刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作圖痕跡）．
(1)如圖1，作以為腰的銳角三角形；
(2)如圖2，作以為底的銳角三角形．
【變式訓練1-5】如圖，在的方格紙中，線段的端點均在格點上，請用無刻度直尺按要求畫圖．

(1)如圖1，畫出一條線段，使．，且點C在格點上；
(2)如圖2，畫兩線段，使是等腰直角三角形，且點C在格點上；
(3)如圖3，畫線段，使它垂直平分線段，且點E，點F都在格點上．
【變式訓練1-6】在如圖所示的方格紙中，是格點三角形，請按以下要求畫格點三角形．
(1)在圖1中畫一個，使得和全等．
(2)在圖2中畫一個等腰，使得和的面積相等．
題型二：找出圖中的等腰三角形
【經典例題2】如圖，在中，，，平分交于點，交于點，則圖中共有等腰三角形（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式訓練2-1】如圖所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【變式訓練2-2】如圖，在中，，，點在的垂直平分線上，平分，則圖中等腰三角形的個數是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式訓練2-3】如圖，在中，已知邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點，連接，則圖中有 個等腰三角形．
【變式訓練2-4】如圖，，，則圖中的等腰三角形有 個．
【變式訓練2-5】如圖，在中，，點在上，且，求：
(1)圖中有哪些等腰三角形？
(2)各角的度數．
題型三：根據等邊對等角證明等腰三角形
【經典例題3】如圖，平分，且，求證：為等腰三角形．
【變式訓練3-1】如圖，已知在中，，是角平分線，過點B作的垂線與的延長線相交于點E，求證：是等腰三角形．
【變式訓練3-2】如圖，在中，，與的平分線相交于點，延長交于點，過點作交于，作交于點．
(1)求證：為等腰三角形；
(2)求證：．
【變式訓練3-3】如圖，在中，的平分線交于點．判斷是否為等腰三角形 請說明理由．

【變式訓練3-4】如圖，在△ABC中，平分交于點D，過點D做的平行線交于點E，請判斷的形狀，并說明理由．
【變式訓練3-5】已知：如圖，的高相交于點，且．求證：是等腰三角形；
題型四：利用等角對等邊證明邊相等
【經典例題4】如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點D，且，的周長等于．
(1)求的長；
(2)若，并且，求證：．
【變式訓練4-1】如圖，中，，點D在的延長線上，連接平分交于點E，過點E作，垂足為點F，與相交于點G．．
(1)求證：；
(2)若，，求和的度數；
(3)求證：．
【變式訓練4-2】如圖，已知中，過點作的平分線的垂線，垂足為，作交于，求證：．
【變式訓練4-3】已知：如圖，B、E、F、C四點在同一條直線上，，，．求證：．
【變式訓練4-4】如圖，在中，平分是上一點，，交于點，交的延長線于點，交的延長線于點．

(1)求證：是等腰三角形；
(2)求證：．
【變式訓練4-5】如圖，是的外角的平分線，且，，，求的周長．
題型五：根據等邊對等角求邊長
【經典例題5】如圖，在中，的平分線交于點O，過點O作分別交于點E，F，若，則的周長是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【變式訓練5-1】如圖，，，，，為的中點，連接，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，在中，是的平分線，交于點E，若，則 ．
【變式訓練5-3】如圖，在中，是邊上的中線，延長至點E，使得，連接．若．則的長為 ．
【變式訓練5-4】如圖，中，、分別平分和，過點平行于的直線分別交、于點、，已知，，的周長為 ．
【變式訓練5-5】如圖，在中，，，沿過點A的直線折疊這個三角形，使點C落在邊上的點E處，折痕為，若，則的長是 ．
【變式訓練5-6】如圖，在中，，，，點D是邊的中點，點E是邊上一動點，將沿折疊得到，連接，當是直角三角形時，的長為 ．

題型六：等腰三角形的實際應用
【經典例題6】如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向的M處，它以每小時45海里的速度向正北方向航行，2小時后到達位于燈塔P的北偏東的N處，則N處與燈塔P的距離為 海里．

【變式訓練6-1】上午9時，一條船從海島A出發，以15海里/時的速度向正北航行，12時到達海島B處，從A、B望燈塔測得，，那么從海島B到燈塔C的距離為 海里．
【變式訓練6-2】小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點為P，邊與其中一把直尺邊緣的交點為C，則的長度是
【變式訓練6-3】如圖，一條筆直的公路經過處和公園，現要進一步開發景區，經測量，景區位于處的北偏東方向上、位于公園的北偏東方向上，且，則公園與景區的距離為 ．

【變式訓練6-4】如圖，小明家位于學校P的南偏東方向的M處，小明從家向正北方向走500米后到達位于學校的北偏東的圖書館N處，則圖書館N處與學校P的距離為 米．
題型七：等腰三角形中找規律問題
【經典例題7】如圖，在射線，上分別截取，連接，在，上分別截取，連接，按此規律作下去，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-1】如圖，已知：，點、、、…在射線ON上，點、、、…在射線OM上，、、、…均為等邊三角形，若，則的邊長為（　　）

A．32 B．64 C．128 D．256
【變式訓練7-2】如圖，已知，點在射線上，點在射線上，均為等邊三角形．若，則的邊長為（ ）
A．32 B．16 C．48 D．64
【變式訓練7-3】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點N在x軸正半軸上，點，，……在射線上，點，，……在射線上，，，，……均為等邊三角形，依此類推，若，則
【變式訓練7-4】如圖，已知，點在射線上，點在射線上．均為等邊三角形，若，則的邊長為 ．
題型八：等腰三角形綜合證明
【經典例題8】在中，平分于D，交于H，，連接交于G．
(1)求證：．
(2)求證：．
(3)請寫出與的位置關系，并說明理由．
【變式訓練8-1】如圖1，已知和都是等邊三角形，且A、C、E三點共線，與交于點．
(1)證明：；
(2)直接寫出的度數；
(3)如圖2連接，探究、、之間滿足數量關系，并證明．
【變式訓練8-2】在等腰中，，高所在的直線相交于點F，將沿直線翻折，點C的對稱點落在直線上，連接．
(1)如圖1，當時，
①求證：；
②求的度數．
(2)當時，補全圖2，并求證：．
【變式訓練8-3】如圖，在中，，點D，E，F分別在邊上，且，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)求證：；
(3)當時，求的度數．
【變式訓練8-4】如圖，在中，，點D在邊上，連接．
(1)利用尺規作圖，在右側，求作線段，使得，且．（不寫作法與證明過程，保留作圖痕跡）
(2)連接，若．求的度數．
【變式訓練8-5】如圖，在中，，過點C作，且，過點D作于點E．
(1)求證：；
(2)連接，若F為的中點，連接，試判斷的形狀，并說明理由．
【變式訓練8-6】如圖1，已知和都是等邊三角形，且點E在線段上．
(1)求證：；
(2)過點E作交于點G，試判斷的形狀并說明理由；
(3)如圖2，若點D在射線上，且，求證：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
2.4.1等腰三角形的判定定理（一）八大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：格點圖中畫等腰三角形
【經典例題1】如圖，在正方形網格中，A，B兩點都在小方格的頂點上，如果點C也是圖中小方格的頂點，且是等腰三角形，那么點C的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查根據線段構造等腰三角形，可分別以當為腰時，當為底時，這兩種情況構造等腰三角形，即可找出點C．
【詳解】解：當為腰時，點C的個數有2個；
當為底時，點C的個數有1個，
故選：C．
【變式訓練1-1】如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點C的個數是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本題考查的是網格等腰三角形的特點，分以為腰，以為底邊兩種情況確定C即可；清晰的分類討論是解本題的關鍵．
【詳解】解：如圖，點C的個數有8個，
故選：C．
【變式訓練1-2】如圖，網格中的每個小正方形的邊長為1，A，B是格點，以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義、格點問題等知識點，根據題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．
根據等腰三角形的定義畫出符合題意的等腰三角形，然后統計即可解答．
【詳解】解：如圖:根據等腰三角形的定義畫出符合題意的等腰三角形如下：
以A、B、C為等腰三角形頂點的所有格點C的個數為8個．
故選C．
【變式訓練1-3】如圖，在方格紙中，每一個小正方形的邊長為1，按要求畫一個三角形，使它的頂點都在小方格的頂點上．
(1)在圖1中畫一個以為直角邊且面積為3的直角三角形．
(2)在圖2中畫一個以為腰的等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖，等腰三角形的判定和性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考常考題型；
（1）根據要求利用數形結合的思想解決問題即可；
（2）根據等腰三角形的定義作出圖形(答案不唯一)．
【詳解】（1）解：如圖即為所求；
（2）解：如圖即為所求．
【變式訓練1-4】在的正方形網絡中，B，C兩點均在格點上，請僅用無刻度的直尺按下列要求作出等腰三角形（保留作圖痕跡）．
(1)如圖1，作以為腰的銳角三角形；
(2)如圖2，作以為底的銳角三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖、等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解答本題的關鍵．
（1）根據等腰三角形的判定按要求畫圖即可．
（2）根據等腰三角形的判定，使，且滿足為銳角三角形即可．
【詳解】（1）如圖1，即為所求（答案不唯一）．
（2）如圖2，即為所求（答案不唯一）．
【變式訓練1-5】如圖，在的方格紙中，線段的端點均在格點上，請用無刻度直尺按要求畫圖．

(1)如圖1，畫出一條線段，使．，且點C在格點上；
(2)如圖2，畫兩線段，使是等腰直角三角形，且點C在格點上；
(3)如圖3，畫線段，使它垂直平分線段，且點E，點F都在格點上．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】題目主要考查利用網格作圖及等腰三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵．
（1）根據等腰三角形的定義及網格作圖即可；
（2）根據等腰直角三角形的定義及網格作圖即可；
（3）根據線段垂直平分線的性質及網格作圖即可．
【詳解】（1）解：如圖所示點C即為所求；

（2）如圖所示線段，即為所求；

（3）如圖所示線段即為所求．

【變式訓練1-6】在如圖所示的方格紙中，是格點三角形，請按以下要求畫格點三角形．
(1)在圖1中畫一個，使得和全等．
(2)在圖2中畫一個等腰，使得和的面積相等．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，同底等高面積相等等知識：
（1）根據“”可作，使得和全等；
（2）過點C作的平行線，即可作等腰，同樣，在的另一側也可作等腰
【詳解】（1）解：如圖，即為所作：
（2）解：如圖，等腰即為所作
題型二：找出圖中的等腰三角形
【經典例題2】如圖，在中，，，平分交于點，交于點，則圖中共有等腰三角形（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形判定和性質、角平分線的性質、平行線的性質，由已知條件利用相關的性質求得各個角相等是本題的關鍵．根據等腰三角形的判定和性質定理以及平行線的性質即可得到結論．
【詳解】解：∵，，
∴為等腰三角形，，
∵
∴，
∴，為等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴，為等腰三角形，
，
∴，為等腰三角形，
∵，，
∴
∴，為等腰三角形．
綜上所述：共有5個等腰三角形．
故選C．
【變式訓練2-1】如圖所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本題主要考查等腰三角形的判定，根據有兩個角相等的三角形是等腰三角形，結合三角形的內角和定理求解即可．
【詳解】解：∵，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，，
∴、是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∴、是等腰三角形，
故圖中共有5個等腰三角形，
故選：C．
【變式訓練2-2】如圖，在中，，，點在的垂直平分線上，平分，則圖中等腰三角形的個數是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根據題意可得，進而可得，得出，根據垂直平分線的性質可得，進而得出，根據角平分線的定義得出，進而可得，，得出，，得出，進而即可求解．
【詳解】解：在中，，
是等腰三角形；
，
，
，
點在的垂直平分線上，
，
是等腰三角形；
，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
，，
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形；
，
，
是等腰三角形，
綜上所述，等腰三角形有，，，，，共個，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，垂直平分線的性質，等腰三角形的判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【變式訓練2-3】如圖，在中，已知邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點，連接，則圖中有 個等腰三角形．
【答案】3
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的判定可解答．
【詳解】解：∵邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點，
，
，
∴都是等腰三角形；
故答案為：3．
【變式訓練2-4】如圖，，，則圖中的等腰三角形有 個．
【答案】6
【分析】本題考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的內角和定理．
利用三角形的外角定理和三角形的內角和定理求出圖中其他角的度數，根據“等角對等邊”即可判定等腰三角形．
【詳解】∵，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
綜上所述：圖中等腰三角形有6個．
故答案為：6
【變式訓練2-5】如圖，在中，，點在上，且，求：
(1)圖中有哪些等腰三角形？
(2)各角的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質、三角形的內角和定理，熟記相關結論是解題關鍵．
（1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，據此即可求解；
（2）設，根據可得，進一步由可得，再由得，根據三角形的內角和定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴是等腰三角形
（2）解：設．
，
；
，
；
，
，
，
，
．
題型三：根據等邊對等角證明等腰三角形
【經典例題3】如圖，平分，且，求證：為等腰三角形．
【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，等角對等邊，首先根據角平分線的定義得出，然后根據平行的性質，得出，，進而得出，即可得證．
【詳解】證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，．
∴．
∴為等腰三角形．
【變式訓練3-1】如圖，已知在中，，是角平分線，過點B作的垂線與的延長線相交于點E，求證：是等腰三角形．
【答案】見解析
【分析】本題考查等腰三角形的判定，根據等角的余角相等，對頂角相等，推出，進而得到，即可得證．
【詳解】∵在中，，
又∵，
∴，
∵中，，
又∵是的平分線，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
【變式訓練3-2】如圖，在中，，與的平分線相交于點，延長交于點，過點作交于，作交于點．
(1)求證：為等腰三角形；
(2)求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據角平分線的定義得，再根據平行線的性質可得，可得，根據等角的余角相等可得，即可得證；
（2）在上取，連接，證明，得，說明，證明，得，即可得證．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴為等腰三角形；
（2）在上取，連接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，角平分線的定義，平行線的性質等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
【變式訓練3-3】如圖，在中，的平分線交于點．判斷是否為等腰三角形 請說明理由．

【答案】是等腰三角形，理由見解析
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，根據題意求得即可求證．
【詳解】解：是等腰三角形，理由如下：
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴是等腰三角形
【變式訓練3-4】如圖，在△ABC中，平分交于點D，過點D做的平行線交于點E，請判斷的形狀，并說明理由．
【答案】是等腰三角形，理由見解析
【分析】本題考查了角平分線的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，根據平分得，根據得，可得，即可得是等腰三角形，掌握角平分線的性質，平行線的性質是解題的關鍵．
【詳解】是等腰三角形，理由：
解：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
【變式訓練3-5】已知：如圖，的高相交于點，且．求證：是等腰三角形；
【答案】見解析
【分析】本題主要是全等三角形判定與性質以及等腰三角形的判定問題； 先運用全等三角形的判定方法可得； 再運用全等三角形的性質可得，進而求解即可.
【詳解】證明：∵的高相交于點，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
題型四：利用等角對等邊證明邊相等
【經典例題4】如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點D，且，的周長等于．
(1)求的長；
(2)若，并且，求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查中垂線的性質，等邊對等角，等角對等邊：
（1）根據中垂線的性質，結合已知條件推出，進而求出的長即可；
（2）等邊對等角，求出，中垂線的性質，得到，進而得到，角的和差關系求出，再根據三角形的內角和定理，推出，即可得證．
【詳解】（1）解：∵是的垂直平分線，
∴，
∵，的周長等于，
∴，
∴．
（2）證明：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練4-1】如圖，中，，點D在的延長線上，連接平分交于點E，過點E作，垂足為點F，與相交于點G．．
(1)求證：；
(2)若，，求和的度數；
(3)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】題目主要考查角平分線的計算及三角形內角和定理，等角對等邊，理解題意，找準各角之間的關系是解題關鍵．
（1）根據等邊對等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角對等邊即可證明；
（2）根據角平分析及等邊對等角得出，再由三角形內角和定理即可求解；
（3）根據三角形內角和定理得出，，即可證明．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
在中，．
在中，．
（3）證明：在中，
．
在中，
．
∴．
【變式訓練4-2】如圖，已知中，過點作的平分線的垂線，垂足為，作交于，求證：．
【答案】見解析
【分析】此題考查了等腰三角形的判斷與性質，用到的知識點是角平分線的定義，平行線的性質、三角形的內角和．根據角平分線的定義得出，根據平行線的性質得出，再根據，得出，，即可得出，從而得出，再根據，即可得出．
【詳解】解：是的平分線，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【變式訓練4-3】已知：如圖，B、E、F、C四點在同一條直線上，，，．求證：．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等角對等邊，先證明，再利用證明，得到，，由此即可證明，進而可得結論．
【詳解】證明：，
，即，
在和中，
，
，
，，
，則，
∴．
【變式訓練4-4】如圖，在中，平分是上一點，，交于點，交的延長線于點，交的延長線于點．

(1)求證：是等腰三角形；
(2)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，解題的關鍵在于通過平行線的性質找出角度的相等，進而轉變為邊長相等．
（1）根據題意作出圖形，根據兩直線平行，內錯角相等可得，同位角相等可得，再根據角平分線的定義可得，然后求出，根據等角對等邊的性質即可得證；
（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得，再求出，然后利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，再求出，再根據，，整理即可得解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；

（2）證明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【變式訓練4-5】如圖，是的外角的平分線，且，，，求的周長．
【答案】
【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定，平行線的判定，關鍵是掌握等角對等邊．由是的角平分線，可得，再由平行線的性質可得，，得出，再由等角對等邊可得，最后求解即可．
【詳解】解：是的角平分線，
，
，
，，
，
，
周長．
題型五：根據等邊對等角求邊長
【經典例題5】如圖，在中，的平分線交于點O，過點O作分別交于點E，F，若，則的周長是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】根據角平分線的定義和平行線的性質可證和等腰三角形，從而可得，，然后利用等量代換可得的周長，即可解答．本題考查了等腰三角形的判定與性質，熟練掌握根據角平分線的定義和平行線的性質可證等腰三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周長
，
故選：B．
【變式訓練5-1】如圖，，，，，為的中點，連接，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形，等腰三角形，平行線的性質的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
延長交于點，根據平行線的性質和為的中點，證明，求出，，再根據等腰三角形的性質，可得的長，即可選出正確答案．
【詳解】解：延長交于點，如圖所示：
∵，
∴，，
又∵為的中點，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選B．
【變式訓練5-2】如圖，在中，是的平分線，交于點E，若，則 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的判定等知識點，靈活運用相關性質成為解題的關鍵．
先求出的長，再根據角平分線的定義、平行線的性質、等腰三角形的判定得到即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的平分線，
∴,
∵，
∴，
∴,
∴．
故答案為：．
【變式訓練5-3】如圖，在中，是邊上的中線，延長至點E，使得，連接．若．則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，先證明是等邊三角形，由等腰三角形三線合一得到，進而求出，再根據等角對等邊即可得出結果．
【詳解】解：，
是等邊三角形，
．
是邊上的中線，
．
是等腰三角形，
，
故答案為：．
【變式訓練5-4】如圖，中，、分別平分和，過點平行于的直線分別交、于點、，已知，，的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查等腰三角形的判定，根據已知利用平行線的性質及等角對等邊、角平分線的定義求解即可．證明三角形是等腰三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴三角形的周長為．
故答案為：．
【變式訓練5-5】如圖，在中，，，沿過點A的直線折疊這個三角形，使點C落在邊上的點E處，折痕為，若，則的長是 ．
【答案】3
【分析】本題考查了折疊的性質，等邊對等角．由折疊的性質可得：，，，進而證得，得到．
【詳解】解：由折疊的性質可得：，，，， ，
，
，即，
，
，
，
故答案為：3．
【變式訓練5-6】如圖，在中，，，，點D是邊的中點，點E是邊上一動點，將沿折疊得到，連接，當是直角三角形時，的長為 ．

【答案】或7
【分析】本題考查翻折變換，直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．分兩種情形：如圖1中，當時，如圖2中，當時，分別求解即可．
【詳解】解：如圖1中，當時，
，
，
，，共線，
，，
，
設，則，
在中，則有
解得，
；
如圖2中，當時，，
，
，
，
，
綜上所述，滿足條件的的值為或7．
故答案為：或7．
題型六：等腰三角形的實際應用
【經典例題6】如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向的M處，它以每小時45海里的速度向正北方向航行，2小時后到達位于燈塔P的北偏東的N處，則N處與燈塔P的距離為 海里．

【答案】90
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，平行線的性質，方向角的計算，根據方向角先求出，根據平行線的性質得出，得出，根據等腰三角形的判定得出結果即可．
【詳解】解：∵，
∵向北的方向線是平行的，
∴，
∴，
∴（海里），
故答案為：90．
【變式訓練6-1】上午9時，一條船從海島A出發，以15海里/時的速度向正北航行，12時到達海島B處，從A、B望燈塔測得，，那么從海島B到燈塔C的距離為 海里．
【答案】45
【分析】本題考查三角形外角的性質，等腰三角形的判定．
根據“路程＝速度×時間”可求得的長，又由，，可得，即可證得，則可得從海島B到燈塔C的距離．
【詳解】解：根據題意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴海里，
即從海島B到燈塔C的距離是45海里．
故答案為：45海里．
【變式訓練6-2】小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點為P，邊與其中一把直尺邊緣的交點為C，則的長度是
【答案】3
【分析】本題考查角平分線的判定，平行線性質及等角對等邊．根據圖形可得是的角平分線，再根據平行線性質及等角對等邊即可得到答案；
【詳解】解：作，，
由題意可得，如圖所示，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵點C、P在這把直尺上的刻度讀數分別是2、5，
∴，
故答案為：3．
【變式訓練6-3】如圖，一條筆直的公路經過處和公園，現要進一步開發景區，經測量，景區位于處的北偏東方向上、位于公園的北偏東方向上，且，則公園與景區的距離為 ．

【答案】/16千米
【分析】本題考查了方向角問題，等角對等邊；根據題意可得：，，然后利用三角形的外角性質可得，從而可得，即可解答
【詳解】解：如圖：

由題意得：，，
是的一個外角，
，
，
公園與景區的距離為
故答案為：．
【變式訓練6-4】如圖，小明家位于學校P的南偏東方向的M處，小明從家向正北方向走500米后到達位于學校的北偏東的圖書館N處，則圖書館N處與學校P的距離為 米．
【答案】500
【分析】本題考查了方向角的定義，以及三角形內角和定理，等腰三角形的判定定理．根據方向角的定義即可求得，則在中利用內角和定理求得的度數，證明三角形是等腰三角形，即可求解．
【詳解】解：由題意得，米，
∴，，
∴，
∴，
∴米，
∴圖書館N處與學校P的距離為500米．
故答案為：500．
題型七：等腰三角形中找規律問題
【經典例題7】如圖，在射線，上分別截取，連接，在，上分別截取，連接，按此規律作下去，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據等腰三角形兩底角相等用表示出，依此類推即可得到結論．
【詳解】解：，，
，
同理，
，
，
，
故選：．
【點睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，圖形的變化規律，依次求出相鄰的兩個角的差，得到分母成2的指數次冪變化，分子不變的規律是解題的關鍵．
【變式訓練7-1】如圖，已知：，點、、、…在射線ON上，點、、、…在射線OM上，、、、…均為等邊三角形，若，則的邊長為（　　）

A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】D
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的判定，數字規律的探求，正確得出各三角形邊長的數字規律是解題的關鍵．根據等邊三角形的性質及等腰三角形的性質，可得出每個等邊三角形的邊長的規律，進而得出答案．
【詳解】是等邊三角形，
，
同理可得，，，以此類推，
的邊長為．
故選D．
【變式訓練7-2】如圖，已知，點在射線上，點在射線上，均為等邊三角形．若，則的邊長為（ ）
A．32 B．16 C．48 D．64
【答案】A
【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，根據等邊三角形的性質得 ，再根據及三角形的外角定理得 進而得由此得 的邊長為，同理：的邊長為，的邊長為，…，以此類推，的邊長為 根據此規律可得的邊長，熟練掌握等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：為等邊三角形，
，
∵
為等腰三角形，
即的邊長為，
同理：的邊長為，
的邊長為，
，以此類推， 的邊長為
∴的邊長為：
，
故選：A．
【變式訓練7-3】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點N在x軸正半軸上，點，，……在射線上，點，，……在射線上，，，，……均為等邊三角形，依此類推，若，則
【答案】
【分析】本題考查圖形規律探究，等邊三角形的性質，等腰三角形的判定，三角形的外角性質，總結歸納出是解題的關鍵．
利用等邊三角形的性質、等腰三角形的判定，總結歸納出即可求解．
【詳解】解：∵等邊，，，
∴，，…，，，，…
，，
，
，
∴
∵
∴
∴
∴
同理，
…
∴
∴．
故答案為：．
【變式訓練7-4】如圖，已知，點在射線上，點在射線上．均為等邊三角形，若，則的邊長為 ．
【答案】128
【分析】根據等邊三角形的性質得可得，，再根據，可知，進而求出，然后根據等邊三角形的性質說明，可知各角之間的關系，進而得出，即可得出規律，再根據規律得出答案.
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴
∴.
∵
∴
又∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵、是等邊三角形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
以此類推：的邊長為，
∴的邊長為：．
故答案為：128．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質和判定等，弄清各邊的規律是解題的關鍵．
題型八：等腰三角形綜合證明
【經典例題8】在中，平分于D，交于H，，連接交于G．
(1)求證：．
(2)求證：．
(3)請寫出與的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)，理由見解析
【分析】本題主要考查等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，證明是解答本題的關鍵．
（1）證明是等腰直角三角形得出根據即可證明；
（2）由得求出得出，可證明得出再證明得出，從而可得出結論；
（3）根據等腰三角形三線合一的性質可得出結論
【詳解】（1）證明：在中，
∴
∵即
∴
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∴
在和中，
，
∴
（2）證明：∵，
∴
∴，
∴
∴
又
∴
∵
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又
∴
∴，
∵
∴；
（3）解：，理由如下：
在中，平分，
∴
【變式訓練8-1】如圖1，已知和都是等邊三角形，且A、C、E三點共線，與交于點．
(1)證明：；
(2)直接寫出的度數；
(3)如圖2連接，探究、、之間滿足數量關系，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)，證明見解析
【分析】（1）利用等邊三角形的性質證明，可得；
（2）由可得，再結合，通過等量代換可得答案；
（3）在上截取，連接，由可得，再證，，，進而證明是等邊三角形，推出，即可證明．
【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
證明：如圖，在上截取，連接，
由（1）得，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
．
【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形外角的定義和性質等，第三問有一定難度，通過作輔助線構造等邊三角形是解題的關鍵．
【變式訓練8-2】在等腰中，，高所在的直線相交于點F，將沿直線翻折，點C的對稱點落在直線上，連接．
(1)如圖1，當時，
①求證：；
②求的度數．
(2)當時，補全圖2，并求證：．
【答案】(1)①詳見解析；②
(2)詳見解析
【分析】本題主要考查等腰三角形中的翻折問題，熟練掌握翻折的性質以及全等三角形的判定是解題的關鍵．
（1）①根據題意證明即可得到結論；
②根據全等三角形的性質以及翻折的性質證明是等腰直角三角形，即可得到答案；
（2）根據題意補全圖形，根據題意證明即可得到結論．
【詳解】（1）解：①證明：是的高，，
，
是的高，
，
在和中，
，
，
；
②解：如圖：
由①知：，
，
將沿直線翻折，點C的對稱點落在直線上，
，
，
故是等腰直角三角形，
；
（2）解：補全圖形如下：
，
，
是的高，
是等腰直角三角形，
，
是的高，
，
，
，
，
，
將沿直線翻折，點C的對稱點落在直線上，
，
，
，
，
．
【變式訓練8-3】如圖，在中，，點D，E，F分別在邊上，且，．
(1)求證：是等腰三角形；
(2)求證：；
(3)當時，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題主要考查的是全等三角形的性質和判定，等腰三角形的判定與性質，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關鍵．
（1）首先根據條件證明，根據全等三角形的性質可得，進而可得到是等腰三角形；
（2）根據，可知，即可得出結論；
（3）由（2）知，再根據等腰三角形的性質即可得出的度數．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）證明：∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，
∵，
∴．
【變式訓練8-4】如圖，在中，，點D在邊上，連接．
(1)利用尺規作圖，在右側，求作線段，使得，且．（不寫作法與證明過程，保留作圖痕跡）
(2)連接，若．求的度數．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）先由得以點A為圓心，半徑為，在右側畫弧，再結合作一個角等于已知角，即，即可作出線段；
（2）根據旋轉的性質可以證明，再根據全等三角形對應角相等及三角形內角和定理，結合，即可求的度數．
本題考查了作圖旋轉變換、作一個角等于已知角，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：線段即為所求，如圖：
（2）解：如圖，連接，
∵，，
，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
．
答：的度數為．
【變式訓練8-5】如圖，在中，，過點C作，且，過點D作于點E．
(1)求證：；
(2)連接，若F為的中點，連接，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)是等腰直角三角形，理由見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定：
（1）先由垂線的定義和三角形內角和定理證明，，據此可利用證明；
（2）連接，則由等腰直角三角形的性質得到，，進而打得到，，由全等三角形的性質得到，則可證明，得到，再證明，即可得到是等腰直角三角形．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
如圖所示，連接，
∵，F為的中點，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【變式訓練8-6】如圖1，已知和都是等邊三角形，且點E在線段上．
(1)求證：；
(2)過點E作交于點G，試判斷的形狀并說明理由；
(3)如圖2，若點D在射線上，且，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)等邊三角形，理由見解析
(3)見解析
【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定，熟練掌握等邊三角形的判定與性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）證明，得到，從而可證得，即可由平行線的判定定理得出結論；
（2）根據等邊三角形的性質得，再根據得
，，從而得即可得出結論；
（3）過E作交于M，先證明，得到，從而得出，再由（1）得，得出，則，從而有，根據，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，
∴，，，
∴，
在與中,
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是等邊三角形，理由如下：
如圖1，∵是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形；
（3）證明：如圖2，過E作交于M，
由（2）可得是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵是等邊三角形，
∴
∴．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑