資源簡介

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2.4.2等腰三角形的判定定理（二）七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：求與圖形中任意兩點構成等腰三角形的點
【經典例題1】如圖，在中，，．點為直線上一動點，若點與三個頂點中的兩個頂點構造成等腰三角形，那么滿足條件的點的位置有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式訓練1-1】已知中，．，在平面內找一點，使得，，都是等腰三角形，則這樣的點有（ ）個
A．4 B．6 C．8 D．10
【變式訓練1-2】已知：如圖中，，，在直線BA上找一點D，使或為等腰三角形，則符合條件的點D的個數有（　　）

A．7個 B．6個 C．5個 D．4個
【變式訓練1-3】如圖，在中，，，以的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式訓練1-4】如圖，在的網格中，每個網格線的交點稱為格點．已知圖中，兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點，使成為等腰三角形，則滿足條件的點有（ ）個．
A． B． C． D．
【變式訓練1-5】如圖，在中，，所在的平面上有一點（如圖中所畫的點），使，， 都是等腰三角形，問：具有這樣性質的點有幾個（包括點）？在圖中畫出來．
題型二：尺規作圖作等腰三角形
【經典例題2】已知：線段a，h，求作等腰，使底邊，高，（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）．
【變式訓練2-1】線段和C、D兩點的位置如圖所示，請用尺規作圖法在線段上作一點B，連接，使得是以為底邊的等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【變式訓練2-2】圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段的端點在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法（保留作圖痕跡）．
(1)在圖①中以為邊畫一個面積為3的等腰三角形；
(2)在圖②中以為邊畫一個面積為3的鈍角三角形；
(3)在圖③中以為邊畫一個面積為4的．
【變式訓練2-3】如圖，已知線段，，用直尺和圓規按下列要求分別作一個等腰三角形（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．
(1)的底邊長為，底邊上的中線為；
(2)的底邊長為，腰上的中線為．
【變式訓練2-4】如圖，已知一個等腰三角形的底邊為c，底邊上的高為，求作這個等腰三角形．（保留作圖痕跡，不必寫作法）
【變式訓練2-5】如圖，已知，點B是射線上一點，求作等腰三角形，使得為等腰三角形的底邊，點A在內部，且點A到角的兩邊距離相等．（尺規作圖）
題型三：利用等腰三角形的性質和判定求線段長度
【經典例題3】如圖，在中，是的中點，且，，交于點，，，則的周長等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖，中，，且垂直平分，交于點，交于點，若周長為，則為（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
【變式訓練3-2】如圖，已知在中，，H是高和的交點，則線段的長度為（ ）
A． B．4 C． D．5
【變式訓練3-3】如圖，在中，平分，于點，交于點，若，則 ．
【變式訓練3-4】如圖，在中，于D，點F在上，E在內部，且滿足，交于G，若，則的長為 ．（用含字母的代數式表示）

【變式訓練3-5】在中，∠B=90°，點在上，，在上找一點，使得，連接，若，則的長度為 ．
題型四：等腰三角形綜合之折疊問題
【經典例題4】如圖，在等腰中，，．的平分線與線段的中垂線交于點，點沿折疊后與點重合，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖在中，，，點D為的中點，且，的平分線與的垂直平分線交于點O，將沿（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則的度數是 ．
【變式訓練4-2】如圖，是等腰直角三角形，，將沿著一條直線折疊，使頂點的對應點剛好落在邊上，這條折痕分別交，于點，．的平分線交于點，連接，若，則 °．
【變式訓練4-3】如圖，在等腰中，，，的平分線與的中垂線交于點，點沿折疊后與點重合，則的度數是 度．
【變式訓練4-4】如圖，中，，的平分線交于點，已知，，則的長？
【變式訓練4-5】如圖，在等腰中，，，平分，折疊使得點與點重合，折痕交、、于點、、，連接交于點．
(1)求證：；
(2)連接 ，若，求的長．
【變式訓練4-6】 如圖，是的中線，將沿折疊，使點落在點處，連接．若，，求的長．
題型五：等腰三角形綜合之多結論問題
【經典例題5】如圖，在中，，為的角平分線．與相交于點F，平分，有下列四個結論：①；②；③；④若，．其中正確的是（　　）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【變式訓練5-1】在中，，分別以和為邊在外部作等邊三角形、等邊三角形和等邊三角形，連結和交千點P，則以下結論中①；②；③；④．正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練5-2】如圖，AD是的角平分線，AD的垂直平分線分別交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延長線于K，連接PD、AK，則下列結論：①；②；③；④；⑤圖中有5對全等三角形；⑥．其中正確的結論有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【變式訓練5-3】如圖，為線段上一動點（不與點，重合），在同側分別作正三角形和正三角形，與交于點，與交于點，與交于點，連接．有以下結論：①；②PQAE；③；④；⑤為等邊三角形；⑥平分．上述結論正確的有（ ）個

A．4 B．5 C．6 D．7
【變式訓練5-4】如圖，在中，，把折疊，使落在上，點與上的點E重合，展開后，折痕交于點，連接．下列結論：①；②圖中有對全等三角形；③；④若將沿折疊，則點D不一定落在上；⑤，上述結論中錯誤的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練5-5】如圖，等腰中，于點D，點P是延長線上一點，點O是線段上一點，，下面的結論：①；②；③是等邊三角形；④．其中正確的個數為（　　）個
A．4 B．3 C．2 D．1
題型六：等腰三角形綜合之探究問題
【經典例題6】如圖，在中，，，為邊的中點，點、分別在射線、上，且， 連接．
(1)如圖1，當點、分別在邊 和上時，連接，
① 證明 ：．
② 直接寫出，和的關系是：
(2)探究：如圖2，當點E、F 分別在邊、的延長線上時，，和的關系是：
(3)應用：若，，利用上面探究得到的結論，求的面積．
【變式訓練6-1】小明遇到這樣一個問題，如圖1，中，，，點D為的中點，求的取值范圍．小明發現老師教過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到點E，使，連接，構造，經過推理和計算使問題得到解決請回答：
(1)小明證明用到的判定定理是：________；（用字母表示）
(2)請你幫助小明完成取值范圍的計算；小明還發現：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構造．參考小明思考問題的方法，解決問題；
(3)如圖3，在中，為邊上的中線，且平分，求證：．
【變式訓練6-2】【問題情境】如圖，與都是等邊三角形，連接，，點，分別是，的中點，連接，，．

【猜想證明】請證明：
（1）求證：；
（2）求證：是等邊三角形．
【類比探究】如圖，與都是等腰直角三角形，連接，，點，分別是，的中點，連接，請探究：
（3）若點恰好也是的中點，且，求的面積．
【變式訓練6-3】（1）如圖1，已知：在中，，，直線經過點，直線，直線，垂足分別為點，．求證：．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，，，三點都在直線上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．試探索的數量關系，并說明理由．
（3）拓展與應用：如圖3，，是，，三點所在直線上的兩動點，，三點互不重合），點為平分線上的一點，且和均為等邊三角形，連接，，若，試判斷的形狀．

【變式訓練6-4】已知，在等邊三角形中，點O在上，點P在的延長線上，且．
(1)如圖1，當點O為的中點時，確定線段與的大小關系，請你直接寫出結論；
(2)如圖2，當點O為邊上任意一點，確定線段與的大小關系，請你寫出結論，并說明理由；
(3)在等邊三角形中，點O在直線上，點P在直線上，且，若的邊長為2，，求的長．
【變式訓練6-5】（1）如圖，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系．
解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，易證得到，從而把，，轉化在一個三角形中即可判斷，，之間的等量關系 ；
（2）問題探究：如圖，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的等量關系，并證明你的結論．
題型七：等邊三角形的性質與判定
【經典例題7】在中，的對邊分別為a，b，c，且，則的形狀是（ ）
A．不等邊三角形 B．等邊三角形
C．只有兩邊相等的三角形 D．無法確定
【變式訓練7-1】如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，且，將沿折疊，點的對應點為點．若點落在邊上，求證：是等邊三角形．
【變式訓練7-2】已知：如圖，都是等邊三角形，相交于點O，點M、N分別是線段的中點．
(1)求證：；
(2)求的度數；
(3)求證：是等邊三角形．
【變式訓練7-3】如圖，在四邊形中，，，點E在的延長線上，連接．
(1)求證：；
(2)若，平分，請判斷的形狀并說明理由．
【變式訓練7-4】如圖，在和中，，，．
求證：
(1)；
(2)若點E剛好落在線段上，且，則的形狀為________．
【變式訓練7-5】如圖，已知，，，點在線段上，點在線段上，設，．
(1)如果，，那么是等邊三角形？請說明理由；
(2)若，試求與之間的關系．
【變式訓練7-6】如圖，在四邊形中，，，點E在的延長線上，連接．若，平分，求證：為等邊三角形．
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2.4.2等腰三角形的判定定理（二）七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：求與圖形中任意兩點構成等腰三角形的點
【經典例題1】如圖，在中，，．點為直線上一動點，若點與三個頂點中的兩個頂點構造成等腰三角形，那么滿足條件的點的位置有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】本題考查等腰三角形的判定，根據等角對等邊，從右到左依次考慮，即可得到所有構成等腰三角形的情況，得到滿足條件的點的個數．熟練掌握等腰三角形的判定是解本題的關鍵．也考查了三角形內角和定理．
【詳解】解：如圖，
∵在中，，，
∴，
當時，為等腰三角形；
當時，為等腰三角形；
當時，為等腰三角形；
當與重合時，為等腰三角形；
當與重合時，為等腰三角形；
當時，為等腰三角形；
當時，為等腰三角形；
當時，為等腰三角形；
綜上，滿足條件的點的位置有個．
故選：C．
【變式訓練1-1】已知中，．，在平面內找一點，使得，，都是等腰三角形，則這樣的點有（ ）個
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根據等腰三角形定義，畫出圖形即可解決問題．
【詳解】解：如圖，以點A為圓心，為半徑畫圓，
以點B為圓心，為半徑畫圓，以點B為圓心，為半徑畫圓，
以點C為圓心，為半徑畫圓，以點C為圓心，為半徑畫圓，
再作，，的垂直平分線，分別得到8個點P，
則滿足條件的所有點的個數為8，
故選：C．

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，熟練掌握等腰三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．
【變式訓練1-2】已知：如圖中，，，在直線BA上找一點D，使或為等腰三角形，則符合條件的點D的個數有（　　）

A．7個 B．6個 C．5個 D．4個
【答案】B
【分析】分或為等腰三角形兩種情況畫出圖形即可判斷．
【詳解】解：如圖：當時，是等腰三角形；

∵，∴是等邊三角形，∴；
當時，是等腰三角形；
當，，當時，都是等腰三角形；
綜上，符合條件的點D的個數有6個．
故選：B．
【點睛】本題考查等腰三角形存在問題，如果題中沒有說明等腰三角形的腰或者底分別是哪條線段，都要進行分類討論，讓三條線段分別兩兩相等，得出三種情況，再根據題意看有沒有需要排除的情況，然后再一一分析符合條件的圖形．
【變式訓練1-3】如圖，在中，，，以的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】①以B為圓心，長為半徑畫弧，交于點D，就是等腰三角形；
②以A為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，就是等腰三角形；
③以C為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，就是等腰三角形；
④作的垂直平分線交于點H，就是等腰三角形；
⑤作的垂直平分線交于G，則是等腰三角形；
⑥作的垂直平分線交于I，則和都是等腰三角形．
⑦作的垂直平分線交于M，則和都是等腰三角形．
【詳解】解：作圖如下
故選：D
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定的應用；解題的關鍵是理解能力和動手操作能力．
【變式訓練1-4】如圖，在的網格中，每個網格線的交點稱為格點．已知圖中，兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點，使成為等腰三角形，則滿足條件的點有（ ）個．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，分三種情況：當時，當時，當時，即可解答．
【詳解】解：如圖所示：
分三種情況：
①當時，以點為圓心，以長為半徑作圓，交網格線的格點為，，
②當時，以點為圓心，以長為半徑作圓，交網格線的格點為，，
③當時，作的垂直平分線，交網格線的格點為，，，，
綜上所述：使成為等腰三角形，則滿足條件的點有個，
故選：B．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，根據題意，分三種情況討論是解題的關鍵．
【變式訓練1-5】如圖，在中，，所在的平面上有一點（如圖中所畫的點），使，， 都是等腰三角形，問：具有這樣性質的點有幾個（包括點）？在圖中畫出來．
【答案】圖見解析，10
【分析】根據等腰三角形的兩邊相等，可通過作線段的垂直平分線得出滿足條件的點；
【詳解】解：如圖，在的邊的中垂線上有，，和四個點滿足條件，而這樣的對稱軸有三條，且三條對稱軸都經過點，
，
所以滿足條件的點共有個．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定（有兩條邊相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三線和一性質是解答關鍵．
題型二：尺規作圖作等腰三角形
【經典例題2】已知：線段a，h，求作等腰，使底邊，高，（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）．
【答案】見解析
【分析】根據線段的基本作圖，線段的垂直平分線的基本作圖，解答即可．
本題考查了線段的基本作圖，線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握作圖的基本技能是解題的關鍵．
【詳解】解：根據基本作圖的步驟，作圖如下：
（1）作射線；
（2）在射線上截取；
（3）作的中垂線，交于點D；
（4）截取，
則等腰就是所求的三角形．
【變式訓練2-1】線段和C、D兩點的位置如圖所示，請用尺規作圖法在線段上作一點B，連接，使得是以為底邊的等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】作線段的垂直平分線交于點，連接即可．
本題考查作圖-復雜作圖，等腰三角形的定義，垂直平分線的性質，解題的關鍵是理解題意，掌握尺規作垂線的方法是解決問題．
【詳解】解：連接，作的垂直平分線交于點，連接，則就是所求的以為底邊的等腰三角形，如圖：
【變式訓練2-2】圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點，線段的端點在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法（保留作圖痕跡）．
(1)在圖①中以為邊畫一個面積為3的等腰三角形；
(2)在圖②中以為邊畫一個面積為3的鈍角三角形；
(3)在圖③中以為邊畫一個面積為4的．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查作圖應用與設計作圖，等腰三角形的定義等知識，解題的關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題．
（1）畫一個底為2，高為3的等腰三角形即可；
（2）畫一個底為2，高為3的鈍角三角形即可；
（3）利用分割法作出一個面積為4的即可．
【詳解】（1）解：如圖①，
要使等腰三角形面積為3，即畫一個底為2，高為3的等腰三角形；
（2）解：如圖②，
要使鈍角三角形面積為3，即畫一個底為2，高為3的鈍角三角形；
（3）解：如圖③，
圖③左圖中，，
圖③右圖中，，
以上兩種情況即為所作出的面積為4的．
【變式訓練2-3】如圖，已知線段，，用直尺和圓規按下列要求分別作一個等腰三角形（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．
(1)的底邊長為，底邊上的中線為；
(2)的底邊長為，腰上的中線為．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）先在射線截取，再作的垂直平分線，垂足為點，然后在直線上截取，則為所作．
（2）先在射線截取，再作的垂直平分線，垂足為點，接著作的垂直平分線，然后以點為圓心，為半徑畫弧交直線于點，于是延長交直線于點，連接，則為所作．
本題考查了基本作圖，熟練掌握常見基本作圖是解題的關鍵．
【詳解】（1）根據題意，作圖如圖1所示：
則為所作．
（2）根據題意，作圖如圖2所示：
則為所作．
【變式訓練2-4】如圖，已知一個等腰三角形的底邊為c，底邊上的高為，求作這個等腰三角形．（保留作圖痕跡，不必寫作法）
【答案】見解析
【分析】此題主要考查了復雜作圖，關鍵是掌握垂線的畫法，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．首先畫射線，在射線上截取，然后作的垂直平分線，垂足為O，再截取，再連接、，即為所求．
【詳解】解：如圖所示，即為所求．
【變式訓練2-5】如圖，已知，點B是射線上一點，求作等腰三角形，使得為等腰三角形的底邊，點A在內部，且點A到角的兩邊距離相等．（尺規作圖）
【答案】見解析
【分析】本題主要考查線段垂直平分線、角平分線的作法以及垂直平分線和角平分線的性質，掌握作圖方法、理解特殊線的性質是解題關鍵．求作以為底邊的等腰三角形，則需要作線段的中垂線，點A在角的內部，則依據角平分線的性質（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），需要作的角平分線，與直線相交于一點即為點A，連接，即為所求作的等腰三角形．
【詳解】解：如圖，即為所求作的等腰三角形．
題型三：利用等腰三角形的性質和判定求線段長度
【經典例題3】如圖，在中，是的中點，且，，交于點，，，則的周長等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了線段垂直平分的性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，由是的中點可得，進而由可得為的垂直平分線，得到，由三線合一得到，又由得，即得，得到，據此可得的周長，即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是的中點，，
∴，
又∵，
∴為的垂直平分線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周長，
故選：．
【變式訓練3-1】如圖，中，，且垂直平分，交于點，交于點，若周長為，則為（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本題主要考查垂直平分線的性質，等腰三角形的三線合一的運用，
根據周長為，，可得，根據垂直平分線的性質可得，根據，可得，所以，由此即可求解．
【詳解】解：∵周長為，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓練3-2】如圖，已知在中，，H是高和的交點，則線段的長度為（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，等腰直角三角形的性質與判定，先由三角形高的定義得到，再由三角形內角和定理得到，接著證明是等腰直角三角形，，則可證明，得到．
【詳解】解：∵都是的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練3-3】如圖，在中，平分，于點，交于點，若，則 ．
【答案】4
【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質．根據角平分線的定義可得，再根據兩直線平行，內錯角相等可得，然后求出，根據等角對等邊可得，然后根據等角的余角相等求出，根據等角對等邊可得，從而得到．
【詳解】解：是的平分線，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
．
故答案為：4．
【變式訓練3-4】如圖，在中，于D，點F在上，E在內部，且滿足，交于G，若，則的長為 ．（用含字母的代數式表示）

【答案】b
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質，根據等腰三角形三線合一的性質得出，由，得出，，是等邊三角形，那么，再求出．根據角所對的直角邊等于斜邊的一半得出，那么，，從而求出．
【詳解】，于，
，．
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
，
，
．
在中，，，
，
，
，
．
故答案為：．
【變式訓練3-5】在中，∠B=90°，點在上，，在上找一點，使得，連接，若，則的長度為 ．
【答案】1
【分析】本題考查全等三角形的性質和判定、等腰三角形的性質和判定，正確作出輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．
作，與的延長線交于點G，作，交于點F，證明，得，再證明進而可得的長．
【詳解】解：如圖，作，與的延長線交于點G，作，交于點F，
，
，
，
，
同理，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：1．
題型四：等腰三角形綜合之折疊問題
【經典例題4】如圖，在等腰中，，．的平分線與線段的中垂線交于點，點沿折疊后與點重合，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作輔助線，由的平分線與線段的中垂線交于點，可求出，的值，再求出和的值，由折疊性求出，即可求出．
【詳解】解：如圖，延長交于點，連接，
等腰中，，，
，
是的平分線，
，
又是的中垂線，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
由折疊性可知，，
，
，
由折疊性可知，，
．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了折疊問題，中垂線定義，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是能正確作出輔助線
【變式訓練4-1】如圖在中，，，點D為的中點，且，的平分線與的垂直平分線交于點O，將沿（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則的度數是 ．
【答案】/104度
【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等腰三角形三線合一的性質，等邊對等角的性質，以及翻折變換的性質，作輔助線，構造出等腰三角形是解題的關鍵．連接、，根據角平分線的定義求出，根據等腰三角形兩底角相等求出，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，根據等邊對等角可得，再求出，然后根據等腰三角形的性質得出垂直平分，根據垂直平分線的性質得出，再根據等邊對等角求出，根據翻折的性質可得，然后根據等邊對等角求出，再利用三角形的內角和定理列式計算即可．
【詳解】解：如圖，連接、，
，為的平分線，
，
又∵，
，
∵是的垂直平分線，
∴，
，
∴，
∵為的平分線，，
∴為底邊上的中線和高線，
即垂直平分，
∴，
，
將沿（E在上，F在上）折疊，點C與點O恰好重合，
∴，
，
在中，．
故答案為：．
【變式訓練4-2】如圖，是等腰直角三角形，，將沿著一條直線折疊，使頂點的對應點剛好落在邊上，這條折痕分別交，于點，．的平分線交于點，連接，若，則 °．
【答案】
【分析】本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質，折疊的性質，解題的關鍵是掌握相關知識．根據等腰直角三角形的性質可得，由折疊可得，由平分可得，推出，證明，得到，根據等腰三角形的性質即可求解．
【詳解】解：是等腰直角三角形，，
，
由折疊可得：，
，
平分，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
故答案為：．
【變式訓練4-3】如圖，在等腰中，，，的平分線與的中垂線交于點，點沿折疊后與點重合，則的度數是 度．
【答案】
【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質得出，求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接，
∵等腰中，，，
∴，
∵是的平分線，
∴，
又∵是的中垂線，
∴
∴，
∴，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴
∵點沿折疊后與點重合，
∴垂直平分線段，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了折疊問題，三角形的內角和定理，中垂線及等腰三角形的性質，解題的關鍵是能正確作出輔助線．
【變式訓練4-4】如圖，中，，的平分線交于點，已知，，則的長？
【答案】7
【分析】此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質這一知識點的理解和掌握還涉及三角形的外角性質、等腰三角形的判定，在上截取，連接，利用已知條件求證，然后可得，，再利用三角形外角的性質和等腰三角形的判定求證，然后問題可解，證明此題的關鍵是在上截取，連接，利用已知條件求證，此題難易程度適中，適合學生的訓練．
【詳解】解：如圖，在上截取，連接，
的平分線交于點，
．
在與中，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
∵，
．
故答案為：7．
【變式訓練4-5】如圖，在等腰中，，，平分，折疊使得點與點重合，折痕交、、于點、、，連接交于點．
(1)求證：；
(2)連接 ，若，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由折疊知，，，垂直平分，根據已知條件可證明，即可得；
（2）連接，可證，從而可求得的長．
【詳解】（1）證明：由折疊知，，，垂直平分．
∴
∴．
∵，．
∴．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
在和中
∴．
∴．
（2）解：∵由對折可得：，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形全等的判定及性質，等腰三角形的判定及性質，熟練掌握上述知識點是解答本題的關鍵．
【變式訓練4-6】 如圖，是的中線，將沿折疊，使點落在點處，連接．若，，求的長．
【答案】4
【分析】本題考查的是折疊變換，等邊三角形的判定與性質；解題的關鍵是利用折疊的性質，得出是等邊三角形．根據折疊的性質可得，，根據點D是的中點，得出是等邊三角形，據此即可解得的長．
【詳解】解：∵是的中線，，
∴，
∵沿折疊，使點A落在點E處，
∴，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴．
題型五：等腰三角形綜合之多結論問題
【經典例題5】如圖，在中，，為的角平分線．與相交于點F，平分，有下列四個結論：①；②；③；④若，．其中正確的是（　　）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質、角平分線的性質等知識點，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
根據可對①進行判斷；根據三角形全等的判定方法中必須有邊的參與可對②進行判斷；根據“”證明可對③進行判斷；根據等邊三角形的判定及性質得出，利用證明△BDF≌△CEF可對④進行判斷．
【詳解】解：∵，為三角形ABC的角平分線，
∴，
∴，故①正確；
在和中，，但沒有相等的邊，則和不一定全等，
∴，故②錯誤；
∵，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，故③正確，符合題意；
若，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，故④正確；
綜上，正確的結論是①③④．
故選：C．
【變式訓練5-1】在中，，分別以和為邊在外部作等邊三角形、等邊三角形和等邊三角形，連結和交千點P，則以下結論中①；②；③；④．正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】證明，，可得，，進一步可判斷①②，證明，求出，進一步可判斷③，在上截取，連接，證明，再證，可得，進而可得，進一步可判斷④．
【詳解】解：∵，是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，，，
∴，故①②符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，，
∴，故③符合題意；
如圖，在上截取，連接，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故④符合題意；
故選D
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質；熟練的確定全等三角形是解本題的關鍵．
【變式訓練5-2】如圖，AD是的角平分線，AD的垂直平分線分別交AB、AD、AC于F、E、P，交BC的延長線于K，連接PD、AK，則下列結論：①；②；③；④；⑤圖中有5對全等三角形；⑥．其中正確的結論有（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】D
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識點，靈活運用相關性質定理成為解題的關鍵．
根據線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質定理逐項判斷即可．
【詳解】解：∵AD是的角平分線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，故①正確；
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∴，故③正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故④正確；
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴圖中有5對全等三角形，故⑤正確；
∵，
∵，
∴，
∴，即⑥正確．
綜上，正確的有6個．
故選：D．
【變式訓練5-3】如圖，為線段上一動點（不與點，重合），在同側分別作正三角形和正三角形，與交于點，與交于點，與交于點，連接．有以下結論：①；②PQAE；③；④；⑤為等邊三角形；⑥平分．上述結論正確的有（ ）個

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】①由于和是等邊三角形，可知，，，從而證出，可推知；故①正確；③由得，加之，，得到，所以；故③正確；②根據③，再根據推出為等邊三角形，又由，根據內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；④利用等邊三角形的性質，，再根據平行線的性質得到，于是，可知④正確；⑤由，可得，可證是等邊三角形，可知⑤正確；⑥過點C作于H，于G，得，則平分，進一步解答可知⑥錯誤．
【詳解】解：①等邊和等邊，
，，，
，
在和中，
，
，
；
故①正確；
③（已證），
，
（已證），
，
，
在與中，
，
，
；
故③正確；
②，
，
是等邊三角形，
，
，
∴；
故②正確；
④，
，
等邊，
，
∴，
，
．
故④正確；
，
，
又，
是等邊三角形，故⑤正確；
⑥如圖，過點作于，于，
，，
，
平分，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
當平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，互相矛盾，
⑥錯誤，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了全等三角形判定與性質，等邊三角形的判定與性質，角平分線的判定定理等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．
【變式訓練5-4】如圖，在中，，把折疊，使落在上，點與上的點E重合，展開后，折痕交于點，連接．下列結論：①；②圖中有對全等三角形；③；④若將沿折疊，則點D不一定落在上；⑤，上述結論中錯誤的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了翻折變換，全等三角形的性質和判斷，等腰直角三角形的性質，靈活運用全等三角形的判定是解答本題的關鍵．由等腰直角三角形的性質可得，，由折疊的性質可得，，，利用全等三角形的性質依次判斷即可求解．
【詳解】解：，，，
，，
把折疊，使落在上，點與上的點重合，
，
，，，
，
，
，
，故錯誤；
在和中，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
圖中共有對全等三角形，故正確；
，，
，
，故正確；
，
，
，
，
將沿折疊，則點一定落在上，故錯誤；
連接，如圖：
，
，
，
，
，
，
，故正確，
故選：B．
【變式訓練5-5】如圖，等腰中，于點D，點P是延長線上一點，點O是線段上一點，，下面的結論：①；②；③是等邊三角形；④．其中正確的個數為（　　）個
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識點，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
①根據等邊對等角，可得、、則，據此即可求解；②因為點是線段上一點，所以不一定是的角平分線，據此即可求解；③證明且，即可證得是等邊三角形；④先證明，則．
【詳解】解：①如圖1，連接，
，
，
，
，
，
，
∴，故①正確；
②由①知：，
∵點是線段上一點，
∴與不一定相等，則與不一定相等，故②不正確；
③∵，
，
，
，
，
，
∴是等邊三角形；故③正確；
④如圖2，在上截取，連接，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴；故④正確；
∴正確的結論有：①③④．
故選：B．
題型六：等腰三角形綜合之探究問題
【經典例題6】如圖，在中，，，為邊的中點，點、分別在射線、上，且， 連接．
(1)如圖1，當點、分別在邊 和上時，連接，
① 證明 ：．
② 直接寫出，和的關系是：
(2)探究：如圖2，當點E、F 分別在邊、的延長線上時，，和的關系是：
(3)應用：若，，利用上面探究得到的結論，求的面積．
【答案】(1)①見解析；②
(2)
(3)或17
【分析】本題為三角形的綜合應用，涉及知識點有等腰三角形的性質、全等三角形的判定及其性質及三角形的面積等，根據圖形構造全等三角形求解即可。
（1）①連接，即可證明；②根據，看圖即可得出結論；
（2）連接，即同（1）可證明，根據看圖即可得出結論；
（3）根據（1），（2）中的結論，代入求解即可。
【詳解】（1）證明：①如圖，連接
在中，，為邊的中點，
∴,,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴.
②∵,
∴,
根據圖中所示，
,
∵為邊的中點，
∴.
∴.
（2）解：如圖，連接
在中，，為邊的中點，
∴,,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴,
即,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴.
∵,
∴,
根據圖中所示，
,
∵為邊的中點，
∴.
∴.
（3）如（1）中結論，
∵，，
∴,
,
∵,
∴.
②如（2）中結論，
∵，，
∴,
,
∵,
∴
【變式訓練6-1】小明遇到這樣一個問題，如圖1，中，，，點D為的中點，求的取值范圍．小明發現老師教過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到點E，使，連接，構造，經過推理和計算使問題得到解決請回答：
(1)小明證明用到的判定定理是：________；（用字母表示）
(2)請你幫助小明完成取值范圍的計算；小明還發現：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構造．參考小明思考問題的方法，解決問題；
(3)如圖3，在中，為邊上的中線，且平分，求證：．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、三角形三邊關系，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據定理解答即可；
（2）根據全等三角形的性質得出，再由三角形的三邊關系計算即可得出答案；
（3）仿照（1）的作法，根據等腰三角形的判定定理證明結論．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，
∴小明證明用到的判定定理是；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）證明：如圖，延長到點，使，連接，
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練6-2】【問題情境】如圖，與都是等邊三角形，連接，，點，分別是，的中點，連接，，．

【猜想證明】請證明：
（1）求證：；
（2）求證：是等邊三角形．
【類比探究】如圖，與都是等腰直角三角形，連接，，點，分別是，的中點，連接，請探究：
（3）若點恰好也是的中點，且，求的面積．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）的面積為
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．
（1）由等邊三角形的的性質得，可推導出，進而證明，得出；
（2）由，且，證明，而，，可證明，得，可推導出，則是等邊三角形．
（3）由等腰直角三角形的性質得，可推導出，進而證明，得，而，所以，可證明，得，推導出，因為，點N是的中點，所以，則，所以．
【詳解】解：（1）與都是等邊三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）證明：點，分別是，的中點，
，，
，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等邊三角形．
（3）與都是等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
點，分別是，的中點，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，且點也是的中點，
，
，
，，
，
，
的面積為．
【變式訓練6-3】（1）如圖1，已知：在中，，，直線經過點，直線，直線，垂足分別為點，．求證：．
（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，，，三點都在直線上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．試探索的數量關系，并說明理由．
（3）拓展與應用：如圖3，，是，，三點所在直線上的兩動點，，三點互不重合），點為平分線上的一點，且和均為等邊三角形，連接，，若，試判斷的形狀．

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）等邊三角形
【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質；
（1）根據垂直的定義得到，根據等角的余角相等得到，根據“”證明，根據全等三角形的性質即可得到；
（2）根據，得到，由定理證明，根據全等三角形的性質得到，，得出結論；
（3）根據等邊三角形的性質得到，證明，得到，證明，得到，，求出，根據等邊三角形的判定定理得到答案．
【詳解】（1）證明：直線，直線，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），理由如下：
如圖2，，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）由（2）可知，，
，，
和均為等邊三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
為等邊三角形．
【變式訓練6-4】已知，在等邊三角形中，點O在上，點P在的延長線上，且．
(1)如圖1，當點O為的中點時，確定線段與的大小關系，請你直接寫出結論；
(2)如圖2，當點O為邊上任意一點，確定線段與的大小關系，請你寫出結論，并說明理由；
(3)在等邊三角形中，點O在直線上，點P在直線上，且，若的邊長為2，，求的長．
【答案】(1)
(2)相等，見解析
(3)7或3
【分析】（1）利用等腰三角形的性質，三線合一性質，等邊三角形的性質，計算說明即可．
（2）過作交于，證明是等邊三角形，以及即可證明．
（3）分為點在射線上或點在射線上兩種情況，利用全等、等腰三角形的性質即可證明．
【詳解】（1）解：，理由如下：
為等邊三角形，點為的中點，
，平分，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：相等，即，理由如下：
如圖，過作交于，
是等邊三角形，
，，
，，
即，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：如圖③，當點在射線上時，過作交的延長線于，
則為等邊三角形，，
，，
，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
如圖，當點O在射線上時，∵，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
過點O作，則，
∴，
∴，
又∵，
∴；
綜上所述，長為或．
．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，三角形外角的性質，熟練掌握等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．
【變式訓練6-5】（1）如圖，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系．
解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，易證得到，從而把，，轉化在一個三角形中即可判斷，，之間的等量關系 ；
（2）問題探究：如圖，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的等量關系，并證明你的結論．
【答案】（），理由見解析；（），理由見解析．
【分析】（）由可證，根據性質可得，即可得結論；
（）延長交的延長線于點，證明，然后根據性質和線段和差即可求解；
本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等角對等邊，角平分線的定義，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
【詳解】（），理由如下：
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∵點是的中點，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴；
（），理由如下：
如圖，延長交的延長線于點，
∵是的中點，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
題型七：等邊三角形的性質與判定
【經典例題7】在中，的對邊分別為a，b，c，且，則的形狀是（ ）
A．不等邊三角形 B．等邊三角形
C．只有兩邊相等的三角形 D．無法確定
【答案】B
【分析】利用配方法把原式變形，根據非負數的性質得到，根據等邊三角形的概念判斷即可．本題考查的是因式分解的應用、等邊三角形的概念，靈活運用配方法、非負數的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：，
則，
，
，
，，，
，
是等邊三角形，
故選：B．
【變式訓練7-1】如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，且，將沿折疊，點的對應點為點．若點落在邊上，求證：是等邊三角形．
【答案】見解析
【分析】此題主要考查了翻折變換的性質,平行線的性質和等邊三角形的判定，掌握翻折變換的性質是解題關鍵．利用平行線的性質得出，再利用翻折變換的性質得出，進而得出即可得出答案；
【詳解】證明：，，
，
將沿折疊，點的對應點為點，
，
，
，
是等邊三角形．
【變式訓練7-2】已知：如圖，都是等邊三角形，相交于點O，點M、N分別是線段的中點．
(1)求證：；
(2)求的度數；
(3)求證：是等邊三角形．
【答案】(1)證明見解析；
(2)的度數是；；
(3)證明見解析．
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）根據等邊三角形性質得出，求出，證即可；
（2）根據全等求出，求出的值，根據三角形的內角和定理求出即可；
（3）求出，根據證，推出，求出即可．
【詳解】（1）證明：∵都是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵等邊三角形，
∴，
∴
，
∴，
∴的度數是；
（3）證明：∵，
∴，
又∵點M、N分別是線段的中點，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形．
【變式訓練7-3】如圖，在四邊形中，，，點E在的延長線上，連接．
(1)求證：；
(2)若，平分，請判斷的形狀并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)是等邊三角形
【分析】（1）由平行線的性質得到，已知，則，可判定，即可得到；
（2）由，，得到，由平分，得到，進一步可得，即可證明是等邊三角形．
【詳解】（1）證明：
∴
∴
（2）是等邊三角形
∵平分，
∵
∴是等邊三角形
【點睛】此題考查了平行線的判定和性質、等邊三角形的判定、三角形內角和定理、角平分線的定義等知識，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．
【變式訓練7-4】如圖，在和中，，，．
求證：
(1)；
(2)若點E剛好落在線段上，且，則的形狀為________．
【答案】(1)見解析
(2)等邊三角形
【分析】此題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定等知識，證明是解題的關鍵．
（1）由推導出，而，即可根據“”證明，則；
（2）由全等三角形的性質得，而，所以是等邊三角形，于是得到問題的答案．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
故答案為：等邊三角形．
【變式訓練7-5】如圖，已知，，，點在線段上，點在線段上，設，．
(1)如果，，那么是等邊三角形？請說明理由；
(2)若，試求與之間的關系．
【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析
(2)
【分析】本題考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質、三角形外角的定義，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
（1）根據已知得△ABC是等腰三角形，從而可得，進而可得，然后利用三角形的外角定義可得，從而利用三角形內角和定理求出，即可解答；
（2）利用等腰三角形的性質可得，然后利用三角形的外角定義，進行計算即可解答．
【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：
理由：，，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形；
（2）若時，則，
證明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練7-6】如圖，在四邊形中，，，點E在的延長線上，連接．若，平分，求證：為等邊三角形．
【答案】見解析
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的內角和定理、等邊三角形的判定，關鍵是由平行線的性質推出，由角平分線定義，三角形內角和定理推出．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴為等邊三角形．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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