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2.5逆命題和逆定理五大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：寫出一個命題的已知、求證及證明過程
【經典例題1】命題：在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線互相平行，畫出圖形，寫出該命題的已知、求證，并證明．
【答案】見解析
【分析】本題考查命題與證明，平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定定理，屬于中考常考題型．
寫出已知，求證，根據同位角相等兩直線平行即可證明．
【詳解】解：已知：，，
求證：，
證明：，
．
，
，
，
．
【變式訓練1-1】請你完成命題“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”的證明．（提示：證明命題應首先依據命題畫出幾何圖形，再結合幾何圖形用數學符號語言寫出“已知”、“求證”，最后寫出證明過程．）
【答案】見解析
【分析】本題考查了命題的證明，中垂線的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，先根據題意，畫出圖形，寫出已知和求證，通過構造等邊三角形進行證明即可．
【詳解】解：如圖，已知在中，，
求證：；
證明：延長至點，使，連接，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴．
【變式訓練1-2】命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：______；
(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明過程．
【答案】(1)如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余
(2)該命題是真命題，詳見解析
【分析】本題考查的是直角三角形的性質，逆命題的概念：
（1）根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題；
（2）根據三角形內角和定理計算，即可證明．
【詳解】（1）解：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；
故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余
（2）解：該命題是真命題
已知：如圖，在中，
求證：
證明：
．
【變式訓練1-3】如圖，已知點、、、在同直線上，有下列關系式：①，②，③，④
(1)請從中選擇三個作為已知條件，余下一個作為結論，寫出一個真命題：如果_______________，那么_______________．（填寫序號）
(2)證明（1）中命題的正確性．
【答案】(1)①②③，④
(2)見解析
【分析】本題考查全等三角形判定及性質，平行線判定．
（1）根據題意利用①②③即可判定出，再利用全等性質及平行線性質即可得到④結論．
（2）利用（1）中條件證明即可．
【詳解】（1）解：真命題：如果，，，那么；
∴①②③，④；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SSS），
∴，
∴．
【變式訓練1-4】證明命題“三角形的外角和等于”是真命題．
已知：
求證：
證明：
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了三角形的內角和定理及鄰補角，熟練運用三角形內角和定理是解題的關鍵．根據命題證明的解題方法，寫出已知、求證，再證明即可．
【詳解】已知：如圖所示，分別為三個外角，
求證：．
證明：∵，，，
∴
∵，
∴．
【變式訓練1-5】把命題“鄰補角的角平分線互相垂直”改寫成“如果……那么……”的形式，指出它的題設和結論，請畫出圖形，并說明它是真命題還是假命題．
【答案】見解析
【詳解】如果兩條射線分別是鄰補角的平分線，那么它們互相垂直．
題設：兩條射線分別是鄰補角的角平分線；
結論：它們互相垂直．是真命題；
如圖，，是鄰補角，，分別平分，．
題型二：已知證明過程填寫理論依據
【經典例題2】如圖所示，，那么 ，依據是 ．
【答案】 ， 同角的余角相等
【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.
【詳解】解：∵，
∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
根據同角的余角相等，
∴∠AOC=∠BOD；
故答案為，同角的余角相等.
【點睛】本題考查了同角的余角相等，解題的關鍵是熟練掌握定理.
【變式訓練2-1】（1）如圖所示，點是公路旁的居民點，從點向公路修一條連接公路的小路，，這樣修所依據的數學公理是______．
（2）如圖所示，點，，，在同一條直線上，當________，________，_______時，，所依據的數學公理是_______．
【答案】（1）垂線段最短；（2） ， ， ， .
【分析】（1）根據垂線段的性質：垂線段最短，進行判斷即可；
（2）根據全等三角形的判斷定理SSS，即可得到答案.
【詳解】解：（1）∵從直線外一點到這條直線上各點所連線段中，垂線段最短，
∴過點A作于點B，這樣修所依據的數學公理是垂線段最短．
故答案為垂線段最短．
（2）根據題意，當時，
有：（SSS），
所依據的數學公理是SSS；
故答案為 ， ， ， .
【點睛】本題主要考查了垂線段的性質，全等三角形的判定，解題的關鍵是掌握垂線段最短的性質和SSS證明全等三角形的判定定理.
【變式訓練2-2】補全下列推理過程：
如圖，，，，試說明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定義），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代換）．
∴（____________）．
【答案】答案見詳解；
【分析】
本題考查證明補充條件，根據條件與結論因果關系直接填寫即可得到答案；
【詳解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定義），
∴（　同位角相等，兩直線平行　），
∴（　兩直線平行，同位角相等　），
∵（已知），
∴（等量代換），
∴（　內錯角相等，兩直線平行　）．
【變式訓練2-3】補全下列推理過程：
如圖，已知，，試說明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
【答案】答案見詳解；
【分析】本題考查證明補充條件，平行線的性質與判定，根據條件及結論逐個寫明理由即可得到答案；
【詳解】解：∵（已知），
（兩直線平行，內錯角相等），
（已知），
（等量代換），
（同位角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，同位角相等），
（對頂角相等），
．
【變式訓練2-4】推理填空：如圖，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求證：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
證明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
【答案】同位角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；平行公理的推論；兩直線平行，同旁內角互補；平角的定義；等量代換
【分析】根據平行線的判定與性質進行解答即可．
【詳解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴ABCD（同位角相等，兩直線平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CDEF（同位角相等，兩直線平行），
∴ABEF（平行公理的推論）
∴∠B＋∠F＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定義），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代換）．
【點睛】本題考查平行線的判定與性質及推理論證，解題關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質定理．
題型三：根據給出的論斷組命題并證明
【經典例題3】如圖，現有以下3個論斷：①；②；③．請以其中2個論斷為條件，另一個論斷為結論構造命題．

(1)請寫出所有的真命題；
(2)請選擇其中一個命題加以證明．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】（1）分別以其中2個論斷為條件，第3個論斷為結論可寫出3個命題；
（2）根據平行線的判定與性質對命題進行證明即可．
【詳解】（1）解：命題1：由①②得到③；
命題2：由①③得到②；
命題3：由②③得到①；
（2）命題1證明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命題2證明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命題3證明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查命題與定理知識，平行線的判定與性質，熟練運用平行線的判定與性質是解答此題的關鍵．
【變式訓練3-1】如圖，在三角形中，點在邊的延長線上，射線在的內部．給出下列信息：①；②平分；③．請選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結論組成一個真命題，并說明理由．
【答案】答案見詳解
【分析】根據平行線性質及判定，角平分線定義及等量代換即可得到證明；
【詳解】解：選擇①②作為條件，③作為結論．理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
選擇①③作為條件，②作為結論．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
選擇②③作為條件，①作為結論．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【點睛】本題考查書寫命題，平行線的性質與判定及角平分線的定義，解題的關鍵是正確書寫命題．
【變式訓練3-2】如圖，有下列三個條件：①DE//BC；②；③．
(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都寫出來；
(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的假命題舉出一個反例（溫馨提示：）
【答案】(1)一共能組成三個命題，見解析
(2)都是真命題，推理見解析
【分析】（1）（1）根據兩條件一結論組成命題，可得答案；
（2）根據平行線的性質，可判定①②，根據平行線的判定，可判定③，即可
【詳解】（1）解：一共能組成三個命題：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命題，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，判斷命題的真假，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．
【變式訓練3-3】如圖，已知直線，給出下列信息：
①；②平分；③．
(1)請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個真命題，你選擇的條件是 ，結論是 (只要填寫序號)，并說明理由．
(2)在（1）的條件下，若比的倍少度，求的度數．
【答案】(1)①②；③；理由見解析
(2)
【分析】（1）由角平分線的定義可得，再根據等角的余角相等可得出，再由平行線的性質可得，從而結論得證；
（2）由（1）得：，根據比的倍少度，可得關系式，求得，，再根據即可得到的度數．
【詳解】（1）解：條件：①②，結論：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度數．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，平行線的性質，解方程組等知識．理解和掌握平行線的性質，等角的余角相等是解題的關鍵．
【變式訓練3-4】如圖，現有以下三個條件：①②③．請你以其中兩個作為題設，另一個作為結論構造命題．
（1）你構造的是哪幾個命題？
（2）你構造的命題是真命題還是假命題？若是真命題，請給予證明；若是假命題，請舉出反例(證明其中的一個命題即可)．
【答案】（1）可構造如下幾個命題：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）證明見解析．
【分析】（1）分別以其中2句話為條件，第三句話為結論可寫出3個命題；
（2）根據平行線的判定與性質對3個命題分別進行證明，判斷它們的真假．
【詳解】解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如圖：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么為真命題；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么為真命題；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么為真命題．
【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．
【變式訓練3-5】如圖，現有以下3個論斷：；；．
（1）請以其中兩個為條件，另一個為結論組成命題，你能組成哪幾個命題？
（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請你選擇一個真命題加以證明．
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【分析】（1）分別以其中兩個作為條件，第三個作為結論依次交換寫出即可；
（2）根據平行線的判定和性質對（1）題的3個命題進行證明即可判斷其真假．
【詳解】解：（1）由，，得到；
由，，得到；
由，，得到；
故能組成3個命題．
（2）由，，得到，是真命題．理由如下：
，．
，∴，
，．
由，，得到，是真命題．理由如下：
，．
，，
．
由，，得到，是真命題．理由如下：
∵，，．
，，
．
【點睛】本題考查了命題與定理的知識和平行線的判定與性質，屬于基礎題型，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．
題型四：寫出命題的逆命題
【經典例題4】下列各命題中，其逆命題是假命題的是（ ）
A．全等三角形的三個角分別對應相等
B．三個角都是的三角形是等邊三角形
C．等腰三角形的兩個底角相等
D．線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
【答案】A
【分析】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確寫出命題的逆命題是解題的關鍵．
先寫出各個命題的逆命題，根據等腰三角形的判定、全等三角形的判定定理、等邊三角形的性質、線段垂直平分線的判定定理判斷即可．
【詳解】解：A、逆命題為：三個角對應相等的兩個三角形全等，為假命題，故符合題意；
B、逆命題為：等邊三角形的三個角都是，為真命題，故不合題意；
C、逆命題為：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，為真命題，故不合題意；
D、逆命題為：到這條線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上，為真命題，故不合題意；
故選：A．
【變式訓練4-1】下列命題中，逆命題是真命題的是（ ）
A．直角三角形的兩銳角互余 B．對頂角相等
C．若兩直線垂直，則兩直線有交點 D．如果兩個數相等，那么它們的平方相等
【答案】A
【分析】本題主要考查了判斷命題逆命題的真假，熟知三角形內角和定理，對頂角性質，兩直線位置關系等知識是解題的關鍵．先寫出對應命題的逆命題，然后判斷真假即可．
【詳解】解：A、原命題的逆命題為：兩銳角互余的三角形是直角三角形，是真命題，符合題意；
B、原命題的逆命題為：兩個相等的角是對頂角，是假命題，不符合題意；
C、原命題的逆命題為：若兩直線有交點，則兩直線垂直，是假命題，不符合題意；
D、原命題的逆命題為：如果兩個數的平方相等，那么它們相等，是假命題，不符合題意；
故選A．
【變式訓練4-2】已知下列命題：①對頂角相等；②兩直線平行，同旁內角互補；③直角三角形的兩個銳角互余；④三條邊對應相等的兩個三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】本題考查了原命題與逆命題、真命題與假命題、對頂角相等、平行線的性質與判定，直角三角形的性質與判定、全等三角形的性質與判定等知識．先根據相關知識判斷四個命題的真假，再寫出逆命題并判斷真假即可求解．
【詳解】解：①“對頂角相等”是真命題，逆命題“相等的角是對頂角”是假命題，不合題意；
②“兩直線平行，同旁內角互補”是真命題，逆命題“同旁內角互補，兩直線平行”是真命題，符合題意；
③“直角三角形的兩個銳角互余”是真命題，逆命題“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”是真命題，符合題意；
④“三條邊對應相等的兩個三角形全等”是真命題，逆命題“兩個全等三角形的三條對應邊分別相等”是真命題，符合題意．
故選：B
【變式訓練4-3】“直角都相等”與“相等的角是直角”是（ ）
A．互為逆命題 B．互逆定理 C．公理 D．假命題
【答案】A
【分析】根據逆命題，逆定理，公理，假命題的定義，分別對每一項進行分析即可．
【詳解】“直角都相等”的條件是“兩個角是直角”，結論是“這兩個角相等”
“相等的角是直角” 的條件是“兩個角相等”，結論是“這兩個角是直角”
條件和結論互換，所以是互為逆命題．
定理：“直角都相等”的逆命題是“相等的角是直角”明顯這個定理的逆命題是假命題，
所以“直角都相等”與“相等的角是直角”不是互逆定理．
故選：A．
【點睛】本題考查了互為逆命題的知識，熟記互為逆命題的定義是解題關鍵．
【變式訓練4-4】命題“如果兩個三角形全等，那么它們的面積相等”的逆命題是 ．
【答案】如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形全等
【分析】本題考查了逆命題的概念，弄清逆命題的概念及與原命題的關系是解題的關鍵．
交換原命題的題設和結論即可求得原命題的逆命題．
【詳解】解：命題“如果兩個三角形全等，那么它們的面積相等”的逆命題是“如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形全等”．
故答案為：如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形全等．
【變式訓練4-5】在命題“同位角相等，兩直線平行”中，條件是 ，結論是 如果把條件作為結論，結論作為條件，我們就可以得到它的逆命題： ．
【答案】 同位角相等 兩直線平行 兩直線平行， 同位角相等
【分析】本題考查命題的基本概念與組成、逆命題，命題是由題設和結論構成．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質和定理．
【詳解】解：∵題設是條件，結論是結果，
∴在命題“同位角相等，兩直線平行”中，條件是同位角相等，結論是兩直線平行，
∴如果把條件作為結論，結論作為條件，我們就可以得到它的逆命題：兩直線平行，同位角相等．
故答案為：兩直線平行，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．
題型五：定理和證明
【經典例題5】下列語句中，是定義的是（ ）
A．若兩角之和為，則這兩個角互余 B．相等的角是對頂角
C．同角的余角相等 D．延長至D使
【答案】B
【分析】本題考查了全是與定理的知識，利用定義的定義分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A. 若兩角之和為，則這兩個角互余，不是定義，不符合題意；
B.相等的角是對頂角，是定義，符合題意；
C.同角的余角相等，不是定義，不符合題意；
D. 延長至D使，不是定義，不符合題意；
故選：B
【變式訓練5-1】下列說法正確的是（ ）
A．真命題的逆命題是真命題 B．每個定理都有逆定理
C．每個命題都有逆命題 D．假命題的逆命題是假命題
【答案】C
【分析】本題考查了命題的相關概念及定理，命題由題設和結論兩部分組成，所以所有的命題都有逆命題，但是所有的定理不一定有逆定理，真命題的逆命題不一定是真命題，真命題的逆命題不一定是假命題，據此逐項判斷即可，掌握命題、逆命題及逆定理的相關概念是解題的關鍵．
【詳解】解：、真命題的逆命題不一定是真命題，此選項說法錯誤，不符合題意；
、每個定理都有逆命題，但不一定都有逆定理，此選項說法錯誤，不符合題意；
、每個命題都有逆命題，此選項說法正確，符合題意；
、假命題的逆命題不一定是假命題，此選項說法錯誤，不符合題意；
故選：．
【變式訓練5-2】下列說法中正確的是（ ）
A．如果一個命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題
B．任何定理一定有逆定理
C．任何命題一定有逆命題
D．定理一定是命題，但不一定是真命題
【答案】C
【分析】本題考查了命題與定理的知識，利用命題與逆命題、定理與逆定理之間的關系分別判斷后即可確定正確答案，解題的關鍵是了解命題與逆命題、定理與逆定理之間的關系．
【詳解】解：A、真命題的逆命題不一定是真命題，故原說法錯誤，不符合題意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對應角相等，沒有逆定理，故原說法錯誤，不符合題意；
C、任何命題一定有逆命題，原說法正確，符合題意；
D、定理一定是命題，且是真命題，故原說法錯誤，不符合題意；
故選：C．
【變式訓練5-3】下列說法不正確的是（　　）
A．證實命題正確與否的推理過程叫做證明
B．定理是命題，而且是真命題
C．“對頂角相等”是命題，但不是定理
D．要證明一個命題是假命題只要舉出一個反例即可
【答案】C
【分析】本題考查了定理于命題的相關知識點，掌握命題，定理和證明的概念是關鍵.
【詳解】解：證實命題正確與否的推理過程叫做證明，故A正確，不符合題意；
定理是命題，而且是真命題，故B正確，不符合題意；
對頂角相等”是命題，此命題是通過推理證實得出的真命題，所以它是定理，故C錯誤，符合題意；
要證明一個命題是假命題只要舉出一個反例即可，故D正確，不符合題意；
故選：C
【變式訓練5-4】下列說法中，正確的是（　　）
A．等腰三角形兩腰上的高相等 B．等腰三角形頂角的平分線與底邊不垂直
C．等腰三角形有兩條對稱軸 D．每個定理都有逆定理
【答案】A
【分析】根據等腰三角形的性質及定理的定義分析判斷即可．
【詳解】解：A、等腰三角形兩腰上的高相等，原說法正確，故該項符合題意；
B、等腰三角形頂角的平分線與底邊垂直，原說法錯誤，故該項不符合題意；
C、等腰三角形有一條對稱軸，原說法錯誤，故該項不符合題意；
D、每個定理不一定都有逆定理，原說法錯誤，故該項不符合題意；
故選：A．
【點睛】此題考查了等腰三角形的性質，定理的逆定理的定義，正確掌握各知識點是解題的關鍵．
【變式訓練5-5】下列說法錯誤的是（ ）
A．任何命題都有逆命題 B．真命題的逆命題不一定是正確的
C．任何定理都有逆定理 D．一個定理若存在逆定理，則這個逆定理一定是正確的
【答案】C
【分析】根據命題，定理的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解即可．
【詳解】A．任何命題都有逆命題，故A正確，不符合題意；
B．真命題的逆命題不一定為真，故B正確，不符合題意；
C．任何定理不一定都有逆定理，故C錯誤，符合題意；
D．定理一定是正確的，一個定理若存在逆定理，則這個逆定理一定是正確的，故D正確，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了命題，定理的定義．如果一個命題的條件與結論分別是另一個命題的結論與條件，那么這兩個命題稱為互逆命題．定理是指用邏輯的方法判斷為正確并作為推理的根據的真命題．一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題，如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理．
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2.5逆命題和逆定理五大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：寫出一個命題的已知、求證及證明過程
【經典例題1】命題：在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線互相平行，畫出圖形，寫出該命題的已知、求證，并證明．
【變式訓練1-1】請你完成命題“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”的證明．（提示：證明命題應首先依據命題畫出幾何圖形，再結合幾何圖形用數學符號語言寫出“已知”、“求證”，最后寫出證明過程．）
【變式訓練1-2】命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：______；
(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明過程．
【變式訓練1-3】如圖，已知點、、、在同直線上，有下列關系式：①，②，③，④
(1)請從中選擇三個作為已知條件，余下一個作為結論，寫出一個真命題：如果_______________，那么_______________．（填寫序號）
(2)證明（1）中命題的正確性．
【變式訓練1-4】證明命題“三角形的外角和等于”是真命題．
已知：
求證：
證明：
【變式訓練1-5】把命題“鄰補角的角平分線互相垂直”改寫成“如果……那么……”的形式，指出它的題設和結論，請畫出圖形，并說明它是真命題還是假命題．
題型二：已知證明過程填寫理論依據
【經典例題2】如圖所示，，那么 ，依據是 ．
【變式訓練2-1】（1）如圖所示，點是公路旁的居民點，從點向公路修一條連接公路的小路，，這樣修所依據的數學公理是______．
（2）如圖所示，點，，，在同一條直線上，當________，________，_______時，，所依據的數學公理是_______．
【變式訓練2-2】補全下列推理過程：
如圖，，，，試說明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定義），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代換）．
∴（____________）．
【變式訓練2-3】補全下列推理過程：
如圖，已知，，試說明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
【變式訓練2-4】推理填空：如圖，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求證：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
證明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
題型三：根據給出的論斷組命題并證明
【經典例題3】如圖，現有以下3個論斷：①；②；③．請以其中2個論斷為條件，另一個論斷為結論構造命題．

(1)請寫出所有的真命題；
(2)請選擇其中一個命題加以證明．
【變式訓練3-1】如圖，在三角形中，點在邊的延長線上，射線在的內部．給出下列信息：①；②平分；③．請選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結論組成一個真命題，并說明理由．
【變式訓練3-2】如圖，有下列三個條件：①DE//BC；②；③．
(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都寫出來；
(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的假命題舉出一個反例（溫馨提示：）
【變式訓練3-3】如圖，已知直線，給出下列信息：
①；②平分；③．
(1)請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個真命題，你選擇的條件是 ，結論是 (只要填寫序號)，并說明理由．
(2)在（1）的條件下，若比的倍少度，求的度數．
【變式訓練3-4】如圖，現有以下三個條件：①②③．請你以其中兩個作為題設，另一個作為結論構造命題．
（1）你構造的是哪幾個命題？
（2）你構造的命題是真命題還是假命題？若是真命題，請給予證明；若是假命題，請舉出反例(證明其中的一個命題即可)．
【變式訓練3-5】如圖，現有以下3個論斷：；；．
（1）請以其中兩個為條件，另一個為結論組成命題，你能組成哪幾個命題？
（2）你組成的命題是真命題還是假命題？請你選擇一個真命題加以證明．
題型四：寫出命題的逆命題
【經典例題4】下列各命題中，其逆命題是假命題的是（ ）
A．全等三角形的三個角分別對應相等
B．三個角都是的三角形是等邊三角形
C．等腰三角形的兩個底角相等
D．線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
【變式訓練4-1】下列命題中，逆命題是真命題的是（ ）
A．直角三角形的兩銳角互余 B．對頂角相等
C．若兩直線垂直，則兩直線有交點 D．如果兩個數相等，那么它們的平方相等
【變式訓練4-2】已知下列命題：①對頂角相等；②兩直線平行，同旁內角互補；③直角三角形的兩個銳角互余；④三條邊對應相等的兩個三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【變式訓練4-3】“直角都相等”與“相等的角是直角”是（ ）
A．互為逆命題 B．互逆定理 C．公理 D．假命題
【變式訓練4-4】命題“如果兩個三角形全等，那么它們的面積相等”的逆命題是 ．
【變式訓練4-5】在命題“同位角相等，兩直線平行”中，條件是 ，結論是 如果把條件作為結論，結論作為條件，我們就可以得到它的逆命題： ．
題型五：定理和證明
【經典例題5】下列語句中，是定義的是（ ）
A．若兩角之和為，則這兩個角互余 B．相等的角是對頂角
C．同角的余角相等 D．延長至D使
【變式訓練5-1】下列說法正確的是（ ）
A．真命題的逆命題是真命題 B．每個定理都有逆定理
C．每個命題都有逆命題 D．假命題的逆命題是假命題
【變式訓練5-2】下列說法中正確的是（ ）
A．如果一個命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題
B．任何定理一定有逆定理
C．任何命題一定有逆命題
D．定理一定是命題，但不一定是真命題
【變式訓練5-3】下列說法不正確的是（　　）
A．證實命題正確與否的推理過程叫做證明
B．定理是命題，而且是真命題
C．“對頂角相等”是命題，但不是定理
D．要證明一個命題是假命題只要舉出一個反例即可
【變式訓練5-4】下列說法中，正確的是（　　）
A．等腰三角形兩腰上的高相等 B．等腰三角形頂角的平分線與底邊不垂直
C．等腰三角形有兩條對稱軸 D．每個定理都有逆定理
【變式訓練5-5】下列說法錯誤的是（ ）
A．任何命題都有逆命題 B．真命題的逆命題不一定是正確的
C．任何定理都有逆定理 D．一個定理若存在逆定理，則這個逆定理一定是正確的
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