資源簡介

　　　　　　　　　　　　　　　　
一、導數的幾何意義與運算
1.此部分內容涉及導數的幾何意義，基本初等函數求導法則、運算法則、復合函數求導，作為數形結合的橋梁，導數的幾何意義成為最近幾年高考的高頻考點，主要考查切線方程及切點，與切線的平行、垂直問題，常結合函數的切線問題轉化為點到直線的距離，平行線間的距離問題，進而研究距離最值，難度中低檔.
2.通過求切線方程的有關問題，培養數學運算、數學抽象等核心素養.
例1　（1）已知函數f（x）=，f'（x）為f（x）的導函數，則f'（x）等于（　　）
A. B.
C. D.
答案　D
解析　根據題意，知函數f（x）=，
其導函數f'（x）=
==.
（2）曲線y=在點（-1，-3）處的切線方程為　　　　.
答案　5x-y+2=0
解析　y'='==，所以y'|x=-1==5，所以切線方程為y+3=5（x+1），即5x-y+2=0.
反思感悟　（1）求曲線的切線方程要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異.
（2）熟練掌握基本初等函數的求導法則，掌握函數的和、差、積、商的運算法則，復合函數求導的關鍵是分清層次，逐層求導，求導時不要忘了對內層函數求導.
跟蹤訓練1　（1）已知函數f（x）=ln（x+1），則f（1），，的大小關系為（　　）
A.f（1）<<
B.C.<D.答案　C
解析　作出函數f（x）=ln（x+1）的圖象，如圖所示.
由圖可知曲線上各點與坐標原點的連線的斜率隨著x的增大而減小.
由1<2<3，得>>，即f（1）>>.
（2）設f'（x）是函數f（x）的導函數，若f（x）=x·ln（2x-1），則f'（1）=　　　　.
答案　2
解析　因為f（x）=x·ln（2x-1），
所以f'（x）=ln（2x-1）+·（2x-1）'
=ln（2x-1）+，則f'（1）=2.
二、函數的單調性、極值、最值
1.利用導數研究函數的單調性、極值、最值，并能解決有關的問題，是最近幾年高考的重點內容，難度中高檔.
2.通過求函數的單調性、極值、最值問題，培養邏輯推理、直觀想象及數學運算等核心素養.
例2　已知函數f（x）=ex+ax2-x.
（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；
（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
解　（1）當a=1時，f（x）=ex+x2-x，
f'（x）=ex+2x-1，令φ（x）=ex+2x-1，
由于φ'（x）=ex+2>0，
故f'（x）單調遞增，注意到f'（0）=0，
故當x∈（-∞，0）時，f'（x）<0，f（x）單調遞減，
當x∈（0，+∞）時，f'（x）>0，f（x）單調遞增.
（2）由f（x）≥x3+1得，
ex+ax2-x≥x3+1，其中x≥0，
①當x=0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；
②當x>0時，分離參數a得，
a≥-，
記g（x）=-，
g'（x）=-，
令h（x）=ex-x2-x-1（x≥0），
則h'（x）=ex-x-1，
令t（x）=h'（x），x≥0，則t'（x）=ex-1≥0，
故h'（x）單調遞增，h'（x）≥h'（0）=0，
故函數h（x）單調遞增，h（x）≥h（0）=0，
由h（x）≥0可得ex-x2-x-1≥0恒成立，
故當x∈（0，2）時，g'（x）>0，g（x）單調遞增；
當x∈（2，+∞）時，g'（x）<0，g（x）單調遞減，
因此，g（x）max=g（2）=，
綜上可得，a的取值范圍是.
反思感悟　（1）利用導數判斷函數的單調性是解決一切應用問題的基礎，一般按照求導、通分、因式分解、分類討論的思路研究函數的單調性，從而掌握函數圖象的變化趨勢，達到解決問題的目的.
（2）①極值點是f'（x）的變號零點，除了找f'（x）=0的實數根x0外，還需判斷f（x）在x0左側和右側的單調性.
②求函數最值時，不可想當然地認為極值就是最值，需通過比較端點值大小才能下結論.
跟蹤訓練2　（1）函數f（x）=cos x+（x+1）sin x+1在區間［0，2π］上的最小值、最大值分別為（　　）
A.-， B.-，
C.-，+2 D.-，+2
答案　D
解析　f（x）=cos x+（x+1）sin x+1，x∈［0，2π］，則f'（x）=-sin x+sin x+（x+1）cos x=（x+1）cos x，x∈［0，2π］.
令f'（x）=0，解得x=或x=.
因為f=cos +sin +1
=2+，
f=cos +sin +1=-，
又f（0）=cos 0+（0+1）sin 0+1=2，
f（2π）=cos 2π+（2π+1）sin 2π+1=2，
所以f（x）max=f=2+，
f（x）min=f=-.
（2） x∈R，函數f（x）=x3+ax2+3ax+4沒有極值的充要條件為　　　　　.
答案　0≤a≤9
解析　由題意知f'（x）=3x2+2ax+3a，注意到f'（x）是開口向上的二次函數，
若f（x）沒有極值，則f'（x）≥0恒成立，
即Δ=4a2-36a≤0，解得0≤a≤9.
三、與導數有關的綜合性問題
1.以函數為背景的實際問題給高考數學提供了廣闊的空間.導數是研究函數性質以及解決實際問題中的最大、最小值的強有力的工具， 多以選擇題和填空題的形式出現，難度中低檔.從近幾年高考題看，利用導數研究方程的根、函數的零點、證明不等式這些知識點常考到，一般出現在解答題中.其實質就是利用求導數的方法研究函數的性質及圖象，解決該類問題通常是構造一個函數，然后考查這個函數的單調性，結合給定的區間和函數在該區間端點的函數值使問題得以求解.一般出現在高考題解答題中，難度中高檔.
2.通過利用導數解決實際問題，培養數學建模，解決函數方程問題，提升邏輯推理，直觀想象及數學運算等核心素養.
例3　已知函數f（x）=-ax2+ln x（a∈R）.
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若存在x∈（1，+∞），使f（x）>-a，求a的取值范圍.
解　（1）f'（x）=-2ax+=，
當a≤0時，f'（x）>0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a>0時，令f'（x）=0，得x=，
令f'（x）>0，得x∈；
令f'（x）<0，得x∈，
所以f（x）在上單調遞增，
在上單調遞減.
（2）由f（x）>-a，得a（x2-1）-ln x<0，
因為x∈（1，+∞），所以-ln x<0，x2-1>0，
當a≤0時，a（x2-1）-ln x<0，符合題意；
設g（x）=a（x2-1）-ln x（x>1），
則g'（x）=，
當a≥時，g'（x）>0，g（x）在（1，+∞）上單調遞增，
所以g（x）>g（1）=0，不符合題意；
當00，
得x∈，
令g'（x）<0，得x∈，
所以g（x）min=g則存在x∈（1，+∞），使g（x）<0，
綜上，a的取值范圍是.
反思感悟　綜合性問題一般伴隨著分類討論、數形結合、構造函數等數學中的思想方法，解題關鍵是分類討論時做到不重不漏；數形結合時掌握函數圖象的變化趨勢；構造函數時合理構造.
跟蹤訓練3　為了節能環保、節約材料，定義建筑物的“體形系數”S=，其中F0為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），V0為建筑物的體積（單位：立方米）.
（1）若有一個圓柱體建筑物的底面半徑為R，高度為H，暴露在空氣中的部分為上底面和側面，試求該建筑物的“體形系數”S；（結果用含R，H的代數式表示）
（2）定義建筑物的“形狀因子”為f=，其中A為建筑物底面面積，L為建筑物底面周長，又定義T為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）.設n為某宿舍樓的層數，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數”為S=+.當f=18，T=10 000時，試求當該宿舍樓的層數n為多少時，“體形系數”S最小.
解　（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得F0=2πRH+πR2，V0=πR2H，
所以S===.
（2）由題意可得S=+=+，n∈N*，
令g（x）=+，x≥1，
所以g'（x）=-=，
令g'（x）=0，解得x=，
所以g（x）在上單調遞減，
在上單調遞增，
6<<7，
所以S的最小值在n=6或n=7時取得，
當n=6時，S=+≈0.159 5，
當n=7時，S=+≈0.159 9，
所以當該宿舍樓的層數n為6時，“體形系數”S最小.(共37張PPT)
第五章
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章末復習課
知識網絡
一、導數的幾何意義與運算
二、函數的單調性、極值、最值
三、與導數有關的綜合性問題
內容索引
導數的幾何意義與運算
一
1.此部分內容涉及導數的幾何意義，基本初等函數求導法則、運算法則、復合函數求導，作為數形結合的橋梁，導數的幾何意義成為最近幾年高考的高頻考點，主要考查切線方程及切點，與切線的平行、垂直問題，常結合函數的切線問題轉化為點到直線的距離，平行線間的距離問題，進而研究距離最值，難度中低檔.
2.通過求切線方程的有關問題，培養數學運算、數學抽象等核心素養.
　　　(1)已知函數f(x)=，f'(x)為f(x)的導函數，則f'(x)等于
A. B.
C. D.
例 1
√
根據題意，知函數f(x)=，
其導函數f'(x)=
==.
(2)曲線y=在點(-1，-3)處的切線方程為　　　　　.
y'='==，所以y'|x=-1==5，所以切線方程為y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0.
5x-y+2=0
(1)求曲線的切線方程要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異.
(2)熟練掌握基本初等函數的求導法則，掌握函數的和、差、積、商的運算法則，復合函數求導的關鍵是分清層次，逐層求導，求導時不要忘了對內層函數求導.
反
思
感
悟
　　　　　(1)已知函數f(x)=ln(x+1)，則f(1)，，的大小關系為
A.f(1)<<
B.C.<D.跟蹤訓練 1
√
作出函數f(x)=ln(x+1)的圖象，如圖所示.
由圖可知曲線上各點與坐標原點的連線的斜率隨著x的增大而減小.
由1<2<3，得>>，即f(1)>>.
(2)設f'(x)是函數f(x)的導函數，若f(x)=x·ln(2x-1)，則f'(1)=　　.
2
因為f(x)=x·ln(2x-1)，
所以f'(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)'
=ln(2x-1)+，則f'(1)=2.
二
函數的單調性、極值、最值
1.利用導數研究函數的單調性、極值、最值，并能解決有關的問題，是最近幾年高考的重點內容，難度中高檔.
2.通過求函數的單調性、極值、最值問題，培養邏輯推理、直觀想象及數學運算等核心素養.
已知函數f(x)=ex+ax2-x.
(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；
例 2
當a=1時，f(x)=ex+x2-x，
f'(x)=ex+2x-1，令φ(x)=ex+2x-1，
由于φ'(x)=ex+2>0，
故f'(x)單調遞增，注意到f'(0)=0，
故當x∈(-∞，0)時，f'(x)<0，f(x)單調遞減，
當x∈(0，+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增.
(2)當x≥0時，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍.
由f(x)≥x3+1得，
ex+ax2-x≥x3+1，其中x≥0，
①當x=0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；
②當x>0時，分離參數a得，
a≥-，
記g(x)=-，
g'(x)=-，
令h(x)=ex-x2-x-1(x≥0)，
則h'(x)=ex-x-1，
令t(x)=h'(x)，x≥0，則t'(x)=ex-1≥0，
故h'(x)單調遞增，h'(x)≥h'(0)=0，
故函數h(x)單調遞增，h(x)≥h(0)=0，
由h(x)≥0可得ex-x2-x-1≥0恒成立，
故當x∈(0，2)時，g'(x)>0，g(x)單調遞增；
當x∈(2，+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調遞減，
因此，g(x)max=g(2)=，
綜上可得，a的取值范圍是.
反
思
感
悟
(1)利用導數判斷函數的單調性是解決一切應用問題的基礎，一般按照求導、通分、因式分解、分類討論的思路研究函數的單調性，從而掌握函數圖象的變化趨勢，達到解決問題的目的.
(2)①極值點是f'(x)的變號零點，除了找f'(x)=0的實數根x0外，還需判斷f(x)在x0左側和右側的單調性.
②求函數最值時，不可想當然地認為極值就是最值，需通過比較端點值大小才能下結論.
　　　　　(1)函數f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在區間[0，2π]上的最小值、最大值分別為
A.-， B.-，
C.-，+2 D.-，+2
跟蹤訓練 2
√
f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，則f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x
=(x+1)cos x，x∈[0，2π].
令f'(x)=0，解得x=或x=.
因為f=cos +sin +1
=2+，
f=cos +sin +1=-，
又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2，
f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2，
所以f(x)max=f=2+，
f(x)min=f=-.
(2) x∈R，函數f(x)=x3+ax2+3ax+4沒有極值的充要條件為　　　　　.
由題意知f'(x)=3x2+2ax+3a，注意到f'(x)是開口向上的二次函數，
若f(x)沒有極值，則f'(x)≥0恒成立，
即Δ=4a2-36a≤0，解得0≤a≤9.
0≤a≤9
與導數有關的綜合性問題
三
1.以函數為背景的實際問題給高考數學提供了廣闊的空間.導數是研究函數性質以及解決實際問題中的最大、最小值的強有力的工具， 多以選擇題和填空題的形式出現，難度中低檔.從近幾年高考題看，利用導數研究方程的根、函數的零點、證明不等式這些知識點常考到，一般出現在解答題中.其實質就是利用求導數的方法研究函數的性質及圖象，解決該類問題通常是構造一個函數，然后考查這個函數的單調性，結合給定的區間和函數在該區間端點的函數值使問題得以求解.一般出現在高考題解答題中，難度中高檔.
2.通過利用導數解決實際問題，培養數學建模，解決函數方程問題，提升邏輯推理，直觀想象及數學運算等核心素養.
已知函數f(x)=-ax2+ln x(a∈R).
(1)討論f(x)的單調性；
例 3
f'(x)=-2ax+=，
當a≤0時，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，+∞)上單調遞增；
當a>0時，令f'(x)=0，得x=，
令f'(x)>0，得x∈；
令f'(x)<0，得x∈，
所以f(x)在上單調遞增，
在上單調遞減.
(2)若存在x∈(1，+∞)，使f(x)>-a，求a的取值范圍.
由f(x)>-a，得a(x2-1)-ln x<0，
因為x∈(1，+∞)，所以-ln x<0，x2-1>0，
當a≤0時，a(x2-1)-ln x<0，符合題意；
設g(x)=a(x2-1)-ln x(x>1)，
則g'(x)=，
當a≥時，g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上單調遞增，
所以g(x)>g(1)=0，不符合題意；
當00，
得x∈，
令g'(x)<0，得x∈，
所以g(x)min=g則存在x∈(1，+∞)，使g(x)<0，
綜上，a的取值范圍是.
反
思
感
悟
綜合性問題一般伴隨著分類討論、數形結合、構造函數等數學中的思想方法，解題關鍵是分類討論時做到不重不漏；數形結合時掌握函數圖象的變化趨勢；構造函數時合理構造.
為了節能環保、節約材料，定義建筑物的“體形系數”S=，其中F0為建筑物暴露在空氣中的面積(單位：平方米)，V0為建筑物的體積(單位：立方米).
(1)若有一個圓柱體建筑物的底面半徑為R，高度為H，暴露在空氣中的部分為上底面和側面，試求該建筑物的“體形系數”S；(結果用含R，H的代數式表示)
跟蹤訓練 3
由圓柱體的表面積和體積公式可得F0=2πRH+πR2，V0=πR2H，
所以S===.
(2)定義建筑物的“形狀因子”為f=，其中A為建筑物底面面積，L為建筑物底面周長，又定義T為總建筑面積，即為每層建筑面積之和(每層建筑面積為每一層的底面面積).設n為某宿舍樓的層數，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數”為S=+.當f=18，T=10 000時，試求當該宿舍樓的層數n為多少時，“體形系數”S最小.
由題意可得S=+=+，n∈N*，
令g(x)=+，x≥1，
所以g'(x)=-=，
令g'(x)=0，解得x=，
所以g(x)在上單調遞減，
在上單調遞增，
6<<7，
所以S的最小值在n=6或n=7時取得，
當n=6時，S=+≈0.159 5，
當n=7時，S=+≈0.159 9，
所以當該宿舍樓的層數n為6時，“體形系數”S最小.一、導數的幾何意義與運算
1.此部分內容涉及導數的幾何意義，基本初等函數求導法則、運算法則、復合函數求導，作為數形結合的橋梁，導數的幾何意義成為最近幾年高考的高頻考點，主要考查切線方程及切點，與切線的平行、垂直問題，常結合函數的切線問題轉化為點到直線的距離，平行線間的距離問題，進而研究距離最值，難度中低檔.
2.通過求切線方程的有關問題，培養數學運算、數學抽象等核心素養.
例1　(1)已知函數f(x)=，f'(x)為f(x)的導函數，則f'(x)等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)曲線y=在點(-1，-3)處的切線方程為　　　　　　　　　　　　.
反思感悟　(1)求曲線的切線方程要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異.
(2)熟練掌握基本初等函數的求導法則，掌握函數的和、差、積、商的運算法則，復合函數求導的關鍵是分清層次，逐層求導，求導時不要忘了對內層函數求導.
跟蹤訓練1　(1)已知函數f(x)=ln(x+1)，則f(1)，，的大小關系為(　　)
A.f(1)<<
B.C.<D.(2)設f'(x)是函數f(x)的導函數，若f(x)=x·ln(2x-1)，則f'(1)=　　　　.
二、函數的單調性、極值、最值
1.利用導數研究函數的單調性、極值、最值，并能解決有關的問題，是最近幾年高考的重點內容，難度中高檔.
2.通過求函數的單調性、極值、最值問題，培養邏輯推理、直觀想象及數學運算等核心素養.
例2　已知函數f(x)=ex+ax2-x.
(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；
(2)當x≥0時，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍.
反思感悟　(1)利用導數判斷函數的單調性是解決一切應用問題的基礎，一般按照求導、通分、因式分解、分類討論的思路研究函數的單調性，從而掌握函數圖象的變化趨勢，達到解決問題的目的.
(2)①極值點是f'(x)的變號零點，除了找f'(x)=0的實數根x0外，還需判斷f(x)在x0左側和右側的單調性.
②求函數最值時，不可想當然地認為極值就是最值，需通過比較端點值大小才能下結論.
跟蹤訓練2　(1)函數f(x)=cos x+(x+1)·sin x+1在區間［0，2π］上的最小值、最大值分別為(　　)
A.-， B.-，
C.-，+2 D.-，+2
(2) x∈R，函數f(x)=x3+ax2+3ax+4沒有極值的充要條件為　　　　　.
三、與導數有關的綜合性問題
1.以函數為背景的實際問題給高考數學提供了廣闊的空間.導數是研究函數性質以及解決實際問題中的最大、最小值的強有力的工具， 多以選擇題和填空題的形式出現，難度中低檔.從近幾年高考題看，利用導數研究方程的根、函數的零點、證明不等式這些知識點常考到，一般出現在解答題中.其實質就是利用求導數的方法研究函數的性質及圖象，解決該類問題通常是構造一個函數，然后考查這個函數的單調性，結合給定的區間和函數在該區間端點的函數值使問題得以求解.一般出現在高考題解答題中，難度中高檔.
2.通過利用導數解決實際問題，培養數學建模，解決函數方程問題，提升邏輯推理，直觀想象及數學運算等核心素養.
例3　已知函數f(x)=-ax2+ln x(a∈R).
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若存在x∈(1，+∞)，使f(x)>-a，求a的取值范圍.
反思感悟　綜合性問題一般伴隨著分類討論、數形結合、構造函數等數學中的思想方法，解題關鍵是分類討論時做到不重不漏；數形結合時掌握函數圖象的變化趨勢；構造函數時合理構造.
跟蹤訓練3　為了節能環保、節約材料，定義建筑物的“體形系數”S=，其中F0為建筑物暴露在空氣中的面積(單位：平方米)，V0為建筑物的體積(單位：立方米).
(1)若有一個圓柱體建筑物的底面半徑為R，高度為H，暴露在空氣中的部分為上底面和側面，試求該建筑物的“體形系數”S；(結果用含R，H的代數式表示)
(2)定義建筑物的“形狀因子”為f=，其中A為建筑物底面面積，L為建筑物底面周長，又定義T為總建筑面積，即為每層建筑面積之和(每層建筑面積為每一層的底面面積).設n為某宿舍樓的層數，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數”為S=+.當f=18，T=10 000時，試求當該宿舍樓的層數n為多少時，“體形系數”S最小.
答案精析
例1　(1)D　［根據題意，知函數f(x)=，其導函數
f'(x)=
==.］
(2)5x-y+2=0
解析　y'='=
=，所以y'|x=-1==5，所以切線方程為y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0.
跟蹤訓練1　(1)C　［作出函數f(x)=ln(x+1)的圖象，如圖所示.
由圖可知曲線上各點與坐標原點的連線的斜率隨著x的增大而減小.
由1<2<3，得>>，即f(1)>>.］
(2)2
解析　因為f(x)=x·ln(2x-1)，
所以f'(x)=ln(2x-1)+·(2x-1)'=ln(2x-1)+，
則f'(1)=2.
例2　解　(1)當a=1時，
f(x)=ex+x2-x，
f'(x)=ex+2x-1，
令φ(x)=ex+2x-1，
由于φ'(x)=ex+2>0，
故f'(x)單調遞增，注意到f'(0)=0，
故當x∈(-∞，0)時，f'(x)<0，f(x)單調遞減，
當x∈(0，+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增.
(2)由f(x)≥x3+1得，
ex+ax2-x≥x3+1，其中x≥0，
①當x=0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；
②當x>0時，分離參數a得，
a≥-，
記g(x)=-，
g'(x)=-，
令h(x)=ex-x2-x-1(x≥0)，
則h'(x)=ex-x-1，
令t(x)=h'(x)，x≥0，
則t'(x)=ex-1≥0，
故h'(x)單調遞增，h'(x)≥h'(0)=0，
故函數h(x)單調遞增，
h(x)≥h(0)=0，
由h(x)≥0可得ex-x2-x-1≥0恒成立，
故當x∈(0，2)時，g'(x)>0，g(x)單調遞增；
當x∈(2，+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調遞減，
因此，g(x)max=g(2)=，
綜上可得，a的取值范圍是
.
跟蹤訓練2　(1)D　［f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈［0，2π］，則f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x，x∈［0，2π］.
令f'(x)=0，解得x=或x=.
因為f=cos +sin +1=2+，
f=cos +sin +1
=-，
又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2，
f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2，
所以f(x)max=f=2+，
f(x)min=f=-.］
(2)0≤a≤9
解析　由題意知f'(x)=3x2+2ax+3a，注意到f'(x)是開口向上的二次函數，
若f(x)沒有極值，則f'(x)≥0恒成立，
即Δ=4a2-36a≤0，解得0≤a≤9.
例3　解　(1)f'(x)=-2ax+
=，
當a≤0時，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，+∞)上單調遞增；
當a>0時，令f'(x)=0，
得x=，
令f'(x)>0，得x∈；
令f'(x)<0，得x∈，
所以f(x)在上單調遞增，
在上單調遞減.
(2)由f(x)>-a，
得a(x2-1)-ln x<0，
因為x∈(1，+∞)，
所以-ln x<0，x2-1>0，
當a≤0時，a(x2-1)-ln x<0，符合題意；
設g(x)=a(x2-1)-ln x(x>1)，
則g'(x)=，
當a≥時，g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上單調遞增，
所以g(x)>g(1)=0，不符合題意；
當00，
得x∈，
令g'(x)<0，得x∈，
所以g(x)min=g則存在x∈(1，+∞)，使g(x)<0，
綜上，a的取值范圍是.
跟蹤訓練3　解　(1)由圓柱體的表面積和體積公式可得
F0=2πRH+πR2，V0=πR2H，
所以S===.
(2)由題意可得
S=+=+，n∈N*，
令g(x)=+，x≥1，
所以g'(x)=-
=，
令g'(x)=0，解得x=，
所以g(x)在上單調遞減，
在上單調遞增，
6<<7，
所以S的最小值在n=6或n=7時取得，
當n=6時，S=+
≈0.159 5，
當n=7時，S=+
≈0.159 9，
所以當該宿舍樓的層數n為6時，“體形系數”S最小.

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