資源簡介

第1課時　數(shù)列的概念及通項公式
［學習目標］　1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任一項，并能正確判斷某數(shù)值是否為已知數(shù)列的項.4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.
導語
有人說，大自然是懂數(shù)學的，不知道你注意過沒有，樹木的分叉、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列等等，都遵循著某種數(shù)學規(guī)律，大家能想到它們涉及了哪些數(shù)學規(guī)律嗎？通過本節(jié)課的學習，這些問題都會得到解決.
一、數(shù)列的概念與分類
問題1　觀察以下幾列數(shù)：
（1）古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數(shù)字依次為：7，49，343，2 401，16 807；
（2）戰(zhàn)國時期莊周引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭.這句話中隱藏著一列數(shù)：1，，，，，…；
（3）從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的時間：2 024，2 024，…，2 024；
（4）小明為了記住剛設置的手機密碼，只聽他不停地說：7，0，2，5，7，0，2，5，…；
（5）-的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數(shù)：-，，-，，…；
你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？
提示　共同點：都是按照確定的順序進行排列的.不同點：從項數(shù)上來看：（1）（3）項數(shù)有限，（2）（4）（5）項數(shù)無限；從項的變化上來看：（1）每一項在依次變大，（2）每一項在依次變小，（3）項沒有發(fā)生變化，（4）項呈現(xiàn)周期性的變化，（5）項的大小交替變化.
知識梳理
1.一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示.其中第1項也叫做首項.
2. 數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為｛an｝.
3.數(shù)列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)有限的數(shù)列
無窮數(shù)列 項數(shù)無限的數(shù)列
按項的變化趨勢 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列
遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列
常數(shù)列 各項都相等的數(shù)列
周期數(shù)列 項呈現(xiàn)周期性變化
擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項
注意點：
（1）如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同，但順序不同，它們是不同的數(shù)列.
（2）同一個數(shù)可以在數(shù)列中重復出現(xiàn).
（3）｛an｝表示一個數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項.
例1　下列數(shù)列中哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？
（1）1，0.84，0.842，0.843，…；
（2）2，4，6，8，10，…；
（3）7，7，7，7，…；
（4），，，，…；
（5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
（6）0，-1，2，-3，4，-5，….
解　（5）是有窮數(shù)列；（1）（2）（3）（4）（6）是無窮數(shù)列；（2）是遞增數(shù)列；（1）（4）（5）是遞減數(shù)列；（3）是常數(shù)列；（6）是擺動數(shù)列.
反思感悟　（1）判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷.
（2）判斷數(shù)列的單調(diào)遞增或遞減時，一定要按照數(shù)列單調(diào)性的定義，即從第二項起，每一項均大于或小于它的前一項，不能有例外.
跟蹤訓練1　下列數(shù)列中哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是周期數(shù)列？
（1）2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2024；
（2）0，，，…，，…；
（3）1，，，…，，…；
（4）-，，-，，…；
（5）1，0，-1，…，sin ，…；
（6）9，9，9，9，9，9.
解　（1）（6）是有窮數(shù)列；（2）（3）（4）（5）是無窮數(shù)列；（1）（2）是遞增數(shù)列；（3）是遞減數(shù)列；（6）是常數(shù)列；（5）是周期數(shù)列.
二、數(shù)列的通項公式
問題2　我們發(fā)現(xiàn)問題1中的（1）（2）（3）（5），項與項數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？
提示　對于（1），a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，于是an=7n，n∈；
對于（2），an=，n∈N*；
對于（3），an=2 024，n∈｛x|x是本班學生的學號｝；
對于（5），an=，n∈N*.
知識梳理
1.如果數(shù)列｛an｝的第n項an與它的序號n之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.
2.通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).
注意點：
（1）數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)表達式.
（2）并不是所有的數(shù)列都有通項公式.
（3）有些數(shù)列的通項公式，表達形式不唯一.數(shù)列還可以用列表法、圖象法表示.
例2　根據(jù)數(shù)列｛an｝的通項公式，寫出數(shù)列｛an｝的前5項，并作出它們的圖象.
（1）an=（-1）n+2；
（2）an=.
解　（1）數(shù)列｛an｝的前5項依次是1，3，1，3，1，圖象如圖① 所示.
（2）數(shù)列｛an｝的前5項依次是2，，，，，圖象如圖② 所示.
反思感悟　數(shù)列｛an｝的通項公式給出了第n項an與它的序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列中相應的項.
例3　寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：
（1）-1，，-，；
（2），2，，8；
（3）0，1，0，1；
（4）9，99，999，9 999.
解　（1）這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，
所以它的一個通項公式為an=，n∈N*.
（2）數(shù)列中的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：，，，，…，
所以它的一個通項公式為an=，n∈N*.
（3）這個數(shù)列中的項是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項都是0，偶數(shù)項都是1，所以通項公式可以寫成an=由第（1）題也可以寫成an=（n∈N*）或an=（n∈N*）.
（4）各項加1后，變?yōu)?0，100，1 000，10 000，…，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1，n∈N*.
延伸探究　
根據(jù)本例中的第（4）題，試解決以下2個問題：
1.試寫出前4項為1，11，111，1 111的一個通項公式.
解　由本例的第（4）題可知，每一項除以9即可，即an=（10n-1），n∈N*.
2.試寫出前4項為7，77，777，7 777的一個通項公式.
解　由本例的第（4）題可知，每一項乘即可，
即an=（10n-1），n∈N*.
反思感悟　根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路
（1）先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等.
（2）分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的函數(shù)解析式.有時也可以通過探求各部分間的關(guān)系來歸納通項公式.
（3）對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用（-1）n或（-1）n+1處理符號.有時也可用分段形式.
（4）對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.
跟蹤訓練2　寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，它們的前幾項分別是：
（1）1，3，7，15，31，…；
（2），，，，，…；
（3）-，，-，，-，…；
（4）2×3，3×4，4×5，5×6，….
解　（1）由1=2-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…
可得an=2n-1.
（2）由=，=，=，=，=，…
可得an=.
（3）由-，，-，，-，…可知奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，可得an=（-1）n×.
（4）由2×3=×，3×4=×，4×5=×，5×6=×，…
可得an=（n+1）（n+2）.
三、數(shù)列通項公式的簡單應用
例4　已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an=2n2-n，n∈N*.
（1）寫出數(shù)列的前3項；
（2）判斷45是否為數(shù)列｛an｝中的項，3是否為數(shù)列｛an｝中的項.
解　（1）在通項公式中依次取n=1，2，3，可得｛an｝的前3項分別為1，6，15.
（2）令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-（舍去），故45是數(shù)列｛an｝中的第5項.
令2n2-n=3，得2n2-n-3=0，解得n=-1或n=，故3不是數(shù)列｛an｝中的項.
反思感悟　（1）利用數(shù)列的通項公式求某項的方法
數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應項.
（2）判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列的第n項，然后列出關(guān)于n的方程.若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是該數(shù)列的一項.
跟蹤訓練3　已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=qn，n∈N*，且a4-a2=72.
（1）求實數(shù)q的值；
（2）判斷-81是否為此數(shù)列中的項.
解　（1）由題意知q4-q2=72，
則q2=9或q2=-8（舍去），
∴q=±3.
（2）當q=3時，an=3n.
顯然-81不是此數(shù)列中的項；
當q=-3時，an=（-3）n.
令（-3）n=-81，無解，
∴-81不是此數(shù)列中的項.
1.知識清單：
（1）數(shù)列的概念與分類.
（2）數(shù)列的通項公式.
（3）數(shù)列通項公式的簡單應用.
2.方法歸納：觀察法、歸納法、猜想法.
3.常見誤區(qū)：
（1）歸納法求數(shù)列的通項公式時歸納不全面.
（2）不注意用（-1）n進行調(diào)節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系.
1.下列說法正確的是（　　）
A.數(shù)列中不能重復出現(xiàn)同一個數(shù)
B.1，2，3，4與4，3，2，1是同一數(shù)列
C.1，1，1，1不是數(shù)列
D.若兩個數(shù)列的每一項均相同，則這兩個數(shù)列相同
答案　D
解析　由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中可以重復出現(xiàn)同一個數(shù)，如1，1，1，1，故A，C不正確；
B中兩數(shù)列首項不相同，因此不是同一數(shù)列，故B不正確；由數(shù)列的定義可知，D正確.
2.數(shù)列，-，，-，…的通項公式可能是（　　）
A.an=（-1）n B.an=（-1）n-1
C.an=（-1）n D.an=（-1）n-1
答案　D
解析　方法一　將n=1，2，3，4代入各選項驗證易得答案.
方法二　將數(shù)列，-，，-，…變?yōu)椋?，，-，…，從而可知分子的規(guī)律為n，分母的規(guī)律為n+2，再結(jié)合正負的調(diào)節(jié)，可知其通項公式為an=（-1）n-1.
3.在數(shù)列｛an｝中，an=，則｛an｝（　　）
A.是常數(shù)列 B.不是單調(diào)數(shù)列
C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列
答案　D
解析　在數(shù)列｛an｝中，an==1+，
由反比例函數(shù)的性質(zhì)得｛an｝是遞減數(shù)列.
4.323是數(shù)列｛n（n+2）｝的第　　　　項.
答案　17
解析　由an=n2+2n=323，解得n=17（負值舍去）.∴323是數(shù)列｛n（n+2）｝的第17項.
課時對點練　［分值：100分］
單選題每小題5分，共40分；多選題每小題6分，共6分
1.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.數(shù)列可以用圖象來表示
B.數(shù)列的通項公式不唯一
C.數(shù)列中的項不能相等
D.數(shù)列可以用一群孤立的點表示
答案　ABD
解析　數(shù)列中的項可以相等，如常數(shù)列，故選項C中說法不正確.
2.已知數(shù)列an=，則數(shù)列是（　　）
A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列
C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列
答案　C
解析　因為an=，所以該數(shù)列中的項為-，，-，，…，故該數(shù)列是擺動數(shù)列.
3.已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=（-1）n（n2-1），則a6等于（　　）
A.35 B.-11
C.-35 D.11
答案　A
4.數(shù)列-1，3，-7，15，…的一個通項公式可以是（　　）
A.an=（-1）n·（2n-1），n∈N*
B.an=（-1）n·（2n-1），n∈N*
C.an=（-1）n+1·（2n-1），n∈N*
D.an=（-1）n+1·（2n-1），n∈N*
答案　A
解析　數(shù)列各項正、負交替，故可用（-1）n來調(diào)節(jié)，又1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，所以通項公式為an=（-1）n·（2n-1），n∈N*.
5.數(shù)列，，，，…的第10項是（　　）
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由題意知數(shù)列的通項公式是an=（n∈N*），所以a10==.
6.刪去正整數(shù)1，2，3，4，5，…中的所有完全平方數(shù)與立方數(shù)（如4，8），得到一個新數(shù)列，則這個數(shù)列的第2 020項是（　　）
A.2 072 B.2 073
C.2 074 D.2 075
答案　C
解析　因為452=2 025，462=2 116，2 020<2 025，所以從數(shù)列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉45個平方數(shù)，因為123=1 728<2 025<133=2 197，所以從數(shù)列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉12個立方數(shù)，又36<2 025<46，所以在數(shù)列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中有3個數(shù)既是平方數(shù)，又是立方數(shù)，重復去掉了3個既是平方數(shù)，又是立方數(shù)的數(shù)，所以從數(shù)列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉平方數(shù)和立方數(shù)后還有2 025-45-12+3=1 971（項），此時距第2 020項還差2 020-1 971=49（項），所以這個數(shù)列的第2 020項是2 025+49=2 074.
7.（5分）已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=，則a10=　　　　，若an=，則n=　　　　.
答案　　12
解析　∵an=，∴a10==.
由an==，得n2+2n-168=0，
解得n=12或n=-14（舍去）.
8.（5分）在數(shù)列｛an｝中，若an=則a4+a5的值為　　　　　.
答案　17
解析　依題意，a4+a5=23+（2×5-1）=17.
9.（10分）寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：
（1）4，6，8，10，…；（2分）
（2），，，，…；（2分）
（3）0.3，0.33，0.333，0.333 3，…；（3分）
（4）-1，，-，，….（3分）
解　（1）各項是從4開始的偶數(shù)，
所以an=2n+2，n∈N*.
（2）每一項分母可寫成21，22，23，24，…，分子分別比分母少1，故所求數(shù)列的通項公式可寫為an=，n∈N*.
（3）因為數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通項公式為1-，而數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一項都是上面數(shù)列對應項的，
所以an=，n∈N*.
（4）通過觀察，數(shù)列中的數(shù)正、負交替出現(xiàn)，且先負后正，則選擇（-1）n.又第1項可改寫成分數(shù)-，則每一項的分母依次為3，5，7，9，…，可寫成（2n+1）的形式.分子為3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…，可寫成n（n+2）的形式.所以此數(shù)列的一個通項公式為an=（-1）n·，n∈N*.
10.（12分）已知數(shù)列｛an｝中，a1=3，a10=21，an是關(guān)于項數(shù)n的一次函數(shù).
（1）求｛an｝的通項公式，并求a2 024；（6分）
（2）若｛bn｝是由a2，a4，a6，a8，…組成的，試歸納｛bn｝的一個通項公式.（6分）
解　（1）設an=kn+b（k≠0），
則解得
∴an=2n+1（n∈N*），∴a2 024=4 049.
（2）∵a2，a4，a6，a8，…為5，9，13，17，…，
∴bn=4n+1.
11.設an=++++…+（n∈N*），則a2等于（　　）
A. B.+
C.++ D.+++
答案　C
解析　∵an=++++…+（n∈N*），∴a2=++.
12.已知數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，則該數(shù)列的第22項為（　　）
A.6 B.7
C.64 D.65
答案　B
解析　由按規(guī)律排列的數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1個，2是2個，3是3個，4是4個，5是5個，6是6個，7是7個，
因為1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，所以該數(shù)列的第22項為7.
13.已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=3n+1，數(shù)列｛bn｝的通項公式為bn=n2，若將數(shù)列｛an｝，｛bn｝中相同的項按從小到大的順序排列后構(gòu)成數(shù)列｛cn｝，則484是數(shù)列｛cn｝中的第（　　）
A.12項 B.13項
C.14項 D.15項
答案　C
解析　設am=bk，則3m+1=k2，可得m=，
則k+1為3的倍數(shù)或k-1為3的倍數(shù)，
設k+1=3t或k-1=3r，則k=3t-1或k=3r+1，
故｛cn｝的奇數(shù)項項數(shù)為t，偶數(shù)項項數(shù)為r，
又484=222，由3t-1=22，解得t=（舍去），
由3r+1=22，解得r=7，所以484是數(shù)列｛cn｝中的第14項.
14.（5分）已知數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，an=n2-λn+3，則λ的取值范圍是　　　　.
答案　（-∞，3）
解析　因為數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，所以an+1>an，所以（n+1）2-λ（n+1）+3>n2-λn+3，化為λ<2n+1恒成立，因為n≥1且n∈Z，則2n+1≥3，所以λ<3.
15.（5分）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖（1），（2），（3），（4）為最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形，則f（6）=　　　　.
答案　61
解析　f（1）=1=2×1×0+1，
f（2）=1+3+1=2×2×1+1，
f（3）=1+3+5+3+1=2×3×2+1，
f（4）=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1，
故f（n）=2n（n-1）+1.
當n=6時，f（6）=2×6×5+1=61.
16.（12分）已知數(shù)列｛an｝的通項公式an=，n∈N*.
（1）寫出它的第10項；（3分）
（2）判斷是不是該數(shù)列中的項；（4分）
（3）求an+1及a2n.（5分）
解　（1）a10===.
（2）令an==，
當n為偶數(shù)時，=，整理得8n2-33n-35=0，
解得n=-或n=5，因為n∈N*且n為偶數(shù)，所以原方程無解；
當n為奇數(shù)時，∵n∈N*，∴an<0，
∴不是該數(shù)列中的項.
綜上所述，不是該數(shù)列中的項.
（3）an+1=
=；
a2n==.(共72張PPT)
第1課時
第四章
<<<
數(shù)列的概念及通項公式
1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.
2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.
3.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任一項，并能正確判斷某數(shù)值是否為已知數(shù)列的項.
4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.
學習目標
有人說，大自然是懂數(shù)學的，不知道你注意過沒有，樹木的分叉、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列等等，都遵循著某種數(shù)學規(guī)律，大家能想到它們涉及了哪些數(shù)學規(guī)律嗎？通過本節(jié)課的學習，這些問題都會得到解決.
導 語
一、數(shù)列的概念與分類
二、數(shù)列的通項公式
課時對點練
三、數(shù)列通項公式的簡單應用
隨堂演練
內(nèi)容索引
一
數(shù)列的概念與分類
觀察以下幾列數(shù)：
(1)古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數(shù)字依次為：
7，49，343，2 401，16 807；
(2)戰(zhàn)國時期莊周引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭.這句話中隱藏著一列數(shù)：1，，，，，…；
(3)從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的時間：2 024，2 024，…，2 024；
問題1
(4)小明為了記住剛設置的手機密碼，只聽他不停地說：7，0，2，5，7，0，2，5，…；
(5)-的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數(shù)：-，，-，，…；
你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？
問題1
提示　共同點：都是按照確定的順序進行排列的.不同點：從項數(shù)上來看：(1)(3)項數(shù)有限，(2)(4)(5)項數(shù)無限；從項的變化上來看：(1)每一項在依次變大，(2)每一項在依次變小，(3)項沒有發(fā)生變化，(4)項呈現(xiàn)周期性的變化，(5)項的大小交替變化.
1.一般地，我們把按照 排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的 .數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第
項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第 項，用a2表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用 表示.其中第1項也叫做 .
2. 數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為 .
確定的順序
項
1
2
an
首項
{an}
3.數(shù)列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù) 的數(shù)列
無窮數(shù)列 項數(shù) 的數(shù)列
按項的變化 趨勢 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都 它的前一項的數(shù)列
遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都 它的前一項的數(shù)列
常數(shù)列 各項都 的數(shù)列
周期數(shù)列 項呈現(xiàn)周期性變化
擺動數(shù)列 從第2項起，有些項 它的前一項，有些項
它的前一項
有限
無限
大于
小于
相等
大于
小于
(1)如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同，但順序不同，它們是不同的數(shù)列.
(2)同一個數(shù)可以在數(shù)列中重復出現(xiàn).
(3){an}表示一個數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項.
注 意 點
<<<
下列數(shù)列中哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？
(1)1，0.84，0.842，0.843，…；
(2)2，4，6，8，10，…；
(3)7，7，7，7，…；
(4)，，，，…；
(5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
(6)0，-1，2，-3，4，-5，….
例 1
(5)是有窮數(shù)列；
(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；
(2)是遞增數(shù)列；
(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；
(3)是常數(shù)列；
(6)是擺動數(shù)列.
反
思
感
悟
(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷.
(2)判斷數(shù)列的單調(diào)遞增或遞減時，一定要按照數(shù)列單調(diào)性的定義，即從第二項起，每一項均大于或小于它的前一項，不能有例外.
下列數(shù)列中哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是周期數(shù)列？
(1)2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2024；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)-，，-，，…；
(5)1，0，-1，…，sin ，…；
(6)9，9，9，9，9，9.
跟蹤訓練 1
(1)(6)是有窮數(shù)列；
(2)(3)(4)(5)是無窮數(shù)列；
(1)(2)是遞增數(shù)列；
(3)是遞減數(shù)列；
(6)是常數(shù)列；
(5)是周期數(shù)列.
二
數(shù)列的通項公式
提示　對于(1)，a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，于是an=7n，n∈；
對于(2)，an=，n∈N*；
對于(3)，an=2 024，n∈{x|x是本班學生的學號}；
對于(5)，an=，n∈N*.
我們發(fā)現(xiàn)問題1中的(1)(2)(3)(5)，項與項數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？
問題2
1.如果數(shù)列{an}的第n項an與它的 之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的 .
2.通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).
序號n
通項公式
(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)表達式.
(2)并不是所有的數(shù)列都有通項公式.
(3)有些數(shù)列的通項公式，表達形式不唯一.數(shù)列還可以用列表法、圖象法表示.
注 意 點
<<<
根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式，寫出數(shù)列{an}的前5項，并作出它們的圖象.
(1)an=(-1)n+2；
例 2
數(shù)列{an}的前5項依次是1，3，1，3，1，圖象如圖①所示.
(2)an=.
數(shù)列{an}的前5項依次是2，，圖象如圖②所示.
反
思
感
悟
數(shù)列{an}的通項公式給出了第n項an與它的序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列中相應的項.
寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：
(1)-1，，-，；
例 3
這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，
所以它的一個通項公式為an=，n∈N*.
(2)，2，，8；
數(shù)列中的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：，…，
所以它的一個通項公式為an=，n∈N*.
(3)0，1，0，1；
這個數(shù)列中的項是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項都是0，偶數(shù)項都是1，
所以通項公式可以寫成an=
由第(1)題也可以寫成an=(n∈N*)或an=(n∈N*).
(4)9，99，999，9 999.
各項加1后，變?yōu)?0，100，1 000，10 000，…，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1，n∈N*.
根據(jù)本例中的第(4)題，試解決以下2個問題：
1.試寫出前4項為1，11，111，1 111的一個通項公式.
延伸探究
由本例的第(4)題可知，每一項除以9即可，即an=(10n-1)，n∈N*.
2.試寫出前4項為7，77，777，7 777的一個通項公式.
由本例的第(4)題可知，每一項乘即可，
即an=(10n-1)，n∈N*.
反
思
感
悟
根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路
(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等.
(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的函數(shù)解析式.有時也可以通過探求各部分間的關(guān)系來歸納通項公式.
(3)對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用(-1)n或(-1)n+1處理符號.有時也可用分段形式.
(4)對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.
寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，它們的前幾項分別是：
(1)1，3，7，15，31，…；
跟蹤訓練 2
由1=2-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…
可得an=2n-1.
(2)，，，，，…；
由=====，…
可得an=.
(3)-，，-，，-，…；
由-，-，-，…可知奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，可得an=(-1)n×.
(4)2×3，3×4，4×5，5×6，….
由2×3=×，3×4=×，4×5=×
，5×6=×，…
可得an=(n+1)(n+2).
三
數(shù)列通項公式的簡單應用
已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n2-n，n∈N*.
(1)寫出數(shù)列的前3項；
例 4
在通項公式中依次取n=1，2，3，可得{an}的前3項分別為1，6，15.
(2)判斷45是否為數(shù)列{an}中的項，3是否為數(shù)列{an}中的項.
令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-(舍去)，故45是數(shù)列{an}中的第5項.
令2n2-n=3，得2n2-n-3=0，解得n=-1或n=，故3不是數(shù)列{an}中的項.
反
思
感
悟
(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法
數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應項.
(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列的第n項，然后列出關(guān)于n的方程.若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是該數(shù)列的一項.
已知數(shù)列{an}的通項公式為an=qn，n∈N*，且a4-a2=72.
(1)求實數(shù)q的值；
跟蹤訓練 3
由題意知q4-q2=72，
則q2=9或q2=-8(舍去)，
∴q=±3.
(2)判斷-81是否為此數(shù)列中的項.
當q=3時，an=3n.
顯然-81不是此數(shù)列中的項；
當q=-3時，an=(-3)n.
令(-3)n=-81，無解，
∴-81不是此數(shù)列中的項.
1.知識清單：
(1)數(shù)列的概念與分類.
(2)數(shù)列的通項公式.
(3)數(shù)列通項公式的簡單應用.
2.方法歸納：觀察法、歸納法、猜想法.
3.常見誤區(qū)：
(1)歸納法求數(shù)列的通項公式時歸納不全面.
(2)不注意用(-1)n進行調(diào)節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系.
隨堂演練
四
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4
1.下列說法正確的是
A.數(shù)列中不能重復出現(xiàn)同一個數(shù)
B.1，2，3，4與4，3，2，1是同一數(shù)列
C.1，1，1，1不是數(shù)列
D.若兩個數(shù)列的每一項均相同，則這兩個數(shù)列相同
√
1
2
3
4
由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中可以重復出現(xiàn)同一個數(shù)，如1，1，1，1，故A，C不正確；
B中兩數(shù)列首項不相同，因此不是同一數(shù)列，故B不正確；
由數(shù)列的定義可知，D正確.
2.數(shù)列，-，，-，…的通項公式可能是
A.an=(-1)n B.an=(-1)n-1
C.an=(-1)n D.an=(-1)n-1
1
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√
方法一　將n=1，2，3，4代入各選項驗證易得答案.
方法二　將數(shù)列，-，-，…變?yōu)椋?，-，…，從而可知分子的規(guī)律為n，分母的規(guī)律為n+2，再結(jié)合正負的調(diào)節(jié)，可知其通項公式為an=(-1)n-1.
1
2
3
4
3.在數(shù)列{an}中，an=，則{an}
A.是常數(shù)列 B.不是單調(diào)數(shù)列
C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列
1
2
3
4
√
在數(shù)列{an}中，an==1+，
由反比例函數(shù)的性質(zhì)得{an}是遞減數(shù)列.
4.323是數(shù)列{n(n+2)}的第　　　項.
由an=n2+2n=323，解得n=17(負值舍去).
∴323是數(shù)列{n(n+2)}的第17項.
17
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課時對點練
五
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基礎鞏固
1.(多選)下列說法正確的是
A.數(shù)列可以用圖象來表示
B.數(shù)列的通項公式不唯一
C.數(shù)列中的項不能相等
D.數(shù)列可以用一群孤立的點表示
√
√
數(shù)列中的項可以相等，如常數(shù)列，故選項C中說法不正確.
√
2.已知數(shù)列an=，則數(shù)列是
A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列
C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列
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√
因為an=，所以該數(shù)列中的項為-，-，…，故該數(shù)列是擺動數(shù)列.
3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n(n2-1)，則a6等于
A.35 B.-11
C.-35 D.11
√
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4.數(shù)列-1，3，-7，15，…的一個通項公式可以是
A.an=(-1)n·(2n-1)，n∈N*
B.an=(-1)n·(2n-1)，n∈N*
C.an=(-1)n+1·(2n-1)，n∈N*
D.an=(-1)n+1·(2n-1)，n∈N*
√
數(shù)列各項正、負交替，故可用(-1)n來調(diào)節(jié)，又1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，所以通項公式為an=(-1)n·(2n-1)，n∈N*.
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5.數(shù)列，，，，…的第10項是
A. B.
C. D.
√
由題意知數(shù)列的通項公式是an=(n∈N*)，所以a10==.
6.刪去正整數(shù)1，2，3，4，5，…中的所有完全平方數(shù)與立方數(shù)(如4，8)，得到一個新數(shù)列，則這個數(shù)列的第2 020項是
A.2 072 B.2 073
C.2 074 D.2 075
√
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因為452=2 025，462=2 116，2 020<2 025，所以從數(shù)列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉45個平方數(shù)，因為123=1 728<2 025<133=2 197，所以從數(shù)列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉12個立方數(shù)，又36<2 025<46，所以在數(shù)列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中有3個數(shù)既是平方數(shù)，又是立方數(shù)，重復去掉了3個既是平方數(shù)，又是立方數(shù)的數(shù)，所以從數(shù)列12，2，3，22，5，6，7，8，32，…，452中去掉平方數(shù)和立方數(shù)后還有2 025-45-12+3=1 971(項)，此時距第2 020項還差2 020-1 971=49(項)，所以這個數(shù)列的第2 020項是2 025+49=2 074.
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7.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=，則a10=　　　，若an=，則n=　　　.
∵an=，∴a10==.
由an==，得n2+2n-168=0，
解得n=12或n=-14(舍去).
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8.在數(shù)列{an}中，若an= 則a4+a5的值為　　　.
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依題意，a4+a5=23+(2×5-1)=17.
9.寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：
(1)4，6，8，10，…；
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各項是從4開始的偶數(shù)，
所以an=2n+2，n∈N*.
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(2)，，，，…；
每一項分母可寫成21，22，23，24，…，分子分別比分母少1，故所求數(shù)列的通項公式可寫為an=，n∈N*.
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(3)0.3，0.33，0.333，0.333 3，…；
因為數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.999 9，…的通項公式為1-，而數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的每一項都是上面數(shù)列對應項的，
所以an=，n∈N*.
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(4)-1，，-，，….
通過觀察，數(shù)列中的數(shù)正、負交替出現(xiàn)，且先負后正，則選擇(-1)n.
又第1項可改寫成分數(shù)-，則每一項的分母依次為3，5，7，9，…，
可寫成(2n+1)的形式.分子為3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，…，可寫成n(n+2)的形式.
所以此數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n·，n∈N*.
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10.已知數(shù)列{an}中，a1=3，a10=21，an是關(guān)于項數(shù)n的一次函數(shù).
(1)求{an}的通項公式，并求a2 024；
設an=kn+b(k≠0)，
則
∴an=2n+1(n∈N*)，∴a2 024=4 049.
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(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…組成的，試歸納{bn}的一個通項公式.
∵a2，a4，a6，a8，…為5，9，13，17，…，
∴bn=4n+1.
11.設an=++++…+(n∈N*)，則a2等于
A. B.+
C.++ D.+++
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綜合運用
√
∵an=++++…+(n∈N*)，∴a2=++.
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12.已知數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，則該數(shù)列的第22項為
A.6　　B.7　　　C.64　　　D.65
√
由按規(guī)律排列的數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1個，2是2個，3是3個，4是4個，5是5個，6是6個，7是7個，
因為1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，
所以該數(shù)列的第22項為7.
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13.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+1，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n2，若將數(shù)列{an}，{bn}中相同的項按從小到大的順序排列后構(gòu)成數(shù)列{cn}，則484是數(shù)列{cn}中的第
A.12項 B.13項
C.14項 D.15項
√
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設am=bk，則3m+1=k2，可得m=，
則k+1為3的倍數(shù)或k-1為3的倍數(shù)，
設k+1=3t或k-1=3r，則k=3t-1或k=3r+1，
故{cn}的奇數(shù)項項數(shù)為t，偶數(shù)項項數(shù)為r，
又484=222，由3t-1=22，解得t=(舍去)，
由3r+1=22，解得r=7，所以484是數(shù)列{cn}中的第14項.
14.已知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，an=n2-λn+3，則λ的取值范圍是　　　　.
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(-∞，3)
因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以an+1>an，
所以(n+1)2-λ(n+1)+3>n2-λn+3，化為λ<2n+1恒成立，
因為n≥1且n∈Z，則2n+1≥3，所以λ<3.
15.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(6)=　　　　.
拓廣探究
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f(1)=1=2×1×0+1，
f(2)=1+3+1=2×2×1+1，
f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1，
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1，
故f(n)=2n(n-1)+1.
當n=6時，f(6)=2×6×5+1=61.
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16.已知數(shù)列{an}的通項公式an=，n∈N*.
(1)寫出它的第10項；
a10===.
(2)判斷是不是該數(shù)列中的項；
令an==，
當n為偶數(shù)時，=，整理得8n2-33n-35=0，
解得n=-或n=5，因為n∈N*且n為偶數(shù)，所以原方程無解；
當n為奇數(shù)時，∵n∈N*，∴an<0，∴不是該數(shù)列中的項.
綜上所述，不是該數(shù)列中的項.
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(3)求an+1及a2n.
an+1==；
a2n==.第1課時　數(shù)列的概念及通項公式
［學習目標］　1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任一項，并能正確判斷某數(shù)值是否為已知數(shù)列的項.4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.
一、數(shù)列的概念與分類
問題1　觀察以下幾列數(shù)：
(1)古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數(shù)字依次為：7，49，343，2 401，16 807；
(2)戰(zhàn)國時期莊周引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭.這句話中隱藏著一列數(shù)：1，，，，，…；
(3)從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的時間：2 024，2 024，…，2 024；
(4)小明為了記住剛設置的手機密碼，只聽他不停地說：7，0，2，5，7，0，2，5，…；
(5)-的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數(shù)：-，，-，，…；
你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？
知識梳理
1.一般地，我們把按照　　　　　　　　排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的　　　　.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第　　　　項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第　　　　項，用a2表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用　　　　表示.其中第1項也叫做　　　　.
2. 數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為　　　　　　　　　.
3.數(shù)列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的 個數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)　　　　的數(shù)列
無窮數(shù)列 項數(shù)　　　　的數(shù)列
按項的 變化 趨勢 遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都　　　　它的前一項的數(shù)列
遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都　　　　它的前一項的數(shù)列
常數(shù)列 各項都　　　　的數(shù)列
周期數(shù)列 項呈現(xiàn)周期性變化
擺動數(shù)列 從第2項起，有些項　　　　它的前一項，有些項　　　它的前一項
例1　下列數(shù)列中哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？
(1)1，0.84，0.842，0.843，…；
(2)2，4，6，8，10，…；
(3)7，7，7，7，…；
(4)，，，，…；
(5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
(6)0，-1，2，-3，4，-5，….
反思感悟　(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷.
(2)判斷數(shù)列的單調(diào)遞增或遞減時，一定要按照數(shù)列單調(diào)性的定義，即從第二項起，每一項均大于或小于它的前一項，不能有例外.
跟蹤訓練1　下列數(shù)列中哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是周期數(shù)列？
(1)2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2024；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)-，，-，，…；
(5)1，0，-1，…，sin ，…；
(6)9，9，9，9，9，9.
二、數(shù)列的通項公式
問題2　我們發(fā)現(xiàn)問題1中的(1)(2)(3)(5)，項與項數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？
知識梳理
1.如果數(shù)列｛an｝的第n項an與它的　　　　之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的　　　　　　.
2.通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).
例2　根據(jù)數(shù)列｛an｝的通項公式，寫出數(shù)列｛an｝的前5項，并作出它們的圖象.
(1)an=(-1)n+2；
(2)an=.
例3　寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：
(1)-1，，-，；
(2)，2，，8；
(3)0，1，0，1；
(4)9，99，999，9 999.
延伸探究　
根據(jù)本例中的第(4)題，試解決以下2個問題：
1.試寫出前4項為1，11，111，1 111的一個通項公式.
2.試寫出前4項為7，77，777，7 777的一個通項公式.
反思感悟　根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路
(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等.
(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的函數(shù)解析式.有時也可以通過探求各部分間的關(guān)系來歸納通項公式.
(3)對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用(-1)n或(-1)n+1處理符號.有時也可用分段形式.
(4)對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.
跟蹤訓練2　寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，它們的前幾項分別是：
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)，，，，，…；
(3)-，，-，，-，…；
(4)2×3，3×4，4×5，5×6，….
三、數(shù)列通項公式的簡單應用
例4　已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an=2n2-n，n∈N*.
(1)寫出數(shù)列的前3項；
(2)判斷45是否為數(shù)列｛an｝中的項，3是否為數(shù)列｛an｝中的項.
反思感悟　(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法
數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應項.
(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列的第n項，然后列出關(guān)于n的方程.若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是該數(shù)列的一項.
跟蹤訓練3　已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=qn，n∈N*，且a4-a2=72.
(1)求實數(shù)q的值；
(2)判斷-81是否為此數(shù)列中的項.
1.知識清單：
(1)數(shù)列的概念與分類.
(2)數(shù)列的通項公式.
(3)數(shù)列通項公式的簡單應用.
2.方法歸納：觀察法、歸納法、猜想法.
3.常見誤區(qū)：
(1)歸納法求數(shù)列的通項公式時歸納不全面.
(2)不注意用(-1)n進行調(diào)節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系.
1.下列說法正確的是(　　)
A.數(shù)列中不能重復出現(xiàn)同一個數(shù)
B.1，2，3，4與4，3，2，1是同一數(shù)列
C.1，1，1，1不是數(shù)列
D.若兩個數(shù)列的每一項均相同，則這兩個數(shù)列相同
2.數(shù)列，-，，-，…的通項公式可能是(　　)
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n-1
C.an=(-1)n
D.an=(-1)n-1
3.在數(shù)列｛an｝中，an=，則｛an｝(　　)
A.是常數(shù)列 B.不是單調(diào)數(shù)列
C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列
4.323是數(shù)列｛n(n+2)｝的第　　　　項.
答案精析
問題1　共同點：都是按照確定的順序進行排列的.不同點：從項數(shù)上來看：(1)(3)項數(shù)有限，(2)(4)(5)項數(shù)無限；從項的變化上來看：(1)每一項在依次變大，(2)每一項在依次變小，(3)項沒有發(fā)生變化，(4)項呈現(xiàn)周期性的變化，(5)項的大小交替變化.
知識梳理
1.確定的順序　項　1　2　an　首項
2. ｛an｝
3.有限　無限　大于　小于　相等
大于　小于
例1　解　(5)是有窮數(shù)列；(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；(2)是遞增數(shù)列；(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；(3)是常數(shù)列；(6)是擺動數(shù)列.
跟蹤訓練1　解　(1)(6)是有窮數(shù)列；(2)(3)(4)(5)是無窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(6)是常數(shù)列；(5)是周期數(shù)列.
問題2　對于(1)，a1=7，a2=7×7=72，a3=7×7×7=73，…，
于是an=7n，n∈；
對于(2)，an=，n∈N*；
對于(3)，an=2 024，n∈｛x|x是本班學生的學號｝；
對于(5)，an=，n∈N*.
知識梳理
1.序號n　通項公式　
例2　解　(1)數(shù)列｛an｝的前5項依次是1，3，1，3，1，圖象如圖①所示.
(2)數(shù)列｛an｝的前5項依次是2，，，，，圖象如圖②所示.
例3　解　(1)這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，
所以它的一個通項公式為
an=，n∈N*.
(2)數(shù)列中的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：，，，，…，
所以它的一個通項公式為
an=，n∈N*.
(3)這個數(shù)列中的項是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項都是0，偶數(shù)項都是1，所以通項公式可以寫成
an=由第(1)題也可以寫成an=(n∈N*)或
an=(n∈N*).
(4)各項加1后，變?yōu)?0，100，1 000，10 000，…，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為
an=10n-1，n∈N*.
延伸探究
1.解　由本例的第(4)題可知，每一項除以9即可，
即an=(10n-1)，n∈N*.
2.解　由本例的第(4)題可知，每一項乘即可，
即an=(10n-1)，n∈N*.
跟蹤訓練2　解　(1)由1=2-1，
3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…
可得an=2n-1.
(2)由=，=，
=，=，
=，…
可得an=.
(3)由-，，-，，-，…可知奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，
可得an=(-1)n×.
(4)由2×3=×，3×4=×，4×5=×，5×6=×，…
可得an=(n+1)(n+2).
例4　解　(1)在通項公式中依次取n=1，2，3，可得｛an｝的前3項分別為1，6，15.
(2)令2n2-n=45，得2n2-n-45=0，解得n=5或n=-(舍去)，故45是數(shù)列｛an｝中的第5項.
令2n2-n=3，得2n2-n-3=0，解得n=-1或n=，故3不是數(shù)列｛an｝中的項.
跟蹤訓練3　解　(1)由題意知
q4-q2=72，
則q2=9或q2=-8(舍去)，
∴q=±3.
(2)當q=3時，an=3n.
顯然-81不是此數(shù)列中的項；
當q=-3時，an=(-3)n.
令(-3)n=-81，無解，
∴-81不是此數(shù)列中的項.
隨堂演練
1.D　2.D　3.D　 4.17

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