資源簡介

第2課時　數列的遞推公式
［學習目標］　1.理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項.2.了解用累加法、累乘法求通項公式.3.會由數列的前n項和Sn求數列的通項公式.4.了解數列是一種特殊函數.
導語
同學們，上節課我們學習了數列的概念以及數列的通項公式，我們知道了數列與現代生活密不可分，其實，當人類祖先需要用一組數據有序地表達一類事物、記錄某個變化過程時，數列就應運而生了，因此，數列應用廣泛，大家先看本課時上的例1.
一、數列的單調性與最值
問題1　由上節課可知在數列的通項公式中，給定任意的序號n，就會有唯一確定的an與其對應，這種情形與以往學的哪方面的知識有聯系？
提示　函數.
例1　已知數列｛an｝的通項公式是an=n，n∈N*.試問該數列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由.
解　方法一　==·，
當n<2時，>1，即an+1>an；
當n=2時，=1，即an+1=an；
當n>2時，<1，即an+1則a1a4>a5>…，
故數列｛an｝有最大項，為第2項和第3項，
且a2=a3=2×=.
方法二　根據題意，令
即
解得2≤n≤3.
又n∈N*，則n=2或n=3.
故數列｛an｝有最大項，為第2項和第3項，
且a2=a3=2×=.
反思感悟　求數列最值的方法
（1）函數的單調性法：令an=f（n），通過研究f（n）的單調性來研究最大（小）項.
（2）不等式組法：先假設有最大（小）項.不妨設an最大，則滿足（n≥2），解不等式組便可得到n的取值范圍，從而確定n的值；求最小項用不等式組（n≥2）求得n的取值范圍，從而確定n的值.
跟蹤訓練1　已知數列an=-n2+4n+2，則該數列中最大項的序號是（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
答案　A
解析　因為an=-（n-2）2+6，n∈N*，
所以當n=2時，an取得最大值.
二、數列的遞推公式
問題2　觀察如圖所示的鋼管堆放示意圖，你能夠發現上下層之間的關系嗎？你能否用數列的形式寫出上下層之間的關系？
提示　自上而下每一層的鋼管數都比上一層的鋼管數多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此類推：an=an-1+1（2≤n≤7）.
知識梳理
如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式.
注意點：
（1）通項公式反映的是an與n之間的關系.
（2）常見的遞推關系一般是數列任意兩個或三個相鄰項之間的推導關系，需要知道首項或前幾項，即可求數列中的每一項.
例2　若數列｛an｝滿足a1=2，=，n∈N*，求a6.
解　a2===-3，
a3===-，
a4===，
a5===2，
a6===-3.
延伸探究　在例2的條件下，求a2 024.
解　由例2知，a5=a1=2，a6=a2=-3，…，
∴｛an｝是周期為4的周期數列，
∴a2 024=a4×505+4=a4=.
反思感悟　遞推公式反映的是相鄰兩項（或多項）之間的關系.要已知首項（或前幾項），才可依次求得其他的項.若序號很大，則應考慮數列是否具有規律性（周期性）.
跟蹤訓練2　已知數列｛an｝的首項a1=1，且滿足an+1=an+，則此數列的第3項是（　　）
A.1 B.
C. D.
答案　C
解析　a1=1，a2=a1+=1，a3=a2+=.
三、由遞推公式求通項公式
例3　（1）在數列｛an｝中，a1=1，an+1=an+-，則an等于（　　）
A. B.
C. D.
答案　B
解析　方法一　（歸納法）數列的前5項分別為
a1=1，a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，
a4=+-=2-=，
a5=+-=2-=，
又a1=1，
由此可得數列的一個通項公式為an=.
方法二　（迭代法）a2=a1+1-，
a3=a2+-，…，
an=an-1+-（n≥2），
則an=a1+1-+-+-+…+-=2-=（n≥2）.
又a1=1也適合上式，
所以an=（n∈N*）.
方法三　（累加法）　an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，
…
an-an-1=-（n≥2），
以上各項相加得
an=1+1-+-+…+-.
所以an=（n≥2）.
因為a1=1也適合上式，
所以an=（n∈N*）.
（2）已知數列｛an｝滿足a1=1，an+1=an，則an等于（　　）
A.n+1 B.n
C. D.
答案　D
解析　由題意，因為數列｛an｝滿足an+1=an，所以=，
所以當n≥2時，an=··…···a1=××…×××1=.
當n=1時，a1=1滿足上式，所以an=（n∈N*）.
反思感悟　由遞推公式求通項公式的常用方法
（1）歸納法：根據數列的某項和遞推公式，求出數列的前幾項，歸納出通項公式.（只適用于選擇題、填空題）
（2）迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應的有以下幾類：
①an+1-an=常數，或an+1-an=f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法.
②an+1=pan（p為非零常數），或an+1=f（n）an（f（n）是可以求積的），使用累乘法或迭代法.
③an+1=pan+q（p，q為非零常數），適當變形后轉化為第②類解決.
跟蹤訓練3　（1）已知數列｛an｝滿足a1=1，an=an-1+-（n≥2），求an.
解　因為an=an-1+-（n≥2），
所以an-an-1=-（n≥2）.
所以當n≥2時，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=（-）+（-）+…+（-）+1=-+1.
又當n=1時，a1=1也符合上式，
所以an=-+1，n∈N*.
（2）已知數列｛an｝滿足a1=1，ln an-ln an-1=1（n≥2），求an.
解　因為ln an-ln an-1=1，
所以ln =1，即=e（n≥2）.
所以an=··…··a1
=·1=en-1（n≥2），
又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N*.
四、an與Sn的關系
問題3　如果已知數列｛an｝的前n項和，如何求a4呢？
提示　用｛an｝的前4項和減去前3項和.
知識梳理　
1.把數列｛an｝從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列｛an｝的前n項和，記作Sn，即Sn=a1+a2+…+an.
2.an= .
注意點：
（1）注意等式成立的條件.
（2）一定要檢驗n=1時，S1是否滿足首項.
（3）若Sn與an的關系式較復雜，可分別寫出Sn與Sn-1，然后作差求得.
例4　已知Sn為數列｛an｝的前n項和，根據條件求｛an｝的通項公式.
（1）Sn=3n-1；
（2）Sn=2n2-30n.
解　（1）當n=1時，a1=S1=2，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n-1-（3n-1-1）
=2×3n-1，顯然a1=2適合上式，
所以an=2×3n-1（n∈N*）.
（2）因為Sn=2n2-30n，
所以當n=1時，a1=S1=2×12-30×1=-28，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-［2（n-1）2-30（n-1）］=4n-32.
顯然a1=-28適合上式，
所以an=4n-32，n∈N*.
延伸探究　將本例（2）的條件“Sn=2n2-30n”改為“Sn=2n2-30n+1”，其他條件不變，求an.
解　因為Sn=2n2-30n+1，
所以當n=1時，a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-［2（n-1）2-30（n-1）+1］
=4n-32.
當n=1時不適合上式.
所以an=
反思感悟　由Sn求通項公式an的步驟
（1）當n=1時，a1=S1.
（2）當n≥2時，an=Sn-Sn-1.
（3）驗證a1與an的關系.
①若a1適合an（n≥2），則an=Sn-Sn-1.
②若a1不適合an（n≥2），則an=
跟蹤訓練4　（1）已知數列｛an｝的前n項和Sn滿足Sn=2n2+3n+2，求an.
解　當n=1時，a1=S1=7，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2+3n+2-［2（n-1）2+3（n-1）+2］=4n+1，
又a1=7不適合上式，所以an=
（2）已知數列｛an｝滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，求an.
解　當n=1時，由已知可得a1=21=2.
由a1+2a2+3a3+…+nan=2n， ①
可得當n≥2時，a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1， ②
由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1（n≥2），
∴an=（n≥2）.顯然a1=2不適合上式，
∴an=
1.知識清單：
（1）數列的單調性與最值.
（2）數列的遞推公式.
（3）由遞推公式求通項公式.
（4）數列的前n項和Sn與an的關系.
2.方法歸納：歸納法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常見誤區：
（1）累加法、累乘法中不注意驗證首項是否符合通項公式.
（2）由Sn求an時忽略驗證n=1時的情況.
1.已知在數列｛an｝中，a1=2，an+1=an+n（n∈N*），則a4的值為（　　）
A.5 B.6
C.7 D.8
答案　D
解析　因為a1=2，an+1=an+n，
所以a2=a1+1=2+1=3，
a3=a2+2=3+2=5，
a4=a3+3=5+3=8.
2.設數列｛an｝的前n項和為Sn，且Sn=2n-1（n∈N*），則a5等于（　　）
A.32 B.31
C.16 D.15
答案　C
解析　當n≥2時，
an=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-1，
當n=5時，a5=24=16.
3.已知數列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，n∈N*，則a2 024等于（　　）
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案　D
解析　∵a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，
∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2，
a4=1-a3-a2=1-（-2）-2=1，
a5=1-a4-a3=1-1-（-2）=2，
…
依此類推，可得數列｛an｝是一個周期為3的周期數列，∴a2 024=a2=2.
4.在數列｛an｝中，an=-2n2+29n+3，則此數列最大項的值是（　　）
A.105 B.106
C.107 D.108
答案　D
解析　an=-2n2+29n+3對應的拋物線開口向下，對稱軸為n=-==7，
∵n是整數，
∴當n=7時，數列取得最大值，此時最大項的值為a7=-2×72+29×7+3=108.
課時對點練　［分值：100分］
單選題每小題5分，共40分；多選題每小題6分，共6分
1.已知數列｛an｝滿足an=4an-1+3（n≥2，n∈N*），且a1=0，則此數列的第5項是（　　）
A.15 B.255
C.16 D.63
答案　B
解析　由遞推公式，得a2=3，a3=15，a4=63，a5=255.
2.數列，-，，-，…的第n項an與第n+1項an+1的關系是（　　）
A.an+1=2an B.an+1=-2an
C.an+1=an D.an+1=-an
答案　D
3.已知數列｛an｝滿足an=+1（n≥2，n∈N*），若a4=，則a1等于（　　）
A.1 B.
C.2 D.
答案　A
解析　∵a4=，a4=+1，∴a3=，
又∵a3=+1，∴a2=2，
又∵a2=+1，∴a1=1.
4.下列給出的圖形中，星星的個數構成一個數列，則該數列的一個遞推公式可以是（　　）
A.an+1=an+n，n∈N*
B.an=an-1+n，n∈N*，n≥2
C.an+1=an+，n∈N*，n≥2
D.an=an-1+，n∈N*，n≥2
答案　B
解析　結合圖象易知，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4，
∴an=an-1+n，n∈N*，n≥2.
5.已知數列｛an｝滿足a1=2，an+1-an+1=0（n∈N*），則此數列的通項公式an等于（　　）
A.n2+1 B.n+1
C.1-n D.3-n
答案　D
解析　∵an+1-an=-1.
∴當n≥2時，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=2+
=2+（-1）×（n-1）=3-n.
當n=1時，a1=2也符合上式.
故數列的通項公式an=3-n（n∈N*）.
6.（多選）已知數列｛an｝的前n項和為Sn，a2=1，am+n=aman，則下列結論正確的是（　　）
A.a2 024=1
B.a2 023=1
C.若S2 024=2 024，則a1=1
D.若S2 023=-1，則a1=-1
答案　ACD
解析　在數列｛an｝中，a2=1，am+n=aman，令m=n=1，得=a2=1，解得a1=±1，令m=2，則an+2=ana2=an，因此a2 024=a2=1，a2 023=a1=±1，A正確，B錯誤；
顯然a2n=1，a2n-1=a1，則S2 024=1 012a1+1 012a2=1 012a1+1 012=2 024，解得a1=1，C正確；
S2 023=1 012a1+1 011a2=1 012a1+1 011=-1，解得a1=-1，D正確.
7.（5分）在數列｛an｝中，an+1=an+2-an，a1=2，a2=5，則a5=　　　　.
答案　19
解析　a3=a2+a1=5+2=7，
a4=a3+a2=7+5=12，a5=a4+a3=12+7=19.
8.（5分）已知數列｛an｝中，a1a2…an=n2（n∈N*），則a9=　　　　.
答案　
解析　a1a2…a8=82， ①
a1a2…a9=92， ②
②÷①得，a9==.
9.（10分）已知數列｛an｝的前n項和Sn=2n2-n+2.
（1）求數列｛an｝的通項公式；（4分）
（2）若bn=an+100n-2n，求數列｛bn｝的最大項是該數列的第幾項.（6分）
解　（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（2n2-n+2）-（2n2-5n+5）=4n-3，
當n=1時，a1=S1=3，不滿足上式，故數列｛an｝的通項公式為an=
（2）由已知得b1=3+100-2=101，
當n≥2時，bn=an+100n-2n=4n-3+100n-2n=104n-3-2n，令n∈N*，
即n∈N*，
得n∈N*，即n=7，
所以當n≥2時，｛bn｝的最大項為第7項，
又b7=104×7-3-27=597>b1，
所以數列｛bn｝的最大項是該數列的第7項.
10.（12分）（1）在數列｛an｝中，a1=2，且an+1=an+ln，求數列｛an｝的通項公式；（5分）
（2）已知數列｛an｝中，a1=，an=an-1（n≥2），求數列｛an｝的通項公式.（7分）
解　（1）由題設an+1-an=ln ，
所以an=（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1=ln +…+ln +2=2+ln n，且n≥2，
顯然a1=ln 1+2=2滿足上式，
所以an=2+ln n，n∈N*.
（2）因為an=an-1（n≥2），
所以當n≥2時，=，
所以=，=，…，=，=，
以上n-1個式子左右兩邊分別相乘，得
··…··
=××…××，
即=××2×1，
所以an=（n≥2）.
當n=1時，a1=，符合上式.
所以數列｛an｝的通項公式為an=，n∈N*.
11.設an=+++…+（n∈N*），那么an+1-an等于（　　）
A. B.
C.+ D.-
答案　D
解析　∵an=+++…+，
∴an+1=++…+++，
∴an+1-an=+-
=-.
12.在數列｛an｝中，a1=，an+1=1-，則a2 024等于（　　）
A. B.-1
C.2 D.3
答案　B
解析　由題意得，a2=1-=-1，
a3=1-=2，
a4=1-==a1，a5=1-=-1=a2，a6=2=a3，…
所以數列｛an｝是一個周期為3的周期數列，
故a2 024=a3×674+2=a2=-1.
13.公元13世紀意大利數學家斐波那契在自己的著作《算盤書》中記載著這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，滿足an+2=an+1+an（n≥1），那么1+a2+a4+a6+…+a2 022等于（　　）
A.a2 021 B.a2 022
C.a2 023 D.a2 024
答案　C
解析　由于an+2=an+1+an（n≥1），
則1+a2+a4+a6+…+a2 022=a1+a2+a4+a6+…+a2 022=a3+a4+a6+…+a2 022=a5+a6+…+a2 022=a2 021+a2 022=a2 023.
14.（5分）已知數列｛an｝的通項公式為an=，其最大項為　　　　，最小項為　　　　.
答案　1　-
解析　因為n∈N*，所以當1≤n≤3時，an=<0，且單調遞減；
當n≥4時，an=>0，且單調遞減，
所以最小項為a3==-，最大項為a4==1.
15.（5分）在一個數列中，如果對任意n∈N*，都有anan+1an+2=k（k為常數），那么這個數列叫做等積數列，k叫做這個數列的公積.已知數列｛an｝是等積數列，且a1=1，a2=2，公積為8，則a1+a2+a3+…+a12=　　　　.
答案　28
解析　依題意得數列｛an｝是周期為3的數列，
且a1=1，a2=2，a3=4，
因此a1+a2+a3+…+a12=4（a1+a2+a3）=4×（1+2+4）=28.
16.（12分）已知數列｛an｝滿足：a1=m（m為正整數），an+1=若a4=4，求m所有可能的取值.
解　若a3為奇數，則3a3+1=4，a3=1.
若a2為奇數，則3a2+1=1，a2=0（舍去），
若a2為偶數，則=1，a2=2.
若a1為奇數，則3a1+1=2，a1=（舍去），
若a1為偶數，=2，a1=4.
若a3為偶數，則=4，a3=8.
若a2為奇數，則3a2+1=8，a2=（舍去），
若a2為偶數，則=8，a2=16.
若a1為奇數，則3a1+1=16，a1=5，
若a1為偶數，則=16，a1=32.
故m所有可能的取值為4，5，32.(共76張PPT)
第2課時
第四章
<<<
數列的遞推公式
1.理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項.
2.了解用累加法、累乘法求通項公式.
3.會由數列的前n項和Sn求數列的通項公式.
4.了解數列是一種特殊函數.
學習目標
同學們，上節課我們學習了數列的概念以及數列的通項公式，我們知道了數列與現代生活密不可分，其實，當人類祖先需要用一組數據有序地表達一類事物、記錄某個變化過程時，數列就應運而生了，因此，數列應用廣泛，大家先看本課時上的例1.
導 語
一、數列的單調性與最值
二、數列的遞推公式
課時對點練
三、由遞推公式求通項公式
隨堂演練
內容索引
四、an與Sn的關系
一
數列的單調性與最值
由上節課可知在數列的通項公式中，給定任意的序號n，就會有唯一確定的an與其對應，這種情形與以往學的哪方面的知識有聯系？
問題1
提示　函數.
已知數列{an}的通項公式是an=n，n∈N*.試問該數列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由.
例 1
方法一　==·，
當n<2時，>1，即an+1>an；
當n=2時，=1，即an+1=an；
當n>2時，<1，即an+1則a1a4>a5>…，故數列{an}有最大項，為第2項和第3項，
且a2=a3=2×=.
方法二　根據題意，令
即解得2≤n≤3.
又n∈N*，則n=2或n=3.
故數列{an}有最大項，為第2項和第3項，
且a2=a3=2×=.
反
思
感
悟
求數列最值的方法
(1)函數的單調性法：令an=f(n)，通過研究f(n)的單調性來研究最大(小)項.
(2)不等式組法：先假設有最大(小)項.不妨設an最大，則滿足(n≥2)，解不等式組便可得到n的取值范圍，從而確定n的值；求最小項用不等式組(n≥2)求得n的取值范圍，從而確定n的值.
已知數列an=-n2+4n+2，則該數列中最大項的序號是
A.2 B.3
C.4 D.5
跟蹤訓練 1
√
因為an=-(n-2)2+6，n∈N*，
所以當n=2時，an取得最大值.
二
數列的遞推公式
觀察如圖所示的鋼管堆放示意圖，你能夠發現上下層之間的關系嗎？你能否用數列的形式寫出上下層之間的關系？
問題2
提示　自上而下每一層的鋼管數都比上一層的鋼管數多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此類推：an=an-1+1(2≤n≤7).
如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用 來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式.
一個式子
(1)通項公式反映的是an與n之間的關系.
(2)常見的遞推關系一般是數列任意兩個或三個相鄰項之間的推導關系，需要知道首項或前幾項，即可求數列中的每一項.
注 意 點
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若數列{an}滿足a1=2，=，n∈N*，求a6.
例 2
a2===-3，
a3===-，
a4===，
a5===2，
a6===-3.
在例2的條件下，求a2 024.
延伸探究
由例2知，a5=a1=2，a6=a2=-3，…，
∴{an}是周期為4的周期數列，
∴a2 024=a4×505+4=a4=.
反
思
感
悟
遞推公式反映的是相鄰兩項(或多項)之間的關系.要已知首項(或前幾項)，才可依次求得其他的項.若序號很大，則應考慮數列是否具有規律性(周期性).
已知數列{an}的首項a1=1，且滿足an+1=an+，則此數列的第3項是
A.1 B.
C. D.
跟蹤訓練 2
√
a1=1，a2=a1+=1，a3=a2+=.
三
由遞推公式求通項公式
(1)在數列{an}中，a1=1，an+1=an+-，則an等于
A. B.
C. D.
例 3
√
方法一　(歸納法)數列的前5項分別為
a1=1，a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，
a4=+-=2-=，
a5=+-=2-=，
又a1=1，
由此可得數列的一個通項公式為an=.
方法二　(迭代法)a2=a1+1-，
a3=a2+-，…，
an=an-1+-(n≥2)，
則an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也適合上式，
所以an=(n∈N*).
方法三　(累加法)　an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，
…
an-an-1=-(n≥2)，
以上各項相加得
an=1+1-+-+…+-.
所以an=(n≥2).
因為a1=1也適合上式，
所以an=(n∈N*).
(2)已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an，則an等于
A.n+1　　B.n　　　C.D.
√
由題意，因為數列{an}滿足an+1=an=，
所以當n≥2時，an=··…···a1=××…×××1=.
當n=1時，a1=1滿足上式，所以an=(n∈N*).
反
思
感
悟
由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法：根據數列的某項和遞推公式，求出數列的前幾項，歸納出通項公式.(只適用于選擇題、填空題)
(2)迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應的有以下幾類：
①an+1-an=常數，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法.
②an+1=pan(p為非零常數)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法.
③an+1=pan+q(p，q為非零常數)，適當變形后轉化為第②類解決.
(1)已知數列{an}滿足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an.
跟蹤訓練 3
因為an=an-1+-(n≥2)，
所以an-an-1=-(n≥2).
所以當n≥2時，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(-)+(-)+…+(-)+1=-+1.
又當n=1時，a1=1也符合上式，
所以an=-+1，n∈N*.
(2)已知數列{an}滿足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an.
因為ln an-ln an-1=1，
所以ln =1，即=e(n≥2).
所以an=··…··a1
=·1=en-1(n≥2)，
又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N*.
四
an與Sn的關系
如果已知數列{an}的前n項和，如何求a4呢？
問題3
提示　用{an}的前4項和減去前3項和.
1.把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn= .
2.an= .
a1+a2+…+an
(1)注意等式成立的條件.
(2)一定要檢驗n=1時，S1是否滿足首項.
(3)若Sn與an的關系式較復雜，可分別寫出Sn與Sn-1，然后作差求得.
注 意 點
<<<
已知Sn為數列{an}的前n項和，根據條件求{an}的通項公式.
(1)Sn=3n-1；
例 4
當n=1時，a1=S1=2，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)
=2×3n-1，顯然a1=2適合上式，
所以an=2×3n-1(n∈N*).
(2)Sn=2n2-30n.
因為Sn=2n2-30n，
所以當n=1時，a1=S1=2×12-30×1=-28，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
顯然a1=-28適合上式，
所以an=4n-32，n∈N*.
將本例(2)的條件“Sn=2n2-30n”改為“Sn=2n2-30n+1”，其他條件不變，求an.
延伸探究
因為Sn=2n2-30n+1，
所以當n=1時，a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32.
當n=1時不適合上式.
所以an=
反
思
感
悟
由Sn求通項公式an的步驟
(1)當n=1時，a1=S1.
(2)當n≥2時，an=Sn-Sn-1.
(3)驗證a1與an的關系.
①若a1適合an(n≥2)，則an=Sn-Sn-1.
②若a1不適合an(n≥2)，則an=
(1)已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2n2+3n+2，求an.
跟蹤訓練 4
當n=1時，a1=S1=7，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2+3n+2-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1，
又a1=7不適合上式，所以an=
(2)已知數列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，求an.
當n=1時，由已知可得a1=21=2.
由a1+2a2+3a3+…+nan=2n， ①
可得當n≥2時，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1， ②
由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1(n≥2)，
∴an=(n≥2).
顯然a1=2不適合上式，∴an=
1.知識清單：
(1)數列的單調性與最值.
(2)數列的遞推公式.
(3)由遞推公式求通項公式.
(4)數列的前n項和Sn與an的關系.
2.方法歸納：歸納法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常見誤區：
(1)累加法、累乘法中不注意驗證首項是否符合通項公式.
(2)由Sn求an時忽略驗證n=1時的情況.
隨堂演練
五
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1.已知在數列{an}中，a1=2，an+1=an+n(n∈N*)，則a4的值為
A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8
√
因為a1=2，an+1=an+n，
所以a2=a1+1=2+1=3，
a3=a2+2=3+2=5，
a4=a3+3=5+3=8.
2.設數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n-1(n∈N*)，則a5等于
A.32 B.31
C.16 D.15
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√
當n≥2時，
an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，
當n=5時，a5=24=16.
3.已知數列{an}中，a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，n∈N*，則a2 024等于
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
√
∵a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，
∴a3=1-a1-a2=1-1-2=-2，
a4=1-a3-a2=1-(-2)-2=1，
a5=1-a4-a3=1-1-(-2)=2，
…
依此類推，可得數列{an}是一個周期為3的周期數列，∴a2 024=a2=2.
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4.在數列{an}中，an=-2n2+29n+3，則此數列最大項的值是
A.105　　　B.106　　　C.107　　　D.108
√
an=-2n2+29n+3對應的拋物線開口向下，對稱軸為n=-==7，
∵n是整數，
∴當n=7時，數列取得最大值，此時最大項的值為a7=-2×72+29×7+3
=108.
課時對點練
六
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基礎鞏固
1.已知數列{an}滿足an=4an-1+3(n≥2，n∈N*)，且a1=0，則此數列的第5項是
A.15 B.255
C.16 D.63
√
由遞推公式，得a2=3，a3=15，a4=63，a5=255.
2.數列，-，，-，…的第n項an與第n+1項an+1的關系是
A.an+1=2an B.an+1=-2an
C.an+1=an D.an+1=-an
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√
3.已知數列{an}滿足an=+1(n≥2，n∈N*)，若a4=，則a1等于
A.1　　　B.　　　C.2　　　D.
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∵a4=，a4=+1，∴a3=，
又∵a3=+1，∴a2=2，
又∵a2=+1，∴a1=1.
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4.下列給出的圖形中，星星的個數構成一個數列，則該數列的一個遞推公式可以是
A.an+1=an+n，n∈N*
B.an=an-1+n，n∈N*，n≥2
C.an+1=an+，n∈N*，n≥2
D.an=an-1+，n∈N*，n≥2
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結合圖象易知，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4，
∴an=an-1+n，n∈N*，n≥2.
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5.已知數列{an}滿足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N*)，則此數列的通項公式an等于
A.n2+1 B.n+1
C.1-n D.3-n
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∵an+1-an=-1.
∴當n≥2時，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+
=2+(-1)×(n-1)=3-n.
當n=1時，a1=2也符合上式.
故數列的通項公式an=3-n(n∈N*).
6.(多選)已知數列{an}的前n項和為Sn，a2=1，am+n=aman，則下列結論正確的是
A.a2 024=1
B.a2 023=1
C.若S2 024=2 024，則a1=1
D.若S2 023=-1，則a1=-1
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√
在數列{an}中，a2=1，am+n=aman，令m=n=1，得=a2=1，
解得a1=±1，令m=2，則an+2=ana2=an，
因此a2 024=a2=1，a2 023=a1=±1，A正確，B錯誤；
顯然a2n=1，a2n-1=a1，則S2 024=1 012a1+1 012a2=1 012a1+1 012=2 024，解得a1=1，C正確；
S2 023=1 012a1+1 011a2=1 012a1+1 011=-1，解得a1=-1，D正確.
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7.在數列{an}中，an+1=an+2-an，a1=2，a2=5，則a5=　　　.
a3=a2+a1=5+2=7，
a4=a3+a2=7+5=12，a5=a4+a3=12+7=19.
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8.已知數列{an}中，a1a2…an=n2(n∈N*)，則a9=　　　.
a1a2…a8=82， ①
a1a2…a9=92， ②
②÷①得，a9==.
9.已知數列{an}的前n項和Sn=2n2-n+2.
(1)求數列{an}的通項公式；
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當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(2n2-n+2)-(2n2-5n+5)=4n-3，
當n=1時，a1=S1=3，不滿足上式，
故數列{an}的通項公式為an=
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(2)若bn=an+100n-2n，求數列{bn}的最大項是該數列的第幾項.
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由已知得b1=3+100-2=101，
當n≥2時，bn=an+100n-2n=4n-3+100n-2n=104n-3-2n，
令n∈N*，
即n∈N*，
得n∈N*，即n=7，
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所以當n≥2時，{bn}的最大項為第7項，
又b7=104×7-3-27=597>b1，
所以數列{bn}的最大項是該數列的第7項.
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10.(1)在數列{an}中，a1=2，且an+1=an+ln，求數列{an}的通項公式；
由題設an+1-an=ln ，
所以an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=ln +…+ln +2=2+ln n，且n≥2，
顯然a1=ln 1+2=2滿足上式，
所以an=2+ln n，n∈N*.
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(2)已知數列{an}中，a1=，an=an-1(n≥2)，求數列{an}的通項公式.
因為an=an-1(n≥2)，
所以當n≥2時，=，
所以==，…，==，
以上n-1個式子左右兩邊分別相乘，得
··…··
=××…××，
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即=××2×1，
所以an=(n≥2).
當n=1時，a1=，符合上式.
所以數列{an}的通項公式為an=，n∈N*.
11.設an=+++…+(n∈N*)，那么an+1-an等于
A. B.
C.+ D.-
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∵an=+++…+，
∴an+1=++…+++，
∴an+1-an=+-
=-.
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12.在數列{an}中，a1=，an+1=1-，則a2 024等于
A. B.-1
C.2 D.3
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由題意得，a2=1-=-1，
a3=1-=2，
a4=1-==a1，a5=1-=-1=a2，a6=2=a3，…
所以數列{an}是一個周期為3的周期數列，
故a2 024=a3×674+2=a2=-1.
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13.公元13世紀意大利數學家斐波那契在自己的著作《算盤書》中記載著這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，滿足an+2=an+1+
an(n≥1)，那么1+a2+a4+a6+…+a2 022等于
A.a2 021　　　　B.a2 022　　　　C.a2 023　　　　D.a2 024
√
由于an+2=an+1+an(n≥1)，
則1+a2+a4+a6+…+a2 022=a1+a2+a4+a6+…+a2 022=a3+a4+a6+…+a2 022=a5+
a6+…+a2 022=a2 021+a2 022=a2 023.
14.已知數列{an}的通項公式為an=，其最大項為　　　，最小項為
　　　.
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因為n∈N*，所以當1≤n≤3時，an=<0，且單調遞減；
當n≥4時，an=>0，且單調遞減，
所以最小項為a3==-，最大項為a4==1.
15.在一個數列中，如果對任意n∈N*，都有anan+1an+2=k(k為常數)，那么這個數列叫做等積數列，k叫做這個數列的公積.已知數列{an}是等積數列，且a1=1，a2=2，公積為8，則a1+a2+a3+…+a12=　　　　.
拓廣探究
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依題意得數列{an}是周期為3的數列，
且a1=1，a2=2，a3=4，
因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.
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16.已知數列{an}滿足：a1=m(m為正整數)，an+1=
若a4=4，求m所有可能的取值.
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若a3為奇數，則3a3+1=4，a3=1.
若a2為奇數，則3a2+1=1，a2=0(舍去)，
若a2為偶數，則=1，a2=2.
若a1為奇數，則3a1+1=2，a1=(舍去)，
若a1為偶數，=2，a1=4.
若a3為偶數，則=4，a3=8.
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若a2為奇數，則3a2+1=8，a2=(舍去)，
若a2為偶數，則=8，a2=16.
若a1為奇數，則3a1+1=16，a1=5，
若a1為偶數，則=16，a1=32.
故m所有可能的取值為4，5，32.第2課時　數列的遞推公式
［學習目標］　1.理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項.2.了解用累加法、累乘法求通項公式.3.會由數列的前n項和Sn求數列的通項公式.4.了解數列是一種特殊函數.
一、數列的單調性與最值
問題1　由上節課可知在數列的通項公式中，給定任意的序號n，就會有唯一確定的an與其對應，這種情形與以往學的哪方面的知識有聯系？
例1　已知數列｛an｝的通項公式是an=n，n∈N*.試問該數列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由.
反思感悟　求數列最值的方法
(1)函數的單調性法：令an=f(n)，通過研究f(n)的單調性來研究最大(小)項.
(2)不等式組法：先假設有最大(小)項.不妨設an最大，則滿足(n≥2)，解不等式組便可得到n的取值范圍，從而確定n的值；求最小項用不等式組(n≥2)求得n的取值范圍，從而確定n的值.
跟蹤訓練1　已知數列an=-n2+4n+2，則該數列中最大項的序號是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
二、數列的遞推公式
問題2　觀察如圖所示的鋼管堆放示意圖，你能夠發現上下層之間的關系嗎？你能否用數列的形式寫出上下層之間的關系？
知識梳理
如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用　　　　　　來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式.
例2　若數列｛an｝滿足a1=2，=，n∈N*，求a6.
延伸探究　在例2的條件下，求a2 024.
反思感悟　遞推公式反映的是相鄰兩項(或多項)之間的關系.要已知首項(或前幾項)，才可依次求得其他的項.若序號很大，則應考慮數列是否具有規律性(周期性).
跟蹤訓練2　已知數列｛an｝的首項a1=1，且滿足an+1=an+，則此數列的第3項是(　　)
A.1 B. C. D.
三、由遞推公式求通項公式
例3　(1)在數列｛an｝中，a1=1，an+1=an+-，則an等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知數列｛an｝滿足a1=1，an+1=an，則an等于(　　)
A.n+1 B.n
C. D.
反思感悟　由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法：根據數列的某項和遞推公式，求出數列的前幾項，歸納出通項公式.(只適用于選擇題、填空題)
(2)迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應的有以下幾類：
①an+1-an=常數，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法.
②an+1=pan(p為非零常數)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法.
③an+1=pan+q(p，q為非零常數)，適當變形后轉化為第②類解決.
跟蹤訓練3　(1)已知數列｛an｝滿足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an.
(2)已知數列｛an｝滿足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an.
四、an與Sn的關系
問題3　如果已知數列｛an｝的前n項和，如何求a4呢？
知識梳理　
1.把數列｛an｝從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列｛an｝的前n項和，記作Sn，即Sn=　　　　　　　　.
2.an=　　　　　　　　.
例4　已知Sn為數列｛an｝的前n項和，根據條件求｛an｝的通項公式.
(1)Sn=3n-1；
(2)Sn=2n2-30n.
延伸探究　將本例(2)的條件“Sn=2n2-30n”改為“Sn=2n2-30n+1”，其他條件不變，求an.
反思感悟　由Sn求通項公式an的步驟
(1)當n=1時，a1=S1.
(2)當n≥2時，an=Sn-Sn-1.
(3)驗證a1與an的關系.
①若a1適合an(n≥2)，則an=Sn-Sn-1.
②若a1不適合an(n≥2)，則an=
跟蹤訓練4　(1)已知數列｛an｝的前n項和Sn滿足Sn=2n2+3n+2，求an.
(2)已知數列｛an｝滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，求an.
1.知識清單：
(1)數列的單調性與最值.
(2)數列的遞推公式.
(3)由遞推公式求通項公式.
(4)數列的前n項和Sn與an的關系.
2.方法歸納：歸納法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常見誤區：
(1)累加法、累乘法中不注意驗證首項是否符合通項公式.
(2)由Sn求an時忽略驗證n=1時的情況.
1.已知在數列｛an｝中，a1=2，an+1=an+n(n∈N*)，則a4的值為(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.設數列｛an｝的前n項和為Sn，且Sn=2n-1(n∈N*)，則a5等于(　　)
A.32 B.31 C.16 D.15
3.已知數列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+an+1+an+2=1，n∈N*，則a2 024等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.在數列｛an｝中，an=-2n2+29n+3，則此數列最大項的值是(　　)
A.105 B.106 C.107 D.108
答案精析
問題1　函數.
例1　解　方法一　=
=·，
當n<2時，>1，即an+1>an；
當n=2時，=1，即an+1=an；
當n>2時，<1，即an+1則a1a4>a5>…，
故數列｛an｝有最大項，為第2項和第3項，且a2=a3=2×=.
方法二　根據題意，令
即
解得2≤n≤3.
又n∈N*，則n=2或n=3.
故數列｛an｝有最大項，為第2項和第3項，且a2=a3=2×=.
跟蹤訓練1　A
問題2　自上而下每一層的鋼管數都比上一層的鋼管數多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此類推：an=an-1+1(2≤n≤7).
知識梳理
一個式子
例2　解　a2===-3，
a3===-，
a4===，
a5===2，
a6===-3.
延伸探究　解　由例2知，a5=a1=2，a6=a2=-3，…，
∴｛an｝是周期為4的周期數列，
∴a2 024=a4×505+4=a4=.
跟蹤訓練2　C　［a1=1，a2=a1+=1，a3=a2+=.］
例3　(1)B　［方法一　(歸納法)
數列的前5項分別為
a1=1，a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，
a4=+-=2-=，
a5=+-=2-=，
又a1=1，
由此可得數列的一個通項公式為
an=.
方法二　(迭代法)　a2=a1+1-，
a3=a2+-，…，
an=an-1+-(n≥2)，
則an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也適合上式，
所以an=(n∈N*).
方法三　(累加法)　an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，
…
an-an-1=-(n≥2)，
以上各項相加得
an=1+1-+-+…+-.所以an=(n≥2).
因為a1=1也適合上式，
所以an=(n∈N*).］
(2)D　［由題意，因為數列｛an｝滿足an+1=an，
所以=，
所以當n≥2時，an=··…···a1=××…×××1=.
當n=1時，a1=1滿足上式，
所以an=(n∈N*).］
跟蹤訓練3　(1)解　因為an=an-1+-(n≥2)，
所以an-an-1=-(n≥2).
所以當n≥2時，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(-)+(-)+…+(-)+1=-+1.
又當n=1時，a1=1也符合上式，
所以an=-+1，n∈N*.
(2)解　因為ln an-ln an-1=1，
所以ln=1，即=e(n≥2).
所以an=··…··a1
=·1=en-1(n≥2)，
又a1=1也符合上式，
所以an=en-1，n∈N*.
問題3　用｛an｝的前4項和減去前3項和.
知識梳理
1.a1+a2+…+an
2.
例4　解　(1)當n=1時，a1=S1=2，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1，
顯然a1=2適合上式，
所以an=2×3n-1(n∈N*).
(2)因為Sn=2n2-30n，
所以當n=1時，a1=S1=2×12-30×1=-28，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n-［2(n-1)2-30(n-1)］
=4n-32.
顯然a1=-28適合上式，
所以an=4n-32，n∈N*.
延伸探究　解　因為Sn=2n2-30n+1，
所以當n=1時，
a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2-30n+1-［2(n-1)2-30(n-1)+1］=4n-32.
當n=1時不適合上式.
所以an=
跟蹤訓練4　(1)解　當n=1時，
a1=S1=7，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1
=2n2+3n+2-［2(n-1)2+3(n-1)+2］=4n+1，
又a1=7不適合上式，
所以an=
(2)解　當n=1時，由已知可得
a1=21=2.
由a1+2a2+3a3+…+nan=2n， ①
可得當n≥2時，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1， ②
由①-②得
nan=2n-2n-1=2n-1(n≥2)，
∴an=(n≥2).顯然a1=2不適合上式，
∴an=
隨堂演練
1.D　2.C　3.D　4.D

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