資源簡介

4.2.1　等差數列的概念
第1課時　等差數列的概念及通項公式
［學習目標］　1.理解等差數列、等差中項的概念.2.掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題.3.體會等差數列與一元一次函數的關系.4.掌握等差數列的判定與證明方法.
導語
在前面的學習中，我們已經了解了數列的定義、表示方法，與學習函數的定義、表示方法一樣，這節課我們就來探討一下一類特殊的數列.
一、等差數列的概念
問題1　觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題.
（1）近5屆冬奧會舉辦的時間：2006，2010，2014，2018，2022；
（2）我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用的中國鞋號按從大到小的順序可排列為：45，44，43，42，41，40，…；
（3）為增強體質，學校增加了體育訓練的項目，下面記錄了某班內5名男生1分鐘內引體向上的個數：10，10，10，10，10.
以上數列有什么共同特征？
提示　對于（1），我們發現2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是說該數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數.對于（2）有44-45=-1，43-44=-1，….對于（3），10-10=0，有同樣的取值規律.
知識梳理
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.
注意點：
（1）概念的符號表示：an+1-an=d（n∈N*）.
（2）定義中強調“從第2項起”，因為第一項沒有前一項.
（3）差必須是同一個常數.
（4）公差可以是正數、負數、零.
例1　判斷下列各組數列是不是等差數列.如果是，寫出首項a1和公差d.
（1）1，3，5，7，9，…；
（2）9，6，3，0，-3，…；
（3）1，3，4，5，6，…；
（4）7，7，7，7，7，…；
（5）1，，，，，….
解　（1）是，a1=1，d=2；（2）是，a1=9，d=-3；（3）不是；（4）是，a1=7，d=0；（5）不是.
反思感悟　利用定義法判斷等差數列：從第2項起，檢驗每一項與它的前一項的差是否都等于同一個常數，若是同一個常數，則是等差數列，否則不是等差數列.
跟蹤訓練1　（多選）下列數列是等差數列的是（　　）
A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2
答案　ABC
解析　由等差數列的定義得，
A項d=0，故是等差數列；
B項d=3，故是等差數列；
C項d=，故是等差數列；
D項每一項與前一項的差不是同一個常數，故不是等差數列.
二、等差中項
問題2　由等差數列的定義可知，如果1，x，3這三個數是等差數列，你能求出x的值嗎？
提示　由定義可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2.
知識梳理
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時，A叫做a與b的等差中項，且2A=a+b.
注意點：
（1）任意兩個實數都有等差中項，且唯一.
（2）等差中項的幾何意義是兩個實數的算術平均數，即A=.
例2　（1）若a=，b=，則a，b的等差中項為（　　）
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由題意知a，b的等差中項為
×=×（-++）=.
（2）在-1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，求此數列.
解　因為-1，a，b，c，7成等差數列，
所以b是-1與7的等差中項，
則b==3，
又a是-1與3的等差中項，
所以a==1.
又c是3與7的等差中項，
所以c==5.
所以該數列為-1，1，3，5，7.
反思感悟　若a，A，b成等差數列，則A=；反之，由A=也可得到a，A，b成等差數列，所以A是a，b的等差中項 A=.
跟蹤訓練2　已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則2m-n和2n-m的等差中項是（　　）
A.8 B.6
C.4.5 D.3
答案　D
解析　∵m+2n=8，2m+n=10，
∴3m+3n=18，∴m+n=6，
∴2m-n和2n-m的等差中項是
==3.
三、等差數列的通項公式
問題3　你能根據等差數列的定義推導它的通項公式嗎？
提示　設一個等差數列的首項為a1，公差為d，
由等差數列的定義可知，an-an-1=d（n≥2），
思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…
歸納可得，an=a1+（n-1）d（n≥2）.
思路二：a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
…
an-an-1=d，
左右兩邊分別相加可得，an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d（n≥2）.
問題4　觀察等差數列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關？
提示　由于an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），故an是函數f（x）=dx+（a1-d）當x=n時的函數值，即an=f（n），點（n，an）則是函數f（x）=dx+（a1-d）圖象上的均勻分布的孤立的點，而d是直線f（x）=dx+（a1-d）的斜率，記為d=（n≥2），實際上，如果已知直線上任意兩點（n，an），（m，am），由斜率的公式可知d=，公差d的符號決定了數列的單調性，d>0時，數列｛an｝為遞增數列，d=0時，數列｛an｝為常數列，d<0時，數列｛an｝為遞減數列.
知識梳理
1.首項為a1，公差為d的等差數列｛an｝的通項公式為an=a1+（n-1）d.
2.若數列｛an｝是等差數列，首項為a1，公差為d，
則an=f（n）=a1+（n-1）d=nd+（a1-d）.
（1）點（n，an）落在直線y=dx+（a1-d）上，這條直線的斜率為d，在y軸上的截距為a1-d ；
（2）這些點的橫坐標每增加1，函數值增加d.
注意點：
（1）已知首項a1和公差d，便可寫出通項公式.
（2）等差數列的通項公式是an，a1，d，n四個變量之間的關系，知三求一.
（3）當d>0時，是遞增數列，當d=0時，是常數列，當d<0時，是遞減數列.
例3　在等差數列｛an｝中，
（1）已知a5=-1，a8=2，求a1與d；
（2）已知a1+a6=12，a4=7，求an.
解　（1）由題意知
解得
（2）設等差數列｛an｝的公差為d，由題意知
解得
所以an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1，n∈N*.
延伸探究　若等差數列｛an｝的前三項和為24，第二項與第三項之積為40，求數列｛an｝的前三項，并寫出通項公式.
解　設等差數列｛an｝的公差為d，
由題可得解得
∴a2=a1+d=8，a3=a1+2d=5.
數列｛an｝的通項公式為an=11+（n-1）×（-3）=-3n+14.
反思感悟　等差數列｛an｝的通項公式an=a1+（n-1）d中共含有四個量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個量，那么就可以求出第四個量，在這四個量中，a1和d是等差數列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解.
跟蹤訓練3　在等差數列｛an｝中，求解下列各題：
（1）已知｛an｝的前3項依次為2，6，10，則a15=　　　　；
（2）已知公差d=-，a7=8，則a1=　　　　；
（3）已知a3=0，a7-2a4=-1，則公差d=　　　；
（4）等差數列20，17，14，11，…中第一個負數項是第　　　　項.
答案　（1）58　（2）10　（3）-　（4）8
解析　（1）由題意得，d=6-2=4，
把a1=2，d=4代入an=a1+（n-1）d，
得an=2+（n-1）×4=4n-2，
∴a15=4×15-2=58.
（2）由a7=a1+6d，得8=a1+6×，
故a1=10.
（3）設首項為a1，公差為d，
則
解得
（4）∵a1=20，d=-3，
∴an=20+（n-1）×（-3）=23-3n，
∴a7=2>0，a8=-1<0.
∴數列中第一個負數項是第8項.
四、等差數列的判定與證明
問題5　如果一個數列的前有限項是等差數列，那么這個數列是等差數列嗎？
提示　不一定，證明一個數列是等差數列，一定要體現出任意性.
知識梳理
證明或判定等差數列的方法
（1）定義法：an+1-an=d（n∈N*）.
（2）等差中項法：2an=an-1+an+1（n≥2）.
（3）通項公式法：an=a1+（n-1）d=pn+q（p，q為常數）.
注意點：證明｛an｝是等差數列常用定義法.
例4　已知數列｛an｝滿足a1=2，an+1=.
（1）數列是否為等差數列？說明理由；
（2）求an.
解　（1）數列是等差數列，理由如下：
∵a1=2，an+1=，
∴==+，
∴-=，
即數列是首項為=，公差為d=的等差數列.
（2）由（1）可知=+（n-1）d=，
∴an=，n∈N*.
延伸探究　將本例中的條件“a1=2，an+1=”換為“a1=4，an=4-（n>1），記bn=”.
（1）試證明數列｛bn｝為等差數列；
（2）求數列｛an｝的通項公式.
（1）證明　bn+1-bn=-
=-=-
==.
又b1==，
∴數列｛bn｝是首項為，公差為的等差數列.
（2）解　由（1）知bn=+（n-1）×=.
∵bn=，
∴an=+2=+2.
∴數列｛an｝的通項公式為an=+2，n∈N*.
反思感悟　（1）通項公式法不能作為證明方法.
（2）若an+1-an為常數，則該常數為等差數列｛an｝的公差；若an+1-an=an-an-1（n≥2，n∈N*）成立，則無法確定等差數列｛an｝的公差.
（3）若數列的前有限項成等差數列，則該數列未必是等差數列；而要否定一個數列是等差數列，只要說明其中連續三項不成等差數列即可.
跟蹤訓練4　已知數列｛an｝滿足（an+1-1）（an-1）=3（an-an+1），a1=2，令bn=.
（1）證明：數列｛bn｝是等差數列；
（2）求數列｛an｝的通項公式.
（1）證明　∵-
==，
∴bn+1-bn=，又b1==1，
∴｛bn｝是首項為1，公差為的等差數列.
（2）解　由（1）知bn=n+，
∴an-1=，
∴an=，n∈N*.
1.知識清單：
（1）等差數列的有關概念.
（2）等差數列的通項公式.
（3）等差數列通項公式與函數的關系.
（4）等差數列的判定與證明.
2.方法歸納：列方程組法、迭代法、構造法、定義法.
3.常見誤區：
（1）在具體應用問題中項數不清.
（2）忽略等差數列通項公式與函數關系中d=0的情況.
1.（多選）下列數列中，是等差數列的是（　　）
A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2
答案　ABD
解析　A，B，D項滿足等差數列的定義，是等差數列；C中，因為24-25≠23-24≠22-23，不滿足等差數列的定義，所以不是等差數列.
2.已知等差數列｛an｝的前三項分別為a-1，a+1，2a+1，則該數列的通項公式為（　　）
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
答案　C
解析　設該等差數列的公差為d，
因為等差數列｛an｝的前三項分別為a-1，a+1，2a+1，
所以2（a+1）=a-1+2a+1，
解得a=2，所以a1=1，d=2，
所以an=a1+（n-1）d=2n-1.
3.若5，x，y，z，21成等差數列，則x+y+z的值為（　　）
A.26 B.29
C.39 D.52
答案　C
解析　∵5，x，y，z，21成等差數列，
∴y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項.
∴5+21=2y，
∴y=13，x+z=2y=26，
∴x+y+z=39.
4.寫出一個具有下列性質①②的數列｛an｝的通項公式an=　　　　（①am+n=am+an（m，n∈N*）；②｛an｝單調遞增）.
答案　n（答案不唯一）
解析　假設數列為等差數列，設其公差為d，由性質①可得，
a1+（m+n-1）d=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d a1=d，
再根據性質②可知，顯然an=n滿足題意.
課時對點練　［分值：100分］
單選題每小題5分，共45分；多選題每小題6分，共6分
1.數列｛an｝中，a1=5，an+1=an+3，那么這個數列的通項公式是（　　）
A.3n-1 B.3n+2
C.3n-2 D.3n+1
答案　B
解析　因為an+1-an=3，所以數列｛an｝是以5為首項，3為公差的等差數列，
則an=5+3=3n+2，n∈N*.
2.一個等差數列的前4項是a，x，b，2x（b≠0，x≠0），則等于（　　）
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵b是x，2x的等差中項，
∴b==，
又∵x是a，b的等差中項，
∴2x=a+b，
∴a=，∴=.
3.已知數列｛an｝為等差數列，則下列不一定成立的是（　　）
A.若a2>a1，則a3>a1
B.若a2>a1，則a3>a2
C.若a3>a1，則a2>a1
D.若a2>a1，則a1+a2>a1
答案　D
解析　利用等差數列的單調性可得，若a2>a1，則公差d>0，所以等差數列｛an｝是遞增數列，
所以a3-a1=2d>0，a3-a2=d>0成立，所以A，B正確；
若a3>a1，則a3-a1=2d>0，所以a2-a1=d>0成立，所以C正確；
a1+a2>a1不一定成立，例如a14.用火柴棒按如圖的方法搭三角形，按圖示的規律搭下去，則第100個圖形所用火柴棒數為（　　）
A.199 B.201
C.203 D.205
答案　B
解析　由圖示可以看出，第一個圖中用了三根火柴棒，從第二個圖開始每一個圖中所用的火柴棒數都比前一個圖中所用的火柴棒數多兩根，設第n個圖形所需要的火柴棒數量為an，則an=3+2（n-1）=2n+1，則第100個圖形所用火柴棒數量為2×100+1=201.
5.在數列｛an｝中，若=+，a1=8，則數列｛an｝的通項公式為（　　）
A.an=2（n+1）2 B.an=4（n+1）
C.an=8n2 D.an=4n（n+1）
答案　A
解析　由題意得-=，故數列｛｝是首項為=2，公差為的等差數列，
所以=2+（n-1）=n+，
故an=2（n+1）2.
6.（多選）若數列｛an｝是等差數列，公差d>0，則下列對數列｛bn｝的判斷正確的是（　　）
A.若bn=-an，則數列｛bn｝是遞減數列
B.若bn=，則數列｛bn｝是遞增數列
C.若bn=an+an+1，則數列｛bn｝是公差為d的等差數列
D.若bn=an+n，則數列｛bn｝是公差為d+1的等差數列
答案　AD
解析　由an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）且d>0，
得bn=-an=-dn+（d-a1），即數列｛bn｝是遞減數列，故A對；
由bn==，當d>a1時，如d=1，a1=-2，數列｛bn｝不單調，故B錯；
由bn=an+an+1=2dn+（2a1-d），則數列｛bn｝是公差為2d的等差數列，故C錯；
由bn=an+n=（d+1）n+（a1-d），則數列｛bn｝是公差為d+1的等差數列，故D對.
7.（5分）在-3和6之間插入兩個數a，b，使這四個數成等差數列，則公差為　　　　.
答案　3
解析　設該等差數列為｛an｝，其首項為a1，公差為d，由題意知，a1=-3，a4=6，
即解得d=3.
8.（5分）設a>0，b>0，若ln 3是ln 9a與ln 3b的等差中項，則2a+b=　　　　.
答案　2
解析　∵ln 3是ln 9a與ln 3b的等差中項，
∴2ln 3=ln 9a+ln 3b，
∴ln 32=ln（9a·3b）=ln 32a+b，
∴32=32a+b，
∴2a+b=2.
9.（10分）在等差數列｛an｝中，
（1）已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d；（3分）
（2）已知a1=9，公差d=-2，an=-15，求n；（3分）
（3）已知a3=9，a9=3，求｛an｝的通項公式.（4分）
解　（1）因為a5-a3=12，
所以公差d=6.
由a12=a1+11d=20，所以a1=-46，故a1=-46，d=6.
（2）由an=a1+（n-1）d，得-15=9-2（n-1），解得n=13.
（3）由已知可得解得
所以an=a1+（n-1）d=11-（n-1）=-n+12.
10.（12分）已知數列｛an｝滿足2an+（n-1）an-1=nan+a1（n∈N*，且n≥2），證明：數列｛an｝為等差數列.
證明　將2an+（n-1）=nan+a1（n≥2）中的n替換為n+1得2an+1+nan=（n+1）an+1+a1.
兩式相減并整理得（n-1）an+1=（2n-2）an-（n-1）an-1（n≥2），
即（n-1）an+1-（n-1）an=（n-1）an-（n-1）an-1，
由n≥2得an+1-an=an-an-1，
即2an=an+1+an-1（n≥2）.
故數列｛an｝為等差數列.
11.“lg x，lg y，lg z成等差數列”是“y2=xz”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案　A
解析　lg x，lg y，lg z成等差數列 2lg y=lg x+lg z lg=lg y2 y2=xz，
但y2=xz不能保證x，y，z均為正數，
故選A.
12.首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差d的取值范圍是（　　）
A. B.
C. D.
答案　C
解析　設an=-24+（n-1）d，n∈N*，
由解得13.正數a，b的等差中項是，且α=a+，β=b+，則α+β的最小值是（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
答案　C
解析　由題意可知，a+b=1，
α+β=a++b+=1++=3++≥3+2=5，
當且僅當a=b=時，取等號.
14.（5分）已知△ABC的三邊a，b，c成等差數列，，，也成等差數列，則△ABC的形狀為　　　　.
答案　等邊三角形
解析　由a，b，c成等差數列得a+c=2b， ①
由，，成等差數列得+=2， ②
由②2-①得2=2b，即b2=ac，
由①平方得a2+2ac+c2=4b2，
將b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac，
即（a-c）2=0，得a=c.
又a+c=2b，
∴2a=2b，
∴a=b，
∴a=b=c.
∴△ABC 是等邊三角形.
15.已知數列｛an｝中，a1=1，a2=4，a3=9，且｛an+1-an｝是等差數列，則a6等于（　　）
A.36 B.37
C.38 D.39
答案　A
解析　因為a2-a1=3，a3-a2=5，所以（a3-a2）-（a2-a1）=2，
又｛an+1-an｝是等差數列，故首項為3，公差為2，
所以an+1-an=3+2（n-1）=2n+1，
所以a6=（a6-a5）+（a5-a4）+…+（a2-a1）+a1=2（5+4+3+2+1）+5+1=36.
16.（12分）記Sn為數列｛an｝的前n項和，bn為數列｛Sn｝的前n項積，已知+=2.
（1）證明：數列｛bn｝是等差數列；（6分）
（2）求｛an｝的通項公式.（6分）
（1）證明　由已知+=2得Sn=，且bn≠0，bn≠，
取n=1，由S1=b1得b1=，
由于bn為數列｛Sn｝的前n項積，
所以··…·=bn，
故··…·=bn+1，
所以=，
由于bn+1≠0，
所以=，即bn+1-bn=，其中n∈N*，
所以｛bn｝是以為首項，為公差的等差數列.
（2）解　由（1）可得，數列｛bn｝是以為首項，為公差的等差數列，
所以bn=+（n-1）×=1+，
Sn==，
當n=1時，a1=S1=，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-=-，顯然對于n=1不成立，
所以an=(共84張PPT)
第1課時
第四章
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等差數列的概念及通項公式
1.理解等差數列、等差中項的概念.
2.掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題.
3.體會等差數列與一元一次函數的關系.
4.掌握等差數列的判定與證明方法.
學習目標
在前面的學習中，我們已經了解了數列的定義、表示方法，與學習函數的定義、表示方法一樣，這節課我們就來探討一下一類特殊的數列.
導 語
一、等差數列的概念
二、等差中項
課時對點練
三、等差數列的通項公式
隨堂演練
內容索引
四、等差數列的判定與證明
一
等差數列的概念
觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題.
(1)近5屆冬奧會舉辦的時間：2006，2010，2014，2018，2022；
(2)我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用的中國鞋號按從大到小的順序可排列為：45，44，43，42，41，40，…；
(3)為增強體質，學校增加了體育訓練的項目，下面記錄了某班內5名男生1分鐘內引體向上的個數：10，10，10，10，10.
以上數列有什么共同特征？
問題1
提示　對于(1)，我們發現2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是說該數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數.
對于(2)有44-45=-1，43-44=-1，….
對于(3)，10-10=0，有同樣的取值規律.
一般地，如果一個數列從第 項起，每一項與它的前一項的 都等于 ，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的 ，公差通常用字母 表示.
2
差
同一個常數
公差
d
(1)概念的符號表示：an+1-an=d(n∈N*).
(2)定義中強調“從第2項起”，因為第一項沒有前一項.
(3)差必須是同一個常數.
(4)公差可以是正數、負數、零.
注 意 點
<<<
判斷下列各組數列是不是等差數列.如果是，寫出首項a1和公差d.
(1)1，3，5，7，9，…；
例 1
是，a1=1，d=2；
(2)9，6，3，0，-3，…；
是，a1=9，d=-3；
(3)1，3，4，5，6，…；
不是；
(4)7，7，7，7，7，…；
是，a1=7，d=0；
(5)1，，，，，….
不是.
利用定義法判斷等差數列：從第2項起，檢驗每一項與它的前一項的差是否都等于同一個常數，若是同一個常數，則是等差數列，否則不是等差數列.
反
思
感
悟
(多選)下列數列是等差數列的是
A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2
跟蹤訓練 1
√
由等差數列的定義得，
A項d=0，故是等差數列；
B項d=3，故是等差數列；
C項d=，故是等差數列；
D項每一項與前一項的差不是同一個常數，故不是等差數列.
√
√
二
等差中項
由等差數列的定義可知，如果1，x，3這三個數是等差數列，你能求出x的值嗎？
問題2
提示　由定義可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2.
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時，A叫做a與b的 ，且2A= .
等差中項
a+b
(1)任意兩個實數都有等差中項，且唯一.
(2)等差中項的幾何意義是兩個實數的算術平均數，即A=.
注 意 點
<<<
(1)若a=，b=，則a，b的等差中項為
A. B.
C. D.
例 2
√
由題意知a，b的等差中項為×=×(-++)
=.
(2)在-1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，求此數列.
因為-1，a，b，c，7成等差數列，
所以b是-1與7的等差中項，則b==3，
又a是-1與3的等差中項，所以a==1.
又c是3與7的等差中項，所以c==5.
所以該數列為-1，1，3，5，7.
反
思
感
悟
若a，A，b成等差數列，則A=；反之，由A=也可得到a，A，b成等差數列，所以A是a，b的等差中項 A=.
已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則2m-n和2n-m的等差中項是
A.8　　　B.6　　　C.4.5　　　D.3
跟蹤訓練 2
√
∵m+2n=8，2m+n=10，
∴3m+3n=18，∴m+n=6，
∴2m-n和2n-m的等差中項是==3.
三
等差數列的通項公式
你能根據等差數列的定義推導它的通項公式嗎？
問題3
提示　設一個等差數列的首項為a1，公差為d，
由等差數列的定義可知，an-an-1=d(n≥2)，
思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…
歸納可得，an=a1+(n-1)d(n≥2).
思路二：a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
…
an-an-1=d，
左右兩邊分別相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2).
觀察等差數列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關？
問題4
提示　由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，故an是函數f(x)=dx+(a1-d)當x=n時的函數值，即an=f(n)，點(n，an)則是函數f(x)=dx+(a1-d)圖象上的均勻分布的孤立的點，而d是直線f(x)=dx+(a1-d)的斜率，記為d=(n≥2)，實際上，如果已知直線上任意兩點(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d=，公差d的符號決定了數列的單調性，d>0時，數列{an}為遞增數列，d=0時，數列{an}為常數列，d<0時，數列{an}為遞減數列.
1.首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式為an= .
2.若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，
則an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).
(1)點(n，an)落在直線y=dx+(a1-d)上，這條直線的斜率為 ，在y軸上的截距為 ；
(2)這些點的橫坐標每增加1，函數值增加 .
a1+(n-1)d
d
a1-d
d
(1)已知首項a1和公差d，便可寫出通項公式.
(2)等差數列的通項公式是an，a1，d，n四個變量之間的關系，知三求一.
(3)當d>0時，是遞增數列，當d=0時，是常數列，當d<0時，是遞減數列.
注 意 點
<<<
在等差數列{an}中，
(1)已知a5=-1，a8=2，求a1與d；
例 3
由題意知
解得
(2)已知a1+a6=12，a4=7，求an.
設等差數列{an}的公差為d，
由題意知
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1，n∈N*.
若等差數列{an}的前三項和為24，第二項與第三項之積為40，求數列{an}的前三項，并寫出通項公式.
延伸探究
設等差數列{an}的公差為d，
由題可得
∴a2=a1+d=8，a3=a1+2d=5.
數列{an}的通項公式為an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14.
反
思
感
悟
等差數列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個量，那么就可以求出第四個量，在這四個量中，a1和d是等差數列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解.
在等差數列{an}中，求解下列各題：
(1)已知{an}的前3項依次為2，6，10，則a15=　　　；
跟蹤訓練 3
58
由題意得，d=6-2=4，
把a1=2，d=4代入an=a1+(n-1)d，
得an=2+(n-1)×4=4n-2，
∴a15=4×15-2=58.
(2)已知公差d=-，a7=8，則a1=　　　　；
10
由a7=a1+6d，得8=a1+6×，
故a1=10.
(3)已知a3=0，a7-2a4=-1，則公差d=　　　；
-
設首項為a1，公差為d，
則
解得
(4)等差數列20，17，14，11，…中第一個負數項是第　　　項.
8
∵a1=20，d=-3，
∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n，
∴a7=2>0，a8=-1<0.
∴數列中第一個負數項是第8項.
四
等差數列的判定與證明
如果一個數列的前有限項是等差數列，那么這個數列是等差數列嗎？
問題5
提示　不一定，證明一個數列是等差數列，一定要體現出任意性.
證明或判定等差數列的方法
(1)定義法：an+1-an=d(n∈N*).
(2)等差中項法：2an=an-1+an+1(n≥2).
(3)通項公式法：an=a1+(n-1)d=pn+q(p，q為常數).
證明{an}是等差數列常用定義法.
注 意 點
<<<
已知數列{an}滿足a1=2，an+1=.
(1)數列是否為等差數列？說明理由；
例 4
數列是等差數列，理由如下：
∵a1=2，an+1=，
∴==+，
∴-=，
即數列=，公差為d=的等差數列.
(2)求an.
由(1)可知=+(n-1)d=，
∴an=，n∈N*.
將本例中的條件“a1=2，an+1=”換為“a1=4，an=4-(n>1)，記bn=”.
(1)試證明數列{bn}為等差數列；
延伸探究
bn+1-bn=-
=-=-
==.
又b1==，
∴數列{bn}是首項為的等差數列.
(2)求數列{an}的通項公式.
由(1)知bn=+(n-1)×=.
∵bn=，
∴an=+2=+2.
∴數列{an}的通項公式為an=+2，n∈N*.
反
思
感
悟
(1)通項公式法不能作為證明方法.
(2)若an+1-an為常數，則該常數為等差數列{an}的公差；若an+1-an=an-an-1(n≥2，n∈N*)成立，則無法確定等差數列{an}的公差.
(3)若數列的前有限項成等差數列，則該數列未必是等差數列；而要否定一個數列是等差數列，只要說明其中連續三項不成等差數列即可.
已知數列{an}滿足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1)，a1=2，令bn=.
(1)證明：數列{bn}是等差數列；
跟蹤訓練 4
∵-==，
∴bn+1-bn=，又b1==1，
∴{bn}是首項為1，公差為的等差數列.
(2)求數列{an}的通項公式.
由(1)知bn=n+，
∴an-1=，
∴an=，n∈N*.
1.知識清單：
(1)等差數列的有關概念.
(2)等差數列的通項公式.
(3)等差數列通項公式與函數的關系.
(4)等差數列的判定與證明.
2.方法歸納：列方程組法、迭代法、構造法、定義法.
3.常見誤區：
(1)在具體應用問題中項數不清.
(2)忽略等差數列通項公式與函數關系中d=0的情況.
隨堂演練
五
1
2
3
4
1.(多選)下列數列中，是等差數列的是
A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2
√
A，B，D項滿足等差數列的定義，是等差數列；
C中，因為24-25≠23-24≠22-23，不滿足等差數列的定義，所以不是等差數列.
√
√
2.已知等差數列{an}的前三項分別為a-1，a+1，2a+1，則該數列的通項公式為
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
1
2
3
4
√
1
2
3
4
設該等差數列的公差為d，
因為等差數列{an}的前三項分別為a-1，a+1，2a+1，
所以2(a+1)=a-1+2a+1，
解得a=2，所以a1=1，d=2，
所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
3.若5，x，y，z，21成等差數列，則x+y+z的值為
A.26　　　B.29　　　C.39　　　D.52
√
∵5，x，y，z，21成等差數列，
∴y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項.
∴5+21=2y，
∴y=13，x+z=2y=26，
∴x+y+z=39.
1
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4
1
2
3
4
4.寫出一個具有下列性質①②的數列{an}的通項公式an=_______________
(①am+n=am+an(m，n∈N*)；②{an}單調遞增).
假設數列為等差數列，設其公差為d，由性質①可得，
a1+(m+n-1)d=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d a1=d，
再根據性質②可知，顯然an=n滿足題意.
n(答案不唯一)
課時對點練
六
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基礎鞏固
1.數列{an}中，a1=5，an+1=an+3，那么這個數列的通項公式是
A.3n-1 B.3n+2
C.3n-2 D.3n+1
√
因為an+1-an=3，所以數列{an}是以5為首項，3為公差的等差數列，
則an=5+3=3n+2，n∈N*.
2.一個等差數列的前4項是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，則等于
A. B.
C. D.
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∵b是x，2x的等差中項，
∴b==，
又∵x是a，b的等差中項，
∴2x=a+b，
∴a=，∴=.
3.已知數列{an}為等差數列，則下列不一定成立的是
A.若a2>a1，則a3>a1
B.若a2>a1，則a3>a2
C.若a3>a1，則a2>a1
D.若a2>a1，則a1+a2>a1
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利用等差數列的單調性可得，若a2>a1，則公差d>0，所以等差數列{an}是遞增數列，
所以a3-a1=2d>0，a3-a2=d>0成立，所以A，B正確；
若a3>a1，則a3-a1=2d>0，所以a2-a1=d>0成立，所以C正確；
a1+a2>a1不一定成立，例如a11
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4.用火柴棒按如圖的方法搭三角形，按圖示的規律搭下去，則第100個圖形所用火柴棒數為
A.199 B.201
C.203 D.205
√
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由圖示可以看出，第一個圖中用了三根火柴棒，從第二個圖開始每一個圖中所用的火柴棒數都比前一個圖中所用的火柴棒數多兩根，設第n個圖形所需要的火柴棒數量為an，則an=3+2(n-1)=2n+1，則第100個圖形所用火柴棒數量為2×100+1=201.
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5.在數列{an}中，若=+，a1=8，則數列{an}的通項公式為
A.an=2(n+1)2 B.an=4(n+1)
C.an=8n2 D.an=4n(n+1)
√
由題意得-==2的等差數列，
所以=2+(n-1)=n+，
故an=2(n+1)2.
6.(多選)若數列{an}是等差數列，公差d>0，則下列對數列{bn}的判斷正確的是
A.若bn=-an，則數列{bn}是遞減數列
B.若bn=，則數列{bn}是遞增數列
C.若bn=an+an+1，則數列{bn}是公差為d的等差數列
D.若bn=an+n，則數列{bn}是公差為d+1的等差數列
√
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√
由an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)且d>0，
得bn=-an=-dn+(d-a1)，即數列{bn}是遞減數列，故A對；
由bn==，當d>a1時，如d=1，a1=-2，數列{bn}不單調，故B錯；
由bn=an+an+1=2dn+(2a1-d)，則數列{bn}是公差為2d的等差數列，故C錯；
由bn=an+n=(d+1)n+(a1-d)，則數列{bn}是公差為d+1的等差數列，故D對.
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7.在-3和6之間插入兩個數a，b，使這四個數成等差數列，則公差為　　.
設該等差數列為{an}，其首項為a1，公差為d，
由題意知，a1=-3，a4=6，
即解得d=3.
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8.設a>0，b>0，若ln 3是ln 9a與ln 3b的等差中項，則2a+b=　　　.
2
∵ln 3是ln 9a與ln 3b的等差中項，
∴2ln 3=ln 9a+ln 3b，
∴ln 32=ln(9a·3b)=ln 32a+b，
∴32=32a+b，
∴2a+b=2.
9.在等差數列{an}中，
(1)已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d；
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因為a5-a3=12，
所以公差d=6.
由a12=a1+11d=20，所以a1=-46，故a1=-46，d=6.
(2)已知a1=9，公差d=-2，an=-15，求n；
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由an=a1+(n-1)d，得-15=9-2(n-1)，解得n=13.
(3)已知a3=9，a9=3，求{an}的通項公式.
由已知可得
所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12.
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10.已知數列{an}滿足2an+(n-1)an-1=nan+a1(n∈N*，且n≥2)，證明：數列{an}為等差數列.
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將2an+(n-1)=nan+a1(n≥2)中的n替換為n+1得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1.
兩式相減并整理得(n-1)an+1=(2n-2)an-(n-1)an-1(n≥2)，
即(n-1)an+1-(n-1)an=(n-1)an-(n-1)an-1，
由n≥2得an+1-an=an-an-1，
即2an=an+1+an-1(n≥2).
故數列{an}為等差數列.
11.“lg x，lg y，lg z成等差數列”是“y2=xz”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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綜合運用
√
lg x，lg y，lg z成等差數列 2lg y=lg x+lg z lg=lg y2 y2=xz，
但y2=xz不能保證x，y，z均為正數，故選A.
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12.首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差d的取值范圍是
A. B.
C. D.
√
設an=-24+(n-1)d，n∈N*，
由1
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13.正數a，b的等差中項是，且α=a+，β=b+，則α+β的最小值是
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
√
由題意可知，a+b=1，
α+β=a++b+=1++=3++≥3+2=5，
當且僅當a=b=時，取等號.
14.已知△ABC的三邊a，b，c成等差數列，，，也成等差數列，則△ABC的形狀為　　　　　　　.
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16
等邊三角形
由a，b，c成等差數列得a+c=2b， ①
由+=2， ②
由②2-①得2=2b，即b2=ac，
由①平方得a2+2ac+c2=4b2，
將b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac，
即(a-c)2=0，得a=c.
又a+c=2b，
∴2a=2b，
1
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∴a=b，
∴a=b=c.
∴△ABC 是等邊三角形.
15.已知數列{an}中，a1=1，a2=4，a3=9，且{an+1-an}是等差數列，則a6等于
A.36　　　B.37　　　C.38　　　D.39
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因為a2-a1=3，a3-a2=5，所以(a3-a2)-(a2-a1)=2，
又{an+1-an}是等差數列，故首項為3，公差為2，
所以an+1-an=3+2(n-1)=2n+1，
所以a6=(a6-a5)+(a5-a4)+…+(a2-a1)+a1=2(5+4+3+2+1)+5+1=36.
√
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16.記Sn為數列{an}的前n項和，bn為數列{Sn}的前n項積，已知+=2.
(1)證明：數列{bn}是等差數列；
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由已知+=2得Sn=，且bn≠0，bn≠，
取n=1，由S1=b1得b1=，
由于bn為數列{Sn}的前n項積，
所以··…·=bn，
故··…·=bn+1，
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所以=，
由于bn+1≠0，
所以=，即bn+1-bn=，其中n∈N*，
所以{bn}是以為公差的等差數列.
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(2)求{an}的通項公式.
由(1)可得，數列{bn}是以為公差的等差數列，
所以bn=+(n-1)×=1+，Sn==，
當n=1時，a1=S1=，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-=-，顯然對于n=1不成立，
所以an=
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164.2.1　等差數列的概念
第1課時　等差數列的概念及通項公式
［學習目標］　1.理解等差數列、等差中項的概念.2.掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題.3.體會等差數列與一元一次函數的關系.4.掌握等差數列的判定與證明方法.
一、等差數列的概念
問題1　觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題.
(1)近5屆冬奧會舉辦的時間：2006，2010，2014，2018，2022；
(2)我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用的中國鞋號按從大到小的順序可排列為：45，44，43，42，41，40，…；
(3)為增強體質，學校增加了體育訓練的項目，下面記錄了某班內5名男生1分鐘內引體向上的個數：10，10，10，10，10.
以上數列有什么共同特征？
知識梳理
一般地，如果一個數列從第　　　　項起，每一項與它的前一項的　　　　都等于　　　　　　，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的　　　　，公差通常用字母　　　　表示.
例1　判斷下列各組數列是不是等差數列.如果是，寫出首項a1和公差d.
(1)1，3，5，7，9，…；
(2)9，6，3，0，-3，…；
(3)1，3，4，5，6，…；
(4)7，7，7，7，7，…；
(5)1，，，，，….
反思感悟　利用定義法判斷等差數列：從第2項起，檢驗每一項與它的前一項的差是否都等于同一個常數，若是同一個常數，則是等差數列，否則不是等差數列.
跟蹤訓練1　(多選)下列數列是等差數列的是(　　)
A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16
C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2
二、等差中項
問題2　由等差數列的定義可知，如果1，x，3這三個數是等差數列，你能求出x的值嗎？
知識梳理
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列.這時，A叫做a與b的　　　　　　，且2A=　　　　　　.
例2　(1)若a=，b=，則a，b的等差中項為(　　)
A. B. C. D.
(2)在-1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，求此數列.
反思感悟　若a，A，b成等差數列，則A=；反之，由A=也可得到a，A，b成等差數列，所以A是a，b的等差中項 A=.
跟蹤訓練2　已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則2m-n和2n-m的等差中項是(　　)
A.8 B.6 C.4.5 D.3
三、等差數列的通項公式
問題3　你能根據等差數列的定義推導它的通項公式嗎？
問題4　觀察等差數列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關？
知識梳理
1.首項為a1，公差為d的等差數列｛an｝的通項公式為an=　　　　　　　　.
2.若數列｛an｝是等差數列，首項為a1，公差為d，則an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).
(1)點(n，an)落在直線y=dx+(a1-d)上，這條直線的斜率為　　　　，在y軸上的截距為　　　　　；
(2)這些點的橫坐標每增加1，函數值增加　　　　.
例3　在等差數列｛an｝中，
(1)已知a5=-1，a8=2，求a1與d；
(2)已知a1+a6=12，a4=7，求an.
延伸探究　若等差數列｛an｝的前三項和為24，第二項與第三項之積為40，求數列｛an｝的前三項，并寫出通項公式.
反思感悟　等差數列｛an｝的通項公式an=a1+(n-1)d中共含有四個量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個量，那么就可以求出第四個量，在這四個量中，a1和d是等差數列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解.
跟蹤訓練3　在等差數列｛an｝中，求解下列各題：
(1)已知｛an｝的前3項依次為2，6，10，則a15=　　　　；
(2)已知公差d=-，a7=8，則a1=　　　　；
(3)已知a3=0，a7-2a4=-1，則公差d=　　　　　　　；
(4)等差數列20，17，14，11，…中第一個負數項是第　　　　項.
四、等差數列的判定與證明
問題5　如果一個數列的前有限項是等差數列，那么這個數列是等差數列嗎？
知識梳理
證明或判定等差數列的方法
(1)定義法：an+1-an=d(n∈N*).
(2)等差中項法：2an=an-1+an+1(n≥2).
(3)通項公式法：an=a1+(n-1)d=pn+q(p，q為常數).
例4　已知數列｛an｝滿足a1=2，an+1=.
(1)數列是否為等差數列？說明理由；
(2)求an.
延伸探究　將本例中的條件“a1=2，an+1=”換為“a1=4，an=4-(n>1)，記bn=”.
(1)試證明數列｛bn｝為等差數列；
(2)求數列｛an｝的通項公式.
反思感悟　(1)通項公式法不能作為證明方法.
(2)若an+1-an為常數，則該常數為等差數列｛an｝的公差；若an+1-an=an-an-1(n≥2，n∈N*)成立，則無法確定等差數列｛an｝的公差.
(3)若數列的前有限項成等差數列，則該數列未必是等差數列；而要否定一個數列是等差數列，只要說明其中連續三項不成等差數列即可.
跟蹤訓練4　已知數列｛an｝滿足(an+1-1)·(an-1)=3(an-an+1)，a1=2，令bn=.
(1)證明：數列｛bn｝是等差數列；
(2)求數列｛an｝的通項公式.
1.知識清單：
(1)等差數列的有關概念.
(2)等差數列的通項公式.
(3)等差數列通項公式與函數的關系.
(4)等差數列的判定與證明.
2.方法歸納：列方程組法、迭代法、構造法、定義法.
3.常見誤區：
(1)在具體應用問題中項數不清.
(2)忽略等差數列通項公式與函數關系中d=0的情況.
1.(多選)下列數列中，是等差數列的是(　　)
A.1，4，7，10
B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22
D.10，8，6，4，2
2.已知等差數列｛an｝的前三項分別為a-1，a+1，2a+1，則該數列的通項公式為(　　)
A.an=2n-5 B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
3.若5，x，y，z，21成等差數列，則x+y+z的值為(　　)
A.26 B.29
C.39 D.52
4.寫出一個具有下列性質①②的數列｛an｝的通項公式an=　　　　(①am+n=am+an(m，n∈N*)；②｛an｝單調遞增).
答案精析
問題1　對于(1)，我們發現2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是說該數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數.對于(2)有44-45=-1，43-44=-1，….對于(3)，10-10=0，有同樣的取值規律.
知識梳理
2　差　同一個常數　公差　d
例1　解　(1)是，a1=1，d=2；(2)是，a1=9，d=-3；(3)不是；(4)是，a1=7，d=0；(5)不是.
跟蹤訓練1　ABC
問題2　由定義可知x-1=3-x，
即2x=1+3，x=2.
知識梳理
等差中項　a+b
例2　(1)A　［由題意知a，b的等差中項為×
=×(-++)=.］
(2)解　因為-1，a，b，c，7成等差數列，
所以b是-1與7的等差中項，
則b==3，
又a是-1與3的等差中項，
所以a==1.
又c是3與7的等差中項，
所以c==5.
所以該數列為-1，1，3，5，7.
跟蹤訓練2　D　［∵m+2n=8，
2m+n=10，
∴3m+3n=18，∴m+n=6，
∴2m-n和2n-m的等差中項是
==3.］
問題3　設一個等差數列的首項為a1，公差為d，
由等差數列的定義可知，
an-an-1=d(n≥2)，
思路一：an=an-1+d，
故有a2=a1+d，
a3=a2+d=a1+2d，
a4=a3+d=a1+3d，
…
歸納可得，an=a1+(n-1)d(n≥2).
思路二：a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
…
an-an-1=d，
左右兩邊分別相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2).
問題4　由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，故an是函數f(x)=dx+(a1-d)當x=n時的函數值，即an=f(n)，點(n，an)則是函數f(x)=dx+(a1-d)圖象上的均勻分布的孤立的點，而d是直線f(x)=dx+(a1-d)的斜率，記為d=(n≥2)，實際上，如果已知直線上任意兩點(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d=，公差d的符號決定了數列的單調性，d>0時，數列｛an｝為遞增數列，d=0時，數列｛an｝為常數列，d<0時，數列｛an｝為遞減數列.
知識梳理
1.a1+(n-1)d
2.(1)d　a1-d 　(2)d
例3　解　(1)由題意知
解得
(2)設等差數列｛an｝的公差為d，由題意知
解得
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1，n∈N*.
延伸探究　解　設等差數列｛an｝的公差為d，
由題可得
解得
∴a2=a1+d=8，a3=a1+2d=5.
數列｛an｝的通項公式為
an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14.
跟蹤訓練3　(1)58　(2)10
(3)-　(4)8
解析　(1)由題意得，d=6-2=4，
把a1=2，d=4代入an=a1+(n-1)d，
得an=2+(n-1)×4=4n-2，
∴a15=4×15-2=58.
(2)由a7=a1+6d，得
8=a1+6×，
故a1=10.
(3)設首項為a1，公差為d，
則
解得
(4)∵a1=20，d=-3，
∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n，
∴a7=2>0，a8=-1<0.
∴數列中第一個負數項是第8項.
問題5　不一定，證明一個數列是等差數列，一定要體現出任意性.
例4　解　(1)數列是等差數列，理由如下：
∵a1=2，an+1=，
∴==+，
∴-=，
即數列是首項為=，公差為d=的等差數列.
(2)由(1)可知=+(n-1)d=，
∴an=，n∈N*.
延伸探究　(1)證明　bn+1-bn
=-
=-
=-=
=.
又b1==，
∴數列｛bn｝是首項為，公差為的等差數列.
(2)解　由(1)知
bn=+(n-1)×=.
∵bn=，
∴an=+2=+2.
∴數列｛an｝的通項公式為
an=+2，n∈N*.
跟蹤訓練4　(1)證明　∵-==，
∴bn+1-bn=，又b1==1，
∴｛bn｝是首項為1，公差為的等差數列.
(2)解　由(1)知bn=n+，
∴an-1=，
∴an=，n∈N*.
隨堂演練
1.ABD　2.C　3.C　4.n(答案不唯一)

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