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一、等差與等比數(shù)列的基本運(yùn)算
1.數(shù)列的基本運(yùn)算以小題居多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，求數(shù)列中的項(xiàng)、公差、公比及前n項(xiàng)和等，一般試題難度較小.
2.通過等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
例1　在等比數(shù)列｛an｝中，已知a1=2，a4=16.
（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
（2）若a3，a5分別為等差數(shù)列｛bn｝的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.
解　（1）設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q，
由已知得16=2q3，解得q=2，
所以an=2×2n-1=2n，n∈N*.
（2）由（1）得a3=8，a5=32，則b3=8，b5=32.
設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，
則有
解得
所以bn=-16+12（n-1）=12n-28，n∈N*.
所以數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和
Sn==6n2-22n，n∈N*.
反思感悟　在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d或q，Sn，可以“知三求二”，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好，這樣可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用.
跟蹤訓(xùn)練1　（1）設(shè)數(shù)列｛an｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則+++…+=　　　　.
答案　1 033
解析　∵數(shù)列｛an｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴an=2+×1=n+1，
∵是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴bn=1×2n-1=2n-1，
∴=2n-1+1，
∴+++…+=+10=1 033.
（2）記正項(xiàng)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2a3=S5.
①求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
②已知等比數(shù)列｛bn｝滿足b1=a1，b2=a2，若bm=a782，求數(shù)列｛bn｝的前m項(xiàng)和Tm.
解　①設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，
∵a1=1，a2a3=S5，
∴（1+d）（1+2d）=5+，
解得d=-或d=4.
∵d>0，∴d=4，
∴an=1+4（n-1）=4n-3.
②由①知a2=5，
∴b1=a1=1，b2=a2=5，
∴等比數(shù)列｛bn｝的公比q==5，
∴bn=b1qn-1=5n-1.
由bm=a782，得5m-1=4×782-3，
解得m=6，
∴Tm=T6==3 906.
二、等差、等比數(shù)列的判定
1.判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)，對(duì)給定條件進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵所在，經(jīng)常利用此類方法構(gòu)造等差或等比數(shù)列.
2.通過等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
例2　已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an.設(shè)bn=.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判斷數(shù)列｛bn｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
解　（1）由條件可得an+1=an.
將n=1代入，得a2=4a1=4.
將n=2代入，得a3=3a2=12.
所以b1=1，b2=2，b3=4.
（2）｛bn｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：
由條件可得=，
即bn+1=2bn，又b1=1，
所以｛bn｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.
（3）由（2）可得=2n-1，所以an=n·2n-1，n∈N*.
反思感悟　判斷和證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列的方法
（1）定義法：對(duì)于n≥1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an+1-an為與正整數(shù)n無關(guān)的常數(shù).
（2）中項(xiàng)公式法：①若2an=an-1+an+1（n∈N*，n≥2），則｛an｝為等差數(shù)列.②若=an-1·an+1（n∈N*，n≥2且an≠0），則｛an｝為等比數(shù)列.
（3）通項(xiàng)公式法：an=kn+b（k，b是常數(shù)） ｛an｝是等差數(shù)列；an=c·qn（c，q為非零常數(shù)） ｛an｝是等比數(shù)列.
（4）前n項(xiàng)和公式法：Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)，n∈N*） ｛an｝是等差數(shù)列；Sn=Aqn-A（A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*） ｛an｝是公比不為1的等比數(shù)列.
跟蹤訓(xùn)練2　已知數(shù)列｛an｝滿足a1=，且當(dāng)n>1，n∈N*時(shí)，有=.
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）試問a1a2是否是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說明理由.
（1）證明　當(dāng)n≥2時(shí)，
由=，得an-1-an=4an-1an，
兩邊同除以an-1an，
得-=4.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為=5，公差為d=4的等差數(shù)列.
（2）解　由（1）得=+（n-1）d=4n+1，
所以an=，
所以a1a2=×=，
假設(shè)a1a2是數(shù)列｛an｝中的第t項(xiàng)，
則at==，
解得t=11∈N*，
所以a1a2是數(shù)列｛an｝中的第11項(xiàng).
三、數(shù)列的通項(xiàng)
1.在數(shù)列的考查中經(jīng)常涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.在命題中，多以遞推公式的形式或與Sn的關(guān)系給出條件，然后通過構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式an，題型多以解答題形式出現(xiàn)，難度偏小或中等.
2.通過通項(xiàng)公式的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
例3　在數(shù)列｛an｝中，a1=1，且對(duì)于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an+mn，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
解　對(duì)于任意的m，n∈N*，
都有am+n=am+an+mn，
令m=1，得an+1=an+n+1，
則an+1-an=n+1，
∴a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n，
∴（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=2+3+4+…+n，
即an-a1=2+3+4+…+n，
又a1=1，
∴an=1+2+3+…+n=.
反思感悟　求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法
（1）由Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式：當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，an=Sn-Sn-1；當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1.
（2）累加法：適用形如“an+1-an=f（n）”，
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）.
（3）累乘法：適用于形如“=f（n）”，
an=a1···…·.
（4）構(gòu)造法：①形如“an=kan-1+b（k，b為常數(shù)，k≠0，k≠1，n≥2，n∈N*）”，可令an+t=k（an-1+t），結(jié)合已知條件可得t=，構(gòu)造等比數(shù)列.
②取倒數(shù)法：形如“an=（n≥2，n∈N*，k，m，p均為常數(shù)，m≠0）”，可在等式兩邊取倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為類型①.
跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，且Sn滿足2Sn=（n+1）an，n∈N*.求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
解　當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn=（n+1）an，2Sn-1=nan-1，
兩式相減得，2an=（n+1）an-nan-1，
整理可得=，
而=2，
所以是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列，
故=2，即an=2n，n∈N*.
四、數(shù)列求和
1.數(shù)列求和一直是考查的熱點(diǎn)，在命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn).一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，題型多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.
2.通過數(shù)列求和，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
例4　已知數(shù)列｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a3=7，且a4是a1與a13的等比中項(xiàng).
（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
（2）①bn=；②bn=an+2n；③bn=an·2n.從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
解　（1）∵｛an｝是遞增的等差數(shù)列，∴數(shù)列｛an｝的公差d>0.
由題意得
可得
∴an=3+2（n-1）=2n+1.
（2）選①時(shí)，an+1=2（n+1）+1=2n+3.bn====-（-），∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=-×［（-）+（-）+（-）+…+（-）］=.
選②時(shí)，bn=an+2n=（2n+1）+2n，∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=（3+5+7+…+2n+1）+（21+22+23+…+2n）=+=n2+2n+2n+1-2.
選③時(shí)，bn=an·2n=（2n+1）·2n，∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×21+5×22+7×23+…+（2n+1）·2n，則2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n+1）·2n+1，兩式作差得-Tn=3×21+2×22+2×23+…+2×2n-（2n+1）·2n+1=6+-（2n+1）·2n+1=（-2n+1）·2n+1-2，∴Tn=（2n-1）·2n+1+2.
反思感悟　數(shù)列求和的常用類型
（1）錯(cuò)位相減法：適用于各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列.把Sn=a1+a2+…+an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSn=a1q+a2q+…+anq，兩式錯(cuò)位相減即可求出Sn.
（2）裂項(xiàng)相消法：即將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如（其中｛an｝是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列.
（3）拆項(xiàng)分組法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)（或多項(xiàng)），再重新組合成兩個(gè)（或多個(gè)）簡(jiǎn)單的數(shù)列，最后分別求和.
（4）并項(xiàng)求和法：與拆項(xiàng)分組相反，并項(xiàng)求和是把數(shù)列的兩項(xiàng)（或多項(xiàng)）組合在一起，重新構(gòu)成一個(gè)數(shù)列再求和，一般適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和，注意對(duì)數(shù)列項(xiàng)數(shù)（是奇數(shù)還是偶數(shù)）的討論.
（5）倒序相加法：一般適用于距首末等距離的項(xiàng)之間隱含某種關(guān)系（比如和為定值）的數(shù)列，通常數(shù)列的項(xiàng)數(shù)較多.
跟蹤訓(xùn)練4　在公差不為零的等差數(shù)列｛an｝中，已知其前n項(xiàng)和為Sn，若S8=S5+45，且a4，a7，a12成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an；
（2）當(dāng)bn=時(shí)，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.
解　（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d（d≠0），
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得
S8-S5=a6+a7+a8=3a7=45，
解得a7=15，
又a4，a7，a12成等比數(shù)列，
所以=a4a12=（a7-3d）（a7+5d），
整理得2da7=15d2，
因?yàn)閐≠0，a7=15，
所以d=2，
所以an=a7+（n-7）d=2n+1.
（2）由（1）可得a1=3，
則Sn==n（n+2），
所以bn==
=，
所以Tn=
=
=-.
五、數(shù)列的綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問題
1.數(shù)列本身是一類特殊的函數(shù)，高考命題中常將數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合在一起，在知識(shí)的交匯處命題，或與數(shù)陣、點(diǎn)列結(jié)合命題一些創(chuàng)新性問題.同時(shí)，以實(shí)際問題和古代數(shù)學(xué)問題為背景的數(shù)列題也時(shí)有出現(xiàn)，難度中等或以上.
2.通過此類問題，綜合考查抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
例5　我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和（a，b，c，d∈N*），則是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道=2.236 067 …，令<<，則第一次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即<<，記a1=.若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，繼續(xù)使用“調(diào)日法”，將用“調(diào)日法”得到的的一列近似分?jǐn)?shù)記為數(shù)列｛an｝，則a5=　　　　.
答案　
解析　第一次用“調(diào)日法”后得
a1=，<<；
a2==，
則第二次用“調(diào)日法”后得<<；
a3===，
則第三次用“調(diào)日法”后得<<；
a4==，
則第四次用“調(diào)日法”后得<<；
a5==.
反思感悟　此類題目不僅考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)和技能的掌握情況，同時(shí)也考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).
跟蹤訓(xùn)練5　在1，3中間插入二者的乘積，得到1，3，3，稱數(shù)列1，3，3為數(shù)列1，3的第一次擴(kuò)展數(shù)列，數(shù)列1，3，3，9，3為數(shù)列1，3的第二次擴(kuò)展數(shù)列，重復(fù)上述規(guī)則，可得1，x1，x2，…，，3為數(shù)列1，3的第n次擴(kuò)展數(shù)列，令an=log3（1×x1×x2×…××3），則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為　　　　　　　.
答案　an=
解析　因?yàn)閍n=log3（1×x1×x2×…××3），
所以an+1=log3［1·（1·x1）x1（x1x2）x2…（·3）·3］=log3（12·…·32）=3an-1，
所以an+1-=3，
又a1=log3（1×3×3）=2，所以a1-=，
所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以an-=×3n-1=，所以an=.(共47張PPT)
第四章
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章末復(fù)習(xí)課
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一、等差與等比數(shù)列的基本運(yùn)算
二、等差、等比數(shù)列的判定
三、數(shù)列的通項(xiàng)
四、數(shù)列求和
內(nèi)容索引
五、數(shù)列的綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問題
等差與等比數(shù)列的基本運(yùn)算
一
1.數(shù)列的基本運(yùn)算以小題居多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，求數(shù)列中的項(xiàng)、公差、公比及前n項(xiàng)和等，一般試題難度較小.
2.通過等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
　　　在等比數(shù)列{an}中，已知a1=2，a4=16.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；，
例 1
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
由已知得16=2q3，解得q=2，
所以an=2×2n-1=2n，n∈N*.
(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.
由(1)得a3=8，a5=32，則b3=8，b5=32.
設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，
則有 解得
所以bn=-16+12(n-1)=12n-28，n∈N*.
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和
Sn==6n2-22n，n∈N*.
在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d或q，Sn，可以“知三求二”，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好，這樣可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用.
反
思
感
悟
　　　　　(1)設(shè)數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則+++…+=　　　　.
跟蹤訓(xùn)練 1
∵數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴an=2+×1=n+1，
∵是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴bn=1×2n-1=2n-1，
∴=2n-1+1，
∴+++…+=+10=1 033.
1 033
(2)記正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2a3=S5.
①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a1=1，a2a3=S5，
∴(1+d)(1+2d)=5+，
解得d=-或d=4.
∵d>0，∴d=4，
∴an=1+4(n-1)=4n-3.
②已知等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1，b2=a2，若bm=a782，求數(shù)列{bn}的前m項(xiàng)和Tm.
由①知a2=5，
∴b1=a1=1，b2=a2=5，
∴等比數(shù)列{bn}的公比q==5，
∴bn=b1qn-1=5n-1.
由bm=a782，得5m-1=4×782-3，解得m=6，
∴Tm=T6==3 906.
二
等差、等比數(shù)列的判定
1.判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)，對(duì)給定條件進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵所在，經(jīng)常利用此類方法構(gòu)造等差或等比數(shù)列.
2.通過等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=.
(1)求b1，b2，b3；
例 2
由條件可得an+1=an.
將n=1代入，得a2=4a1=4.
將n=2代入，得a3=3a2=12.
所以b1=1，b2=2，b3=4.
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：
由條件可得=，
即bn+1=2bn，又b1=1，
所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.
(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
由(2)可得=2n-1，所以an=n·2n-1，n∈N*.
反
思
感
悟
判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法
(1)定義法：對(duì)于n≥1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an+1-an為與正整數(shù)n無關(guān)的常數(shù).
(2)中項(xiàng)公式法：①若2an=an-1+an+1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列.②若=an-1·an+1(n∈N*，n≥2且an≠0)，則{an}為等比數(shù)列.
反
思
感
悟
(3)通項(xiàng)公式法：an=kn+b(k，b是常數(shù)) {an}是等差數(shù)列；an=c·qn(c，q為非零常數(shù)) {an}是等比數(shù)列.
(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn=An2+Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*) {an}是等差數(shù)列；Sn=Aqn-A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) {an}是公比不為1的等比數(shù)列.
　　　　　已知數(shù)列{an}滿足a1=，且當(dāng)n>1，n∈N*時(shí)，有=.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
跟蹤訓(xùn)練 2
當(dāng)n≥2時(shí)，
由=，得an-1-an=4an-1an，
兩邊同除以an-1an，
得-=4.
所以數(shù)列=5，公差為d=4的等差數(shù)列.
(2)試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說明理由.
由(1)得=+(n-1)d=4n+1，
所以an=，所以a1a2=×=，
假設(shè)a1a2是數(shù)列{an}中的第t項(xiàng)，
則at==，
解得t=11∈N*，
所以a1a2是數(shù)列{an}中的第11項(xiàng).
數(shù)列的通項(xiàng)
三
1.在數(shù)列的考查中經(jīng)常涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.在命題中，多以遞推公式的形式或與Sn的關(guān)系給出條件，然后通過構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式an，題型多以解答題形式出現(xiàn)，難度偏小或中等.
2.通過通項(xiàng)公式的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
在數(shù)列{an}中，a1=1，且對(duì)于任意的m，n∈N*，都有am+n= am+an+mn，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
例 3
對(duì)于任意的m，n∈N*，
都有am+n=am+an+mn，
令m=1，得an+1=an+n+1，
則an+1-an=n+1，
∴a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n，
∴(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+3+4+…+n，
即an-a1=2+3+4+…+n，
又a1=1，
∴an=1+2+3+…+n=.
反
思
感
悟
求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法
(1)由Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式：當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，an=Sn-Sn-1；當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1.
(2)累加法：適用形如“an+1-an=f(n)”，
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1).
(3)累乘法：適用于形如“=f(n)”，an=a1···…·.
反
思
感
悟
(4)構(gòu)造法：①形如“an=kan-1+b(k，b為常數(shù)，k≠0，k≠1，n≥2，n∈N*)”，可令an+t=k(an-1+t)，結(jié)合已知條件可得t=，構(gòu)造等比數(shù)列.
②取倒數(shù)法：形如“an=(n≥2，n∈N*，k，m，p均為常數(shù)，m≠0)”，可在等式兩邊取倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為類型①.
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，且Sn滿足2Sn=(n+1)an，n∈N*.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
跟蹤訓(xùn)練 3
當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn=(n+1)an，2Sn-1=nan-1，
兩式相減得，2an=(n+1)an-nan-1，
整理可得=，而=2，
所以是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列，
故=2，即an=2n，n∈N*.
數(shù)列求和
四
1.數(shù)列求和一直是考查的熱點(diǎn)，在命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn).一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，題型多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.
2.通過數(shù)列求和，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，a3=7，且a4是a1與a13的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
例 4
∵{an}是遞增的等差數(shù)列，∴數(shù)列{an}的公差d>0.
由題意得
可得
∴an=3+2(n-1)=2n+1.
(2)①bn=；②bn=an+2n；③bn=an·2n.從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
選①時(shí)，
an+1=2(n+1)+1=2n+3.bn===
=--)，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=-×[(-)+(-)+(-)+…+(-)]=.
選②時(shí)，
bn=an+2n=(2n+1)+2n，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(3+5+7+…+2n+1)+(21+22+23+…+2n)
=+=n2+2n+2n+1-2.
選③時(shí)，
bn=an·2n=(2n+1)·2n，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)·2n，
則2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)·2n+1，
兩式作差得-Tn=3×21+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)·2n+1
=6+-(2n+1)·2n+1=(-2n+1)·2n+1-2，∴Tn=(2n-1)·2n+1+2.
反
思
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數(shù)列求和的常用類型
(1)錯(cuò)位相減法：適用于各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列.把Sn=a1+a2+…+an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSn=a1q+a2q+…+anq，兩式錯(cuò)位相減即可求出Sn.
(2)裂項(xiàng)相消法：即將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中{an}是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.
反
思
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(3)拆項(xiàng)分組法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))，再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列，最后分別求和.
(4)并項(xiàng)求和法：與拆項(xiàng)分組相反，并項(xiàng)求和是把數(shù)列的兩項(xiàng)(或多項(xiàng))組合在一起，重新構(gòu)成一個(gè)數(shù)列再求和，一般適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和，注意對(duì)數(shù)列項(xiàng)數(shù)(是奇數(shù)還是偶數(shù))的討論.
(5)倒序相加法：一般適用于距首末等距離的項(xiàng)之間隱含某種關(guān)系(比如和為定值)的數(shù)列，通常數(shù)列的項(xiàng)數(shù)較多.
在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，已知其前n項(xiàng)和為Sn，若S8=S5+45，且a4，a7，a12成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
跟蹤訓(xùn)練 4
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得
S8-S5=a6+a7+a8=3a7=45，
解得a7=15，
又a4，a7，a12成等比數(shù)列，
所以=a4a12=(a7-3d)(a7+5d)，
整理得2da7=15d2，
因?yàn)閐≠0，a7=15，所以d=2，
所以an=a7+(n-7)d=2n+1.
(2)當(dāng)bn=時(shí)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
由(1)可得a1=3，
則Sn==n(n+2)，
所以bn==
=，
所以Tn=
==-.
數(shù)列的綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問題
五
1.數(shù)列本身是一類特殊的函數(shù)，高考命題中常將數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合在一起，在知識(shí)的交匯處命題，或與數(shù)陣、點(diǎn)列結(jié)合命題一些創(chuàng)新性問題.同時(shí)，以實(shí)際問題和古代數(shù)學(xué)問題為背景的數(shù)列題也時(shí)有出現(xiàn)，難度中等或以上.
2.通過此類問題，綜合考查抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和(a，b，c，d∈N*)，則是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道=2.236 067 …，令<<，則第一次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即<<，記a1=.若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，繼續(xù)使用“調(diào)日法”，將用“調(diào)日法”得到的的一
列近似分?jǐn)?shù)記為數(shù)列{an}，則a5=　　　　.
例 5
第一次用“調(diào)日法”后得
a1=<<；
a2==，
則第二次用“調(diào)日法”后得<<；
a3===，
則第三次用“調(diào)日法”后得<<；
a4==，
則第四次用“調(diào)日法”后得<<；
a5==.
反
思
感
悟
此類題目不僅考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)和技能的掌握情況，同時(shí)也考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).
在1，3中間插入二者的乘積，得到1，3，3，稱數(shù)列1，3，3為數(shù)列1，3的第一次擴(kuò)展數(shù)列，數(shù)列1，3，3，9，3為數(shù)列1，3的第二次擴(kuò)展數(shù)列，重復(fù)上述規(guī)則，可得1，x1，x2，…，，3為數(shù)列1，3的第n次擴(kuò)展數(shù)列，令an=log3(1×x1×x2×…××3)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為　　　　　.
跟蹤訓(xùn)練 5
an=
因?yàn)閍n=log3(1×x1×x2×…××3)，
所以an+1=log3[1·(1·x1)x1(x1x2)x2…·3)·3]
=log3(12··32)=3an-1，
所以an+1-=3，
又a1=log3(1×3×3)=2，所以a1-=，
所以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以an-=×3n-1=，所以an=.一、等差與等比數(shù)列的基本運(yùn)算
1.數(shù)列的基本運(yùn)算以小題居多，但也可作為解答題第一步命題，主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，求數(shù)列中的項(xiàng)、公差、公比及前n項(xiàng)和等，一般試題難度較小.
2.通過等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
例1　在等比數(shù)列｛an｝中，已知a1=2，a4=16.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列｛bn｝的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.
反思感悟　在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d或q，Sn，可以“知三求二”，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好，這樣可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)數(shù)列｛an｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則+++…+=　　　　　　.
(2)記正項(xiàng)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2a3=S5.
①求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
②已知等比數(shù)列｛bn｝滿足b1=a1，b2=a2，若bm=a782，求數(shù)列｛bn｝的前m項(xiàng)和Tm.
二、等差、等比數(shù)列的判定
1.判斷等差或等比數(shù)列是數(shù)列中的重點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)，對(duì)給定條件進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵所在，經(jīng)常利用此類方法構(gòu)造等差或等比數(shù)列.
2.通過等差、等比數(shù)列的判定與證明，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
例2　已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，nan+1=2(n+1)an.設(shè)bn=.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列｛bn｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(3)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
反思感悟　判斷和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法
(1)定義法：對(duì)于n≥1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an+1-an為與正整數(shù)n無關(guān)的常數(shù).
(2)中項(xiàng)公式法：①若2an=an-1+an+1(n∈N*，n≥2)，則｛an｝為等差數(shù)列.②若=an-1·an+1(n∈N*，n≥2且an≠0)，則｛an｝為等比數(shù)列.
(3)通項(xiàng)公式法：an=kn+b(k，b是常數(shù)) ｛an｝是等差數(shù)列；an=c·qn(c，q為非零常數(shù)) ｛an｝是等比數(shù)列.
(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn=An2+Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*) ｛an｝是等差數(shù)列；Sn=Aqn-A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) ｛an｝是公比不為1的等比數(shù)列.
跟蹤訓(xùn)練2　已知數(shù)列｛an｝滿足a1=，且當(dāng)n>1，n∈N*時(shí)，有=.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)試問a1a2是否是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說明理由.
三、數(shù)列的通項(xiàng)
1.在數(shù)列的考查中經(jīng)常涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.在命題中，多以遞推公式的形式或與Sn的關(guān)系給出條件，然后通過構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式an，題型多以解答題形式出現(xiàn)，難度偏小或中等.
2.通過通項(xiàng)公式的求法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
例3　在數(shù)列｛an｝中，a1=1，且對(duì)于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an+mn，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
反思感悟　求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法
(1)由Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式：當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，an=Sn-Sn-1；當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1.
(2)累加法：適用形如“an+1-an=f(n)”，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1).
(3)累乘法：適用于形如“=f(n)”，an=a1···…·.
(4)構(gòu)造法：①形如“an=kan-1+b(k，b為常數(shù)，k≠0，k≠1，n≥2，n∈N*)”，可令an+t=k(an-1+t)，結(jié)合已知條件可得t=，構(gòu)造等比數(shù)列.
②取倒數(shù)法：形如“an=(n≥2，n∈N*，k，m，p均為常數(shù)，m≠0)”，可在等式兩邊取倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為類型①.
跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，且Sn滿足2Sn=(n+1)an，n∈N*.求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.
四、數(shù)列求和
1.數(shù)列求和一直是考查的熱點(diǎn)，在命題中，多以與不等式的證明或求解相結(jié)合的形式出現(xiàn).一般數(shù)列的求和，主要是將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，題型多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.
2.通過數(shù)列求和，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).
例4　已知數(shù)列｛an｝是遞增的等差數(shù)列，a3=7，且a4是a1與a13的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
(2)①bn=；②bn=an+2n；③bn=an·2n.從上面三個(gè)條件中任選一個(gè)，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
反思感悟　數(shù)列求和的常用類型
(1)錯(cuò)位相減法：適用于各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列.把Sn=a1+a2+…+an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSn=a1q+a2q+…+anq，兩式錯(cuò)位相減即可求出Sn.
(2)裂項(xiàng)相消法：即將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中｛an｝是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.
(3)拆項(xiàng)分組法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))，再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列，最后分別求和.
(4)并項(xiàng)求和法：與拆項(xiàng)分組相反，并項(xiàng)求和是把數(shù)列的兩項(xiàng)(或多項(xiàng))組合在一起，重新構(gòu)成一個(gè)數(shù)列再求和，一般適用于正負(fù)相間排列的數(shù)列求和，注意對(duì)數(shù)列項(xiàng)數(shù)(是奇數(shù)還是偶數(shù))的討論.
(5)倒序相加法
一般適用于距首末等距離的項(xiàng)之間隱含某種關(guān)系(比如和為定值)的數(shù)列，通常數(shù)列的項(xiàng)數(shù)較多.
跟蹤訓(xùn)練4　在公差不為零的等差數(shù)列｛an｝中，已知其前n項(xiàng)和為Sn，若S8=S5+45，且a4，a7，a12成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an；
(2)當(dāng)bn=時(shí)，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.
五、數(shù)列的綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問題
1.數(shù)列本身是一類特殊的函數(shù)，高考命題中常將數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合在一起，在知識(shí)的交匯處命題，或與數(shù)陣、點(diǎn)列結(jié)合命題一些創(chuàng)新性問題.同時(shí)，以實(shí)際問題和古代數(shù)學(xué)問題為背景的數(shù)列題也時(shí)有出現(xiàn)，難度中等或以上.
2.通過此類問題，綜合考查抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
例5　我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和(a，b，c，d∈N*)，則是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道=2.236 067 …，令<<，則第一次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即<<，記a1=.若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，繼續(xù)使用“調(diào)日法”，將用“調(diào)日法”得到的的一列近似分?jǐn)?shù)記為數(shù)列｛an｝，則a5=　　　　　.
反思感悟　此類題目不僅考查學(xué)生對(duì)基本知識(shí)和技能的掌握情況，同時(shí)也考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).
跟蹤訓(xùn)練5　在1，3中間插入二者的乘積，得到1，3，3，稱數(shù)列1，3，3為數(shù)列1，3的第一次擴(kuò)展數(shù)列，數(shù)列1，3，3，9，3為數(shù)列1，3的第二次擴(kuò)展數(shù)列，重復(fù)上述規(guī)則，可得1，x1，x2，…，，3為數(shù)列1，3的第n次擴(kuò)展數(shù)列，令an=log3(1×x1×x2×…××3)，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為　　　　　　　　　　　　　.
答案精析
例1　解　(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q，
由已知得16=2q3，解得q=2，
所以an=2×2n-1=2n，n∈N*.
(2)由(1)得a3=8，a5=32，
則b3=8，b5=32.
設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，
則有
解得
所以bn=-16+12(n-1)=12n-28，n∈N*.
所以數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和
Sn==6n2-22n，n∈N*.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)1 033
解析　∵數(shù)列｛an｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴an=2+×1=n+1，
∵是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴bn=1×2n-1=2n-1，
∴=2n-1+1，
∴+++…+=+10=1 033.
(2)解　①設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，
∵a1=1，a2a3=S5，
∴(1+d)(1+2d)=5+，
解得d=-或d=4.
∵d>0，∴d=4，
∴an=1+4(n-1)=4n-3.
②由①知a2=5，
∴b1=a1=1，b2=a2=5，
∴等比數(shù)列｛bn｝的公比q==5，
∴bn=b1qn-1=5n-1.
由bm=a782，得5m-1=4×782-3，
解得m=6，
∴Tm=T6==3 906.
例2　解　(1)由條件可得
an+1=an.
將n=1代入，得a2=4a1=4.
將n=2代入，得a3=3a2=12.
所以b1=1，b2=2，b3=4.
(2)｛bn｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：
由條件可得=，
即bn+1=2bn，又b1=1，
所以｛bn｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.
(3)由(2)可得=2n-1，
所以an=n·2n-1，n∈N*.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)證明　當(dāng)n≥2時(shí)，
由=，
得an-1-an=4an-1an，
兩邊同除以an-1an，得-=4.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為=5，公差為d=4的等差數(shù)列.
(2)解　由(1)得=+(n-1)d=4n+1，所以an=，
所以a1a2=×=，
假設(shè)a1a2是數(shù)列｛an｝中的第t項(xiàng)，
則at==，
解得t=11∈N*，
所以a1a2是數(shù)列｛an｝中的第11項(xiàng).
例3　解　對(duì)于任意的m，n∈N*，
都有am+n=am+an+mn，
令m=1，得an+1=an+n+1，
則an+1-an=n+1，
∴a2-a1=2，a3-a2=3，…，
an-an-1=n，
∴(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+3+4+…+n，
即an-a1=2+3+4+…+n，
又a1=1，
∴an=1+2+3+…+n=.
跟蹤訓(xùn)練3　解　當(dāng)n≥2時(shí)，
2Sn=(n+1)an，2Sn-1=nan-1，
兩式相減得，2an=(n+1)an-nan-1，
整理可得=，而=2，
所以是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列，故=2，
即an=2n，n∈N*.
例4　解　(1)∵｛an｝是遞增的等差數(shù)列，∴數(shù)列｛an｝的公差d>0.
由題意得
可得
∴an=3+2(n-1)=2n+1.
(2)選①時(shí)，an+1=2(n+1)+1=2n+3.
bn===
=--)，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=-×［(-)+(-)+(-)+…+(-)］
=.
選②時(shí)，bn=an+2n=(2n+1)+2n，∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(3+5+7+…+2n+1)+(21+22+23+…+2n)=+=n2+2n+2n+1-2.
選③時(shí)，bn=an·2n=(2n+1)·2n，∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)·2n，則2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)·2n+1，兩式作差得-Tn=3×21+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)·2n+1=6+-(2n+1)·2n+1=(-2n+1)·2n+1-2，∴Tn=(2n-1)·2n+1+2.
跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d(d≠0)，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得
S8-S5=a6+a7+a8=3a7=45，
解得a7=15，
又a4，a7，a12成等比數(shù)列，
所以=a4a12=(a7-3d)(a7+5d)，
整理得2da7=15d2，
因?yàn)閐≠0，a7=15，
所以d=2，
所以an=a7+(n-7)d=2n+1.
(2)由(1)可得a1=3，
則Sn==n(n+2)，
所以bn==
=，
所以Tn=
=
=-.
例5　
解析　第一次用“調(diào)日法”后得
a1=，<<；
a2==，
則第二次用“調(diào)日法”后得
<<；
a3===，
則第三次用“調(diào)日法”后得
<<；
a4==，
則第四次用“調(diào)日法”后得
<<；
a5==.
跟蹤訓(xùn)練5　an=
解析　因?yàn)閍n=log3(1×x1×x2×…××3)，
所以an+1=log3［1·(1·x1)x1·(x1x2)x2…·3)·3］
=log3(12·…·32)
=3an-1，
所以an+1-=3，
又a1=log3(1×3×3)=2，
所以a1-=，
所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以an-=×3n-1=，
所以an=.

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