資源簡介

(共57張PPT)
第一章 1.1　空間向量及其運算 1.1.1　空間向量及其線性運算
第一課時　空間向量及其線性運算
課標要求
1.經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.
2.經歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程.
3.掌握空間向量的線性運算.
國慶節期間，某游客從上海世博園(O)游覽結束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠(B)游玩，這個過程可以用平面向量來表示.如果游客還要登上東方明珠電視塔頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，那么游客的整個游覽過程又該如何表示呢？這位游客實際發生的位移是什么？又如何表示呢？
引入
課時精練
一、空間向量的概念
二、空間向量的加減運算
三、空間向量的數乘運算
課堂達標
內容索引
空間向量的概念
一
探究1 類比平面向量，給出空間向量的有關概念.
探究2 對比平面向量與空間向量的有關概念，探究二者的異同.
1.空間向量的概念與表示
(1)空間向量的定義：在空間，我們把具有______和______的量叫做空間向量.
(2)空間向量的長度：空間向量的大小叫做向量的______或____.
(3)表示法
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
知識梳理
大小
方向
長度
模
有向線段
|a|
2.特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 規定長度為0的向量叫做________，記為0
單位向量 的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，記為－a
共線(平 行)向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線________________，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規定：零向量與任意向量______，即對于任意向量a，都有0 a
相等向量 方向 且模 的向量稱為相等向量.在空間， 且 的有向線段表示同一向量或相等向量
零向量
模為1
相等
相反
互相平行或重合
∥
平行
相同
相等
同向
等長
溫馨提示
(1)單位向量、零向量都只規定了向量的大小而沒有規定方向，單位向量有無數多個，它們的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
(2)兩個空間向量相等，則它們的方向相同，模相等，但起點和終點未必相同.
(3)空間兩向量不能比較大小.
例1
√
A中，向量a，b平行，則a，b所在的直線平行或重合；
B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；
C中，向量不能比較大小，故選D.
√
A為假命題，根據向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；
√
C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；
D為假命題，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以選BC.
空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關概念，如向量的模、相等向量、平行(共線)向量、相反向量、零向量與單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念.
思維升華
(鏈接教材P9復習鞏固1)如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，
訓練1
空間向量的加減運算
二
探究3 類比平面向量的加減運算，給出空間向量的加減運算及運算律.
知識梳理
加法 運算 三角形 法則 語言敘述 首尾______相接，首指向尾為和
圖形敘述
平行四邊 形法則 語言敘述 共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和
圖形敘述
順次
減法運算 三角形法則 語言敘述 共起點，連______，方向指向______向量
圖形敘述
加法運算 交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
終點
被減
溫馨提示
例2
√
√
法一(轉化為加法運算)
0
思維升華
空間向量加、減法運算的兩個技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果.
如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F，G分別是
BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標出化簡結果.
訓練2
空間向量的數乘運算
三
探究4 類比平面向量的數乘運算，探究空間向量的數乘運算.
知識梳理
定義 與平面向量一樣，實數λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數乘
幾何意義 λ＞0 λa與向量a的方向______ λa的長度是a的長度的____倍
λ＜0 λa與向量a的方向______
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
運算律　 結合律 λ(μa)＝_______
分配律 (λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝_________
相同
相反
|λ|
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
溫馨提示
(1)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度.
(2)向量λa與向量a一定是共線向量.
例3
∵P是C1D1的中點，
(2)∵N是BC的中點，
思維升華
利用數乘運算進行向量表示的技巧
(1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量.
(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質.
訓練3
－1
【課堂達標】
1.(多選)下列命題中，真命題是
A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小
B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共線的單位向量都相等
√
容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量.
√
√
√
【課時精練】
一、基礎鞏固
√
1.下列命題中為真命題的是
對于選項B，其終點構成一個球面；
對于選項C，空間非零向量能用空間中的一條有向線段表示，但不能說向量就是有向線段；
對于選項D，向量a與向量b不相等，有可能它們的模相等，但方向不同，故選A.
√
√
√
√
√
4.某市119指揮中心接群眾報警稱：位于C處的某建筑工地塔吊上D處有一建筑工人突發疾病，急需救援.指揮中心馬上指示位于A處的市消防隊就近出警，3名消防員立即乘車到達B處，馬上下車跑步到達C處，再攀爬到塔吊上D處救下發病工人，則在這個救援過程中消防員運動的位移用向量表示為
√
√
對于B，由向量的平行四邊形法則和三角形法則，
b－a－c
1
9.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中點.化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：
∵F是正方形CDD1C1的中心，
基礎鞏固
√
11.(多選)空間四邊形ABCD中，若E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊的中點，則下列各式中成立的是
易知四邊形EFGH為平行四邊形，
二、綜合運用
√
√
如圖，
13.如圖，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面體.
如圖，
取AA′的中點E，在D′C′上取一點F，使D′F＝2FC′，連接EF，
14.如圖，在空間四邊形SABC中，AC，BS為其對角線，O為△ABC的重心.
三、創新拓展1.1.1　空間向量及其線性運算
第一課時　空間向量及其線性運算
課標要求　1.經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念. 2.經歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程. 3.掌握空間向量的線性運算.
【引入】 國慶節期間，某游客從上海世博園(O)游覽結束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠(B)游玩，這個過程可以用平面向量來表示.如果游客還要登上東方明珠電視塔頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，那么游客的整個游覽過程又該如何表示呢？這位游客實際發生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空間向量的概念
探究1 類比平面向量，給出空間向量的有關概念.
探究2 對比平面向量與空間向量的有關概念，探究二者的異同.
【知識梳理】
1.空間向量的概念與表示
(1)空間向量的定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.
(2)空間向量的長度：空間向量的大小叫做向量的長度或模.
(3)表示法
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
②幾何表示法：空間向量用有向線段表示.若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作，其模記為|a|或||.
2.特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 規定長度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量 模為1的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為－a
共線(平行)向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量
溫馨提示　(1)單位向量、零向量都只規定了向量的大小而沒有規定方向，單位向量有無數多個，它們的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
(2)兩個空間向量相等，則它們的方向相同，模相等，但起點和終點未必相同.
(3)空間兩向量不能比較大小.
例1 (1)下列關于空間向量的說法中正確的是(　　)
A.若向量a，b平行，則a，b所在的直線平行
B.若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反
C.若向量，滿足||>||，則>
D.相等向量其方向必相同
(2)(多選)下列命題為真命題的是(　　)
A.若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b
B.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p
D.空間中任意兩個單位向量必相等
答案　(1)D　(2)BC
解析　(1)A中，向量a，b平行，則a，b所在的直線平行或重合；
B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；
C中，向量不能比較大小，故選D.
(2)A為假命題，根據向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；
B為真命題，與的方向相同，模也相等，故＝；
C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；
D為假命題，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以選BC.
思維升華　空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關概念，如向量的模、相等向量、平行(共線)向量、相反向量、零向量與單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念.
訓練1 (鏈接教材P9復習鞏固1)如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，
(1)試寫出與相等的所有向量；
(2)試寫出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
解　(1)與向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3個.
(2)向量的相反向量為，，，.
(3)AC＝AC2＋CC＝AB2＋BC2＋CC＝9，
故||＝AC1＝3.
二、空間向量的加減運算
探究3 類比平面向量的加減運算，給出空間向量的加減運算及運算律.
【知識梳理】
加法運算 三角形法則 語言敘述 首尾順次相接，首指向尾為和
圖形敘述
平行四邊形法則 語言敘述 共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和
圖形敘述
減法運算 三角形法則 語言敘述 共起點，連終點，方向指向被減向量
圖形敘述
加法運算 交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
溫馨提示　(1)求向量的和時，可以首尾相接(三角形法則)，也可以共起點(平行四邊形法則)；求向量的差時，可以共起點或共終點(三角形法則).
(2)空間向量加減運算的運算法則，所滿足的運算律與平面向量完全相同.
(3)若首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則＋＋…＋An－1An＝或＋＋…＋＝0.
例2 (1)(鏈接教材P5練習2)(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運算結果為的是(　　)
A.－－ 　　　 B.＋－
C.－－ 　　　 D.－＋
(2)化簡(－)－(－)＝______.
答案　(1)AB　(2)0
解析　(1)A中，－－＝－＝；
B中，＋－＝＋＝；
C中，－－＝－＝－＝≠；
D中，－＋＝＋＋＝＋≠.故選AB.
(2)法一(轉化為加法運算)
(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
法二(轉化為減法運算)
(－)－(－)＝(－)＋(－)＝＋＝0.
思維升華　空間向量加、減法運算的兩個技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果.
訓練2 如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標出化簡結果.
(1)＋－；
(2)－－.
解　(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如圖中向量.
(2)－－＝＋＋＝＋＝，如圖中向量.
三、空間向量的數乘運算
探究4 類比平面向量的數乘運算，探究空間向量的數乘運算.
【知識梳理】
定義 與平面向量一樣，實數λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數乘
幾何意義 λ＞0 λa與向量a的方向相同 λa的長度是a的長度的|λ|倍
λ＜0 λa與向量a的方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
運算律　 結合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
溫馨提示　(1)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度.
(2)向量λa與向量a一定是共線向量.
例3 (鏈接教材P5練習4)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
解　(1)∵P是C1D1的中點，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中點，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中點，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
思維升華　利用數乘運算進行向量表示的技巧
(1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量.
(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質.
訓練3 如圖，設O為 ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若＝＋x＋y，則x＋y＝________.
答案　－1
解析　∵＝－＋＝－＋(＋)＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)
＝－＋＋，
又＝＋x＋y，
∴x＝，y＝－，故x＋y＝－1.
【課堂達標】
1.(多選)下列命題中，真命題是(　　)
A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小
B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共線的單位向量都相等
答案　ABC
解析　容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量.
2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，則＝(　　)
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b－c D.a－b－c
答案　A
解析　＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
3.化簡：＋－＝________.
答案　
解析　＋－＝－＋＝(＋)＋＝＋＝.
4.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點，若＝a，＝b，＝c，則＝________(用a，b，c表示).
答案　a－b＋c
解析　＝(＋)
＝(－b＋＋)
＝－b＋(－＋－)
＝－b＋(a＋c－2b)
＝a－b＋c.
一、基礎鞏固
1.下列命題中為真命題的是(　　)
A.向量與的長度相等
B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C.空間非零向量就是空間中的一條有向線段
D.不相等的兩個空間向量的模必不相等
答案　A
解析　對于選項B，其終點構成一個球面；
對于選項C，空間非零向量能用空間中的一條有向線段表示，但不能說向量就是有向線段；
對于選項D，向量a與向量b不相等，有可能它們的模相等，但方向不同，故選A.
2.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的運算結果為向量的是(　　)
A.(＋)＋
B.(＋)＋
C.(－)－
D.(＋)＋
答案　ABD
解析　根據空間向量的加法法則及正方體的性質，逐一判斷可知A，B，D的運算結果都為，而C中，(－)－＝－＝，故選ABD.
3.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，則下列向量相等的是(　　)
A.與
B.與
C.與
D.與
答案　D
解析　∵＝，
∴||＝||，AB∥DC，
即四邊形ABCD為平行四邊形，由平行四邊形的性質知，＝.故應選D.
4.某市119指揮中心接群眾報警稱：位于C處的某建筑工地塔吊上D處有一建筑工人突發疾病，急需救援.指揮中心馬上指示位于A處的市消防隊就近出警，3名消防員立即乘車到達B處，馬上下車跑步到達C處，再攀爬到塔吊上D處救下發病工人，則在這個救援過程中消防員運動的位移用向量表示為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由消防員的運動過程知＋＋＝.
5.(多選)如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，＝，設＝a，＝b，＝c，則下列等式成立的是(　　)
A.＝b－c
B.＝b＋c－a
C.＝b－c－a
D.＝a＋b＋c
答案　BD
解析　由已知分析各選項：對于A，由向量的平行四邊形法則，得＝＋＝b＋c，故A錯誤；
對于B，由向量的平行四邊形法則和三角形法則，
得＝－＝－
＝－＝＋－＝b＋c－a，故B正確；
對于C，因為點P在線段AN上，且AP＝3PN，
所以＝＝b＋c－a，
所以＝＝b＋c－a，故C錯誤；
對于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，故D正確.故選BD.
6.設A，B，C，D為空間任意四點，則－＋＝________.
答案　
解析　－＋＝＋＋＝.
7.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則等于________(用a，b，c表示).
答案　b－a－c
解析　∵＝－＝(－)－，＝＝c，
∴＝b－a－c.
8.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，則x＝________，y＝________.
答案　1　
解析　因為＝＋＝＋＝＋(＋)，
且＝x＋y(＋)，
所以x＝1，y＝.
9.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中點.化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解　(1)＋＝.
(2)因為M是BB1的中點，
所以＝.
又＝，
所以＋＋
＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如圖所示.
10.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點F是側面CDD1C1的中心，若＝＋x＋y，求x，y的值.
解　∵F是正方形CDD1C1的中心，
∴＝＝(＋)
＝(＋)，
∴＝＋＝＋＋.
又∵＝＋x＋y，
∴x＝，y＝.
二、綜合運用
11.(多選)空間四邊形ABCD中，若E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊的中點，則下列各式中成立的是(　　)
A.＋＋＋＝0
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＋＝2
D.－＋＋＝
答案　BCD
解析　易知四邊形EFGH為平行四邊形，
所以＋＋＋＝＋＋＝＋＝，故A不成立；
＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0，故B成立；
＋＋＋＝＋＋＝＋＝2，故C成立；
－＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝，故D成立.
12.在正方體ABCD A1B1C1D1中，已知＝a，＝b，＝c，O為底面ABCD的中心，G為△D1C1O的重心，則＝________(用a，b，c表示).
答案　b＋c－a
解析　如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，
＝a，＝b，＝c，
O為底面ABCD的中心，G為△D1C1O的重心，
∴＝＋＝(＋)＋(＋)＝(b＋c)＋[(＋)＋(＋)]＝(b＋c)＋
＝(b＋c)＋(－b＋c)－a＋(b＋c)－a＝b＋c－a.
13.如圖，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面體.
(1)化簡＋＋，并在圖中標出其結果；
(2)設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC′B′對角線BC′上靠近C′的分點，設＝α＋β＋γ，試求α，β，γ的值.
解　(1)如圖，取AA′的中點E，在D′C′上取一點F，使D′F＝2FC′，連接EF，
則＝＋＋＝＋＋.
(2)因為＝＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋，
且＝α＋β＋γ，
所以α＝，β＝，γ＝.
三、創新拓展
14.如圖，在空間四邊形SABC中，AC，BS為其對角線，O為△ABC的重心.
(1)求證：＋＋＝0；
(2)化簡：＋－－.
(1)證明　＝－(＋)，①
＝－(＋)，②
＝－(＋)，③
由①＋②＋③得＋＋＝0.
(2)解　因為＝×(＋)
＝(＋)，
所以＋－－
＝(－)＋(－)－×(＋)＝＋(－)－(＋)＝0.1.1.1　空間向量及其線性運算
第一課時　空間向量及其線性運算
課標要求　1.經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念. 2.經歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程. 3.掌握空間向量的線性運算.
【引入】 國慶節期間，某游客從上海世博園(O)游覽結束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達東方明珠(B)游玩，這個過程可以用平面向量來表示.如果游客還要登上東方明珠電視塔頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，那么游客的整個游覽過程又該如何表示呢？這位游客實際發生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空間向量的概念
探究1 類比平面向量，給出空間向量的有關概念.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 對比平面向量與空間向量的有關概念，探究二者的異同.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.空間向量的概念與表示
(1)空間向量的定義：在空間，我們把具有________和________的量叫做空間向量.
(2)空間向量的長度：空間向量的大小叫做向量的________或________.
(3)表示法
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；
②幾何表示法：空間向量用____________表示.若向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可以記作________，其模記為________或________.
2.特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 規定長度為0的向量叫做________，記為0
單位向量 ________的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度________而方向________的向量，叫做a的相反向量，記為－a
共線(平行)向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線________________，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規定：零向量與任意向量________，即對于任意向量a，都有0________a
相等向量 方向________且模________的向量稱為相等向量.在空間，________且________的有向線段表示同一向量或相等向量
溫馨提示　(1)單位向量、零向量都只規定了向量的大小而沒有規定方向，單位向量有無數多個，它們的方向并不一定相同，故不一定相等，而零向量的方向是任意的，且所有的零向量都相等.
(2)兩個空間向量相等，則它們的方向相同，模相等，但起點和終點未必相同.
(3)空間兩向量不能比較大小.
例1 (1)下列關于空間向量的說法中正確的是(　　)
A.若向量a，b平行，則a，b所在的直線平行
B.若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反
C.若向量，滿足||>||，則>
D.相等向量其方向必相同
(2)(多選)下列命題為真命題的是(　　)
A.若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b
B.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p
D.空間中任意兩個單位向量必相等
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關概念，如向量的模、相等向量、平行(共線)向量、相反向量、零向量與單位向量等都可以拓展為空間向量的相關概念.
訓練1 (鏈接教材P9復習鞏固1)如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，
(1)試寫出與相等的所有向量；
(2)試寫出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空間向量的加減運算
探究3 類比平面向量的加減運算，給出空間向量的加減運算及運算律.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
加法運算 三角形法則 語言敘述 首尾________相接，首指向尾為和
圖形敘述
平行四邊形法則 語言敘述 共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和
圖形敘述
減法運算 三角形法則 語言敘述 共起點，連________，方向指向________向量
圖形敘述
加法 交換律 a＋b＝b＋a
運算 結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
溫馨提示　(1)求向量的和時，可以首尾相接(三角形法則)，也可以共起點(平行四邊形法則)；求向量的差時，可以共起點或共終點(三角形法則).
(2)空間向量加減運算的運算法則，所滿足的運算律與平面向量完全相同.
(3)若首尾相接的若干向量構成一個封閉圖形，則＋＋…＋＝或＋＋…＋＝0.
例2 (1)(鏈接教材P5練習2)(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式運算結果為的是(　　)
A.－－ B.＋－
C.－－ D.－＋
(2)化簡(－)－(－)＝______.
思維升華　空間向量加、減法運算的兩個技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果.
訓練2 如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標出化簡結果.
(1)＋－；(2)－－.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、空間向量的數乘運算
探究4 類比平面向量的數乘運算，探究空間向量的數乘運算.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
定義 與平面向量一樣，實數λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數乘
幾何意義 λ＞0 λa與向量a的方向____ λa的長度是a的長度的______倍
λ＜0 λa與向量a的方向____
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
運算律 結合律 λ(μa)＝________
分配律 (λ＋μ)a＝________，λ(a＋b)＝________
溫馨提示　(1)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度.
(2)向量λa與向量a一定是共線向量.
例3 (鏈接教材P5練習4)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　利用數乘運算進行向量表示的技巧
(1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量.
(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質.
訓練3 如圖，設O為 ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若＝＋x＋y，則x＋y＝________.
【課堂達標】
1.(多選)下列命題中，真命題是(　　)
A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小
B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共線的單位向量都相等
2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，則＝(　　)
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C.a＋b－c D.a－b－c
3.化簡：＋－＝________.
4.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD的中點，若＝a，＝b，＝c，則＝________(用a，b，c表示).
：完成課時精練1

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