資源簡介

(共61張PPT)
第一章 1.1　空間向量及其運算 1.1.1　空間向量及其線性運算
第二課時　共線向量與共面向量
課標要求
1.理解向量共線、向量共面的定義.
2.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件，會證明空間三點共線、四點共面.
我們知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移動，平面內兩個向量若方向相同或相反，就說它們是共線的，那么在空間內向量共線又是怎樣的呢？今天我們就來探究一下.
引入
課時精練
一、空間向量共線的充要條件
二、空間向量共面的充要條件
三、空間向量共面的充要條件的變形應用
課堂達標
內容索引
空間向量共線的充要條件
一
探究1 平面向量共線的充要條件是什么？該充要條件是否適用于空間向量？
提示　已知兩個平面向量a，b(b≠0)，則a∥b?存在實數λ，使a＝λb.
由于空間向量共線與平面向量共線的定義相同，因此該充要條件也適用于空間向量.
1.空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使__________.
知識梳理
a＝λb
2.直線的方向向量
方向向量
溫馨提示
(1)向量a，b共線時，表示向量a，b的有向線段不一定在同一條直線上.
(2)因為零向量0＝0·a，所以零向量和空間任一向量a是共線(平行)向量，這一性質使共線向量不具有傳遞性，即若a∥b，b∥c，則a∥c不一定成立.
因為當b＝0時，a∥0，0∥c，但a與c不一定共線.
例1
法一　∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
是
法二　∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
1
所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
思維升華
訓練1
∵E，H分別是AB，AD的中點，
空間向量共面的充要條件
二
探究2 由于向量可以平移，所以任意兩個向量共面，探究任意三個向量是否共面？
探究3 對兩個不共線的空間向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關系時，p＝xa＋yb
提示　向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對
(x，y)，使p＝xa＋yb.
知識梳理
平行于平面α
在平面α內
2.共面向量
定義 平行于同一個平面的向量
三個向量共 面的充要條件 向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在______的有序實數對(x，y)，使________________
唯一
p＝xa＋yb
溫馨提示
向量p與a，b共面的充要條件是在向量a與b不共線的前提下才成立的，若a與b共線，則不成立.
例2
思維升華
證明空間三向量或四點共面的方法(向量法)
設法證明其中一個向量可以表示成另兩個不共線向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面.
(鏈接教材P5例1)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求證：A1，B，N，M四點共面.
訓練2
空間向量共面的充要條件的變形應用
三
例3
(多選)對空間任一點O和不共線三點A，B，C，能得到P，A，B，C四點共面的是
√
√
思維升華
訓練3
因為M，A，B，C四點共面，
√
【課堂達標】
√
由a與b共線，知存在實數k，使a＝kb，
√
由向量共面定理可知，三個向量a，b，2a－b為共面向量.
2.對于空間的任意三個向量a，b，2a－b，它們一定是
A.共面向量 　　 B.共線向量
C.不共面向量 　　 D.既不共線也不共面的向量
－3
因為點P與A，B，C三點共面，
【課時精練】
一、基礎鞏固
√
1.下列命題中正確的是
A中，若b＝0，則a與c不一定共線，故A錯誤；
B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段
所在的直線不一定共面，故B錯誤；
√
√
3.在下列條件中，使點M與點A，B，C一定共面的是
√
4.(多選)在以下命題中，不正確的命題是
√
√
√
－8
設G是AC的中點，連接EG，FG(圖略)，
平行
8.有下列命題：
②③④
9.已知A，B，M三點不共線，對于平面ABM外的任意一點O，確定在下列條件下，點P是否與A，B，M一定共面.
連接AC，如圖.
∵N是BD的中點，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴N為AC的中點.
又M是AD1的中點，
√
二、綜合運用
12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋
λk，若a，b，c三個向量共面，則實數λ＝________.
∵a，b，c三向量共面，∴存在實數m，n，使得c＝ma＋nb，
即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)
＝(2m－n)i＋(－m＋4n)j＋(3m－2n)k.
因為i，j，k是不共面向量，
三、創新拓展
(充分性)∵α＋β＋γ＋δ＝0，
∴δ＝－(α＋β＋γ)，
∴αa＋βb＋γc＋δd＝αa＋βb＋γc－(α＋β＋γ)d＝0，
即α(a－d)＋β(b－d)＋γ(c－d)＝0.
又α，β，γ是不全為零的實數，不妨設γ≠0，
∴(x＋y－1)a－xb－yc＋d＝0.
令α＝x＋y－1，β＝－x，γ＝－y，δ＝1，
則αa＋βb＋γc＋δd＝0，且α＋β＋γ＋δ＝0.第二課時　共線向量與共面向量
課標要求　1.理解向量共線、向量共面的定義. 2.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件，會證明空間三點共線、四點共面.
【引入】 我們知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移動，平面內兩個向量若方向相同或相反，就說它們是共線的，那么在空間內向量共線又是怎樣的呢？今天我們就來探究一下.
一、空間向量共線的充要條件
探究1 平面向量共線的充要條件是什么？該充要條件是否適用于空間向量？
提示　已知兩個平面向量a，b(b≠0)，則a∥b 存在實數λ，使a＝λb.
由于空間向量共線與平面向量共線的定義相同，因此該充要條件也適用于空間向量.
【知識梳理】
1.空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.
2.直線的方向向量
如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，可知＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.直線可以由其上一點和它的方向向量確定.
溫馨提示　(1)向量a，b共線時，表示向量a，b的有向線段不一定在同一條直線上.
(2)因為零向量0＝0·a，所以零向量和空間任一向量a是共線(平行)向量，這一性質使共線向量不具有傳遞性，即若a∥b，b∥c，則a∥c不一定成立.因為當b＝0時，a∥0，0∥c，但a與c不一定共線.
例1 (1)如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，則與是否共線？________(填“是”或“否”).
(2)已知A，B，C三點共線，O為直線外空間任意一點，若＝m＋n，則m＋n＝________.
答案　(1)是　(2)1
解析　(1)法一　∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴＝＋＋
＝＋＋.①
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，②
①＋②得2＝，
∴∥，即與共線.
法二　∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴＝－＝(＋)－
＝(＋)－(＋)
＝(－)＝(－)＝.
∴∥，即與共線.
(2)由于A，B，C三點共線，所以存在實數λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，
所以＝(1－λ)＋λ，
所以m＝1－λ，n＝λ，
所以m＋n＝1.
思維升華　1.判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數λ，使a＝λb成立，或充分利用空間向量的運算法則，結合具體圖形通過化簡，計算得出a＝λb，從而得到a∥b.
2.證明三點共線的方法
(1)若＝λ，則P，A，B三點共線.
(2)對空間任意一點，若＝x＋y且x＋y＝1，則P，A，B三點共線.
訓練1 如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的點，且＝，＝.求證：四邊形EFGH是梯形.
證明　∵E，H分別是AB，AD的中點，
∴＝，＝，
則＝－＝－＝
＝(－)＝
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直線EH上，∴四邊形EFGH是梯形.
二、空間向量共面的充要條件
探究2 由于向量可以平移，所以任意兩個向量共面，探究任意三個向量是否共面？
提示　不一定，如圖所示，，，三個向量不共面，但，，三個向量共面.
探究3 對兩個不共線的空間向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關系時，p＝xa＋yb
提示　向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
【知識梳理】
1.向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在的直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.
2.共面向量
定義 平行于同一個平面的向量
三個向量共面的充要條件 向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb
溫馨提示　向量p與a，b共面的充要條件是在向量a與b不共線的前提下才成立的，若a與b共線，則不成立.
例2 如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求證：向量，，共面.
證明　因為M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋
＝(＋)＋＋(＋)
＝＋＝＋.
又與不共線，根據向量共面的充要條件可知，，共面.
思維升華　證明空間三向量或四點共面的方法(向量法)
設法證明其中一個向量可以表示成另兩個不共線向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面.
訓練2 (鏈接教材P5例1)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求證：A1，B，N，M四點共面.
證明　設＝ a，＝ b，＝ c，
則＝b－a，
∵M為線段DD1的中點，
∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2∶1，
∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋(c－a)
＝＋，
∴，，為共面向量.
又∵三向量有相同的起點A1，
∴A1，B，N，M四點共面.
三、空間向量共面的充要條件的變形應用
探究4 對于不共線的三點A，B，C和平面ABC外的一點O，空間一點P滿足關系式＝x＋y＋z，則點P在平面ABC內的充要條件是什么？
提示　x＋y＋z＝1.
證明如下：
(1)充分性
∵＝x＋y＋z
可變形為＝(1－y－z)＋y＋z，
∴－＝y(－)＋z(－)，
∴＝y＋z，
∴點P與A，B，C共面.
(2)必要性
∵點P在平面ABC內，不共線的三點A，B，C，
∴存在有序實數對(m，n)使＝m＋n，－＝m(－)＋n(－)，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵點O在平面ABC外，
∴，，不共面，
又∵＝x＋y＋z，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
例3 (多選)對空間任一點O和不共線三點A，B，C，能得到P，A，B，C四點共面的是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝2－－
答案　BC
解析　法一　A中，＝＋＋，不能轉化成＝x＋y的形式，所以A項不正確.
B中，∵＝＋＋，
∴3＝＋＋，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋，
∴＝－－，
∴P，A，B，C四點共面.故B項正確.
C中，＝＋＋
＝＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋.
由共面的充要條件知P，A，B，C四點共面，故C正確.
D中，＝2－－，無法轉化成＝x＋y的形式，所以D項不正確.故選BC.
法二　點P與點A，B，C共面時，對空間任意一點O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判斷出只有選項B，C符合要求，故選BC.
思維升華　向量共面的判定及應用
(1)證明三個向量共面(或四點共面)時，可以通過以下幾個條件進行證明.
①＝x＋y；
②對于空間任意一點O，＝＋x＋y；
③對于空間任意一點O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
④∥(或∥或∥).
(2)若已知點P在平面ABC內，則有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數.
訓練3 在四面體OABC中，空間中的一點M滿足＝＋＋λ，若M，A，B，C四點共面，則λ＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因為M，A，B，C四點共面，
所以＋＋λ＝1，
得λ＝，故選A.
【課堂達標】
1.設e1，e2是兩個不共線的向量，且a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，則實數λ＝(　　)
A.－1 B.3 C.－ D.
答案　D
解析　由a與b共線，知存在實數k，使a＝kb，
∴e1＋λe2＝－e2－ke1，即k＝－1，λ＝.
2.對于空間的任意三個向量a，b，2a－b，它們一定是(　　)
A.共面向量
B.共線向量
C.不共面向量
D.既不共線也不共面的向量
答案　A
解析　由向量共面定理可知，三個向量a，b，
2a－b為共面向量.
3.設a，b是空間中兩個不共線的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三點共線，則實數m＝________.
答案　－3
解析　因為＝－2a－b，＝a－2b.
所以＝＋＝－
＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因為A，B，D三點共線，
所以存在實數λ，使得＝λ，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b).
因為a與b不共線，
所以
解得m＝λ＝－3.
4.已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任一點，若由＝＋＋λ確定的一點P與A，B，C三點共面，則λ＝________.
答案　
解析　因為點P與A，B，C三點共面，
所以＋＋λ＝1，解得λ＝.
一、基礎鞏固
1.下列命題中正確的是(　　)
A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線
B.向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面
C.若兩個非零空間向量與滿足＋＝0，則∥
D.若a∥b，則存在唯一的實數λ，使a＝λb
答案　C
解析　A中，若b＝0，則a與c不一定共線，故A錯誤；
B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面，故B錯誤；
C中，∵＋＝0，∴＝－，
∴與共線，故∥，故C正確；
D中，若b＝0，a≠0，則不存在λ，使a＝λb，故D錯誤.
2.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點是(　　)
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
答案　A
解析　∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三點共線.
3.在下列條件中，使點M與點A，B，C一定共面的是(　　)
A.＝3－2－
B.＋＋＋＝0
C.＋＋＝0
D.＝－＋
答案　C
解析　∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴點M與點A，B，C必共面.
4.(多選)在以下命題中，不正確的命題是(　　)
A.已知A，B，C，D是空間任意四點，則＋＋＋＝0
B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件
C.若與共線，則AB與CD所在直線平行
D.對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面
答案　BCD
解析　＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，A正確；
若a，b同向共線，則|a|－|b|<|a＋b|，故B不正確；
由向量平行知C不正確；
D中只有x＋y＋z＝1時，才有P，A，B，C四點共面，故D不正確.故選BCD.
5.已知P為空間中任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且＝－x＋，則實數x的值為(　　)
A. B.－ C. D.－
答案　A
解析　＝－x＋＝－x＋(－)＝－x－.
又∵P是空間任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，
∴－x－＝1，解得x＝.
6.設e1，e2是不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則實數k為________.
答案　－8
解析　因為＝－＝e1－4e2，
＝2e1＋ke2，
又A，B，D三點共線，
由向量共線的充要條件得＝，
所以k＝－8.
7.在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點，則和＋的關系是________(填“平行”“相等”或“相反”).
答案　平行
解析　設G是AC的中點，連接EG，FG(圖略)，則＝＋＝＋
＝(＋)，
所以2＝＋，
從而∥(＋).
8.有下列命題：
①若∥，則A，B，C，D四點共線；
②若∥，則A，B，C三點共線；
③若e1，e2為不共線的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，則a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命題的序號是________.(把所有真命題的序號都填上)
答案　②③④
解析　根據共線向量的定義，若∥，
則AB∥CD或A，B，C，D四點共線，故①錯；
因為∥且，有公共點A，所以②正確；由于a＝4e1－e2＝－4b，所以a∥b.
故③正確；易知④也正確.
9.已知A，B，M三點不共線，對于平面ABM外的任意一點O，確定在下列條件下，點P是否與A，B，M一定共面.
(1)＋＝3－；
(2)＝4－－.
解　(1)∵＋＝3－，
∴＝＋(－)＋(－)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋，
∴，，為共面向量，
又，，過同一點P，
∴P與A，B，M共面.
(2)∵＝4－－，
∴＝2＋(－)＋(－)
＝2＋＋，
根據空間向量共面的充要條件可知，點P位于平面ABM內的充要條件是＝＋x＋y，
∴P與A，B，M不共面.
10.如圖，平行六面體ABCD A1B1C1D1中，M是AD1的中點，N是BD的中點，判斷與是否共線.
解　連接AC，如圖.
∵N是BD的中點，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴N為AC的中點.
又M是AD1的中點，
∴＝－
＝－
＝(－)＝，
∴與共線.
二、綜合運用
11.已知正方體ABCD－A1B1C1D1，P，M為空間任意兩點，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　)
A.在平面BAD1內 B.在平面BA1D內
C.在平面BA1D1內 D.在平面AB1C1內
答案　C
解析　＝＋7＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋＋6－4
＝＋6(－)－4(－)
＝11－6－4，
因為11＋(－6)＋(－4)＝1，
于是M，B，A1，D1四點共面.
12.已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三個向量共面，則實數λ＝________.
答案　
解析　∵a，b，c三向量共面，
∴存在實數m，n，使得c＝ma＋nb，
即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)
＝(2m－n)i＋(－m＋4n)j＋(3m－2n)k.
因為i，j，k是不共面向量，
∴
∴λ＝.
13.如圖所示，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求證：E，F，G，H四點共面.
證明　因為＝＝＝＝k，
所以＝k，＝k，＝k，
＝k.
由于四邊形ABCD是平行四邊形，
所以＝＋.
因此＝－＝k－k＝k
＝k(＋)＝k(－＋－)
＝－＋－＝＋.
由向量共面的充要條件知，，共面，
又，，過同一點E，
從而E，F，G，H四點共面.
三、創新拓展
14.對于空間某一點O，空間四個點A，B，C，D(無三點共線)分別對應著向量a＝，b＝，c＝，d＝.求證：A，B，C，D四點共面的充要條件是存在四個不全為零的實數α，β，γ，δ，使αa＋βb＋γc＋δd＝0，且α＋β＋γ＋δ＝0.
證明　(充分性)∵α＋β＋γ＋δ＝0，
∴δ＝－(α＋β＋γ)，
∴αa＋βb＋γc＋δd
＝αa＋βb＋γc－(α＋β＋γ)d＝0，
即α(a－d)＋β(b－d)＋γ(c－d)＝0.
∵a－d＝，b－d＝，c－d＝，
∴α＋β＋γ＝0.
又α，β，γ是不全為零的實數，不妨設γ≠0，
則＝－－.
∴與，共面，即A，B，C，D四點共面.
(必要性)∵A，B，C，D四點共面，且A，B，C三點不共線，
∴與不共線，
因而存在實數x，y，使＝x＋y，
即d－a＝x(b－a)＋y(c－a)，
∴(x＋y－1)a－xb－yc＋d＝0.
令α＝x＋y－1，β＝－x，γ＝－y，δ＝1，
則αa＋βb＋γc＋δd＝0，且α＋β＋γ＋δ＝0.第二課時　共線向量與共面向量
課標要求　1.理解向量共線、向量共面的定義. 2.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件，會證明空間三點共線、四點共面.
【引入】 我們知道向量是有大小、有方向的量，它可以平行移動，平面內兩個向量若方向相同或相反，就說它們是共線的，那么在空間內向量共線又是怎樣的呢？今天我們就來探究一下.
一、空間向量共線的充要條件
探究1 平面向量共線的充要條件是什么？該充要條件是否適用于空間向量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使________.
2.直線的方向向量
如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，可知＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的____________.直線可以由其上一點和它的方向向量確定.
溫馨提示　(1)向量a，b共線時，表示向量a，b的有向線段不一定在同一條直線上.
(2)因為零向量0＝0·a，所以零向量和空間任一向量a是共線(平行)向量，這一性質使共線向量不具有傳遞性，即若a∥b，b∥c，則a∥c不一定成立.因為當b＝0時，a∥0，0∥c，但a與c不一定共線.
例1 (1)如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，則與是否共線？________(填“是”或“否”).
(2)已知A，B，C三點共線，O為直線外空間任意一點，若＝m＋n，則m＋n＝________.
思維升華　1.判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數λ，使a＝λb成立，或充分利用空間向量的運算法則，結合具體圖形通過化簡，計算得出a＝λb，從而得到a∥b.
2.證明三點共線的方法
(1)若＝λ，則P，A，B三點共線.
(2)對空間任意一點，若＝x＋y且x＋y＝1，則P，A，B三點共線.
訓練1 如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的點，且＝，＝.求證：四邊形EFGH是梯形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空間向量共面的充要條件
探究2 由于向量可以平移，所以任意兩個向量共面，探究任意三個向量是否共面？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 對兩個不共線的空間向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關系時，p＝xa＋yb
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在的直線OA____________或________，那么稱向量a平行于平面α.
2.共面向量
定義 平行于同一個________的向量
三個向量共面的充要條件 向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在________的有序實數對(x，y)，使________
溫馨提示　向量p與a，b共面的充要條件是在向量a與b不共線的前提下才成立的，若a與b共線，則不成立.
例2 如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求證：向量，，共面.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　證明空間三向量或四點共面的方法(向量法)
設法證明其中一個向量可以表示成另兩個不共線向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面.
訓練2 (鏈接教材P5例1)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求證：A1，B，N，M四點共面.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、空間向量共面的充要條件的變形應用
探究4 對于不共線的三點A，B，C和平面ABC外的一點O，空間一點P滿足關系式＝x＋y＋z，則點P在平面ABC內的充要條件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (多選)對空間任一點O和不共線三點A，B，C，能得到P，A，B，C四點共面的是(　　)
A.＝＋＋
B.＝＋＋
C.＝＋＋
D.＝2－－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　向量共面的判定及應用
(1)證明三個向量共面(或四點共面)時，可以通過以下幾個條件進行證明.
①＝x＋y；
②對于空間任意一點O，＝＋x＋y；
③對于空間任意一點O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
④∥(或∥或∥).
(2)若已知點P在平面ABC內，則有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數.
訓練3 在四面體OABC中，空間中的一點M滿足＝＋＋λ，若M，A，B，C四點共面，則λ＝(　　)
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【課堂達標】
1.設e1，e2是兩個不共線的向量，且a＝e1＋λe2與b＝－e2－e1共線，則實數λ＝(　　)
A.－1 B.3
C.－ D.
2.對于空間的任意三個向量a，b，2a－b，它們一定是(　　)
A.共面向量 　　 B.共線向量
C.不共面向量 　　 D.既不共線也不共面的向量
3.設a，b是空間中兩個不共線的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三點共線，則實數m＝________.
4.已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任一點，若由＝＋＋λ確定的一點P與A，B，C三點共面，則λ＝________.
：完成課時精練2

展開更多......

收起↑