資源簡介

(共60張PPT)
第一章 1.1　空間向量及其運算
1.1.2　空間向量的數量積運算
課標要求
1.掌握空間向量的數量積.
2.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.
3.能初步運用數量積解決空間中的垂直、夾角及距離問題.
在平面向量中已經學過兩個平面向量的數量積運算，由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數量積就可以像平面向量那樣來定義了.
引入
課時精練
一、空間向量的夾角
二、空間向量的數量積運算
三、空間向量的數量積在幾何中的應用
課堂達標
內容索引
空間向量的夾角
一
探究1 類比平面向量夾角的相關概念，探究空間向量夾角的概念.
知識梳理
∠AOB
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
⊥
溫馨提示
兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為π.故〈a，b〉＝0或π?a∥b(a，b為非零向量).
例1
連接BD(圖略)，
則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，
AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
1.求兩個空間向量的夾角時，要結合夾角的定義和圖形，以防出錯.
2.對空間任意兩個非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
思維升華
訓練1
√
√
(2)對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
顯然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當a∥b時，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 〈a，b〉＝0.
故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件.
空間向量的數量積運算
二
探究2 回憶平面向量數量積的定義.
探究3 類比平面向量數量積的性質與運算律，探究空間向量數量積的性質與運算律.
知識梳理
1.空間向量的數量積
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝_________________.
(2)性質：①零向量與任意向量的數量積為____；
②當a≠0，b≠0時，a⊥b?a·b＝____；
③a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
(3)運算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
|a||b|cos 〈a，b〉
0
0
2.向量的投影
(2)向量a向直線l投影如圖(2).
溫馨提示
(1)向量a，b的數量積記為a·b，而不能表示為a×b或ab.
(2)向量的數量積的結果為實數，而不是向量，其符號由夾角θ的余弦值的符號決定：θ為銳角時，a·b＞0，但a·b＞0時，θ可能為0；θ為鈍角時，a·b＜0，但a·b＜0時，θ可能為π.
(3)向量數量積的運算不滿足消去律和乘法的結合律，即a·b＝a·c b＝c，
(a·b)·c a·(b·c).
例2
(鏈接教材P9復習鞏固4)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，計算：
思維升華
由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確.
(1)已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________.
訓練2
－13
∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
－1
空間向量的數量積在幾何中的應用
三
例3
(1) (鏈接教材P9練習3)如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱長都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點，則EF的長為________.
(2)已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都等于2，E，F分別為AB，OC的中點，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為________.
(3)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD.
思維升華
思維升華
訓練3
(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為________.
因為OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB.
【課堂達標】
1.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是
√
選項A，D中的向量的夾角為45°，選項B，C中的向量的夾角為135°.
√
√
2.已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a=
√
∵a－b與a垂直，∴(a－b)·a＝0，
4.已知|a|＝1，且a－b與a垂直，a與b的夾角為45°，則|b|＝________.
【課時精練】
一、基礎鞏固
√
√
A，B，C正確；D不正確，因為等式左邊表示與b共線的向量，右邊表示與a共線的向量，兩者方向不一定相同.
2.(多選)下列式子中，正確的有
√
√
√
根據a與2b－a互相垂直，得a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，
解得a·b＝2，
√
4.(多選)已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數量積為零的是
√
√
因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，可得PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，
√
5.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是
∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，
10
∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋2|a||c|·cos〈a，c〉＋2|b||c|·cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，
∴|a＋b＋c|＝10.故答案為10.
a2
9.如圖，在空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC.
如圖所示，連接ON.
設∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
10.如圖，已知一個60°的二面角的棱上有兩點A，B，AC，BD分別是在這兩個面內且垂直于AB的線段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長.
√
11.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列命題正確的是
二、綜合運用
√
如圖所示，
銳角
13.如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點.
(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值.
三、創新拓展
14.如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求證：CC1⊥BD；
若A1C⊥平面C1BD，則A1C⊥BD，A1C⊥DC1.
＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ
＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，
得當|c|＝|a|時，A1C⊥DC1.1.1.2　空間向量的數量積運算
課標要求　1.掌握空間向量的數量積. 2.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義. 3.能初步運用數量積解決空間中的垂直、夾角及距離問題.
【引入】 在平面向量中已經學過兩個平面向量的數量積運算，由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數量積就可以像平面向量那樣來定義了.
一、空間向量的夾角
探究1 類比平面向量夾角的相關概念，探究空間向量夾角的概念.
【知識梳理】
定義 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉
范圍 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b
溫馨提示　兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為π.故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b為非零向量).
例1 如圖，在正方體ABCD A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角.
解　連接BD(圖略)，
則在正方體ABCD A′B′C′D′中，
AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈，〉＝〈，〉＝45°，
〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，
〈，〉＝∠D′AC＝60°，
〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°
＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°.
思維升華　1.求兩個空間向量的夾角時，要結合夾角的定義和圖形，以防出錯.
2.對空間任意兩個非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
訓練1 (1)在正四面體ABCD中，與的夾角等于(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.
(2)顯然〈a，b〉＝0 a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當a∥b時，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b / 〈a，b〉＝0.
故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件.
二、空間向量的數量積運算
探究2 回憶平面向量數量積的定義.
探究3 類比平面向量數量積的性質與運算律，探究空間向量數量積的性質與運算律.
【知識梳理】
1.空間向量的數量積
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉.
(2)性質：①零向量與任意向量的數量積為0；
②當a≠0，b≠0時，a⊥b a·b＝0；
③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2.
(3)運算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2.向量的投影
(1)在空間，向量a向向量b投影：
如圖(1)，先將它們平移到同一平面α內，利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.
(2)向量a向直線l投影如圖(2).
(3)向量a向平面β投影：如圖(3)，分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量.
溫馨提示　(1)向量a，b的數量積記為a·b，而不能表示為a×b或ab.
(2)向量的數量積的結果為實數，而不是向量，其符號由夾角θ的余弦值的符號決定：θ為銳角時，a·b＞0，但a·b＞0時，θ可能為0；θ為鈍角時，a·b＜0，但a·b＜0時，θ可能為π.
(3)向量數量積的運算不滿足消去律和乘法的結合律，即a·b＝a·c b＝c，
(a·b)·c a·(b·c).
例2 (鏈接教材P9復習鞏固4)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，計算：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
解　(1)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1·cos 60°＝，
所以·＝.
(2)·＝·＝||·
||·cos〈，〉＝×1×1·cos 0°＝，
所以·＝.
(3)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1·cos 120°＝－，
所以·＝－.
(4)·＝(＋)·(＋)
＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]
＝×＝－，
所以，·＝－.
思維升華　由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確.
訓練2 (1)已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________.
(2)若a，b，c為空間中兩兩夾角為的單位向量，＝2a－2b，＝b－c，則·＝________.
答案　(1)－13　(2)－1
解析　(1)∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－
＝－13.
(2)由題意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos＝，則·＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2×＝－1.
三、空間向量的數量積在幾何中的應用
例3 (1)(鏈接教材P9練習3)如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱長都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點，則EF的長為________.
(2)已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都等于2，E，F分別為AB，OC的中點，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為________.
答案　(1)　(2)－
解析　(1)設＝a，＝b，＝c.
由題意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因為＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以||＝，即EF＝.
(2)由已知得＝(＋)，
＝－＝－，
因此||＝|＋|
＝＝，
||＝＝＝.
又因為·＝(＋)·＝×2－×2＋×2－2＝－2，
所以cos〈，〉＝＝＝－.
故異面直線OE與BF所成角的余弦值為.
(3)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD.
證明　設＝a，＝b，＝c，
則a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c，
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可證⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，OG 平面GBD，BD 平面GBD，
∴A1O⊥平面GBD.
思維升華　1.求線段長度的步驟如下：
(1)將線段用向量表示；
(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；
(3)利用|a|＝得所求長度.
2.利用數量積求異面直線所成角的方法步驟：
(1)根據題設條件在兩異面直線上取兩個向量；
(2)將求異面直線所成角轉化為求向量的夾角問題；
(3)利用數量積求角的大小.
3.證明線面位置關系：
(1)證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，根據直線的方向向量的數量積為0，證明線線垂直；
(2)證明直線與平面垂直則要利用直線和平面垂直的判定定理轉化為直線和直線垂直證明.
訓練3 (1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為______.
答案　
解析　因為＝＋＋，
所以＝(＋＋)2
＝2＋2＋＋2(·＋·＋·).
因為∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×2·cos 90°＋1×3·cos 60°＋2×3·cos 60°)＝23.
因為＝||2，
所以||2＝23，
則||＝，
即AC1＝.
(2)(鏈接教材P10拓廣探索9)如圖，在空間四邊形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC.
證明　因為OB＝OC，
AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)＝·－·＝||·||cos∠AOC－||·||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
【課堂達標】
1.(多選)如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是(　　)
A.與
B.與
C.與
D.與
答案　AD
解析　選項A，D中的向量的夾角為45°，選項B，C中的向量的夾角為135°.
2.已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a＝(　　)
A.12 B.8＋
C.4 D.13
答案　D
解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×＝13.
3.已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為(　　)
A. B. C.－ D.0
答案　D
解析　·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－||||＝0，
所以⊥，所以cos〈，〉＝0.
4.已知|a|＝1，且a－b與a垂直，a與b的夾角為45°，則|b|＝________.
答案　
解析　∵a－b與a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∴1－|b|×＝0，解得|b|＝.
一、基礎鞏固
1.在正四面體A BCD中，點E，F分別是AC，AD的中點，則與的夾角為(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案　C
解析　由題意，可得＝，
所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉
＝180°－60°＝120°.
2.(多選)下列式子中，正確的有(　　)
A.＝|a|
B.m(λa)·b＝(mλ)a·b
C.a·(b＋c)＝(b＋c)·a
D.a2b＝b2a
答案　ABC
解析　A，B，C正確；D不正確，因為等式左邊表示與b共線的向量，右邊表示與a共線的向量，兩者方向不一定相同.
3.已知向量a，b滿足條件：|a|＝2，|b|＝，且a與2b－a互相垂直，則〈a，b〉等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　B
解析　根據a與2b－a互相垂直，
得a·(2b－a)＝0，即2a·b＝|a|2＝4，
解得a·b＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
又0°≤〈a，b〉≤180°，
∴〈a，b〉＝45°，故選B.
4.(多選)已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數量積為零的是(　　)
A.與　　　　 B.與
C.與 D.與
答案　BCD
解析　因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0；
因為PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
可得PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，
所以AD⊥平面PAB，
又PB 平面PAB，所以AD⊥PB，
故·＝0；
同理·＝0.所以選BCD.
5.如圖，在大小為45°的二面角A EF D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是(　　)
A. B.
C.1 D.
答案　D
解析　∵＝＋＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－.
故||＝.
6.已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，則實數λ等于________.
答案　－
解析　∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ·3×4·cos 135°＋3×4·cos 135°＋λ·16
＝18－12λ－12＋16λ＝6＋4λ，
又m⊥n，∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－.
7.已知空間向量a，b，c中兩兩夾角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，則|a＋b＋c|＝________.
答案　10
解析　∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，
且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，
∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋
2|a||c|·cos〈a，c〉＋2|b||c|·cos〈b，c〉
＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，
∴|a＋b＋c|＝10.故答案為10.
8.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，則·＝________.
答案　a2
解析　如圖，＝－，＝－＝－，
∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2
＝0－0－0＋a2＝a2.
9.如圖，在空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC.
證明　如圖所示，連接ON.
設∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
且＝a，＝b，＝c，則|a|＝|b|＝|c|.
∵＝(＋)＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
10.如圖，已知一個60°的二面角的棱上有兩點A，B，AC，BD分別是在這兩個面內且垂直于AB的線段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長.
解　∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴〈，〉＝120°.
∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，
∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||·
cos〈，〉＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，∴||＝2，故CD的長為2.
二、綜合運用
11.(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列命題正確的是(　　)
A.(＋＋)2＝32
B.·(－)＝0
C.與的夾角為60°
D.正方體的體積為|··|
答案　AB
解析　如圖所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－)＝(＋)·＝·＋·＝0；
與的夾角是與夾角的補角，而與的夾角為60°，
故與的夾角為120°；
正方體的體積為||||||.
綜上可知，AB正確.
12.設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD是______三角形.
答案　銳角
解析　·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，同理，·＞0，·＞0，∴△BCD的三個內角均為銳角.
∴△BCD為銳角三角形.
13.如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點.
(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值.
(1)證明　設＝a，＝b，＝c，
根據題意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.
∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝·
＝－c2＋b2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解　∵＝－a＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|，
∵·＝(－a＋c)·
＝c2＝|a|2，
∴cos〈，〉＝＝.
∴異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.
三、創新拓展
14.如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求證：CC1⊥BD；
(2)當的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.
(1)證明　設＝a，＝b，＝c.
依題意有|a|＝|b|，＝－＝a－b.
設，，的兩兩夾角均為θ，于是·＝c·(a－b)
＝c·a－c·b
＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
∴CC1⊥BD.
(2)解　若A1C⊥平面C1BD，
則A1C⊥BD，A1C⊥DC1.
由·＝(＋)·(－)
＝(a＋b＋c)·(a－c)
＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2
＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ
＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，
得當|c|＝|a|時，A1C⊥DC1.
同理可證，當|a|＝|b|時，A1C⊥BD.
∴當＝1時，A1C⊥平面C1BD.1.1.2　空間向量的數量積運算
課標要求　1.掌握空間向量的數量積. 2.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義. 3.能初步運用數量積解決空間中的垂直、夾角及距離問題.
【引入】 在平面向量中已經學過兩個平面向量的數量積運算，由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數量積就可以像平面向量那樣來定義了.
一、空間向量的夾角
探究1 類比平面向量夾角的相關概念，探究空間向量夾角的概念.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
定義 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則________叫做向量a，b的夾角，記作________
范圍 ________
向量垂直 如果〈a，b〉＝________，那么向量a，b互相垂直，記作a________b
溫馨提示　兩個非零向量才有夾角，當兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為π.故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b為非零向量).
例1 如圖，在正方體ABCD A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.求兩個空間向量的夾角時，要結合夾角的定義和圖形，以防出錯.
2.對空間任意兩個非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；
(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；
(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
訓練1 (1)在正四面體ABCD中，與的夾角等于(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(2)對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空間向量的數量積運算
探究2 回憶平面向量數量積的定義.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 類比平面向量數量積的性質與運算律，探究空間向量數量積的性質與運算律.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.空間向量的數量積
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝________.
(2)性質：①零向量與任意向量的數量積為______；
②當a≠0，b≠0時，a⊥b a·b＝________；
③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2.
(3)運算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2.向量的投影
(1)在空間，向量a向向量b投影：
如圖(1)，先將它們平移到同一平面α內，利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝________________，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.
(2)向量a向直線l投影如圖(2).
(3)向量a向平面β投影：如圖(3)，分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量，向量________稱為向量a在平面β上的投影向量.
溫馨提示　(1)向量a，b的數量積記為a·b，而不能表示為a×b或ab.
(2)向量的數量積的結果為實數，而不是向量，其符號由夾角θ的余弦值的符號決定：θ為銳角時，a·b＞0，但a·b＞0時，θ可能為0；θ為鈍角時，a·b＜0，但a·b＜0時，θ可能為π.
(3)向量數量積的運算不滿足消去律和乘法的結合律，即a·b＝a·cb＝c，(a·b)·ca·(b·c).
例2 (鏈接教材P9復習鞏固4)如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F分別是AB，AD的中點，計算：
(1)·；(2)·；
(3)·；(4)·.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確.
訓練2 (1)已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________.
(2)若a，b，c為空間中兩兩夾角為的單位向量，＝2a－2b，＝b－c，則·＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、空間向量的數量積在幾何中的應用
例3 (1)(鏈接教材P9練習3)如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱長都為2，E，F分別是AB，A1C1的中點，則EF的長為________.
(2)已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都等于2，E，F分別為AB，OC的中點，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為________.
(3)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　1.求線段長度的步驟如下：
(1)將線段用向量表示；
(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；
(3)利用|a|＝得所求長度.
2.利用數量積求異面直線所成角的方法步驟：
(1)根據題設條件在兩異面直線上取兩個向量；
(2)將求異面直線所成角轉化為求向量的夾角問題；
(3)利用數量積求角的大小.
3.證明線面位置關系：
(1)證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，根據直線的方向向量的數量積為0，證明線線垂直；
(2)證明直線與平面垂直則要利用直線和平面垂直的判定定理轉化為直線和直線垂直證明.
訓練3 (1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為________.
(2)(鏈接教材P10拓廣探索9)如圖，在空間四邊形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求證：OA⊥BC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【課堂達標】
1.(多選)如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是(　　)
A.與
B.與
C.與
D.與
2.已知向量a和b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝5，則(2a－b)·a＝(　　)
A.12 B.8＋
C.4 D.13
3.已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為(　　)
A. B.
C.－ D.0
4.已知|a|＝1，且a－b與a垂直，a與b的夾角為45°，則|b|＝________.
：完成課時精練3

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