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第一章 1.2　空間向量基本定理
第一課時(shí)　空間向量基本定理
課標(biāo)要求
1.理解空間向量基本定理及其意義.
2.掌握空間向量的正交分解.
回顧平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其實(shí)質(zhì)就是平面內(nèi)的任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示.那么對(duì)于空間向量，有沒有類似的結(jié)論呢？
引入
課時(shí)精練
一、空間向量基本定理
二、空間向量的正交分解
三、用基底表示空間向量
課堂達(dá)標(biāo)
內(nèi)容索引
空間向量基本定理
一
提示　假設(shè)除(x，y，z)外，還存在有序?qū)崝?shù)組(x′，y′，z′)，
使得p＝x′i＋y′j＋z′k，
則x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨設(shè)x′≠x，
則(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k，
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，這與已知矛盾.
所以x＝x′，同理y＝y(tǒng)′，z＝z′，
所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)是唯一的.
1.空間向量基本定理
知識(shí)梳理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得______________________.
p＝xa＋yb＋zc
2.基底的概念
(1)定義：如果三個(gè)向量a，b，c________，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個(gè)集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)______，a，b，c都叫做基向量.
(2)性質(zhì)：空間任意三個(gè)________的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.
不共面
基底
不共面
溫馨提示
(1)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.
(2)一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量.
(3)若三個(gè)向量不共面，就說明它們都不是零向量.
例1
判斷給出的三個(gè)向量組成的向量組能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷這三個(gè)向量是否共面：
(1)首先應(yīng)考慮三個(gè)向量是否是零向量，其次判斷三個(gè)非零向量是否共面；
(2)如果從正面難以入手判斷三個(gè)向量是否共面，可假設(shè)三個(gè)向量共面，利用向量共面的充要條件建立方程組，若方程組有解，則三個(gè)向量共面；若方程組無解，則三個(gè)向量不共面.
思維升華
訓(xùn)練1
√
②③④
同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間
的基底.
因?yàn)閤＝a＋b，所以a，b，x共面，故不能作為基底.
空間向量的正交分解
二
探究2 回顧平面向量的正交分解過程，思考任意一個(gè)空間向量是否可以分解為兩個(gè)相互垂直的向量？
提示　不可以.應(yīng)該分解為三個(gè)兩兩垂直的向量.
知識(shí)梳理
1.單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量__________，且長度都為____，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.正交分解：由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使_________________.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)__________的向量，叫做把空間向量正交分解.
兩兩垂直
1
a＝xi＋yj＋zk
兩兩垂直
用基底表示空間向量
三
例2
如圖，連接AC，
思維升華
用基底表示向量時(shí)：
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行.
(2)若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.
訓(xùn)練2
【課堂達(dá)標(biāo)】
√
√
如圖所示，
【課時(shí)精練】
√
1.設(shè)p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底，當(dāng){a，b，c}為基底時(shí)，一定有a，b，c為非零向量.因此p q，q?p，故p是q的必要不充分條件.
√
能與p，q構(gòu)成基底，則與p，q不共面.
2.已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是
A.a B.b
C.a＋2b D.a＋2c
√
3.{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0, 則x，y，z的值分別為
A.0，0，1 B.0，0，0
C.1，0，1 D.0，1，0
√
4.(多選)給出下列命題，其中是真命題的是
√
√
A中，假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，
∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kc，
∴c與a，b共面，與已知條件矛盾，
∴d與a，b不共面，即A是真命題；
B中，根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，顯然B是真命題；
所以A，B，M，N四點(diǎn)共面，即C是真命題；
D中，因?yàn)閍，b，c共面，所以{a，b，c}不能構(gòu)成基底，故D錯(cuò)誤.
√
如圖，
取PC的中點(diǎn)E，連接NE，
10.如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
√
12.(多選)設(shè)e1，e2，e3是不共面的三個(gè)單位向量，則下列選項(xiàng)中能作為空間的一個(gè)基底的是
√
√
√
(2)求異面直線DM與CN所成角的余弦值.
連接AG并延長交BC于點(diǎn)H，連接DM(圖略).第一課時(shí)　空間向量基本定理
課標(biāo)要求　1.理解空間向量基本定理及其意義. 2.掌握空間向量的正交分解.
【引入】 回顧平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其實(shí)質(zhì)就是平面內(nèi)的任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示.那么對(duì)于空間向量，有沒有類似的結(jié)論呢？
一、空間向量基本定理
探究1 (1)如圖，設(shè)i，j，k是空間中三個(gè)兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點(diǎn)O，對(duì)于任意一個(gè)空間向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
提示　如圖，設(shè)為在i，j所確定的平面上的投影向量，則＝＋.
又向量，k共線，因此存在唯一的實(shí)數(shù)z，使得＝zk，從而＝＋zk.
在i，j確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得＝xi＋yj.
從而＝＋zk＝xi＋yj＋zk.
(2)你能證明唯一性嗎？
提示　假設(shè)除(x，y，z)外，還存在有序?qū)崝?shù)組(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，
則x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨設(shè)x′≠x，
則(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k，
兩邊同除以(x′－x)，得i＝j(luò)＋k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，這與已知矛盾.
所以x＝x′，同理y＝y(tǒng)′，z＝z′，
所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)是唯一的.
【知識(shí)梳理】
1.空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.基底的概念
(1)定義：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個(gè)集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量.
(2)性質(zhì)：空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.
溫馨提示　(1)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.
(2)一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量.
(3)若三個(gè)向量不共面，就說明它們都不是零向量.
例1 (鏈接教材P12練習(xí)3(1))已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個(gè)基底.
解　假設(shè)，，共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
∵e1，e2，e3不共面，∴
此方程組無解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作為空間的一個(gè)基底.
思維升華　判斷給出的三個(gè)向量組成的向量組能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷這三個(gè)向量是否共面：
(1)首先應(yīng)考慮三個(gè)向量是否是零向量，其次判斷三個(gè)非零向量是否共面；
(2)如果從正面難以入手判斷三個(gè)向量是否共面，可假設(shè)三個(gè)向量共面，利用向量共面的充要條件建立方程組，若方程組有解，則三個(gè)向量共面；若方程組無解，則三個(gè)向量不共面.
訓(xùn)練1 (1)已知A，B，C，D，E是空間五點(diǎn)且A，B，C不共線，若，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則在下列各結(jié)論中，不正確的為(　　)
A.，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底
B.，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C.，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D.，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底
(2)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底.給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.
其中可以作為空間的基底的向量組有________.(填序號(hào))
答案　(1)D　(2)②③④
解析　(1)由，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底及A，B，C不共線，
可知，，，為共面向量，
即A，B，C，D，E五點(diǎn)共面，故D不正確.
(2)如圖，設(shè)a＝，b＝，c＝，則x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.
由A，B1，D1，C四點(diǎn)不共面可知向量x，y，z也不共面.
同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間的基底.
因?yàn)閤＝a＋b，所以a，b，x共面，故不能作為基底.
二、空間向量的正交分解
探究2 回顧平面向量的正交分解過程，思考任意一個(gè)空間向量是否可以分解為兩個(gè)相互垂直的向量？
提示　不可以.應(yīng)該分解為三個(gè)兩兩垂直的向量.
【知識(shí)梳理】
1.單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.正交分解：由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量正交分解.
三、用基底表示空間向量
例2 (鏈接教材P15復(fù)習(xí)鞏固2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn).
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值.
解　(1)如圖，連接AC，
＝＋
＝－＋－
＝a－b－c，
＝＋
＝＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－＝a－c.
(2)＝(＋)＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，
又＝xa＋yb＋zc，
所以x＝，y＝－，z＝－1.
思維升華　用基底表示向量時(shí)：
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行.
(2)若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.
訓(xùn)練2 如圖，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示，，，.
解　連接BO，
則＝＝(＋)
＝(－b－a＋c)
＝－a－b＋c，
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)＝－a－b＋c，
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c，
＝＝＝a.
【課堂達(dá)標(biāo)】
1.已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
答案　C
解析　∵＝a－b且a，b不共線，
∴a，b，共面，
∴與a，b不能構(gòu)成一組空間基底.
2.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b－c D.－a－b＋c
答案　C
解析　＝－＝(＋)－(＋＋)＝－a－b－c.
3.在正四面體P－ABC中，M是PA上的點(diǎn)，且PM＝2MA，N是BC的中點(diǎn)，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z的值為________.
答案　
解析　如圖所示，＝＋＝－＋＝－＋＋.
由空間向量基本定理得：x＝－，y＝，z＝.
故x＋y＋z＝.
4.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，＝，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則等于__________(用向量，，表示).
答案　＋－
解析　∵＝－
＝－
＝＋－(＋＋)
＝＋－
＝＋－.
一、基礎(chǔ)鞏固
1.設(shè)p：a，b，c是三個(gè)非零向量；q：{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，則p是q的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案　B
解析　當(dāng)非零向量a，b，c不共面時(shí)，{a，b，c}可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底，當(dāng){a，b，c}為基底時(shí)，一定有a，b，c為非零向量.
因此p q，q p，故p是q的必要不充分條件.
2.已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是(　　)
A.a B.b
C.a＋2b D.a＋2c
答案　D
解析　能與p，q構(gòu)成基底，則與p，q不共面.
∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q，
∴A，B，C都不合題意.
因?yàn)閧a，b，c}為基底，
∴a＋2c與p，q不共面，可構(gòu)成基底.
3.{a，b，c}為空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0, 則x，y，z的值分別為(　　)
A.0，0，1 B.0，0，0 C.1，0，1 D.0，1，0
答案　B
解析　若x，y，z中存在一個(gè)不為0的數(shù)，不妨設(shè)x≠0，則a＝－b－c，∴a，b，c共面，這與{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y(tǒng)＝z＝0.
4.(多選)給出下列命題，其中是真命題的是(　　)
A.若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個(gè)基底
B.已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C.已知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面
D.若a，b是兩個(gè)不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底
答案　ABC
解析　A中，假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，
∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，從而c＝a＋b，
∴c與a，b共面，與已知條件矛盾，
∴d與a，b不共面，即A是真命題；
B中，根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，顯然B是真命題；
C中，由，，有公共點(diǎn)B，所以A，B，M，N四點(diǎn)共面，即C是真命題；
D中，因?yàn)閍，b，c共面，所以{a，b，c}不能構(gòu)成基底，故D錯(cuò)誤.
5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點(diǎn)，若＝ a，＝c，＝b，則下列向量與相等的是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b＋c D.a－b＋c
答案　A
解析　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
6.如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，用，，作為基向量，則＝________.
答案　(＋＋)
解析　∵2＝2＋2＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴＝(＋＋).
7.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)O為空間任一點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c，則向量用a，b，c表示為________.
答案　a－b＋c
解析　∵＝－2，
∴－＝－2(－)，
∴b－a＝－2(－c)，
∴＝a－b＋c.
8.點(diǎn)P是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M，N分別是PC，PD上的點(diǎn)，且＝，＝，則滿足＝x＋y＋z的實(shí)數(shù)x，y，z的值分別是________.
答案?。?，－，
解析　如圖，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，
則＝－
＝－(－)＝－＝－
＝－－(－＋＋)
＝－－＋，
比較知x＝－，y＝－，z＝.
9.已知平行六面體OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量；
(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
解　(1)＝＋＝－＋
＝b－a＋c.
(2)＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b).
10.如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.
解　(1)∵＝＋＝＋＋
＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
根據(jù)空間向量基本定理
∴x＝，y＝，z＝1.
二、綜合運(yùn)用
11.已知空間四邊形OABC中，M在AO上，滿足＝，N是BC的中點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量為(　　)
A.a＋b＋c 　 B.a＋b－c
C.－a＋b＋c 　 D.a－b＋c
答案　C
解析　因?yàn)榭臻g四邊形OABC中，M在AO上，滿足＝，N是BC的中點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，
所以＝＋＋
＝＋＋(－)
＝＋＋＝－a＋b＋c.
故選C.
12.(多選)設(shè)e1，e2，e3是不共面的三個(gè)單位向量，則下列選項(xiàng)中能作為空間的一個(gè)基底的是(　　)
A.
B.{e1－e3，e2＋e3，e1＋e2}
C.{e1－e2，e2－2e3，e3－3e1}
D.{e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2}
答案　ACD
解析　對(duì)于A，設(shè)e1＋e2，e1＋e3，e2＋2e3三個(gè)向量共面，則存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，
使得e1＋e2＝λ＋μ(e2＋2e3)，
即e1＋e2＝λe1＋μe2＋(λ＋2μ)e3，
又e1，e2，e3是不共面的三個(gè)單位向量，
所以方程組無解，
所以e1＋e2，e1＋e3，e2＋2e3三個(gè)向量不共面，能作為一個(gè)基底；
對(duì)于B，因?yàn)?e1－e3)＋(e2＋e3)＝e1＋e2，
所以e1－e3，e2＋e3，e1＋e2三個(gè)向量共面，故不能作為一個(gè)基底；
對(duì)于C，設(shè)e1－e2，e2－2e3，e3－3e1三個(gè)向量共面，則存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，
使得e1－e2＝λ(e2－2e3)＋μ(e3－3e1)，
即e1－e2＝－3μe1＋λe2＋(μ－2λ)e3，
又e1，e2，e3是不共面的三個(gè)單位向量，
所以方程組無解，
所以e1－e2，e2－2e3，e3－3e1三個(gè)向量不共面，能作為一個(gè)基底；
對(duì)于D，設(shè)e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2三個(gè)向量共面，
則存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，
使得e1＋e3＝λ(e2＋e3)＋μ(e1＋e2)，
即e1＋e3＝μe1＋(λ＋μ)e2＋λe3，
又e1，e2，e3是不共面的三個(gè)單位向量，
所以
所以e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2三個(gè)向量不共面，能作為一個(gè)基底.
13.如圖，正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c分別表示向量，；
(2)求異面直線DM與CN所成角的余弦值.
解　(1)＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝[(a－c)＋(b－c)]＝(a＋b－2c)(或＝－＝(＋)－
＝(a＋b－2c))；
＝(＋)＝[(－)－]
＝[(a－b)－b]＝(a－2b).
(2)設(shè)正四面體的棱長為1，即|a|＝|b|＝|c|＝1且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，
則a·b＝a·c＝b·c＝，
||＝||＝.
又·＝(a＋b－2c)·(a－2b)
＝(a2＋a·b－2a·c－2a·b－2b2＋4b·c)＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－，∴異面直線DM與CN所成角的余弦值為.
三、創(chuàng)新拓展
14.如圖，在三棱錐P ABC中，點(diǎn)G為△ABC的重心，點(diǎn)M在PG上，且PM＝3MG，過點(diǎn)M任意作一個(gè)平面分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若＝m，＝n，＝t，求證：＋＋為定值，并求出該定值.
解　連接AG并延長交BC于點(diǎn)H，連接DM(圖略).
由題意，可令{，，}為空間的一個(gè)基底，
＝＝(＋)
＝＋×
＝＋×
＝＋(－)＋(－)
＝＋＋.
∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)，M共面，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得＝λ＋μ，
即－＝λ(－)＋μ(－)，
∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ
＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，
由空間向量基本定理，
知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，
∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，為定值.第一課時(shí)　空間向量基本定理
課標(biāo)要求　1.理解空間向量基本定理及其意義. 2.掌握空間向量的正交分解.
【引入】 回顧平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其實(shí)質(zhì)就是平面內(nèi)的任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示.那么對(duì)于空間向量，有沒有類似的結(jié)論呢？
一、空間向量基本定理
探究1 (1)如圖，設(shè)i，j，k是空間中三個(gè)兩兩垂直的向量，且表示它們的有向線段有公共起點(diǎn)O，對(duì)于任意一個(gè)空間向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？
(2)你能證明唯一性嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識(shí)梳理】
1.空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得____________.
2.基底的概念
(1)定義：如果三個(gè)向量a，b，c______________，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個(gè)集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)________，a，b，c都叫做基向量.
(2)性質(zhì)：空間任意三個(gè)________的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.
溫馨提示　(1)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.
(2)一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量.
(3)若三個(gè)向量不共面，就說明它們都不是零向量.
例1 (鏈接教材P12練習(xí)3(1))已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個(gè)基底.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　判斷給出的三個(gè)向量組成的向量組能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷這三個(gè)向量是否共面：
(1)首先應(yīng)考慮三個(gè)向量是否是零向量，其次判斷三個(gè)非零向量是否共面；
(2)如果從正面難以入手判斷三個(gè)向量是否共面，可假設(shè)三個(gè)向量共面，利用向量共面的充要條件建立方程組，若方程組有解，則三個(gè)向量共面；若方程組無解，則三個(gè)向量不共面.
訓(xùn)練1 (1)已知A，B，C，D，E是空間五點(diǎn)且A，B，C不共線，若，，與，，均不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則在下列各結(jié)論中，不正確的為(　　)
A.，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底
B.，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C.，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D.，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底
(2)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底.給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.
其中可以作為空間的基底的向量組有________.(填序號(hào))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空間向量的正交分解
探究2 回顧平面向量的正交分解過程，思考任意一個(gè)空間向量是否可以分解為兩個(gè)相互垂直的向量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識(shí)梳理】
1.單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量____________，且長度都為________，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.
2.正交分解：由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使________.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)____________的向量，叫做把空間向量正交分解.
三、用基底表示空間向量
例2 (鏈接教材P15復(fù)習(xí)鞏固2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn).
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　用基底表示向量時(shí)：
(1)若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行.
(2)若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底，選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求.
訓(xùn)練2 如圖，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示，，，.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【課堂達(dá)標(biāo)】
1.已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
2.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.－a－b－c D.－a－b＋c
3.在正四面體P－ABC中，M是PA上的點(diǎn)，且PM＝2MA，N是BC的中點(diǎn)，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z的值為________.
4.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，＝，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則等于__________(用向量，，表示).
：完成課時(shí)精練4

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