資源簡介

(共71張PPT)
1.3.2　空間向量運算的坐標表示
第一章 1.3　空間向量及其運算的坐標表示
課標要求
1.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.
2.掌握空間向量的數量積運算及其坐標表示.
3.能利用空間兩點間的距離公式解決有關問題.
前面我們通過引入空間直角坐標系，將空間向量的坐標與空間點的坐標一一對應起來，那么有了空間向量的坐標表示，類比平面向量的坐標運算，同學們是否可以探究出空間向量運算的坐標表示并給出證明？
引入
課時精練
一、空間向量運算的坐標表示
二、空間向量平行、垂直的坐標表示
三、空間夾角、距離的計算
課堂達標
內容索引
空間向量運算的坐標表示
一
探究1 設平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b，a－b，λa，a·b的運算結果分別是什么？
提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.
探究2 有了空間向量的坐標表示，你能類比平面向量的坐標運算，得出空間向量運算的坐標表示并給出證明嗎？
提示　設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
與平面向量運算的坐標表示一樣，我們有：
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
下面我們證明空間向量數量積運算的坐標表示.
設{i，j，k}為空間的一個單位正交基底，則
a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，
所以a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k).
利用向量數量積的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，
得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
由上述結論可知，空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示是完全一致的.
1.空間向量的坐標：一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的______________________.
知識梳理
終點坐標減去起點坐標
2.設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
向量運算 坐標表示
加法 a＋b＝_________________________
減法 a－b＝_________________________
數乘 λa＝________________________
數量積 a·b＝___________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
a1b1＋a2b2＋a3b3
溫馨提示
(1)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)向量線性運算的結果仍是向量；數量積的結果為數量.
例1
設B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以點B的坐標為(6，－4，5).
關于空間向量坐標運算的兩類問題
(1)直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.
(2)由條件求向量或點的坐標
首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標.
思維升華
(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝________.
訓練1
－4
易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________.
據題意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
2
空間向量平行、垂直的坐標表示
二
探究3 設平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b，a⊥b的充要條件分別是什么？那么對于空間向量是不是也有類似的結論？
提示　a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
對于空間向量也有類似的結論.
知識梳理
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有：
(1)平行關系：當b≠0時，a∥b?a＝λb?________， ， (λ∈R).
(2)垂直關系：當a≠0，b≠0時，a⊥b?a·b＝0 ? a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
a1＝λb1
a2＝λb2
a3＝λb3
溫馨提示
例2
已知空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，
(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
例3
如圖，建立空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連接NE，
思維升華
(1)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解.
(2)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明.
如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段A1D上，點Q在線段AC上，線段PQ與直線A1D和AC都垂直，求證：PQ∥BD1.
訓練2
設正方體的棱長為1，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
空間夾角、距離的計算
三
探究4 你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎？
提示　如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
知識梳理
溫馨提示
例4
(鏈接教材P21例3)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
如圖，建立空間直角坐標系.
(1)求BP的長；
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，
AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角，
∴∠PAD＝60°.
思維升華
通過分析幾何體的結構特征，建立適當的坐標系，使盡可能多的點在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷.建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題.
訓練3
已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長AB＝2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是棱AC，A1C1的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.
設側棱長為b，
(1)求三棱柱的側棱長；
因為M為BC1的中點，
【課堂達標】
1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，則4a＋2b等于
√
4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)
＝(8，0，4).
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)
√
2.已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是
A.(－1，1，0) B.(1，－1，0)
C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
3.已知向量a＝(－2，1，x)，b＝(－1，1，2)，a·b＝3，則x＝________.
a·b＝2＋1＋2x＝2x＋3＝3，
0
解得x＝0.
(－2，－1，4)
【課時精練】
√
1.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，則|a－b＋2c|等于
∵a－b＋2c＝(9，3，0)，
√
2.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是
√
3.設A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，則AB的中點M到C的距離CM的值為
√
4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，則△ABC的形狀是
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
√
5.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三點共線，則m＋n的值為
A.0 B.－1 C.1 D.－2
設點P(x，y，z)，
(－1，3，3)
由BP⊥平面ABC，
9.若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4).
(1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求實數k的值；
∵a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)，
∴ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)，a－2b＝(5，－4，－9).
∵(ka＋b)∥(a－2b)，
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求實數k的值.
∵(ka＋b)⊥(a－2b)，
∴(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0，
10.棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是DD1，BD，BB1的中點.
建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，
(1)求證：EF⊥CF；
12.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則異面直線ON，AM所成角的大小為________，線段MN的長度為________.
90°
13.已知空間三點A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).
(1)求△ABC的面積；
√
√1.3.2　空間向量運算的坐標表示
課標要求　1.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示. 2.掌握空間向量的數量積運算及其坐標表示. 3.能利用空間兩點間的距離公式解決有關問題.
【引入】 前面我們通過引入空間直角坐標系，將空間向量的坐標與空間點的坐標一一對應起來，那么有了空間向量的坐標表示，類比平面向量的坐標運算，同學們是否可以探究出空間向量運算的坐標表示并給出證明？
一、空間向量運算的坐標表示
探究1 設平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b，a－b，λa，a·b的運算結果分別是什么？
提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.
探究2 有了空間向量的坐標表示，你能類比平面向量的坐標運算，得出空間向量運算的坐標表示并給出證明嗎？
提示　設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
與平面向量運算的坐標表示一樣，我們有：
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
下面我們證明空間向量數量積運算的坐標表示.
設{i，j，k}為空間的一個單位正交基底，則
a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，
所以a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k).
利用向量數量積的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0，
得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
由上述結論可知，空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示是完全一致的.
【知識梳理】
1.空間向量的坐標：一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.
2.設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
向量運算 坐標表示
加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數量積 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
溫馨提示　(1)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)向量線性運算的結果仍是向量；數量積的結果為數量.
例1 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5).
(1)求頂點B，C的坐標；
(2)求·；
(3)若點P在AC上，且＝，求點P的坐標.
解　(1)設B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，
＝(x1－x，y1－y，z1－z).
因為＝(4，1，2)，
所以解得
所以點B的坐標為(6，－4，5).
因為＝(3，－2，5)，
所以解得
所以點C的坐標為(9，－6，10).
(2)因為＝(－7，1，－7)，
所以·＝－21－2－35＝－58.
(3)設P(x2，y2，z2)，
則＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)
＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，
所以解得
故點P的坐標為.
思維升華　關于空間向量坐標運算的兩類問題
(1)直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.
(2)由條件求向量或點的坐標
首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標.
訓練1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝________.
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝______.
答案　(1)－4　(2)2
解析　(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)據題意，有c－a＝(0，0，1－x)，
2b＝(2，4，2)，
故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，
解得x＝2.
二、空間向量平行、垂直的坐標表示
探究3 設平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b，a⊥b的充要條件分別是什么？那么對于空間向量是不是也有類似的結論？
提示　a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
對于空間向量也有類似的結論.
【知識梳理】
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有：
(1)平行關系：當b≠0時，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R).
(2)垂直關系：當a≠0，b≠0時，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
溫馨提示　(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0).
(2)當b的坐標中b1，b2，b3都不等于0時，a與b平行的條件還可以表示為a∥b ＝＝.
例2 已知空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設＝a，＝b.
(1)設向量c＝，試判斷2a－b與c是否平行？
(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
解　(1)因為a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以2a－b＝(3，2，－2)，
又c＝，
所以2a－b＝－2c，
所以(2a－b)∥c.
(2)因為a＝＝(1，1，0)，
b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4).
又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或－.
例3 (鏈接教材P20例2)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點.
求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
證明　(1)如圖，建立空間直角坐標系，
設AC∩BD＝N，連接NE，
則點N，E的坐標分別為，(0，0，1).
∴＝.
又點A，M的坐標分別是(，，0)，，
∴＝.
∴＝.又NE與AM不共線，
∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝.
∵D(，0，0)，F(，，1)，
∴＝(0，，1)，
∴·＝0，
∴⊥，即AM⊥DF.
同理，⊥，即AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，∴AM⊥平面BDF.
思維升華　(1)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解.
(2)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明.
訓練2 如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，點P在線段A1D上，點Q在線段AC上，線段PQ與直線A1D和AC都垂直，求證：PQ∥BD1.
證明　以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
∴＝(1，0，1)，
＝(－1，1，0)，
設＝(a，b，c)，
則即
取＝(1，1，－1)，
易知＝(－1，－1，1)，
∴＝－，
∴∥，即PQ∥BD1.
三、空間夾角、距離的計算
探究4 你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎？
提示　如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是||＝
＝，
所以P1P2＝||
＝，
因此，空間中已知兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
則AB＝||＝.
【知識梳理】
1.若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
cos〈a，b〉＝＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x＋y＋z)\r(x＋y＋z)).
2.空間兩點間距離公式
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則
P1P2＝||＝.
溫馨提示　(1)空間兩直線夾角可轉化為兩向量的夾角，設直線AB與CD所成的角為θ，cos θ＝|cos〈，〉|.
(2)求空間中線段的長度即對應空間向量的模，因此空間兩點間的距離公式就是空間向量模的計算公式.
例4 (鏈接教材P21例3)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)求BP的長；
(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值.
解　(1)如圖，建立空間直角坐標系.
∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，
∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，
B(2，4，0).
由PD⊥平面ABCD，得
∠PAD為PA與平面ABCD所成的角，
∴∠PAD＝60°.
在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2.
∴P(0，0，2).
∴BP＝＝4.
(2)由(1)得，＝(2，0，－2)，
＝(－2，－3，0)，
∴cos〈，〉＝
＝＝－，
∴異面直線PA與BC所成角的余弦值為.
思維升華　通過分析幾何體的結構特征，建立適當的坐標系，使盡可能多的點在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷.建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題.
訓練3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長AB＝2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是棱AC，A1C1的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求三棱柱的側棱長；
(2)設M為BC1的中點，試用基向量，，表示向量；
(3)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.
解　(1)設側棱長為b，則A(0，－1，0)，
B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以＝(，1，b)，＝(－，1，b).
因為AB1⊥BC1，
所以·＝(，1，b)·(－，1，b)
＝－()2＋12＋b2＝0，
解得b＝.故側棱長為.
(2)因為M為BC1的中點，
所以＝(＋)
＝(＋＋).
(3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1，0)，
因為||＝＝，
||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1，0)
＝－()2＋1×1＋×0＝－2，
所以|cos〈，〉|＝＝＝.
所以異面直線AB1與BC所成角的余弦值為.
【課堂達標】
1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，則4a＋2b等于(　　)
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)
答案　D
解析　4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).
2.已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(　　)
A.(－1，1，0) B.(1，－1，0)
C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
答案　B
解析　設b＝(x，y，z)，各選項給出的向量的模都是，且|a|＝.
則cos〈a，b〉＝＝＝，
即x－z＝1，結合選項知B項滿足.
3.已知向量a＝(－2，1，x)，b＝(－1，1，2)，a·b＝3，則x＝________.
答案　0
解析　a·b＝2＋1＋2x＝2x＋3＝3，
解得x＝0.
4.已知點A(2，3，－1)，B(0，2，3)，則＝________，||＝________.
答案　(－2，－1，4)　
解析　＝(－2，－1，4)，
||＝＝.
一、基礎鞏固
1.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，則|a－b＋2c|等于(　　)
A.3 B.2 C. D.5
答案　A
解析　∵a－b＋2c＝(9，3，0)，
∴|a－b＋2c|＝＝3.
2.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　)
A.1 B. C. D.
答案　D
解析　ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，
解得k＝.
3.設A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，則AB的中點M到C的距離CM的值為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由題意得AB中點M，
又C(0，1，0)，所以＝，故M到C的距離為CM＝||＝＝.
4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，則△ABC的形狀是(　　)
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　因為＝(3，4，－8)，＝(2，－3，1)，＝(5，1，－7)，于是·＝10－3－7＝0，而||＝，||＝5，
所以△ABC是直角三角形.
5.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三點共線，則m＋n的值為(　　)
A.0 B.－1 C.1 D.－2
答案　A
解析　因為＝(m－1，1，m－2n－3)，
＝(2，－2，6)，由題意得∥，
所以＝＝，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
6.已知點A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，則點P的坐標是________.
答案　(－1，3，3)
解析　設點P(x，y，z)，
則由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
則解得
即P(－1，3，3).
7.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，則向量與的夾角為________.
答案　
解析　∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos〈，〉＝＝，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.
8.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數x＋y＝________.
答案　
解析　由BP⊥平面ABC，
可得BP⊥AB，BP⊥BC，又⊥，
∴即
解得x＝，y＝－，z＝4，
∴x＋y＝－＝.
9.若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4).
(1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求實數k的值；
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求實數k的值.
解　∵a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)，
∴ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)，
a－2b＝(5，－4，－9).
(1)∵(ka＋b)∥(a－2b)，
∴＝＝，解得k＝－.
(2)∵(ka＋b)⊥(a－2b)，∴(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0，
解得k＝.
10.棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別是DD1，BD，BB1的中點.
(1)求證：EF⊥CF；
(2)求異面直線EF與CG所成角的余弦值；
(3)求CE的長.
解　建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，
則D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G.
所以＝，
＝，＝，
＝.
(1)證明　因為·＝×＋×＋×0＝0，
所以⊥，即EF⊥CF.
(2)因為·＝×1＋×0＋×＝，||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.所以異面直線EF與CG所成角的余弦值為.
(3)CE＝||＝＝.
二、綜合運用
11.已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a與b的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍為________.
答案　∪
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，
因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，
使a＝λb(λ<0)，
即(5，3，1)＝λ，
所以
所以t＝－，
故t的取值范圍是∪.
12.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則異面直線ON，AM所成角的大小為________，線段MN的長度為________.
答案　90°　
解析　以A為原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，
設正方體的棱長為1，
則A(0，0，0)，M，O，N.
∴＝，＝，
·＝·＝0，
∴異面直線ON與AM所成角的大小為90°.
又＝，
∴MN＝||＝＝.
13.已知空間三點A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).
(1)求△ABC的面積；
(2)求△ABC中AB邊上的高.
解　(1)由已知，得＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)，
∴||＝＝，
||＝＝2，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)
＝－14，
∴cos〈，〉＝
＝＝，
∴sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||||sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)設AB邊上的高為CD，則||＝||·sin〈，〉＝3，即△ABC中AB邊上的高為3.
三、創新拓展
14.(多選)已知單位向量i，j，k兩兩的夾角均為θ，若空間向量a滿足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，則有序實數組(x，y，z)稱為向量a在“仿射”坐標系Oxyz(O為坐標原點)下的“仿射”坐標，記作a＝(x，y，z)θ，則下列命題是真命題的為(　　)
A.已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，則a·b＝0
B.已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，則當且僅當x＝y時，向量a，b的夾角取得最小值
C.已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D.已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，則三棱錐O ABC的表面積S＝
答案　BC
解析　a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，
因為0<θ<π，且θ≠，
所以a·b≠0，故A錯誤；
如圖所示，設＝b，＝a，則點A在平面Oxy上，點B在z軸上，
由圖易知當x＝y時，∠AOB取得最小值，即向量a與b的夾角取得最小值，故B正確；
根據“仿射”坐標的定義可得，
a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正確；
由已知可得三棱錐O ABC為正四面體，棱長為1，其表面積S＝4××12×＝，故D錯誤.故選BC.1.3.2　空間向量運算的坐標表示
課標要求　1.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示. 2.掌握空間向量的數量積運算及其坐標表示. 3.能利用空間兩點間的距離公式解決有關問題.
【引入】 前面我們通過引入空間直角坐標系，將空間向量的坐標與空間點的坐標一一對應起來，那么有了空間向量的坐標表示，類比平面向量的坐標運算，同學們是否可以探究出空間向量運算的坐標表示并給出證明？
一、空間向量運算的坐標表示
探究1 設平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b，a－b，λa，a·b的運算結果分別是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 有了空間向量的坐標表示，你能類比平面向量的坐標運算，得出空間向量運算的坐標表示并給出證明嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.空間向量的坐標：一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的________________.
2.設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
向量運算 坐標表示
加法 a＋b＝__________________
減法 a－b＝________________
數乘 λa＝____________________
數量積 a·b＝__________________
溫馨提示　(1)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)向量線性運算的結果仍是向量；數量積的結果為數量.
例1 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5).
(1)求頂點B，C的坐標；
(2)求·；
(3)若點P在AC上，且＝，求點P的坐標.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　關于空間向量坐標運算的兩類問題
(1)直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.
(2)由條件求向量或點的坐標
首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標.
訓練1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝________.
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空間向量平行、垂直的坐標表示
探究3 設平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b，a⊥b的充要條件分別是什么？那么對于空間向量是不是也有類似的結論？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有：
(1)平行關系：當b≠0時，a∥b a＝λb ________，________，________(λ∈R).
(2)垂直關系：當a≠0，b≠0時，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
溫馨提示　(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0).
(2)當b的坐標中b1，b2，b3都不等于0時，a與b平行的條件還可以表示為a∥b ＝＝.
例2 已知空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設＝a，＝b.
(1)設向量c＝，試判斷2a－b與c是否平行？
(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 (鏈接教材P20例2)如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點.
求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　(1)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解.
(2)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明.
訓練2 如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，點P在線段A1D上，點Q在線段AC上，線段PQ與直線A1D和AC都垂直，求證：PQ∥BD1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、空間夾角、距離的計算
探究4 你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知識梳理】
1.若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝________________.
2.空間兩點間距離公式
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則P1P2＝||＝________________.
溫馨提示　(1)空間兩直線夾角可轉化為兩向量的夾角，設直線AB與CD所成的角為θ，cos θ＝|cos〈，〉|.
(2)求空間中線段的長度即對應空間向量的模，因此空間兩點間的距離公式就是空間向量模的計算公式.
例4 (鏈接教材P21例3)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
(1)求BP的長；
(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思維升華　通過分析幾何體的結構特征，建立適當的坐標系，使盡可能多的點在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷.建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題.
訓練3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長AB＝2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是棱AC，A1C1的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求三棱柱的側棱長；
(2)設M為BC1的中點，試用基向量，，表示向量；
(3)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【課堂達標】
1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，則4a＋2b等于(　　)
A.(16，0，4) B.(8，－16，4)
C.(8，16，4) D.(8，0，4)
2.已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(　　)
A.(－1，1，0) B.(1，－1，0)
C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
3.已知向量a＝(－2，1，x)，b＝(－1，1，2)，a·b＝3，則x＝________.
4.已知點A(2，3，－1)，B(0，2，3)，則＝________，||＝________.
：完成課時精練7
《測評卷》周測卷1

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