資源簡介

小學數學問答手冊
一、整數
1.為什么古代中國應稱為數學王國？
　　我國古代數學家，創造了光輝的業績，在許多數學領域處于領先地位。因此我國應稱為古代數學王國。僅舉幾例說明。
　　約公元前5世紀，我國數學家就研究了幻方。即從1到n2的自然數排列成縱橫各有n個數的正方形，使每行、每列、有時還包括每條主對角線上的
　　方。如圖，每行每列3個數的和都是15，而且兩條主對角線上的3個數的和也都是15。西方人大約在14世紀才開始研究幻方構造。比我國晚約2000年。
　　公元1世紀，我國數學家就開始研究開平方法與開立方法。魏晉間杰出的數學家劉徽在公元263年又有所發展，而西方出現類似的方法晚于公元 390年。
　　我國對于一元同余方程組的研究約在公元400年時就開始了，到了秦九韶時代（公元1247年）已經有完整的解法，被世界稱為“中國剩余定理。”
　　我國古代數學家祖沖之（429--500）在公元500年之前，已將圓周率計算到小數點后7位，得到3.1415926＜n＜3.1415927，又
　　結果的。
　　祖沖之之子祖暅提出“祖暅原理”之后的1200年，意大利數學家B.卡瓦列里才重新發現這個事實。
　　我們最早提出的代數方程的近似解法--秦九韶法，賈憲三角形或稱楊輝三角形是世界上最早研究二項式展開式系數的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。
2.數的概念是怎樣發展起來的？
　　數的概念是由人類生產和生活的實踐需要而逐漸形成和發展起來的。在人類歷史發展的最初階段，由于計量的需要，形成了自然數（也叫“正整數”）的概念。以后隨著生產和科學的發展，數的概念也得到發展。
　　為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數法的要求，人們引進了零及負數，把自然數看作正整數，把正整數、零、負整數合并在一起，構成整數。為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們又引進了
　　樣，就把整數擴大為有理數。
　　為了解決這些量與量之間的比值（例如，正方形對角線和邊長的比），不能用有理數表示，人們又引進了無理數。無理數就是無限不循環小數。有理數和無理數的全體組成實數。
　　實數概念的產生經過相當長的時間，然而在解方程中，像x2=-1無法解下去時，促使人們考慮數的概念還應繼續發展。到16世紀，人們開始引進一個新數i，叫虛數單位，并明確規定i2=-1，使數的概念發展到復數。
3.怎樣理解自然數的含義？
　　在數（shǔ）物體個數的過程中，我們數（shǔ）出的一，二，三，四，五，……都叫做自然數。
　　誰也不能把自然數全部數出來或全部寫出來。因此，自然數有無限多個。1是自然數的單位。任何自然數都是由若干個“1”組成的。1是最小的自然數，但是自然數沒有最大的。
　　從集合的觀點看，每一個自然數是一類等價的非空有限集合的標記。它表示非空有限集合中的元素的個數。例如，把兩支鉛筆作為一個集合，把一個人的兩個耳朵作為一個集合，這兩個集合是等價集合。又如，把五本練習本作為一個集合，把人的一只手上的手指作為一個集合，這兩個集合也是等價集合。前者等價集合的標記是“2”，后者等價集合的標記是“5”。它們都是自然數。
4.自然數的性質有哪些？
　　自然數的性質有下列幾點：
　　（1） 1是自然數；
　　（2）每一個確定的自然數 a.都有一個確定的后繼數 a′，a′也是自然數。（一個數的后繼數就是緊接在這個數后面的數。例如，1的后繼數是2，2的后繼數是3，等等。）；
　　（3）如果b、c都是自然數a的后繼數，那么b=c；
　　（4） 1不是任何自然數的后繼數；
　　（5）任意關于自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n的后繼數n′也真，那么，命題對所有自然數都真。
　　以上五條自然數的性質是由意大利數學家皮亞諾（1858--1932年）提出來的，通常把它叫做自然數的皮亞諾公理。其中的性質（5）是數學歸納法的依據。
5.怎樣理解自然數列的含義？
　　我們把自然數大家庭中的所有成員按照從小到大的順序排成一列長長的隊伍，自然數1是這個隊伍的“排頭兵”，2排在1的后面，3排在2的后面……這樣一直排下去，誰也看不見這個隊伍的排尾。我們把這樣排成的一列長長的看不到尾的“隊伍”叫做自然數列。
　　總之，從“一”起，把自然數按照由小到大的順序排列起來，就得到一列數：
　　一、二、三、四、五、六……這個依次排列著的全體自然數的集合，叫做自然數列。
6.自然數列的性質有哪些？
　　自然數列的性質主要有以下三點：
　　（1）自然數列是有序的。自然數列里的自然數都是按照一定順序排列著的，在“1”后面的一個自然數是“2”，在“2”后面的一個自然數是“3”，……這就是說，每個自然數后面都有一個而且只有一個后繼數。
　　（3）自然數列是無限的。自然數列里不存在“最后的數”，即自然數列里的數是無限的。
7.常說“自然數有兩方面的意義：一是基數的意義，二是序數的意義”，這是怎么一回事呢？
　　在日常生活中，自然數在不同的情況下有不同的意義。例如，同學們在上體育課的時候，有時排成一列橫隊，老師發出口令：“報數！”，于是從橫隊由右邊排頭開始，一！二！三！四！……，排尾報的是三十五。我們知道，橫隊里的學生同自然數列里的自然數從1開始到35為止，建立起一一對應關系。自然數“ 1”對應自右起的第一個學生，自然數“2”對應自右起的第二個學生，……自然數“35”對應自右起的第三十五個學生（即排尾）。這個“35”，既可以表示這橫隊共有35個學生，也可以表示站在排尾的這個學生是第35號。
　　我們可以把這一橫隊的學生的全體看做是一個集合，其中每一個學生，可以看做是這個集合中的一個元素。就這樣，用來表示事物數量多少的自然數叫做基數；用來表示事物次序的自然數叫做序數。這就是平常所說的自然數有兩重意義，一是基數的意義，二是序數的意義。所謂基數的意義，即被數的事物有“多少個”；所謂序數的意義，即最后被數的事物是“第幾個”。
　　為了使學生懂得自然數的雙重意義，可以舉些實例予以說明。例如，大家都伸出1只手來，從大拇指開始數到小指：一，二，三，四，五！這個“五”可以表示一只手共有五個手指，也可以表示小指是第五號。
　　在數軸上也可以同時反映出自然數的兩個含義。（如圖）數軸上的“5”，一方面表示的點是原點右邊的“第5個”整點，這時“5”就是序數；另一方面，用“5”表示的點同原點之間的距離是“5個”單位，這時“5”就是基數。
　
8.什么叫擴大的自然數列？
　　我們知道自然數列是按照后面的一個自然數比前面的一個多1的順序排列的。1比0也是多1，可以把0寫在自然數列的前面，
　　就得到由小到大依次排列的一個序列。
　　0，1，2，3，4，5，……叫做擴大的自然數列。
　　在擴大的自然數列里，只有零不是自然數，其他的數都是自然數。
　　零和自然數都是整數。
9.什么叫做數字？常見的數字有哪幾種？
　　用來記數的符號（或文字）叫做數字。常見的數字有：
　　阿拉伯數字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；
　　中國小寫數字：○、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十；
　　中國大寫數字：零、壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬、億、兆；
　　羅馬數字：
　　I、 V、 X、 L、 C、 D、 M。
　　（1）（5）（10）（50）（100）（500）（1000）
　　阿拉伯數字，是現在世界各國通用的數字，在我們的數學書上也使用阿拉伯數字。中國數字，不論大寫的還是小寫的，在我國的許多書上常常見到。在一些重要的文件編號上，在商店的發貨票上都采用了中國大寫數字。羅馬數字是過去歐洲人常用的數字，由于它在記數時非常麻煩，后來逐漸被阿拉伯數字所代替。今天，在一些鐘表盤上還能見到它。
10.你知道我國數字的歷史嗎？
　　我國古代很早就有了數字。最初的數字還不可考。只有把數字刻在龜甲和獸骨上時，才有可能留傳下來。在我國河南省發現的殷墟甲骨文卜辭中有很多記數的文字，說明早在三千多年前人們已經能用一、二、三、……十、百、千、萬等記數，并且采用十進制，只是文字的形體和后來的有所不同。下面是甲骨文的十三個記數單字：
　　這些數字可以說是我國現存最早的數字了。由甲骨文數字幾經演變，才形成現代的漢字數字。
　　我國古代還有用小竹棍或小木棍擺出來記數和計算的，這叫做“算籌”。據文獻記載，算籌除竹籌外，還有木籌、鐵籌、骨籌、玉籌和牙籌，并且有盛裝算籌的算袋和算子筒。算籌記數的規則，最早載于《孫子算經》：“凡算之法先識其位。一縱十橫，百立千僵。千、十相望，萬、百相當。”用算籌表示數目有縱、橫兩種方式：
　　表示一個多位數，是把各位數碼由高位到低位從左至右橫列。各位籌式必須縱橫相間：個位、百位、萬位等用縱式；十位、千位、十萬位等用橫式。例如1987用算籌表示出來是。數字“零”表為空位，例如6023用算籌表示出來是。這與現今的十進制記數法基本一致。
　　我國明、清時代，在商業上曾用過如下的數碼：
　　這種數字，也叫做“蘇州碼子”，又叫“草碼”，直到解放前，有時記帳還用它。
　　現在我們用的中國小寫數字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十是由甲骨文的數字演變而來的。此外，現在人們還可以在發貨票上見到中國大寫數字：零、壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬。雖然我國的大寫數字是目前世界上最繁的數字，但是它的優點是不易涂改，因此我國還把它用在會計工作中以及在重要票證或證件的編號上。
11.“0”是不是只表示沒有？
　　這個問題要分兩方面來講。首先講一講“0”是表示“沒有”；其次講一講“ 0”不只是表示“沒有”，還有更豐富的內容。
　　在日常生活中，有時會遇到一件事物也沒有的情況。例如：全班同學都到操場上體育課去了，教室里一個同學也沒有了，這時教室里學生的人數，就用“0”表示。
　　既然“0”不僅僅是表示“沒有”，那么它還有哪些意義和作用呢？
　　（1）表示分界。“0”是正負數的分界，“0”既不是正數也不是負數，它是僅有的一個中性數。“0”對應于數軸上是一個特定點，由它決定了其他點的位置。從這點起在一條直線上的某一方向被定為正，而相反的方向則為負。因此，原點“0”比表示正負數的任何點都更重要。又如，在溫度計上，“0”度是零上溫度和零下溫度的分界。在通常情況下，攝氏零度是水開始結冰的溫度。有時說：“今天的氣溫是零攝氏度”，并不是說今天沒有溫度，而是指氣溫是零度。
　　（ 2）“ 0”占有數位。在記數時，當某個數的某些數位上一個計數單位也沒有時（即空位），就用“0”表示。例如，九十可以記作90，三百零五可以記作305。這里的“0”不能隨意增添或去掉，因為它是占有數位的。如果隨意增添或去掉，那么，不是把表示的數量擴大了若干倍就是縮小了若干倍。可知，“0”在寫數時是起到占位作用的。
　　（3）“0”可以做為起點。例如，從甲城到乙城的公路上，靠近路邊栽有里程碑，每隔1千米栽1個。開始第一個石頭樁上刻的號是“0”，表明這段公路的起點。又如，米尺上的一個端點的刻度“0”表示起點，可以把被量的物體端點放在0處起量，是準確的。
12.“ 0”的性質有哪些？
　　在小學數學教材中，有關“0”的性質分散在各部分內容里。現集中起來，簡述如下：
　　（1） 0是一個數，并且是一個整數，但0不是自然數，它比一切自然數都小。
　　（2）在十進制記數法中，0起占位的作用。
　　（3）0是一個偶數。
　　（4） 0是任意自然數的倍數。
　　（5）任何數與0相加，它的值不變，即
　　a＋0=0＋a=a。
　　（6）任何數減0，它的值不變，即
　　a-0=a。
　　（7）相同的兩個數相減，差等于0，即
　　a-a=0。
　　（8）任何數與 0相乘，積等于 0，即
　　a×0=0×a=0。
　　（9）0被非零的數除，商等于0，即
　　如果 a≠0，那么0÷a=0。
　　（10）0不能作除數。
　　例如：3÷0，0÷0，這類式子是沒有意義的。
　　隨著數學知識的擴充，0的性質也將進一步擴充。比如，當引進負數之后，0是唯一的中性數，即既不是正數，也不是負數；引入絕對值的概念后，0的絕對值等于0，即｜0｜=0；引入指數概念后，任何非零的數的 0次冪等于1，即如果 a≠0，那么a°=1；等等。
13.怎樣用羅馬數字記數？
　　羅馬數字是羅馬人創造的記數符號。基本的共有7個：1（表示1），V（表示 5）， X（表示 10），L（表示 50），C（表示 100），D（表示500），M（表示1000）。這些數字在位置上不論怎么變化，所代表的數是不變的。
　　羅馬記數法是把羅馬數字按照下列法則并列起來表示數。
　　（l）相同的數字連寫，或者把較小的數字寫在較大的數字右邊，所表示的數就等于這些數合并在一起所得的數。如Ⅲ=3.Ⅵ=6,LX=60，DCC=700，DCLXXⅧ=678。
　　（2）把較小的數字寫在較大的數字左邊，所表示的數就等于從大數里去掉較小的數后所得的數。如 Ⅳ=5--1=4，Ⅸ=10--1=9，XC=90，CD=100。
　　（3）在數字上加一條橫線，表示1000倍，或者在這數字的右下角寫一個字母M，就表示若干個千組成的數。如X是10×1000=10000；也可以寫作XM是 10×1000= 10000。
　　把這幾個方法結合起來,就可以表示所有的數。
　　如：MCMXLⅥ=1946，
　　MCMLXXXⅧ=1988。
　　13世紀以前，羅馬數字曾盛行于歐洲。由于使用不如阿拉伯記數法方便，后來就用得少了。
14.現在各國通用的數字，為什么稱為阿拉伯數字？
　　1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，稱為阿拉伯數字。是現在世界各國通用的數字。這組數字最早起源于印度，8世紀前后傳到阿拉伯。13世紀初由意大利數學家斐波那契，L，（約1170-約1250）用拉丁文寫成的《算盤書》（1202年完成，1228年修訂），系統介紹了印度數碼與記數制度，以及整數、分數的各種計算方法，結果用棄九法來驗算。還列有乘法表、素數表和因子表等若干數表。當時歐洲人只知道這些數字是從阿拉伯傳來的，稱它為阿拉伯數字，以后逐漸推廣開來。
15.怎樣理解算術及算術數？
　　算術是數學的一個分支，它主要討論非負整數、分數、小數的讀數法、記數法和它們在加、減、乘、除、乘方等運算下產生的數的性質、運算法則。算術進一步發展成為代數與數論。小學數學教材的主要內容是算術部分的知識。近來，由于增加了一些代數知識，為了使名稱和內容一致，對小學數學教材不再稱為“算術”，改稱為“數學”。
　　算術數是自然數、零和正分數（小數）的統稱。也可以稱為“非負有理數”。
16.算式、式子和算草有什么區別？
　　算式是用“＋”、”-”、“×”、“÷”等運算符號聯結數字而成的橫列的式子。例如：
　　（125+68-32）÷23=161÷23=7。
　　這就是一個算式。通常稱為橫式。
　　式子是算式、代數式、方程式等的總稱。算式可以看成是式子，但式子不一定都是算式。式子在沒有要求計算時可以不算，而算式一般都要求算出結果來。
　　算草是演算時所做的草式。通常稱為豎式，例如：
17.計數單位和數位有什么區別？
　　對于每一個數都應當有一個名稱，這樣，我們才能稱呼它，也就是才能讀出這個數來。就以自然數來說吧，自然數是無限多的，如果每一個自然數都用一個獨立的名稱來讀出它，這是非常不方便的，也是不可能做到的。為了解決這個問題，人們創造出一種計數制度，就是現在我們使用的十進制計數法。
　　十進制計數法的特點是“滿10進一”。也就是說，每10個某一單位就組成和它相鄰的較高的一個單位。即10個一叫做“十”，10個十叫做“百”， 10個百叫做“千”， 10個千叫做“萬”，……。
　　一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億、十億、百億、千億、兆、……，都是計數單位。
　　數位是指寫數時，把數字并列排成橫列，一個數字占有一個位置，這些位置，都叫做數位。從右端算起，第一位是“個位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“萬位”，等等。這就說明計數單位和數位的概念是不同的。
　　但是，它們之間的關系又是非常密切的。這是因為“個位”上的計數單位是“一（個），“十位”上的計數單位是“十”，“百位”上的計數單位是“百”，“千位”上的計數單位是“千”，“萬位”上的計數單位是“萬”，等等。例如：8475，“8”在千位上，它表示8個千，“4”在百位上，它表示4個百，“ 7”在十位上，它表示 7個十，“ 5”在個位上，它表示5個一。
18.一位數、兩位數、三位數、……是怎樣規定的？
　　用一個不是0的數字寫出的數叫做一位數。例如：1，3，9。用兩個數字，其中最左端的數字不是0，所表示的數，叫做兩位數。例如：10， 29， 87。用三個數字，其中最左端的數字不是0，所表示的數，叫做三位數。例如：100，290，607。因此，在一個數中，數字的個數是幾（其中最左端的數字不是0），這個數就叫做幾位數。
　　也有的書上是如下規定的：
　　“只用一個有效數碼表示的數，叫做一位數。用兩個數碼，其中左端第一個是有效數碼來表示的數叫做兩位數。同樣的規定多位數：三位數、四位數。”又特別指出：“除數碼0以外其他的數碼（如1，2，3，4，5，6，7，8，9）都叫做有效數碼”。
　　可以看出，在以上的規定中，常常特意強調“左端的數字不是0”，這是怎么一回事兒呢？這是因為有時在報名單的號數或者較徽等的號數上常常用“0”占據數位以防止更改。例如：數8可以寫成0008，它仍然表示8或第8號，還叫做一位數，不能叫做四位數。數97可以寫成0097，但也仍然是二位數。總之，一位數是：1--9：兩位數是10--99，三位數是100--999；四位數是1000－9999；……
　　學生也可能問“最小的一位數是不是0？”這句話本身就是不對的。首先，根據規定，如果只寫一個“0”，它不叫一位數。至于“0”這個數是否最小，應該說：在非負整數范圍內，最小的整數是0。
19.寫數的位值原則是什么？
　　同一個數字，由于它在所寫的數里的位置不同，所表示的數也不同。也就是說，每一個數字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如“ 3”，如果寫在個位上，就表示 3個一；如果寫在十位上，就表示3個十；如果寫在百位上，就表示3個百；等等。這種把數字和數位結合起來表示數的原則，我們稱它為寫數的位值原則。阿拉伯記數法就是應用這個原則，把數字和數位結合起來，可以寫出一切整數。
　　古代羅馬因為缺乏位值原則，寫數與計算非常繁難，于是，羅馬記數法就逐漸被淘汰了。
　　例如：
　
　　我國古代，用籌碼計算的時候就已經采用位值原則了。
　　有時，初學寫數的學生，常把“十九”寫成“109”，把“四十五”寫成“405”。這是什么原因呢？這是還沒有理解阿拉伯記數法的位值原則的緣故。應該進一步弄清阿拉伯記數法的特點——數字和數位結合起來記數。
20.整數包括哪些數？
　　我們認識了自然數和零之后，知道了自然數和零都是整數。即0，1，2，3，……都是整數。當我們學習了負數之后，在自然數前面添上負號“-”而得到的數叫做負整數，如-1，-2，-3，-4，…… 都是負整數。這時，正整數（自然數）、零、負整數，統稱為整數，而正整數和零可稱為非負整數。
21.數軸的三要素是哪些？
　　規定了原點、正方向和單位長度的直線，叫做數軸。原點、方向、單位長度就是數軸的三要素。
22.為什么要建立進位制？
　　由于自然數有無限多個，對于每一個自然數如果都用一個獨立的名稱或符號來讀出它或表示它，那是很不方便的，也是不可能做到的。因此，需要建立一種讀數、寫數制度--進位制。
23.進位制的基數是什么意思？
　　在一種進位制中（設為K進制），由K（K＞1）個某一單位組成一個相鄰的較高單位，這種進位制就叫做K進位制。K叫做這種進位制的底數（或稱進率），底數也可以叫做基數。
　　基數是10的進位制叫做十進位制，用十進位制記出的數簡稱為十進數。它的特點是滿10進一，它需要10個數碼；基數是2的進位制叫做二進位制，用二進位制記出的數簡稱為二進數。它的特點是滿2進一，它只需要兩個數碼--1。電子計算機是用二進制數，它只需“通電”與“斷電”兩種信號來表示0和1。
24.怎樣把二進數化為十進數？
　　二進位制的特點是“滿二進一”，它的底數是2。寫二進數只用0和1兩個數字就可以了。根據位值原則，“－”至“十”各數的寫法如下：
　　“一”記作 1，“二”記作 10，
　　“三”記作 11，“四”記作 100，
　　“五”記作101，“六”記作110，
　　“七”記作111，“八”記作1000，
　　“九”記作1001，“十”記作1010，
　　“零”記作0。
　　由于二進數只有兩個數碼，所以用通電和斷電這兩種狀態就能把它們表示出來。這樣，如果有幾組電路的通、斷，就可以表示出任意的一個二進數，并且能進行四則運算。因此二進位制廣泛應用于電子計算機中。
　　二進數可以化為十進數，十進數也可以化成二進數。
　　例：把 1011012化為十進數。
　　解：二進數的各個數位所表示的計數單位，從右起第一位是一（20），第二位是二（21），第三位是四（22），第四位是八（23）……。
　　為了把1011012化為十進數，可以把1011012先改寫成不同
　　計數單位的數之和的形式，再改寫成十進數。
　　1011012=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20
　　=1×32+0+1×8+1×4+0+1×1
　　=32+8+4+1
　　=45
　　∴10110122=45
25.怎樣把十進數（整數）化為二進數？
　　例：把43化為二進數。
　　解：根據二進數“滿二進一”的特點，可以用2連續除43。
　　43÷2=21（余1）…把21進到第二位，余下的1是第一位數字；
　　21÷2=10（余1）…把10進到第三位，余下的1是第二位數字；
　　10÷2=5（余0）…把5進到第四位，余下的0是第三位數字；
　　5÷2=2（余1）…把2進到第五位，余下的1是第四位數字；
　　2÷2=1（余 0）…把 1進到第六位，余下的 0是第五位數字；
　　1÷2=0（余1）…余下的1是第六位數字。
　　除到此，就可以寫出所求的二進數為：
　　43＝1010112
　　為了書寫簡便，可以用豎式計算：
　　∴43=1010112
　　這種方法通常叫做“二除取余法”。
26.在教學10以內數的時候，怎樣使學生建立數的概念？
　　提起10以內數的教學，不禁使人想到一個真實的故事。
　　一年級小學生聚精會神地聽老師講算術課，老師對學生說：“今天咱們學習一和二。”隨即舉起一張畫片，問道：“這張畫片上畫的是什么？”
　　學生：“畫的是皮球。”
　　老師：“畫的是幾個皮球？”
　　學生：“一個皮球。”
　　這時，老師把畫片翻轉過來，問：“這上面寫的數字念做什么？”
　　學生：“念做1。”
　　老師：“對！念做1。”
　　緊接著，老師用同樣的辦法開始講“2”了。畫片的正面畫著兩支鉛筆，背面寫著數字“2”。老師再沒有舉出其他的事例。就這樣講完了1和2，然后就指導學生練習寫數了。
　　下一次上課的時候，老師在黑板上畫了兩個皮球，讓學生到黑板上表示兩個皮球的數字，學生們舉手爭著要求來寫。照理說應該寫個“ 2”就對了。事與愿違，沒有料到，這個小學生在每個皮球下面都寫上“1”。老師問他為什么這樣寫，這個小學生理直氣壯地回答：“您不是講過嗎，‘1’表示一個皮球，那么，兩個‘1’不就是表示兩個皮球嗎！”
　　看來，這位老師講課時使用的直觀教具太少，使小學生錯誤地認為：“2”就是表示兩支鉛筆，“1”就是表示一個皮球。學生還沒有真正認識1和2，沒有獲得數的抽象概念。
　　為了使學生真正認識每一個數，教學時應通過適量的實物和直觀教具，形成抽象的數的概念。也就是應該使學生知道一個數代表一組事物的總數。例如：為了使小學生認識“2”，可以使用兩支鉛筆、兩塊橡皮、兩個茶杯、兩本書等實物以及每一張畫有兩件物品的畫片等等，使學生體會到，不管它是動物還是植物，不管它是鐵的、木頭的或是紙的，只要每一組事物的數量可以用兩個手指來表示的話，就可以寫成數字“2”。此外，兩聲響聲，兩滴水滴，也可以用“2”來表示。
　　總之，在教學10以內數的時候，正是學生認數的開始，應利用適量的直觀教具，使學生排除個別事物的干擾，也就是排除非本質特征，抽象出共同屬性--數，形成數的概念。
27.在認數的時候，為什么要學習數的組成？
　　所謂數的組成，一般地是把某一個數表示成各個不同計數單位的數之和。例如：7是7個“一”組成的；28是由2個“十”和8個“一”組成的；等等。口頭敘述的時候，常常是這樣說的。在小學階段，初學認數的時候，能夠這樣說出來就可以。假如要寫出來的話，可以寫成如下的形式：
　　28=2×10+8
　　3605=3×1000＋6×100+5
　　但是，在教學10以內各數的時候，不僅要求學生能夠說出某個數是由幾個“一”組成的，還要使學生知道某個數是由哪幾個數的和組成的。例如：8是7和1，6和2，5和3，4和4組成的；當然還可以說8是1和7，2和6，3和5組成的。至于超過10的數，例如19，可以說成是1個“十”9個“一”組成的；24，可以說成是2個“十”4個“一”組成的。
　　在認數的時候，學習數的組成，主要有以下幾個原因：
　　（1）對于新認識的數加深理解。例如，知道了7是6和1、5和2、4和3組成的，可以進一步認識到7的大小及它在自然數列中的位置。
　　（2）對于自然數列的特點有個初步的認識。從1開始，每次多1就成一個新的數。比1多1是2，比2多1是3，比6多1是7，比10多1是11，比11多1是12，等等。同時，還可以使學生體會到自然數列里的數是有次序的而且是無限的。
　　（3）對于學習四則計算是個重要的基礎。例如：10以內數的加、減法就是根據數的組成來算出的。如3加2得5，5減2得3，5減3得2，這里用不著什么計算方法，只是依靠數的組成說出得數的。尤其是10這個數，更應該熟悉它是由哪兩個數的和組成的，因為在計算進位加法與退位減法時要經常用到。至于計算乘、除法的時候也要用到數的組成知識。例如：
　　8＋7=15，初學進位加法時，用湊10法。思考過程是：把7分成2和5，2和8湊成10，10再加5得15。
　　（二九十八，寫8進1）
　　（四九三十六，是36個“十”，加上進上來的1個“十”，得37個“十”，結果是378。）
　　（在十位上商4，四九三十六，從37個“十”里減去36個“十”，余下1個“十”與個位上的8，組成18，再被9除，商2。結果是42。）
　　通過以上幾點可以看出，在認數的時候，學習數的組成，除對于所學的數可以加深理解外，更重要的是在學習四則計算法則時可以做為說明算理的依據。
　　在小學數學教學中，不僅在認識整數時要學習數的組成，在認識小數和
28.為什么說前10個自然數（一、二、三、四、五、六、七、八、九、十）是計數法的基礎？
　　為了數數，對于每一個自然數都應該給它一個名稱。當需要數的事物比較少的時候，特別是在不超過10個的情況下，我們可以伸出手來，利用10個手指，就屈指可數了。但是，遇到較多的事物需要數一數它的數目時，應該怎么辦呢？
　　人們經過多年的實踐，創造出一種計數法，就是十進制計數法。它是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十做為基礎，再添上盡可能少的新的名稱，就可以數出一切數目來。
　　不妨，我們從一數到一百，看看它們的名稱和順序是怎樣的。
　　一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，
　　十一、十二、十三、十四、十五、十六、十七、十八、十九、二十，
　　……
　　八十一、八十二、……八十九、九十，
　　九十一、九十二、……九十九、一百。
　　可以看出，前10個自然數各自有一個獨立的名稱，在“十”的基礎上，添上一，也就是十和一，我們讀作“十一”，再添上一，我們讀作“十二”。從十一到二十這10個數的名稱是利用前10個數的名稱組成的；它的順序是和前10個數的順序是一致的。再往下數的時候，我們可以數到三十、四十、五十、六十、七十、八十、九十，一直數到10個十，對于10個十，給它一個新的名稱“百”。從1個十到10十，也是利用前10個數的名稱和順序數出來的。
　　比一百大的數，仍然利用前10個數的名稱和順序往后數：一百零一、一百零二、……、一百零九、一百一十，一直數到二百、三百、……、九百、10個百，對于10個百，給它一個新的名稱“千”。再往下數，一千、二千、三千、……、九千、一直數到10個千，對于10個千，給它一個新的名稱“萬”。
　　比一萬再多的數的數法，也是利用前10個數的名稱和順序，一個一個地數下去，一萬零一，一萬零二，一萬零三，……。超過十萬、百萬、千萬、億的數，仍然按照這個規律，一個一個地數下去。
　　由此可以看出，比10大的自然數的數法都是以前10個自然數的名稱和順序為基礎的。又由于我們現在使用的計數方法是十進位制，所以說前10個自然數是計數法的基礎。
29.怎樣使學生認識“集合”呢？
　　可以結合教材內容，舉出一些實例，使學生對于“集合”有個初步的了解就可以了。例如：
　　（1）一個班的所有學生可以作為一個集合。
　　（2）在禮堂所有聽報告的人可以作為一個集合。
　　（3）某運輸隊的所有卡車可以作為一個集合。
　　（4）某專業組的所有綿羊可以作為一個集合。
　　使學生初步體會到，集合是指具有明確范圍的一些確定的對象的全體。集合也簡稱為“集”。
　　在認識集合的同時，還可以認識“元素”，為了說明什么是元素，還是舉出一些實例為好。
　　（1）一個班的每個學生是這個班的學生集合的元素。
　　（2）在禮堂里聽報告的每一個人是這個集合中的一個元素。
　　（3）某運輸隊的每輛卡車是這個運輸隊的卡車集合的一個元素。
　　（4）某專業組的每只綿羊是這個專業組的綿羊集合的一個元素。
　　使學生初步體會到，集合里的每一個對象，都叫做集合的元素。元素也簡稱為“元”。
　　一輛卡車也可以作為一個集合，這個集合只有一個元素，就是這輛卡車。一個人也可以作為一個集合，這個集合也只有一個元素，就是這個人。
　　集合中的元素可以是有限多個，也可以是無限多個。像前面所舉的4個例子，這些集合中的元素都是有限多個。但是，所有自然數的集合，它的元素就是無限多個。
　　關于集合的表示方法。小學數學教材中采用的是畫圈的方法。我們把這種表示集合的方法叫做韋恩圖（韋恩是英國一個數學家）。它是在一個集合的所有元素外面畫一個圈，直觀地表示這個集合。例如：
　　表示5輛卡車的集合。
　　它的元素是每一輛卡車。
　　表示4只綿羊的集合。
　　它的元素是每一只綿羊。
　　表示6把鐮刀的集合。
　　它的元素是每一把鐮刀。
　　表示一個書包的集合。
　　它的元素就是這個書包。
　　表示蔬菜的集合。它的元素是一棵白菜、一個茄子、一個西紅柿和一條黃瓜。
30.怎樣使學生認識“對應”呢？
　　在小學數學教材里，對于“對應”的概念沒有進行深入講解，只是通過一些插圖和簡單的事例使學生初步接觸并有所體會就可以了。例加：
　　圖中左邊是杯子的集合，右邊是杯蓋的集合。如果把杯蓋蓋在杯子上，一對一地蓋上，可以看出，每個杯子都能蓋上一個杯蓋，同時，每個杯蓋也都能蓋著一個杯子。這就是說，杯子和杯蓋是對應的，也可以說是一一對應的。還可以看出，杯子和杯蓋的數是相等的。
　　圖中上面是螺絲釘的集合，下面是螺絲帽的集合。把螺絲釘一對一地擰在螺絲帽上，可以看出，每個螺絲釘都能擰在一個螺絲帽上，而每個螺絲帽都能擰上一個螺絲釘。這就是說，螺絲釘和螺絲帽是對應的，而且是一一對應的。這時，我們可以說，螺絲釘的個數和螺絲帽相等。
　　圖中上面是花的集合，下面是花盆的集合。把每棵花一對一地栽在每個花盆里，可以看出，每棵花都能栽在一個花盆里，而每個花盆里，不可能都栽上一棵花。這就說明了花和花盆不是一一對應的。我們可以說，花的棵數比花盆的個數少，花盆的個數比花的棵數多。
　　根據小學數學教學大綱的精神，向學生適當滲透“對應”的思想，不講解它的意義。
31.怎樣使學生認識“函數”呢？
　　在小學數學教材里，不講函數概念，只是通過一些事例和計算題，使學生初步體會到數量之間的依賴關系和變化規律，向學生滲透“函數”思想。例如：
　　左邊集合中的數，分別加上9之后，得出右邊集合中相對應的結果。在這一組加法式題里，一個加數“9”是不變的，而另一個加數有變化，于是，它們的和也要隨著變化。這就是說，“和”要隨著“加數”的變化而變化。
　　左邊集合中的數，分別減去8之后，得出右邊集合中相對應的結果。在這一組減法式題里，減數“8”是不變的，而被減數有變化，于是，它們的差也要隨著變化，這就是說，“差”要隨著“被減數”的變化而變化。有時，“差”也隨著“減數”的變化而變化。
　　還有一種有趣的教具，就是函數器（如圖）。
　　先確定一個乘數“5”，貼在函數器上，左邊由一名學生把不同的數字卡片放入函數器，右邊由一名學生經過口算之后，把應得的積的數字卡片拿出來。做一做這樣的計算游戲，使學生認識到計算的結果是隨著已知數的變化而變化的，并且是有一定規律的。
　　通過計算一些象上面所舉出來的一組一組的數學題，使學生進一步認識到，事物是不斷變化的，同時，事物和事物之間又是有聯系的，變化是有規律的。也啟發了學生看事物不要把它們看成是孤立的、不變的。
32.怎樣理解概念、概念的內涵及概念的外 延？
　　概念是事物及其本質屬性在思維中的反映。或者說，概念是反映客觀事物本質屬性的思維形式。某種事物的本質屬性，就是這種事物所具有的而別種事物都不具有的性質。例如，直角三角形有兩個本質屬性，即它是一個三角形，并且其中一個內角是直角，有了這兩個本質屬性，就可以和其他概念區別開來。至于邊的長短，兩個銳角的大小，都不是直角三角形的本質屬性。由這兩個本質屬性，就構成了直角三角形的概念，即“有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。”
　　概念的內涵就是那個概念所包括的一切對象的共同的本質屬性的總和。例如，等腰三角形它有兩個本質屬性，即它是三角形，兩條邊相等。這兩個本質屬性的總和就是等腰三角形的內涵。又如， 平行四邊形有兩個本質屬性，即它是四邊形，兩組對邊分別平行。這兩個本質屬性的總和就是平行四邊形的內涵。
　　概念的外延就是適合于那個概念的一切對象的范圍。例如，平行四邊形的外延包括一般的平行四邊形、矩形、菱形和正方形。
　　概念的外延和內涵之間是互相依存而又互相制約的。在一個概念中，當它的內涵擴大時，則它的外延就縮小；當它的內涵縮小時。則它的外延就擴大。例如，等腰直角三角形的內涵有三條：（1）它是一個三角形；（2）有一個角是直角；（3）夾直角的兩邊相等。如果當它的內涵去掉一個“夾直角的兩邊相等”，那么它的外延就擴大了，把一般的直角三角形也包括進來了；如果它的內涵再去掉“有一個角是直角”，那么把一般的三角形也包括進來了。反之，當它的內涵擴大時，它的外延就縮小。又如，矩形的概念，它的外延并不包括全部平行四邊形，只包括平行四邊形的一部分，因此，矩形的外延就比平行四邊形的外延小。如果把矩形的內涵“有一個角是直角”去掉，那么它的外延就擴大了，把一般的平行四邊形也包括進來了。
33.怎樣理解定義、定理、公理和定律？
　　對定義的理解是，對于一個名詞或術語的意義的規定就是這個名詞或術語的定義。例如，“如果整數a能被自然數b整除，那么a叫做b的倍數，b叫做a的約數”，這就是倍數、約數的定義。又如，“大于直角而小于平角的角叫做鈍角”，這就是鈍角的定義。
　　把概念用文字或語言表達出來，叫做給這個概念下定義。給概念下定義常用兩種方法：一種叫做內涵法，一種叫做外延法。
　　用內涵法定義概念采用如下公式：
　　被定義概念=鄰近的種+類差。
　　例如，多邊形和四邊形都是平行四邊形的種，而四邊形就是鄰近的種。類差就是被定義的概念區別于種概念的本質屬性。例如，平行四邊形區別于其他四邊形的本質屬性是它的兩組對邊分別平 行，這樣便得出平行四邊形的定義：“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”。
　　用外延法定義概念，就是把概念所反映的具體對象一一羅列出來。例如，有理數的定義就是采用了外延法。即“整數和分數統稱為有理數”。
　　定義有兩個任務：
　　（1）把被定義的對象同其他對象區別開；
　　（2）揭示出被定義對象的本質屬性。
　　對定理的理解是，能用推理的方法證明是正確的命題叫做定理。例如，“如果兩個數都能被同一個自然數整除，那么它們的和也能被這個自然數整除”。又如，“對頂角相等”。這些都是定理。每個定理都包含“條件”和“結論”兩個部分，條件是已知的部分，結論是從條件經過推理而得到的結果。
　　對公理的理解是，人們在實踐中反復驗證過的，并且不需要再加以證明就被公認的真理叫做公理。例如，“經過兩點可以作一條直線，并且只可以作一條直線”；“經過直線外的一點，只可以作一條直線和這條直線平行。”
　　對定律的理解是，在數學中，具有某種規律性的結論叫做定律。例如，乘法對加法的分配律（a+b）c=ac+bc，就是定律。
34.怎樣理解判斷和推理？
　　對判斷的理解是，對某事物肯定或否定的思維形式叫做判斷。符合事實的判斷就是真的，不符合事實的判斷就是假的。例如，“三角形的內角和是180°”，“這所學校已經有60年的歷史了”，“張勇同學今天不來了”等，都是判斷。
　　對推理的理解是，根據判斷間的關系，由一個或幾個已有的判斷得出一個新的判斷的思維過程，叫做推理。在推理過程中，所根據的已有判斷叫做推理的前提，作出的新判斷叫做推理的結論。數學中常用的推理，有歸納推理和演繹推理。
35.等量公理有哪些？
　　等量公理有以下幾條：
　　（1）等量加等量，和相等；
　　（2）等量減等量，差相等；
　　（3）等量的同倍量相等；
　　（4）等量的同分量相等；
　　（5）在等式中，一個量可以用它的等量來代替（簡稱“等量代換”）。
36.不等量公理有哪些？
　　不等量公理有以下幾條：
　　（1）不等量加上或者減去等量，原來大的仍大；
　　（2）不等量乘以或者除以同一個正數，原來大的仍大；
　　（3）不等量加不等量，大量的和大于小量的和；
　　（4）等量減不等量，減去大的，差反而小；
　　（5）第一量大于第二量，第二量大于第三量，則第一量大于第三量；
　　（6）全量大于它的任何一部分；
　　（7）在不等式中，一個量可以用它的等量來代替。
37.十進位制的讀數原則是什么？
　　十進位制的讀數原則是：
　　（1）要有前10個自然數及零的名稱。即零、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。
　　（2）要有一系列的十進計數單位。這些單位的名稱從低到高依次為：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億、十億、百億、千億、……并且，每兩個相鄰單位間的進率都是10。也就是說，每10個某一單位就組成1個相鄰的較高單位。即通常所說的“滿10進一”。
　　（3）要有數的命名方法。數的命名是由零、一、二、三、四、五、六、七、八、九和計數單位組合而成。例如，一個數含有四個十萬、三個萬、八個千、六個百、二個十、五個一，這個數就命名為四十三萬八千六百二十五。
38.十進位制的記數原則是什么？
　　十進位制的記數原則是：
　　（1）要規定10個記數的符號。十進位制要有10個記數符號，就是：
　　0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
　　這10個符號都叫做數字，稱為阿拉伯數字。
　　（2）要規定各個計數單位的位置及順序。記數時，各個計數單位要根據它們的十進順序排列起來。
　　（3）要規定數字記在數位上的原則。每一個數位上只記一個數字，這個數字是幾，就表示這個數位上有幾個計數單位。例如，在千位上記4就表示4個千，記5就表示5個千；同一個數字記在不同的數位上就表示不同的數。例如，6記在千位上表示6個千，6記在百位上就表示6個百。就是說，記在各個數位上的每一個數字，不但有其本身的數值，還有位置值，這就是阿拉伯記數法的位值原則。
39.十進位制的讀數法則有哪些？
　　我國的讀數法則采用四位分級，即每四個計數單位組成一級，個、十、百、千組成個級，表示多少個“一”；萬、十萬、百萬、千萬組成萬級，表示多少個“萬”；億、十億、百億、千億組成億級，表示多少個“億”；……
　　根據四位分級的習慣，我國讀數法則如下：
　　（1）四位以內的數，從最高位起，順次讀出各位上的數字和單位。例如，5973讀作五千九百七十三，4862讀作四千八百六十二。
　　如果數中間或末尾有零，要按照下面的規則來讀：數中間單個的零，只讀數字零，不讀數位上的單位，如3076讀作三千零七十六，不讀作三千零百七十六；數中間連續的零，只讀一個零，如3005讀作三千零五，不讀作三千零零五；數末尾的零不讀，如1800讀作一千八百。
　　（2）四位以上的數，從最高位起，順次讀出各級里的數及它的級名。
　　例如：64 3125 7085
　　億 萬 個
　　級 級 級
　　讀作：六十四億三千一百二十五萬七千零八十五。
　　如果某級的開頭、中間有單個的零或連續的零都只讀一個零。
　　例如：2004 0070
　　萬 個
　　級 級
　　讀作：二千零四萬零七十。
　　每一級末尾的零，可以不讀。
　　例如：50 7100 3000
　　 億 萬 個
　　 級 級 級
　　讀作：五十億七千一百萬三千。
　　如果某級的整級都是零的也只讀一個零。
　　例如：23 0000 4000
　　 億 萬 個
　　 級 級 級
　　讀作：二十三億零四千。
　　但是，財政部門開具票證時，為了避免錯誤，在用漢字寫數時，除了個級以外，仍然把每一級末尾的零寫出來。
40.十進位制的記數法則有哪些？
　　用記數符號把數書寫出來的方法叫記數法。記數法要有記數的符號與法則。現在通用的記數法是十進制記數法，它有三個特點：以進位制來說是十進制，書寫的原則是位值原則，使用的符號是阿拉伯數字。
　　寫數時，從最高位起，順次寫出各級、各位的數，哪些數位上的數是零，就用“0”表示。例如，八千六百零五萬四千零九，寫作：86054009。
　　國際上許多國家沒有“萬”這個名稱，他們讀數、寫數的原則不是四位分級，而是三位分節。第一節的數位有個、十、百；第二節的數位有千、十千、百千；千千叫做密，第三節的數位有密、十密、百密；千密叫做別，第四節的數位有別、十別、百別；……這種分節法已在國際上通用。為了便于國際交往，我國也規定：寫數時，采用國際通行的三位分節法。節與節之間空半個阿拉伯數字的位置。用“，”號分節的辦法不符合國際標準和國家標準，應該廢止。（參見國家語言文字工作委員會等七個部門頒布的《關于出版物上數字用法的試行規定》）。
　　用十進制記數法記數，有時還采用下面的形式：
　　（1）用各個數位上的計數單位的數的和來表示一個數。例如：
　　8325=8千+3百+2拾+5個。
　　有時也可把各個計數單位分別表示為10的冪的形式。例如：
　　8325=8×103+3×102+2×101+5×100。
　　（2）把一個數記成a×10n的形式，其中a大于或等于1而小于10，n比原數的整數位數小1。這種記數法是科學技術上常用的一種記數法，通常稱為科學記數法。例如：
　　375000=3.75×105。
41.你知道一些數學符號的來歷嗎？
　　在數學運算中經常使用一些符號，如+，-，×，÷，=，＞，＜，（）等，你知道它們都是誰首先使用，什么時候被人們所公認的嗎？
　　加減號“+”，“-”，1489年德國數學家魏德曼在他的著作中首先使用了這兩個符號，但正式為大家公認是從1514年荷蘭數學家荷伊克開始。
　　乘號“×”，英國數學家奧屈特于1631年提出用“×”表示相乘；另一乘號“·”是數學家赫銳奧特首創的。
　　除號“÷”，最初這個符號是作為減號在歐洲大陸流行，奧屈特用“∶”表示除或比。也有人用分數線表示比，后來有人把二者結合起來就變成了“÷”。瑞士的數學家拉哈的著作中正式把“÷”作為除號。
　　等于號“=”，最初是1540年由英國牛津大學教授瑞柯德開始使用。1591年法國數學家韋達在其著作中大量使用后，才逐漸為人們所接受。17世紀微積分創始人萊布尼茲廣泛使用了這個符號，從此人們普遍使用。
　　大于號“＞”，小于號“＜”，1631年為英國數學家赫銳奧特首創使用的。
　　相似號“∽”和全等號“≌”是數學家萊布尼茲首創使用的。
　　括號“（）”，1591年法國數學家韋達開始使用括線，1629年格洛德開始使用括號。
　　
　　第一個“r”演變而來的，上面的短線是括線，相當于括號。
42.加法是怎樣定義的？
　　把兩個數合并在一起，求一共是多少的運算方法，叫做加法。在加法中，相加的兩個數叫做加數，加得的結果，叫做和。例如：47+51=98，在這加法算式中，47與51是加數，98是和。符號“+”叫做加號，讀作“加”。
　　從理論上講，加法還有以下兩種定義法：
　　定義1 （序數理論）如果數a與數b都是自然數，在自然數列中的數a之后再數出b個數來，恰好對應于自然數列中的數c，那么，數c叫做a與b的和，求兩個數的和的運算叫做加法。記作：
　　a+b=c
　　讀作“a加b等于c”。
　　a與b都叫做加數，符號“＋”叫做加號。
　　定義2（基數理論）設A、B是兩個不相交的有限集合，它們的基數分別是a和b，如果集合A與B合并所得的并集是C，那么并集C的基數c就叫做a與b的和，求兩個數的和的運算叫做加法。記作：
　　a＋b=c
　　讀作“a加b等于c”。
　　a與b都叫做加數，符號“+”叫做加號。
43.加法的補充定義是什么？
　　（1）由于集A與集B中有一個集合是非空集，而另一個集合是空集。
　　a＋0＝a 0＋a=a
　　（2）由于集A與集B都是空集，于是，所以0＋0=0
　　這就是說，當加數為零時，零與任何自然數的和仍是這個自然數；零與零的和仍得零。
44.加法的運算定律有哪些？它們在運算體系中起什么作用？
　　加法的運算定律有加法交換律與加法結合律。
　　加法交換律是：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變。就是：
　　a＋b=b＋a
　　例如：7＋5=5＋7，8＋0=0＋8，等等。
　　推廣到若干個數相加：若干個加數相加，任意交換加數的位置，它們的和不變。
　　加法結合律是：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數，或者先把后兩個數相加，再加上第一個數，它們的和不變。就是：
　　（a+b）+c=a+（b+c）
　　例如：（5+4）+3=5+（4+3），
　　（60+70）+80=60+（70+80）等等。
　　推廣到若干個數相加：若干個數相加，先把其中的任意幾個加數作為一組先加起來，再與其他加數相加，它們的和不變。
　　運算定律是運算體系中具有普遍意義的規律，是運算的基本性質，可作為推理的依據。根據運算定律來證明運算性質，根據運算定律和性質來證明運算法則的正確性，還可以使計算簡便。例如：
　　59+75+67+41+25+33
　　=（59+41）+（75+25）+（67+33）
　　=100+100+100
　　=300
45.加法運算法則是怎樣規定的？
　　多位數的加法，通常用豎式計算。法則是：
　　（1）相同數位對齊；
　　（2）從個位加起；
　　（3）哪一位上的數相加滿10的時候，要向前一位進1。
　　例如： 2734+285=3019
　
　　為什么加法法則是這樣規定的呢？這是根據加法的“和”加“和”的性質規定的。這個性質是：若干個數的和加上若干個數的和，可將第一個和中的各個加數分別加上第二個和中的一個加數，再把所得的和加起來。即
　　（a1+a2＋…+an）＋（b1＋b2+…＋bn）
　　=（a1＋b1）+（a2+b2）+…＋（an+bn）
　　其中，ai、bi是整數（i=1，2，3，……，n），ai、bi可以是零。這個性質是加法法則的依據。例如：
　　316＋247
　　=（3百+1拾+6）＋（2百+4拾+7）
　　=（3百+2百）＋（1拾+4拾）＋（6＋7）
　　=5百+5拾+13
　　=563
　　為了簡便，可用豎式計算：
46.在加法運算中，如果加數增加（或減少），它們的和將會有什么變化？
　　變化的規律有：
　　規律1如果一個加數增加一個數，另一個加數不變，那么它們的和也增加同一個數。即：
　　如果50＋30=80，那么（50＋7）＋30=87
　　一般地：
　　如果a＋b=c，那么（a＋m）+b=c＋m
　　這個規律證明如下：
　　證明：∵（a+m）+b
　　=a+（m＋b）（加法結合律）
　　=a＋（b＋m）（加法交換律）
　　=（a＋b）＋m （加法結合律）
　　=c＋m（a＋b=c）
　　∴（a+m）＋b=c+m
　　規律2 如果一個加數減少一個數，另一個加數不變，那么它們的和也減少同一個數。即：
　　如果50＋30=80，那么（50-7）＋30=73
　　一般地：
　　如果a＋b=c，那么（a-m）＋b=c-m
　　規律3 如果一個加數增加一個數，另一個加數減少同一個數，那么它們的和不變。即：
　　如果50＋30=80，那么（50＋7）＋（30-7）=80
　　一般地：
　　如果a+b=c，那么（a＋m）+（b-m）=c
47.減法是怎樣定義的？
　　減法是已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算。在減法中，兩個加數的和叫做被減數，已知的一個加數叫做減數，所求的加數叫做差。例如：258-42=216，258是被減數，42是減數，216是差。符號“-”叫做減號，讀作“減”。
　　一般地說，已知兩個數a、b，求一個數c，使c與b的和等于a，這種運算叫做減法。記作：
　　a－b＝c
　　讀作“a減b等于c”。
　　從減法的意義可知，減法是加法的逆運算。
48.減法的運算性質是哪些？
　　減法的運算性質主要有以下幾條：
　　（1）在無括號的加減混合或連減的算式中，改變運算順序，結果不變。
　　例如：70+20-30=70-30+20
　　100-40-30=100-30-40
　　一般地，a+b-c=a-c+b（a≥c）
　　a-b-c=a-c-b
　　（2）一個數加上兩個數的差，等于這個數加上差里的被減數，再減去差里的減數。（簡稱數加差的性質）
　　例如：72+（28-9）=72+28-9
　　65+（55-38）=65+55-38
　　一般地，a+（b-c）=a+b-c
　　（3）一個數減去兩個數的和，等于這個數依次減去和里的各個加數。（簡稱數減和的性質）
　　例如：78-（28+36）=78-28-36
　　64-（29+24）=64-24-29
　　一般地，a-（b+c）=a-b-c（a≥b+c）
　　a-（b+c）=a-c-b（a≥b+c）
　　（4）一個數減去兩個數的差，等于這個數減去差里的被減數，再加上差里的減數。（簡稱數減差的性質）
　　例如；87-（47-19）=87-47+19
　　92-（65-38）=92+38-65
　　一般地，a-（b-c）=a-b+c（a≥b）
　　a-（b-c）=a+c-b
　　（5）若干個數的和減去若干個數的和，可以從第一個和中的各個加數，分別減去第二個和中不大于它的一個加數，然后把所得的差加起來。（簡稱和減和的性質）即：
　　（a1+a2+…+an）-（b1+b2+…+bn）
　　=（a1-b1）+（a2-b2）+…+（an-bn）
　　其中ai≥bi（i=1，2，3，…，n），ai、bi可以是零。
　　這個性質，是減法法則的依據。
　　例如：3617-628
　　=（3千+6百+4拾+7）-（6百+2拾+8）
　　=（3千+6百+3拾+17 ）-（6百+2拾+8）
　　=3千+（6百-6百）+（3拾-2拾）+（17-8）
　　=3千+1拾+9
　　=3019
　　為了簡便，可用豎式計算：
49.減法運算法則是怎樣規定的？
　　多位數的減法，通常用豎式計算。法則是：
　　（1）相同數位對齊；
　　（2）從個位減起；
　　（3）被減數某數位上的數不夠減時，就要向相鄰較高數位退1當10，并與本數位上的數加在一起，然后再減。
　　例如：3074-896=2178
　
　　為什么減法法則是這樣規定的呢？這是根據減法的“和”減“和”的性質規定的。
50.20以內數的退位減法有幾種算法？
　　以一題為例，說明幾種不同的思考過程。
　　（1）用加算減。由于減法是加法的逆運算，可以用加法來計算減法。通常叫做以加代減。
　　15-8=？
　　------------這樣想：因為8加7等于15，所以15減8等于人。
　　① 8+7=15
　　②15-8=7
　　（2）破10法。先用10減去減數，再把所得的差加上被減數中的個位數。
　　15-8=？
　　-------這樣想：因為10減8等于2，2加5等于7；所以，15減8等于7。
　　① 10-8=2
　　② 2+5=7
　　（3）連減法。先把減數分成兩部分，使一部分與被減數的個位數相等，另一部分暫且叫做“多余的部分”。然后，先從被減數里減去與它個位數相等的那一部分減數，再用10減去減數中的多余的部分。
　　15-8=？
　　----------這樣想：因為15減5等于10， 10再減3等于7；所以，15減8等于7。
　　① 15-5=10
　　②10-3=7
　　這一種計算方法，如果運用熟練以后，這道題可以直接用10減去3就是所求的得數了。
　　這個“3”是怎樣找出來的呢，就是減數比被減數的個位數多的那一部分，就是前面所說的“多余的部分”。可以簡化成一句話：多3得7。由此推得：
　　15-7=8（因為7比5多2，所以多2得8）
　　14-8=6（因為8比4多4，所以多4得6）
　　16-7=9（因為7比6多1，所以多1得9）
　　13-8=5（因為8比3多5，所以多5得5）
　　……
　　在計算這幾個減法題的過程中，用到“多2得8”“多4得6”“多1得9”“多5得5”，可以看出一條規律，就是使這個“多余的部分”與得數相補為10。
51.為什么說20以內數的加、減法是多位數計算的基礎？
　　先從多位數加減法看。在計算多位數的加減法過程中，總是一位數對一位數地相加及相減。兩個一位數相加的和，或是得幾或是得十幾，不超過20。與其相對應的減法或是幾減幾或是十幾減幾，總稱為20以內數的加、減法。為了使多位數加減法的計算正確而迅速，首先應熟練掌握20以內數的加、減法。
　　例如：
　
　　在計算過程中有：4+9=13，5+2+1=8，3+7=10。（20以內數的
　　1083 加法）
　　又如：
　　5346在計算過程中有：6-6=0，14-9=5， 13-1-8=4，5-1-3=1。（20以內數的減法）
　　再從多位數的乘、除法看，在計算多位數乘、除法的過程中，既要用到乘法口決，也要用到加、減法。
　　例如：
　　在計算過程中用到20以內加法的地方有：8＋0=8，5＋6=11，8＋1＋2=11。
　　又如：
　　在計算過程中用到了20以內減法的地方有：16-8=8，14-1-8=5.
　　2-1-1=0，11-4=7.
　　8-1-6=1，5-5=0。
　　總之，在多位數四則計算中，常常要用到20以內數的加、減法。因此，在教學20以內數的加、減法時，要使學生算得正確而迅速，如果能夠達到脫口而出的程度，就更好了。
52.要學會計算多位數的加、減法需要哪些基礎知識？
　　需要掌握的基礎知識主要有以下幾點：
　　（1）要熟練掌握10以內數的加、減法及20以內數的進位加法、退位減法的口算。在計算多位數加、減法時，一般都要分解成一位數的加法或減法，而一位數的加減法不外乎10以內的加減或者20以內的加減，這些計算比較簡單，用口算就可以了。為了使學生能夠正確、迅速計算多位數加、減法，應熟練掌握10以內加、減法及20以內進位加法、退位減法的口算是十分必要的。
　　（2）要使學生懂得進位、退位的道理并且能夠正確運用進位、退位法則。計算多位數加、減法的時候，經常遇到進位、退位的情況。計算時要注意標明進位、退位的記號，免得忘記了進位、退位的數而發生錯誤。計算熟練以后，進位、退位記號就可以不標了。
　　（3）正確運用豎式進行計算。加法、減法豎式是人們經過長期的實踐創造出來的一種格式，在書寫時要特別注意相同數位對齊。
53.為什么說“口算是筆算的基礎”？
　　下面我們以一道“三位數和三位數相乘”的題目為例，研究一下在筆算過程中，一般需要多少次的口算。
　　例如：
　
　　①9×7=63 ②8×7+6=62
　　③3×7+6=27 ④9×4=36
　　⑤8×4+3=35 ⑥3×4+3=15
　　⑦9×6=54 ⑧8×6+5=53
　　⑨ 3×6+5=23 ⑩2+6=8
　　⑾7＋5＋4=16 ⑿2＋5＋3＋1=11
　　⒀ 1＋3＋1=5
　　如果按照運算符號統計一下，這道筆算題用了23次口算，假如有一次口算出了錯誤，這道題的結果就錯了。不難看出，口算是筆算的基礎。
　　乘法筆算如此，除法筆算也是這樣。特別是當除數是兩、三位數的時候，在試商過程中，要用到兩、三位數乘以一位數的口算。加法、減法的筆算更離不開10以內的加、減和20以內的進位加法、退位減法的口算。
　　總之，加、減、乘、除的筆算，在計算過程中，每一步都要依靠口算求出結果。要使最后的結果正確，必須保證每一步的口算不出錯誤才行。因此，在教學過程中，對學生加強口算訓練是必要的。
54.你會比較整數的大小嗎？
　　我們這里說的是非負整數。在比較兩個整數的大小時，分兩種情況說明。
　　（1）如果兩個整數的位數不相同，那么位數多的整數較大。
　　例如：3275＞978；216＞89。
　　（2）如果兩個整數位數相同，就從最高位開始比較。最高位上的數字較大的那個整數較大。如果最高位上的數字相同，就比較第二高位上的數字，第二高位上的數字較大的那個整數較大。如果第二高位上的數字也相同，再比較第三高位上的數字，……如果所有的數字都相同，那么這兩個整數就相等。
　　例如：2459＞2437；
　　3862＞3861；
　　4705=4705。
55.要掌握多位數的讀法和寫法，需要哪些基礎知識？
　　要掌握多位數的讀法，需要以下3點基礎知識：
　　（1）要掌握前10個自然數的名稱、順序和計數單位的名稱、順序。就是要掌握一、二、三、四、五、六、七、八、九、十的名稱和順序以及個、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億等計數單位的名稱、順序。
　　（2）要知道計數法的十進位制度。我們數數，采用的是十進位制度，也就是某一個單位的10倍組成與它相鄰的較高的1個單位。即10個一是1個十，10個十是1個百，10個百是1個千，10個千是1個萬……
　　（3）要學會四位一級的讀數法。為了使用較少的名稱，能夠數出較大的數來，人們創造了數的分級的辦法。我國使用的是四位一級的讀數制度，即個、十、百、千四個單位做為第一級，叫做個級；萬、十萬、百萬、千萬四個單位做為第二級，叫做萬級；億、十億、百億、千億四個單位做為第三級，叫做億級；等等。
　　要掌握多位數的寫法，還需要以下4點基礎知識：
　　（1）要掌握1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，這10個數字的寫法。字要寫得規范、美觀。
　　（2）要學會阿位伯寫數法的位值原則及用0占位的方法。當遇到哪一位上一個單位也沒有時，就寫0，用0占位。
　　（3）要牢記數位的順序。特別要記清楚第五位是萬位，第九位是億位。
　　（4）要了解三位一節的分節法。寫較大的數，有一個分節的問題，每三位一節。我國政府在1950年曾有通知：“……，為取得全國一致，并和國際習慣符合起來，今特規定數字的分位方法為三位制，……”。后來，我國國家語言文字工作委員會等七個部門頒布《關于出版物上數字用法的試行規定》中指出：節與節之間空半個阿拉伯數字的位置。
　　例如：28 613 900讀作：二千八百六十一萬三千九百。
　　985 470 000讀作：九億八千五百四十七萬。
　　以上講的，就是讀、寫多位數時，必須掌握的基礎知識。
　　在小學數學教材里，針對小學生的年齡特征，根據他們的接受能力，把這7項基礎知識，由淺入深地分別編排在各個年級，與計算法則相互配合，使學生逐步學會。教學時，要把每一項知識講解清楚并加強練習，使學生打好基礎，最后，能夠熟練掌握多位數的讀、寫法。
56.被減數中間有“0”的連續退位的減法怎樣計算呢？
　　我們舉出一道題來說明。
　　例如：200-63=137
　　計算這道題，難在什么地方呢？主要的是：個位的0減3不夠減，需要從十位退1，可是十位上還是0，初學的時候，就覺得困難了。教學時，可以這樣講：十位是0，可以從百位退1，百位的1是10個十，再從這10個十里面退1個十變為10個一，10個一減去3個一得7個一，在得數的個位上寫7；十位上還剩9個十，減去6個十，得3個十，在得數的十位上寫3；百位上的2退走了1，還剩1個百，在得數的百位上寫1。結果得137。
　　也可以講得簡單些：個位的0，減3不夠減，從十位退1是10，10減3得7（十位上雖然是0，暫時退1），十位的0，減6不夠減，從百位退1是10個十，10個十先去掉退走的1個十，還剩9個十，9減6得3，百位剩1。結果得137。
　　為了防止學生忘記退走的“1”而發生錯誤，應注意標明退位記號“·”。通常叫做退位點。
57.加法和減法有什么關系？
　　我們知道，減法是加法的逆運算。
　　例如，加法：230+370=600
　　減法：600-230=370
　　600-370=230
　　一般地，加法：a+b=c
　　減法：c-a=b c-b=a
　　可以看出，加法中的和相當于減法中的被減數，加法中的一個加數相當于減法中的減數（或差），另一個加數相當于減法中的差（或減數）。
58.你知道加法、減法怎樣驗算嗎？
　　檢查加法運算是否正確的方法叫做加法的驗算。加法的驗算
　　方法如下：
　　（1）根據加法交換律，把加數交換位置后，再加一次，如果計算是正確的，兩次加得的結果應該相同。
　　（2）用減法驗算。把加法所得的和減去其中的一個加數，如果計算是正確的，減得的結果應該等于另一個加數。
　　檢查減法運算是否正確的方法叫做減法的驗算。減法的驗算方法如下：
　　（1）用加法驗算。把所得的差與減數相加，如果計算是正確的，那么所得的結果應該等于被減數。
　　（2）用減法驗算。從被減數中減去所得的差，如果計算是正確的，那么所得的結果應該等于原來的減數。
59.在減法運算中，如果被減數、減數有變化，它們的差將會有什么變化？
　　變化的規律有：
　　規律1 如果被減數增加一個數，減數不變，那么它們的差也增加同一個數，即：
　　如果 70-30=40，那么（70+10）-30=40＋10
　　一般地：如果a-b=c，那么（a+m）-b=c+m
　　規律2如果被減數減少一個數，減數不變，那么它們的差也減少同一個數。即：
　　如果 70-30=40，那么（70-10）-30=40-10
　　一般地：
　　如果a-b=c，那么（a-m）-b=c-m
　　規律3如果減數增加一個數，被減數不變，那么它們的差就減少同一個數。即：
　　如果150--50=100，那么150-（50+30）=100—30
　　一般地：
　　如果a--b=c，那么a-（b＋m）=c-m
　　規律4如果減數減少一個數，被減數不變，那么它們的差就增加同一個數，即：
　　如果150-50=100，那么150-（50-30）=100+30
　　一般地：
　　如果a-b=c，那么a-（b-m）=c+m
　　規律5如果被減數和減數都增加（或都減少）同一個數，那么它們的差不變。即：
　　如果 380-180=200
　　那么（380+20）-（180+20）=200
　　（380--80）-（180-80）=200
　　一般地：
　　如果a--b=c
　　那么（a+m）-（b+m）=c
　　（a-m）（b-m）=c
60.乘法是怎樣定義的？
　　求幾個相同加數的和的簡便運算，叫做乘法。例如：8＋8＋8＋8＋8=40，5個8連加，可以表示為：8×5=40，式中的8表示相同的加數，叫做被乘數；式中的5表示相同加數的個數，叫做乘數；計算的結果叫做積。符號“×”叫做乘號，“8×5”讀作“八乘以五”或“五乘八”。
　　從理論上講，乘法有兩種定義法，一種是以集合為基礎概念，另一種是以加法為基礎概念。
　　定義一：設有b個沒有公共元素的等價集合A1、A2、A3、……、
　　Ab，它們的基數各是a，它們的并集C的基數為c，那么c叫做a與b的積。求兩個數的積的運算叫做乘法。
　　定義二：b個（不小于2的整數）相同加數a的和c叫做a與b的積。求兩個數的積的運算叫做乘法。
　　根據乘法定義，乘數最小應是2。但是，常常遇到乘數是1或者0的情況，因此，對乘法作補充定義：
　　（1）當乘數是1時，a×1=a
　　（2）當乘數是0時，a×0=0
　　特殊情況下，被乘數、乘數都是0時，則0×0=0。
61.乘法的運算定律是哪些？
　　乘法的運算定律有乘法交換律、乘法結合律與乘法分配律。
　　乘法交換律是：兩個數相乘，交換乘數與被乘數的位置，它們的積不變。就是：
　　a×b=b×a
　　例如：8×9=72，9×8=72，等等。
　　乘法交換律可以推廣到多個數的乘法：多個數連乘，任意交換因數的位置，它們的積不變，叫做乘法交換律的推廣。
　　例如：15×4×3=15×3×4=3×15×4
　　a×b×c=a×c×b=c×b×a
　　乘法結合律是：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘以第三個數；或者先把后兩個數相乘，再同第一個數相乘，它們的積不變，就是：
　　（a×b）×c=a×（b×c）
　　例如：（20×6）×4=480
　　20×（6×4）=480
　　乘法結合律可以推廣到多個數的乘法：多個數相乘，可以先把其中的幾個數結合成一組相乘，再把所得的積同其余的數相乘，它們的積不變。
　　應用乘法交換律、乘法結合律，有時可以使得計算簡便。
　　例如：25×23×4×3=（25×4）×（23×3）
　　=100×69=6900
　　乘法分配律是：兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘，再把兩個積相加，所得的結果不變。就是：
　　（a+b）×c=a×c+b×c
　　或 c×（a+b）=c×a+c×b
　　例如：（27+23）×10=500
　　27×10+23×10=500
　　又如：30×（12＋18）=900
　　30×12+30×18=900
　　乘法分配律也叫做乘法對加法的分配律。
　　乘法分配律可以推廣到多個加數的情況：若干個數的和與一個數相乘，可以先把每個加數與這個數相乘，再把各個積加起來，所得的結果不變。
　　應用乘法分配律，有時可以使計算簡便。
　　例如：
　　（1） 304×15=（300＋4）×15
　　=300×15+4×15
　　=4500+60=4560
　　（2）47×19+47×38+47×43
　　=47×（19+38+43）
　　=47×100=4700
62.乘法的運算性質是哪些？
　　乘法的運算性質主要有下列兩條：
　　（1）兩個數的差與一個數相乘，可以把被減數和減數分別與這個數相乘，再把兩個積相減，所得的結果不變。
　　例如：（84-70）×5=14×5=70
　　84×5-70×5=420-350=70
　　又如：35×（60-48）=35×12=420
　　35×60-35×48=2100-1680=420
　　一般地：（a-b）×c=a×c-b×c
　　或者c×（a-b）=c×a-c×b
　　（2）若干個數的和與若干個數的和相乘，可以把第一個和里的每一個加數與第二個和里的每一個加數相乘，再把所得的積加起來，所得的結果不變。
　　例如：（5+7+8）×（4+6+9）
　　=20×19=380
　　（5＋7＋8）×（4＋6＋9）
　　=5×4＋7×4＋8×4+5×6+7×6
　　+8×6＋5×9＋7×9＋8×9
　　=20＋28＋32+30+42＋48＋45＋63＋72
　　=380
　　一般地：
　　（a1＋a2＋…＋an）×（b1+b2＋…＋bm）
　　=a1×b1+a2×b1＋…＋an×b1…＋a1×b2
　　+a2×b2+…+an×b2+…+a1×bm
　　+a2×bm+…+an×bm
63.乘法運算法則是怎樣規定的？
　　在說明乘法法則的時候，我們分為一位數與一位數相乘、多位數與一位數相乘以及多位數與多位數相乘的情況來分析。
　　（1）一位數乘以一位數。根據乘法定義用同數連加的方法計算。例如：
　　7×5=7+7+7+7+7=35
　　為了計算方便，把兩個一位數相乘的結果編成乘法口決。應用乘法口決，就能直接說出任意兩個一位數相乘的結果。
　　（2）多位數乘以一位數。可以把多位數寫成不同計數單位的數之和的形式，然后根據乘法分配律的推廣進行計算。例如：
　　2514×3=（2000+500+10+4）×3
　　=2000×3+500×3+10×3+4×3
　　=6000+1500+30+12
　　=7542
　　寫成豎式就是：
　　總之，多位數乘以一位數的法則是：用多位數的個位、十位、百位、……上的數依次乘以一位數，哪一位上乘得的積滿幾十就向前一位進幾。
　　（3）多位數乘以多位數。可以先把乘數寫成不同計數單位的數之和的形式，然后根據乘法運算性質進行計算。例如：
　　264×315=264×（300+10+5）
　　=264×300+264×10+264×5
　　=79200+2640+1320
　　=83160
　　寫成豎式就是：
　　總之，多位數乘以多位數的法則是：兩個多位數相乘，可以依次用乘數的個位、十位、百位、……上的數去乘被乘數，再把各部分積加起來。
64.怎樣確定兩個自然數的積的位數？
　　兩個自然數的積的位數，等于這兩個數的位數的和，或者比這個和少1。
　　例如：一個三位數和一個二位數相乘，它們的積可能是五位數或者是四位數。
　　（1） 314×56=17584……積是五位數；
　　（2）134×56=7504……積是四位數；
　　（3）214×54=11984……積是五位數。
　　判斷積的位數的方法：
　　①如果兩個因數最高位上的數的積等于或大于10，或者雖然小于10，但加上進位來的數以后就等于或大于10，那么它們的積的位數就等于兩個因數的位數之和。如（1）、（3）式。
　　②如果兩個因數的最高位上的數的積小于10，而且加上進位來的數以后仍小于10，那么這兩個因數的積的位數就比兩個因數的位數的和少1。如（2）式。
65.有一種計算乘法的格式叫“鋪地錦”，你知道嗎？
　　鋪地錦是計算乘法的一種格式，它的方法是，先畫方格的斜線，記入數字進行計算，形如織錦，因此稱為“鋪地錦”。原來是流行于阿拉伯的一種古算，15世紀傳入我國。例如：467×34=15878。采用“鋪地錦”方法計算，如圖所示：上邊橫欄的三四是乘數，右邊直行的四六七是被乘數。中間各方格斜劃中的數字，是部分乘積，乘積的“個位數”寫在斜線下角，乘積的“十位數”寫在斜線上角。乘數與被乘數各個位上的數逐一相乘之后，再把同一斜線內各數相加，逢到進位時，橫欄進入前格，直行進入上格。如圖中，同一斜線內的四、二、一相加為七，在線下邊寫七，其次六、二、八、二相加為十八，在左邊直行相應的格中寫八，數一則進入上格與同一斜線內的一、二、一相加為五。這樣自右起，依次寫于下邊及左邊各格內，即得乘積一五八七八。
66.什么叫做“部分積”？
　　在乘法中，如果乘數是兩位或兩位以上的數，乘的時候，就要
　　用乘數的每一位去乘被乘數，每次乘得的積，叫做部分積，或叫做不完全積。
　　例如：
67.在乘法運算中，如果因數擴大（或縮小）若干倍，它們的積將會有什么變化？
　　積的變化規律主要有以下兩條：
　　規律1如果一個因數擴大（或縮小）若干倍，另一個因數不變，那么它們的積也擴大（或者縮小）同數倍。即：
　　如果6×5=30，那么（6×2）×5=60
　　又16×5=30，那么（6÷2）×5=15
　　一般地：
　　如果 a×b=c，那么（a×n）×b=c×n
　　如果a×b=c，那么（a÷n）×b=c÷n（a能被n整除）
　　規律2如果一個因數擴大若干倍，另一個因數縮小同數倍，那么它們的積不變。即：
　　如果5×6=30，那么（5×2）×（6÷2）=30
　　一般地：
　　如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c（b能被n整除）
　　舉例：兩個數相乘，如果一個因數擴大12倍，另一個因數縮小4倍，它們的積有什么變化？
　　解：設a×b=c
　　那么（a×12）×b=c×12（積的變化規律）
　　（a×12）×（b÷4）=（c×12）÷4（積的變化規律）
　　=c×（12÷4）（除法運算性質）
　　=c×3
　　（a×12）×（b÷4）=c×3
　　答：它們的積擴大3倍。
68.為了熟記乘法口訣，對于口訣表可以橫著背，豎著背，為什么還要拐彎背？
　　為了便于說明，先列出乘法表。（這里只列出乘法式子，沒有列出乘法口訣）
乘法表
　　按照乘法表的順序橫著讀，同講課的順序一致，比較熟悉，容易記憶。豎著讀，換一個方式，目的是為了達到熟記。拐彎讀，指的是按照橫行讀某個數的乘法口訣，讀到最后一句時，拐一個直角彎，繼續讀，讀到該數與九相乘的口訣為止。例如，六的乘法口訣， 從一六得六讀到六六三十六，再繼續讀六七四十二，六八四十八，六九五十四。又如，讀完七七四十九，繼續讀七八五十六，七九六十三。這樣讀的目的是，當遇到商大于除數的除法時便于找商。因為在計算商大于除數的除法時，利用口訣（假如只是橫著讀的話），不大容易找到商。例如：28÷4，有的同學一看到是除以4，就去背4的乘法口訣，從一四得四背到四四十六，在教材里，4的乘法口訣就是這些，只有在7的乘法口訣里，才有四七二十八。如果指導學生經常練習拐彎讀，就可以彌補這個缺陷了。
　　教學時，要使學生理解乘法口訣的意義，并采用各種練習方式使學生背熟，以便在計算乘、除法時能夠靈活運用。
69.什么是“小九九”，什么是“大九九”？各有什么特點？
　　現在小學數學教材里使用的乘法口訣是45句的，就是平常所說的“小九九”。它的特點是,在每句口訣里表示相乘的兩個數,第一個數總是不大于第二個數，遇到相乘的兩個數相同時，該數的口訣就結束了。例如：5的乘法口訣，一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。至于五六三十，是在6的口訣里，五七三十五呢，在7的口訣里。
　　還有一種是81句的乘法口訣，它的特點是，不管哪個數的乘法口訣，都是從1到9。例如：5的乘法口訣，一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五，六五三十，七五三十五，八五四十，九五四十五。平常稱這種口訣為“大九九”。
　　總之，“小九九”只有45句，便于記憶；而“大九九”呢，共有81句，便于試商。下面根據試商過程中應用乘法口訣的情況作簡要說明。
　　（1）商大于除數的情況。例如：15÷3=5.24÷4=6，35÷5=7，48÷6=8，63÷7=9，……。當學生遇到48÷6=？的時候，他們總是先想6的口訣，可是在6的乘法口訣里，最大是“六六三十六”，找不到六八四十八。為了彌補“小九九”的這種缺陷，在指導學生讀乘法口訣表時，除可以橫著讀、豎著讀之外，還應該拐彎讀。即
　　一五得五，二五一十，三五一十五，四五二十，五五二十五。
　　一六得六，……五六三十，
　　一七得七，……五七三十五，
　　一八得八，……五八四十，
　　一九得九，……五九四十五，
　　學生掌握了這種讀口訣的方法之后，當遇到“45÷5”的時候，如果只用5的口訣，最多是五五二十五。按照拐彎讀的方法，繼續讀出：五六三十，五七三十五，五八四十，五九四十五！得數是9。（2）商小于除數的情況。例如：63÷9=7，48÷8=6，35÷7=5，24÷6=4，15÷5=3，……。實踐表明，學生見到除數是9，難免要先想到9的口訣，九幾六十三呢？在“小九九”里，沒有九幾六十三，學生背得滾瓜爛熟的是“七九六十三”，不熟悉“九七六十三”。這樣說來，采用“大九九”，確實是便于試商的
70.20句的進位加法表與36句的進位加法表各有什么特點？
　　為了便于分析，我們先把兩種情況的進位加法表列出來。
20句的進位加法表
　　這個進位加法表，它的特點是，第一個加數總是不小于第二個加數。例如：
　　7＋4=11，7＋5=12，7＋6=13，7＋7=14。當計算到差小于減數的題目時，比較順利，即正確率較高，速度也比較快。即11—7，因為學生熟悉7加4得11，所以很快得出4。又如，12—7，因為學生熟悉7加5得12，所以很快得出5。但是遇到差大于減數的情況時，學生的錯誤率較高，這是什么原因呢？我們看下面兩例。11-4，4加幾得11呢，在這20句的進位加法表里，只有7加4得11，而沒有4加7得11；又如12—5，5加幾得12呢？在這20句的進位加法表里，只有7加5得12，而沒有5加7得12，學生不熟悉，計算起來錯誤率較高，速度也比較慢。為此，使學生熟悉36句的進位加法表是比較好的。
　　在36句的進位加法表里，不局限于“第一個加數不小于第二個加數”的范圍，有9＋2=11，也有2＋9=11，有7＋5=12，也有5＋7=12。再遇到差大于減數的情況，就可以比較迅速地求出得數來了。
36句的進位加法表
71.被乘數末尾有“0”的乘法，怎樣計算比較簡便？
　　被乘數末尾有“0”的乘法，可以用乘數去乘“0”前面的數，再看被乘數末尾有幾個“0”，就在乘得的數的末尾添上幾個“0”，就是所求的積。這是一種簡便計算方法。下面舉出兩例予以說明。
　　可以這樣想：2400可以用“一”作單位，即2400個“一”；也可以用“百”作單位，即24個“百”。用3去乘得72個“百”，把這個結果寫出來，需要在72后面添上兩個0，來補足位數；而被乘數末尾的兩個0直接落下來，正好是需要補足位數的兩個0。如果被乘數末尾有三個0，可以看作以“千”為單位的數。……總之，依據這個道理，不管被乘數末尾有幾個0，都可按照這個規律進行計算。
　　掌握這個規律，遇到被乘數是整十、整百、整千的口算題，都可以用上述方法進行簡便計算。
　　例如：34000×2，可以先口算34×2=68，然后在68的末尾添上三個0，即可得出正確的積：68000。
　　應該在理解的基礎上掌握這種簡便計算方法，在條件符合時，無論是筆算還是口算，都可以顯示出準確而又迅速的優點。
72.乘和乘以有什么區別？
　　兩個數相乘有兩種讀法——“乘”和“乘以”。被乘數讀在前用“乘以”，而乘數讀在前則用“乘”，例如“5×4”讀作“5乘以4”或讀作“4乘5”。“4乘5”表示4個5相加，而“5乘以4”仍然表示4個5相加。其中“以”是“用”的意思或“拿”的意思。“5乘以4”可以解釋為用4去乘5。
73.怎樣利用加法交換律和加法結合律進行簡便運算？
　　根據相加各數的具體情況，再根據加法交換律和加法結合律進行簡便運算。例如：
　　（1）87+59+36＋13+64＋41
　　=（87＋13）＋（59＋41）+（36＋64）
　　=100＋100＋100
　　=300
　　（2）125+62+137+75+63+138
　　=（125+75）+（62+138）+（137+63）
　　=200+200+200
=600
74.怎樣利用乘法交換律和乘法結合律進行簡例運算？
　　在乘法運算中，根據相乘各數的具體情況，再根據乘法交換律和乘法結合律進行簡便運算。
　　我們先看看利用乘法交換律使運算簡便的情況。例如：
　　74×356=356×74
　　用豎式計算74×356就不如用豎式計算356×74簡便。這是由于乘數是三位數，在計算過程中，必然出現三個“部分積”，如果被乘數和乘數交換位置，變成356×74，豎式中的“部分積”相應地減少了1個，部分積相加時，又減少了一個加數，當然最后的積還是不變的。這樣簡化了運算步驟。
　　又如：89×25×125×4×8
　　=89×（25×4）×（125×8）
　　=89×100×1000
　　=8900000
　　通過上題可以明顯看出：利用乘法交換律與乘法結合律，運算簡便得多了。特別是25×4=100，125×8=1000，脫式的過程都可以采用口算，既迅速又正確。
　　在四則混合運算中，乘法部分常常出現一些簡便的因素，根據乘法運算定律，針對題目的具體情況，靈活地選擇使用，就可以簡化計算步驟，又保證了結果的正確。這對于鍛煉學生靈活運用知識的能力，也是大有益處的。
75.怎樣利用乘法分配律進行簡便運算？
　　讓我們先解答一道題，研究利用乘法分配律進行簡便運算的情況。
　　例如：某校買了23張辦公桌，單價是106元，求共用了多少錢？
　　這道題列式為：106×23，按照正常的計算方法，是三位數乘以兩位數，用豎式進行計算時，過程是比較繁雜的，如果利用乘法分配律，則可以使運算變得簡便。
　　106×23=（100＋6）×23
　　=100×23＋6×23
　　=2300＋138
　　=2438（元）
　　又如，遇到如下情況的題目，也可以利用乘法分配律進行簡便運算。
　　29×7+55×7+16×7=（29＋55+16）×7
　　=100×7
　　=700
　　這道題里的三項都有因數7，針對這種情況，就可以利用乘法分配律進行簡便運算。
76.一位數乘兩位數的口算，要從高位開始，優點是什么？
　　一位數乘兩位數的筆算是從低位開始的，但是，口算這類題的時候，又要求從高位開始。因為筆算時，先求出兩位數中低位的積，這個積可以用筆記錄下來，不需要默記，而每一步計算，都用筆記錄，不容易出錯。口算呢，從高位開始，“積”的出現是先高位后低位，和讀數的順序一致，同時，先默記同高位數的乘積，再加上同低位數的乘積，是比較容易求出兩個部分積之和的。例如：
　　38×2，口算時，可以這樣想：兩個30是60，兩個8是16，60加上16等于76。又如：29×3，口算過程是，三個20是60，三個9是27，60加上27等于87。
77.乘數是11的乘法，怎樣計算比較簡便？
　　一個數乘以11，等于這個數用1乘了一次，又用10乘了一次。用1乘了之后，仍得原數，用10乘了之后，所得的數是原數后面添一個“0”。形成了兩個被乘數錯位相加的情況。例如：
　　通過這幾個例題可以看出：一個兩位數乘以11，積的首位數字就是被乘數的十位數字，積的末位數字就是被乘數的個位數字，積的中間數字恰恰是被乘數十位數字與個位數字的和。這個速算的規律是：被乘數首尾數字不變，在中間插入首尾數字的和，就是所求的積。簡單地概括為：“兩頭一拉，中間一加”。
　　上述這個基本的速算規律，在實際應用時，還要注意以下兩點。
　　（1）當中間數字（首尾相加的和）滿10時，要向前一位進1。例如：
　　（2）遇到多位數乘以11時，這個規律也是適用的，即：首尾拉開后，相鄰兩數依次相加，順序將結果寫在中間，遇到滿10的時候，仍向前一位進1。現分別舉例如下：
78.要學會計算多位數乘、除法，需要哪些基礎知識？
　　需要掌握的基礎知識主要有以下幾點：
　　（1）要熟練掌握乘法口訣。乘法口訣是學習乘、除法運算的基礎，整數乘法在計算過程中，都是根據一位數乘一位數的乘法口訣進行計算的，而除法是根據乘、除互逆關系求商，也離不開乘法口訣。因此，熟練掌握乘法口訣對于正確迅速地計算多位數的乘、除法關系很大。
　　（2）要掌握兩個一位數相乘再加一位數的口算及兩位數乘以一位數的口算能力。兩個一位數相乘再加一位數的口算，在計算乘法時經常用到。兩位數乘以一位數的口算，在除法試商過程中經常用到。當除數是三位數時，可以把這個三位數看成是幾百幾十，再用口算與試商的一位數相乘。
　　（3）要懂得乘法豎式中“對位”的道理及除法試商過程中又有乘又有減的道理。乘法豎式中的“對位”，主要指積的數位問題。
　　例題1：
　　例題2：
　　在例題1里，用乘數十位上的2去乘4時，得8，這個8是8個十，應該在積的十位上寫8。在例題2里，1824除以24（如果按均分來解釋的話），把1824平均分為24份，每份應該是多少。先說第一步，每份先分得7個十，24份就要分掉（24×7=）168個十，那么總數里還剩下多少呢，就要用到減法。這就是說，在除法試商過程中要用到乘法、加法和減法。
　　以上三點，是計算多位數乘、除法的基礎知識，在教學過程中，應給以足夠的重視。
79.除法是怎樣定義的？
　　已知兩個因數的積與其中的一個因數，求另一個因數的運算叫做除法。在除法中，已知的兩個因數的積叫做被除數，已知的一個因數叫做除數，所得的因數叫做商。例如：91÷7=13，91是被除數，7是除數，13是商。符號“÷”叫做除號。
　　一般地說，已知整數a與自然數b，要求一個整數q，使q與b的積等于a，這種運算叫做除法，q叫做a除以b的商。
　　a除以b等于q，記作a÷b=q，讀作“a除以b等于q”，或讀作“b除a等于q”。
　　從除法的意義可知，除法是乘法的逆運算。
80.除法的運算性質是哪些？
　　除法的運算性質主要有以下幾條；
　　（1）在無括號的乘除混合或連除的算式中，改變運算順序，結果不變。
　　例如：36×7÷4=36÷4×7
　　36÷9÷2=36÷2÷9
　　一般地，a×b÷c＝a÷c×b（a能被c整除）
　　a÷b÷c=a÷c÷b（a能被bc整除）
　　這條性質也適用于含有三個以上的數的算式。例如：37×45×11÷15=37×45÷15×11。
　　應用這條性質進行計算時，要注意整除的條件，就是使變化后的算式中的除法能夠整除。例如：40×9÷18×7，可以變成40×9×7÷18，而不能變成40÷18×9×7，因為40不能被18整除。
　　（2）一個數乘以兩個數的商，等于這個數乘以商中的被除數，再除以商中的除數。這條性質可以簡稱為“數乘以商的性質”。
　　例如：2×（75÷15）＝2×75÷15
　　或

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