資源簡介

十、幾何初步知識
279．什么叫做幾何學和幾何圖形？
　　幾何學是數學的一門分科，它是研究物體的形狀、大小和相互位置關系的科學，也就是研究現實客觀世界空間形式和數量關系的一門科學。
　　在我們的周圍世界里，各種物體都具有形狀、大小和相互之間的位置關系。例如：課桌的桌面是長方形的，魔方的每個面是正方形的，各種車輪的形狀是圓的。魔方有大小之分，魔方的面的大小也是不一樣的；汽車有大小，自行車也有大小，同樣是車輪，大小也不相同。還應該看到，物體與物體之間，有著相互位置關系。例如：上下關系、前后關系和左右關系等。
　　公元前338年，希臘數學家歐幾里得總結了勞動人民在實踐中獲得的幾何知識，并加以系統整理，按照圖形在平面或空間的形式，在幾何學中分出了“平面幾何”和“立體幾何”兩個分支。
　　由于幾何學是研究物體的形狀、大小和相互位置關系的科學，根據研究結果加以抽象概括，便產生了幾何圖形。幾何圖形是由點、線、面結合而成的，也是點、線、面的集合。一個圖形所有的點，都在同一平面內，這樣的圖形叫做“平面幾何圖形”，如長方形、正方形、三角形、梯形和圓等圖形，都是平面幾何圖形。如果一個圖形的點不全在同一平面內，這個圖形就叫做“立體幾何圖形”，如長方體、圓柱體和圓錐體等圖形，都屬于立體幾何圖形。
280．什么叫做點、線、面、體？
　　點：在平面上只有位置，沒有大小（即沒有長、寬、高），不可分割的。線和線相交于一個點。也可以理解為“點”是“線”的界限。
　　在幾何中，用大寫字母表示點。如，圖中的A點、B點、C點。
　　線：如果兩個面相交，就會交出一條線來。也就是面和面相交于線。一張紙對折起來的痕跡就是“線”。也可以理解為“線”是“面”的界限。
　　線有直線和曲線等。如：長方體相鄰的兩個面相交于一條線（也就是長方體的一條棱），就是直線。圓柱體的側面和一個底面相交的一條線，就是曲線。
　　線只是面與面相交的界限，它沒有大小（即粗細），只有長短，或者說，線只有長，而沒有寬和高。
　　面：任何物體都占一定的空間，都是用它的表面和周圍分割開來。因此，可以說“體”是由“面”圍成的。如：課本的封面、黑板的面、粉筆的截面、水桶的側面和底面等都是“面”。也可以理解為“面”是“體”的界限。
　　由于面是物體的表面，如果放棄物體的本身，只單獨想象物體的表面，這樣的面就是幾何的面。幾何里的面是沒有厚度的（即：高），所以，面只有長和寬，而沒有高。
　　體：當我們只研究一個物體的形狀、大小而不研究它的其它性質（如顏色、重量、硬度等）的時候，我們就把這個物體叫做幾何體，簡稱“體”。例如：一塊磚與一個和磚完全一樣的紙盒，雖然它們的顏色、重量、硬度以及制作材料都不同，只要它們的形狀、大小都相同，就可以認為它們是完全相等的兩個幾何體。就上述的磚和紙盒來說，它們是兩個相同的長方體。
281．直線、射線和線段有什么不同？
　　直線、射線和線段是易于混淆的三個概念，它們之間也是有聯系的，直線是基礎，射線和線段是直線概念的發展。它們也是有區別的，這是它們之間的主要方面。
　　首先看直線，一點在空間沿著一定方向和相反方向運動，所成的圖形就是直線。一張紙的折痕、雙手拉緊的線，都給人以直線的形象。我們把直線看作可以向兩方無限延伸的，直線是無頭無尾的，即是沒有端點的。
　　直線可以用表示它上面任意兩點的兩個大寫字母來表示。例如，直線AB，或直線BA；也可以用一個小寫字母表示一條直線。例如，直線l（如下圖）。
　　經過一點，可以畫無數多條直線，但是,經過兩點卻只能畫出一條直線，這就是直線的基本性質。
　　除此之外，兩條直線相交，只有一個交點。
　　其次看射線，在直線上某一點一旁的部分叫做射線。這一點叫做射線的端點。射線的另一端是可以無限延伸的，因此，沒有端點。射線只有一個端點；是一條半直線。類似探照燈光和手電筒所射出的光線，都可以看作射線的實際例子。
　　射線通常用表示它的端點和射線上另外一點的兩個大寫字母來表示，并且把表示端點的字母寫在前面。例如，以點O為端點的射線，可以在射線上再取一點A，記作：射線OA（如圖）。
　　最后再看線段，直線上任意兩點間的部分叫做線段。具有一定長度的拉直了的細繩，可看作線段的實際例子。線段是有長短的，因此可以進行度量。
　　線段通常用表示它的兩個端點的大寫字母來表示。例如，線段AB，或者線段BA。也可以用一個小寫字母表示。例如，線段a（如下圖）。
　　在連結兩點的所有線中，線段最短。這就是線段的基本性質。
282．什么叫做“角”？
　　幾何中所指的“角”的定義是：從一點畫出的兩條射線所組成的圖形，叫做“角”。這里所說的點（即兩條射線的端點），叫做角的“頂點”，構成角的兩條射線，叫做角的“邊”。
　　角的大小與兩邊的長短無關，只與角兩邊的相互位置關系有關。這一點，在初學時很容易混淆，必須引起注意。
　　角用符號“∠”來表示。
　　如：
　　從圖2中可以看到：角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而成的。
　　一個角一般有以下三種表示方法：
　　（1）用“∠”與三個大寫字母表示角。
　　如：
　　圖3中的角記作：∠AOB；
　　圖4中的角記作：∠BOC，∠AOB，∠AOC。
　　（2）用“∠”與一個大寫字母表示角。
　　這里所指的一個大寫字母，應該是角頂上的字母。而且這種用一個大寫字母表示角的方法，只適用于單個的角。如圖3，用∠O來表示，如果是具有共同頂點的兩個或兩個以上的角時，則不能用這種方法來表示角。如圖4，如果用∠O來表示，就表述不清到底∠O表示哪個角。
　　（3）用“∠”與一個小寫希臘字母或一個數字表示角。
　　例如：下圖中的角分別記作：∠1、∠2、∠α、∠β。
283．幾何中的角可分為哪幾種？
　　（1）周角：一條射線繞著它的端點，按逆時針方向旋轉，轉到這條射線回到它的原來的位置時，就形成了一個周角。
　　如圖
　　圖中的OA繞它的端點O．按逆時針方向旋轉，轉到這條射線又回來的位置，形成了一個周角。一個周角等于360°，一個周角是一個平角的2倍。
　　（2）平角：一條射線繞著它的端點，按逆時針方向旋轉，轉到和原來位置成為一條直線，這時所成的角，叫做平角。
　　如圖
　　圖中的射線OA繞它的端點O，按逆時針方向旋轉，轉到射線OB的位置上（射線OA與射線OB構成一條直線），形成一個平角。
　　一個平角等于180度，記作180°。
　　（3）優角：一個大于平角又小于周角的角，叫做優角。優角在小學數學教材中沒有出現，但在教學中常常遇到學生提出這樣的問題：比周角小又比平角大的角叫什么角？ 181°的角是什么角等等。
　　如圖
　　優角大于180°，小于360°。
　　（4）直角：等于平角一半的角，叫做直角。
　　如圖
　　直角通常記作“RT∠”。直角的大小通常用d來表示，這樣，平角等于2d，周角等于4d。
　　（5）鈍角：一個比平角小又比直角大的角叫做鈍角。
　　如圖
　　鈍角的度數大于90°，小于180°。
　　（6）銳角：小于直角的角叫做銳角。
　　如圖
　　銳角小于90°。
　　（7）余角：當兩個銳角∠AOB與∠BOC之和等于一個直角∠AOC時，其中一個角∠BOC叫做另一個角∠AOB的余角。這兩個角叫做互為余角。
　　如圖
　　（8）鄰角：當兩個角有一個公共的頂點，有一條公共的邊， 這兩個角另外兩條邊在公共邊的兩側，這兩個角叫做互為鄰角。
　　如圖
　　圖中的OC是∠AOC與∠COB的公共邊，∠AOC是∠COB的鄰角；∠BOC也是∠COA的鄰角。
　　（9）補角：兩個角的和等于平角，這兩個角叫做互為補角。也就是說，其中任一個角是另一個角的補角。
　　如圖
　　圖中的∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角，或者說，∠1與∠2互為補角。
　　（10）對頂角：把一個角的兩邊分別向相反方向延長，這兩條延長線所夾的角，叫做原角的對頂角。
　　如圖
　　圖中的∠AOD與∠BOC、∠AOB與∠DOC；
　　兩對頂角是相等的。圖中的∠AOD=∠BOC；∠AOB＝∠DOC；。
　　（11）三線八角：
　　兩條直線被第三條直線所截，所得的
　　八個角，叫做三線八角。
　　圖中的l1、l2、l3 和∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8就是三線八角。按上述
　　八個角的相互位置，給以下列不同名稱：
　　①同位角：當形成三線八角時，如果有兩個角分別在兩條直線的同一方，并且在第三條直線的同一旁，這樣的一對角，叫做同位角。
　　如圖中的∠1與∠5、∠2與∠6、∠4與∠8、∠3與∠7都是同位角。
　　②內錯角：如果兩個角都在兩直線的內側，并且在第三條直線的兩側，那么這樣的一對角叫做內錯角。
　　圖中的∠6與∠6、∠4與∠5都是內錯角。
　　③外錯角：如果兩個角都在兩直線的外側，并且在第三條直線的兩側，那么這樣的一對角叫做外錯角。
　　圖中的∠1與∠8、∠2與∠7都是外錯角。
　　④同旁內角：如果有兩個角都在兩條直線的內側，并且在第三條直線的同旁，那么這樣的一對角，叫做同旁內角。
　　圖中的∠3與∠5、∠4與∠6都是同旁內角。
　　⑤同旁外角：如果有兩個角都在兩條直線的外側，并且在第三條直線的同旁，那么這樣的一對角，叫做同旁外角。
　　圖中的∠1與∠7、∠2與∠8都是同旁外角。
284．垂直和垂線有什么不同？
　　垂直和垂線是兩個不同的概念。垂直的含義是：兩條直線相交成直角，這兩條直線叫做互相垂直。
　　圖中的直線AB與直線CD相交于O，并且它們所成的角等于90°，因此，直線AB與CD互相垂直。
　　在兩條相互垂直的直線中，其中一條直線叫做另一條直線的垂線。它們的交點叫做垂足。
　　垂直通常用符號“⊥”來表示。如圖中的AB垂直于CD，可記作AB⊥CD，讀作AB垂直于CD。有時為了把垂足也表示出來，也可以寫作 AB⊥CD于O，讀作： AB垂直于CD于O點。
　　垂線還具有以下兩個性質：
　　（1）經過一點且只有一條直線垂直于已知直線；
　　（2）從直線外一點到這條線上的各點所連結的線段中，和這條直線垂直的線段最短。
　　畫垂線時的要點是什么？
　　通常畫垂線所借助的工具有兩種：一種是借助“三角板”畫垂線；另一種是借助“直尺、圓規”來畫垂線。
　　用三角板畫一條直線的垂線，一般所給的條件有兩種：
　　（1）過直線外一點畫這條直線的垂線。
　　（2）過直線上的一點畫這條直線的垂線。
　　如圖：
　　例如：已知點P是直線AB外的一點，用三角板過P點作PO垂直于AB。
　　如圖①，把三角板一條直角邊靠在直線AB上（即把三角板的一條直角邊與直線AB重合），并沿AB移動，使另一條直角邊靠上P點，固定住三角板，并用鉛筆沿著這另一條直角邊畫一條直線PO，直線PO與直線AB交于O點，這樣，PO就是直線AB的垂線。
　　用一個三角板作垂線時，往往在接近垂足O點處的一段不容易作得很好。可以采用另一種方法，如圖②所示：用兩個三角板，把一個三角板（如虛線中的三角板）先固定住，然后把另一個三角板與它靠緊，再拿去第一個三角板，固定住第二個三角板，用鉛筆沿著第二個三角板的一條邊（靠上P點的一條邊）畫一條直線PO。這種方法的關鍵是第二個三角板靠P點的一條邊與直線AB相交，因此，在垂足O處，可以畫得準確些。
　　又如：已知點P是直線AB上的一點，用三角板過P點作PC垂直于直線AB。
　　如圖：
　　如圖①，把三角板的一條直角邊靠在直線AB上，沿著AB移動，使另一條直角邊靠上P點（即直角頂點靠上P點）時，把三角板固定，并且用鉛筆沿這另一條直角邊畫一條直線PC與直線AB相交于P點，則PC是AB的垂線。
　　與上例相同，也可以按圖②所示，用兩個三角板，當第一個三角板的一條直角邊靠在直線AB上，沿AB移動到另一條直角邊靠上P點時，固定住三角板，把第二個三角板的一條邊與它靠緊，然后拿掉第一個三角板，用鉛筆沿第二個三角板靠P點的一邊畫一條直線PC，則PC是AB的垂線。
　　用直尺和圓規畫一條直線的垂線時，通常有兩種情況：
　　（1）過直線AB外的一點P作AB的垂線。
　　（2）過直線AB上的一點P作AB的垂線。
　　如圖：
　　如圖①，以P為圓心，以大于P到AB的距離為半徑作弧，交AB于E、
　
　PD，PD交AB于O，則PD是AB的垂線，垂足為O。
　　如圖②，以P點為圓心，以任一長為半徑作弧交AB于E、F；以E、
　
　　的垂線，垂足為P。
285．平行與平行線有什么關系？
　　平行與平行線是兩個不同的概念，它們之間又有著內在的聯系。
　　平行的概念是指直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關系。當線與線、線與面、面與面平行時，其共同特點是沒有公共點。但一組直線平行，除了直線之間沒有公共點之外，這組直線必定在同一個平面上。通常用“∥”表示平行。
　　平行線的概念是指在同一平面內，兩條不相交的直線，叫做平行線。
　　如圖：
　　直線AB與CD，無論怎樣把它們向兩方無限地延長出去，這兩條直線是永遠不會相交的。類似這樣的兩條直線，就是平行線。
　　可記作 AB∥CD，讀作AB平行于CD。
　　平行線具有以下幾個性質：
　　（1）經過直線外一點，且只有一條直線平行于這條直線。
　　（2）在同一平面內，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。
　　（3）兩條平行線被第三條直線所截，它們的同位角相等。
　　（4）兩條平行線被第三條直線所截，它們的內錯角相等。
　　（5）兩條平行線被第三條直線所截，它們的同旁內角互補。
　　（6）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它也垂直于平行線中的另一條。
　　依據上述平行線的性質，可以對兩條直線是否為平行線進行判定。
286．畫平行線時的要點是什么？
　　畫平行線時，通常借助的工具是直尺和三角板。其畫法的要點是：先把三角板靠在直尺上（如下圖）。
　　把三角板順著直尺滑動，沿著三角板的其它一邊，在滑動的不同位置上作兩條直線（如圖中AB和CD），這兩條直線就是平行線。
　　一般情況下，需要通過直線外一點，作已知直線的平行線。其畫法的要點是：先把三角板的一條邊靠在直線上（如圖）：
　　三角板所靠的直線為AB，再把直尺貼在三角板的另一邊上，然后再把直尺與三角板一起沿著直線AB移動，使直尺邊靠在點P上，這時，固定住直尺，把三角板沿著直尺推到與原直線AB靠在一起的一邊的點P上，最后用鉛筆在這條邊上畫一條直線CD，這樣，直線CD過P點，并且與直線AB平行。
287．長方形、正方形、菱形都是平行四邊形嗎？
　　回答這個問題，首先明確一下平行四邊形的意義及其性質，才能對此做出肯定或否定的判定。
　　平行四邊形的意義是：平面上兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。
　　
　
　　根據平行四邊形的意義，圖中四邊形ABCD的兩組對邊 AB∥CD；AD∥BC，因此，四邊形 ABCD是
　　個頂點時，要用大寫字母依次順序標出。
　　平行四邊形的性質是判定平行四邊形的主要依據。這些性質有：
　　（1）對邊相等。即：AB=CD，AD＝BC。
　　（2）鄰角互補。即：
　　∠A＋∠B=∠B+∠C=180°。
　　（3）對角相等。即：∠A=∠C；∠B=∠D。
　　（4）對角線互相平分。即：AO=OC；BO=OD。
　　根據上述意義和性質，可以對問題做出判定：
　　長方形兩組對邊分別平行，符合平行四邊形的意義，也具備其性質，因此，長方形也屬于平行四邊形。同時，長方形的四個角都是直角。
　　正方形本身就是特殊的長方形，除了四條邊都相等外，具備了長方形的一切特征，因此，正方形也屬于平行四邊形。
　　菱形的四條邊也相等，也具備了平行四邊形的意義和性質， 因此，也屬于平行四邊形。
　　一般情況下，為了突出本身的特征，上述三種圖形分別叫它們為長方形、正方形和菱形，從實質上劃分，也可以說它們都是特殊的平行四邊形。
288．三角形應該如何分類？
　　由于三角形是由不在同一直線上的三條線段所圍成的封閉圖形，因此，三角形必有三條邊和三個角。三角形通常用符號“△”來表示。
　　三角形的分類方法，一般是按“角”和“邊”來劃分的，角是根據內角的大小，邊是根據邊的長短。按內角大小來劃分，可分為三類：
　　（1）銳角三角形：每個角都是銳角（小于90°）的三角形，叫做銳角三角形。左圖中的三角形的三個角都是銳角，所以，△ABC是銳角三角形。
　　（2）直角三角形：有一個內角是直角的三角形，叫做直角三角形。左圖中△ABC的內角A是直角，因此，這個三角形是直角三角形。
　　（3）鈍角三角形：有一個內角是鈍角的三角形，叫做鈍角三角形。左圖中△ABC的內角A是鈍角，因此，這個三角形是鈍角三角形。
　　鈍角三角形與銳角三角形的合稱，叫做斜三角形。
　　如果按三角形的邊的長短來劃分，也可分為三類：
　　（1）不等邊三角形：三條邊互不相等的三角形，叫做不等邊三角形。
　　左圖中△ABC的三條邊互不相等，所以，這個三角形是不等邊三角形。
　　（2）等邊三角形：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形。左圖中的△ABC三條邊都相等，所以，這個三角形是等邊三角形。
　　（3）等腰三角形：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形。左圖中的△ABC的兩條邊是相等的，即AB=BC，所以，這個三角形是等腰三角形。
　　由于等邊三角形ABC中，AB=BC=AC，任選兩邊都相等，符合等腰三角形的條件，所以，等邊三角形也是等腰三角形。
　　上述三角形分類情況如下圖所示：
289．什么叫做“勾股定理”？
　　勾股定理是關于直角三角形邊與邊之間的關系的定理，即：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。
　　如果把一個直角三角形的兩條直角邊分別記為a、b，把斜邊記為c，那么它們之間的關系式是：
　　a2+b2=c2
　　在我國古代，把直角三角形叫做勾股形。
　　如圖：
　　一般都把直角三角形中，短的一條直角邊叫做“勾”，長的一條直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”。所以，我國古代把邊與邊關系所形成的定理，叫做勾股定理（如圖1）。
　　圖（2）中的直角三角形ABC中，勾AB=3，股BC=4，弦AC=5。按照勾股定理，所揭示三條邊的關系為：
　　32＋42=52
　　這就是我國最古的算書《周髀算經》（約成書于公元前一世紀左右）一開始就指出的：“勾三、股四、弦五”。這是直角三角形的三條邊長都是整數時的例證。
　　古希臘數學家畢達哥拉斯（公元前572年--公元前497年）證明了這個定理。所以在國外，常把這個定理稱為畢達哥拉斯定理。
290．怎樣推導三角形的面積公式？
　　在認識三角形特征的基礎上，推導出三角形的面積公式，既是教學的自然發展，也是教學的重點。推導三角形的面積公式，一般有以下三種方法：
　　（1）將兩個全等的直角三角形轉化成長方形：
　　采用這種方法，可讓學生動手實踐，先準備一張長方形紙，事先量出它的長和寬，并計算出面積。在課堂上，用剪刀沿長方形的對角線剪開，形成兩個全等的直角三角形。
　　如圖：
　　通過剪完后的觀察，啟發學生找出長方形的長相當于三角形的底，長方形的寬相當于三角形的高，而長方形面積則等于兩個三角形的面積。由此推導出公式：
　　
　　同理，也可以將兩個全等的等腰三角形轉化成正方形進行推導。
　　（2）將兩個全等的銳角三角形轉化成平行四邊形：
　　這是一種通常的推導三角形面積的方法。先剪出兩個全等的銳角三角形，將這兩個三角形一正一反地組成平行四邊形。然后對照進行推導。
　　如圖：
　
　　轉化成平行四邊形后，可以觀察到：平行四邊形的底與三角形的底一樣，平行四邊形的高與三角形的高也一樣，由于平行四邊形是兩個全等三角形組成，因此，平行四邊形面積等于兩個三角形面積。由此可推導出公式：
　　
　　也可以將兩個全等的銳角三角形轉化成長方形進行推導。
　　如圖：
　　由圖中看到：長方形的長和寬所對應的是三角形的底和高，長方形面積相當于兩個全等三角形面積。其公式推導同（1）。
　　（3）將一個三角形轉化成長方形：
　　
　　頂點處于同一水平線上，通過割、補即可將這個三角形轉化成長方形。
　　如圖：
　
　　這種圖形割補的演示方法，也可以讓學生動手實踐進行剪拼。
　　從圖形割補可觀察到：三角形轉化為長方形后，面積大小沒有任何改變，長方形的長相當于三角形的高，長方形的寬相當于三角形底的一半（已割去
　　
　　長方形面積= 長 × 寬
　　 ↓ ↓
　　 三角形高 三角形底的一半
　　三角形面積= 高 × 底÷2
　　運用交換律得：底 × 高÷2
291．三角形的中線、三角形的中位線以及三角形的高線有什么區別？
　　這是三個完全不同的概念。三角形的中線是指：連結三角形的一個頂點和這個頂點對邊的中點的一條線段，叫做三角形的一條中線。
　　下圖中，D是BC的中點，AD則是△ABC的中線。
　　由于三角形有三個角，也必然有三個頂點，每個頂點都可以與這個頂點對邊的中點連結成一條線段，因此，每個三角形有三條中線。
　　三角形的中位線是指：三角形兩邊中點的連線，叫做三角形的一條中位線。
　　左圖中，D、E分別是三角形ABC的邊AB、AC的中點，在D與E之間作一連線，則DE是△ABC的一條中位線。
　　三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。同理，三角形有三條中位線。
　　三角形的高線是指：從三角形的一個頂點到它的對邊所在的直線作垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高線。簡稱三角形的高。
　　左圖中，AD⊥BC于D，線段AD是△ABC的一條高線。同理，三角形中有三條高線。應該注意的是：
　　（1）直角三角形中，有兩條高線與直角邊重合。
　　（2）鈍角三角形中，有兩條高線在三角形之外。如圖中的鈍角三角形ABC，的一個內角∠C是鈍角，則AD是BC邊上的高線，BE是AC邊上的高線。但它們分別與AC、BC的延長線相交于三角形ABC的形外。
292．四邊形應該怎樣分類？
　　由四條線段圍成的封閉圖形叫做四邊形。如果沒有一組對邊平行的四邊形，就叫做任意四邊形。
　　在小學中所涉及的四邊形，都是凸的四邊形，即：如果延長四邊形的任何一邊，而整個四邊形都在這邊延長線的同旁，那么這樣的四邊形就叫做凸四邊形。
　　四邊形在教材中包括以下八種（如下圖）：
　　從上圖中可以看到這些都屬于四邊形的范疇之內，但各自的名稱不相同。1是任意四邊形；2是平行四邊形；3是長方形；4是正方形；5是菱形；6是直角梯形；7是等腰梯形；8是一般梯形。
　　如果把上面圖形歸類概括，則四邊形可做如下分類：
　
293．怎樣認識三角形的三個內角和是180°？
　　三角形的三個內角和是180°，這是三角形內角和的性質。在幾何初步知識的教學中，這是一個重要的內容。要通過量一量、折一折、想一想和算一算等實踐活動，讓學生在掌握內容的同時，培養和發展學生的推理判斷能力。
　　教學前，先布置課前作業，要求每個學生剪出六個三角形，即：按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形；按邊分有等邊三角形、不等邊三角形和等腰三角。形固定，但數據不做統一要求，這樣剪出來的三角形是大小不一的。
　　教師談話后，先讓學生量一量。如：拿出一個直角三角形，讓學生量出另外一個角的度數，并報出來，教師立即報出第三個角的度數，然后讓學生進行測量核實（用量角器）。如此重復數次，就可以激起學習的興趣和教學中的懸念。在此基礎上，全體學生一起動手測量自制的六個三角形三個內角的度數，并把它們加起來，初步明確：無論是什么樣的三角形，也無論它的邊是多長和多短，它們內角和都是180°。
　　接著，讓學生折一折，以豐富學生的感性認識。
　　方法（1）把三角形的三個內角沿虛線折過去，使其組成一個平角，證明三個內角和為180°。
　　如圖：
　　方法（2）先畫出一個平角，再將手中的一個三角形的三個角撕下來，拼在平角上，使三個角正好組成一個平角，進一步證明三角形三個內角和是180°。
　　方法（3）把一個正方形沿對角線折成兩個三角形，因為正方形四個角都是直角（90°），它的內角和是360°，所以一個三角形的內角和是180°。
　　從以上的實踐活動，再通過想一想，上升為理性認識，從而形成概念，這是一個抽象概括、歸納總結的過程。想的過程要通過語言的表述進行檢驗。
　　最后運用練一練的形式，以達到鞏固概念、運用概念的目的。練習內容要分基本型和發展型兩類。
　　如：基本型
　　①求出下面每個三角形中未知角的度數。
　　②已知三角形中∠1是45°，∠2是60°，∠3是多少度？發展型：
　　①三角形中 ∠是 62°，∠2是 29°，這
　　是一個什么三角形？
　　②三角形的三個內角和是180°，如果切去一個角，剩下圖形的內角和是多少度？
294．梯形怎樣分類？
　　梯形的定義是：只有一組對邊平行的四邊形，叫做梯形。梯形可分為一般梯形、直角梯形和等腰梯形三類：
　　（1）一般梯形：
　　梯形的各部分名稱是這樣的：互相平行的兩條邊，叫做梯形的底，通常上面的一條邊稱作上底；下面的一條邊稱作下底，不平行的兩條邊稱作腰。
　　梯形底邊和腰的夾角，稱作梯形的底角。上底邊和腰的夾角，稱作上底角；下底邊和腰的夾角，稱作下底角。
　　圖中的∠A和∠B是下底角；∠C和∠D是上底角。
　　梯形上、下底之間的距離，叫做梯形的高。圖中的DE⊥AB，DE是梯形ABCD的高。
　　（2）直角梯形：
　　只有一腰垂直于底邊的梯形，叫做直角梯形。圖中的AD⊥AB，因此，梯形ABCD是直角梯形。
　　（3）等腰梯形：
　　兩條腰相等的梯形，叫做等腰梯形。如圖中，AD=BC，因此，梯形ABCD是一個等腰梯形。等腰梯形還具有以下兩個性質：
　　①等腰梯形的上底角相等，下底角也相等。如圖中，∠DAB=∠CBA，∠ADC=∠BCD。
　　②等腰梯形的對角線相等。如圖中， AC= BD。
295．怎樣進行梯形面積公式的推導？
　　梯形的面積公式是在平行四邊形面積公式的基礎上進行推導的。在此之前，已建立了梯形的概念，因此，在教學前，可先讓學生自制兩個全等梯形。鋪墊性的準備練習后，拿出4平方厘米的測量板，用數方格的方法，算出梯形面積是多少。（梯形面積占滿8個方格，每個方格是4平方厘米，梯形面積為32平方厘米。）
　　然后，讓學生將事前準備好的兩個全等梯形，一正放，一倒放拼在一起，組成一個平行四邊形。提出點拔題：這個平行四邊形的底是由梯形的什么組成的？②怎樣求出平行四邊形的面積？③怎樣求出一個梯形的面積？
　　如圖：
　　由此得出：梯形面積=（上底+下底）×高÷ 2。
　　也可以用一個梯形通過割、拼的方法，轉化成平行四邊形。
　　如圖：
　　通過上圖可以清楚地推導出：
　　
　　還可以通過對一個梯形的割、補，使其轉化為三角形，運用求三角形面積的公式，對照觀察，從而推導出求梯形面積的公式。
　　對轉化后的圖觀察可知，三角形的底為梯形上底加下底的和，三角形的高相當于原來梯形的高。由此可以推導出梯形面積公式：
　
　　
　　在此基礎上，抽象成求梯形面積的字母公式為：
　　S=（a＋b）×h÷2。
　　此時，可安排含有具體數字的求梯形面積的練習，以鞏固對公式的運用。
　　當推導求梯形面積的第二個公式時，可先讓學生在自制的梯形學具上，找出兩腰的中點，畫出中位線，然后把右下角剪下來，拼在右上方，使梯形轉化為平行四邊形。
　　如圖：
　　割、補后，梯形已轉化成平行四邊形，面積大小未變。梯形的中位線相當于平行四邊形的底，梯形的高也是平行四邊形的高。
　　用字母公式表示為：S=m×h。
　　第二個公式除轉化成平行四邊形推導外，還可以轉化成長方形進行推導。
　　有了前面的推導基礎，這個推導過程，應以學生自己思考為主。
　　由此也可以推導出梯形面積公式：
296．什么叫做“圓”？
　　在小學數學教材中，圓是平面圖形里最后出現的圖形。建立圓的概念、明確圓的各部分之間的關系，對于解答圓的周長和面積等實際問題，無疑都是重要的前提條件。
　　圓的概念是：當一條線段繞著它固定的一端（下圖中的O點）在平面上旋轉一周時，它的另一個端點（下圖中的A點）所畫成的封閉曲線，叫做圓。
　　到了中學，圓還可以這樣下定義：“平面內和一個定點的距離等于定長的點的軌跡”。或者說：“平面內和一個定點的距離等于定長的點的集合。”
　　定點叫做圓的圓心（圖中的O點）；連接圓心和圖上任意一點的線段，叫做圓的半徑（圖中的OA）；過圓心的弦，叫做圓的直徑（圖中的BC）；圓所包圍的平面部分，叫做圓面。
　　其表示符號為：圓用符號“⊙”表示，以O為圓心的圓、記作“⊙O”，讀作“圓O”；半徑用字母“r”表示，直徑用字母“d”表示。
　　通過對任意半徑和任意直徑的測量，可以發現：在同一個圓里，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等，直徑等于半徑的2倍。
　　其字母公式為：
　　圓是軸對稱圖形。即：把圓沿著它的任意一條直徑對折，直徑兩邊的兩個半圓就完全重合在一起。經過圓心的任意一條直線（即直徑）都是圓的對稱軸。
　　如圖：
　　圓又是中心對稱圖形，圓心就是它的對稱中心。
297．什么叫軸對稱和軸對稱圖形？
　　軸對稱和軸對稱圖形是兩個有聯系的概念。軸對稱是指：對于兩個幾何圖形，如果連結他們的對應點之間的線段均被某一定直線垂直平分，這樣的兩個圖形叫做關于這一定直線對稱。也就是說，這兩個圖形軸對稱。這一定直線叫對稱軸。
　　軸對稱圖形是指：如果一個圖形關于一定直線的對稱圖形和它自身重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形。這條直線叫做這一圖形的對稱軸。
　　軸對稱圖形并不僅限于圓，其他象等腰三角形、等邊三角形以及菱形等，也都是軸對稱圖形。如圖：
　　如圖中，沿著直線MN對折后，三角形ABC全部重合到三角形 A＇B＇ C＇上，三角形 ABC與三角形 A＇B＇ C＇是軸對稱圖形，直線MN是對稱軸。
　　又如右上圖中，四邊形ABCD沿對角線對折后，對角線兩旁的圖形能全部重合，所以，四邊形ABCD是以對角線AC為對稱軸的軸對稱圖形。
298．什么叫中心對稱和中心對稱圖形？
　　中心對稱和中心對稱圖形，這也是兩個有聯系的概念。中心
　　對稱是指：對于兩個幾何圖形，如果連結它們的對應點之間的線段的中點都和某一定點重合，那么這兩個圖形就叫中心對稱，這一定點，叫做對稱中心。
　　中心對稱圖形是指：如果繞著一個定點旋轉180°后，兩個圖形中的每一個能夠與另一個原來的位置互相重合，那么，這個圖形叫做以這個定點為對稱中心的中心對稱圖形。
　　如圖：
　　圖中的三角形A＇B＇C＇繞著定點O旋轉180°后，與三角形ABC的原來位置互相重合，因此，三角形 ABC與三角形 A＇B＇C＇是以 O點為對稱中心的中心對稱圖形。
　　除此之外，如果一個圖形繞著某一點旋轉180°后，能夠和原來圖形本身位置重合，就稱這個圖形為中心對稱圖形。這一點叫做對稱中心。
　　以平行四邊形為例：
　　圖中的四邊形ABCD是平行四邊形，繞著對角線交點O旋轉180°后，能夠和原來圖形位置重合，因此，平行四邊形是以對角線交點O為對稱中心的中心對稱圖形。
299．什么是弦和弧？
　　弦和弧是和圓有關的兩個概念，這兩個概念是不能混淆的。
　　弦的概念是：對于一個圓，連結圓上任意兩點的線段叫做弦。弦里面包括直徑，因為通過圓心的弦叫做直徑，但弦里面又不限于直徑，因為“連結圓上任意兩點的線段”并不一定都通過圓心。
　　如圖：
　　（l）（ 2）的圖中， AB是圓 O上的任意兩點，所以，線段 AB是圓O上的一條弦。所不同的是：圖（1）中的這條茲是圓O的直徑；圖（2）中的這條弦則不是。
　　弧的概念是：圓上任意兩點間的部分，叫做圓弧，簡稱弧。一般意義下，弧即指曲線，或曲線的部分。
　　弧用符號“”來表示，如：以點A、B為端點的弧，記作AB，為了避免混淆，有時也記作。見下圖：
　　在圖中，以AB為端點的弧，記作AB；以AC為端點的弧，記作AC。
　　對于同圓（或等圓）的兩段弧，可以加以比較：通過運動，使它們的圓心相重合，兩弧的端點也重合，則說這兩弧是相等的。圓的任一直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓。如上圖，BC是圓的直徑，以B、C為端點，把圓分成兩個半圓。
　　對于圓弧，把小于半圓的弧，叫做劣弧，把大于半圓的弧，叫做優弧。
300．圓心角和圓周角一樣嗎？
　　圓心角與圓周角是兩個完全不同的概念，前者與圓心有關，后者與圓弧有關。
　　圓心角是指：分別連結圓心到圓弧的兩個端點所成的角，叫做這個圓弧的圓心角。
　　在同圓（或等圓）中，如果兩個圓心角相等，則該圓心角所夾的弧相等，所對的弦也相等，所對的弦的弦心距（從圓心到弦的距離）也相等。
　　如圖：
　　圖（1）中，∠AOB的頂點 O即為圓 O的圓心，因此，∠AOB是圓心角。圖（2）中OC⊥AB，OC是AB的弦心距。
　　圓心角的度數和它所對的弧的度數相等。圖（1）中，∠AOB的度數=AB的度數。
　　圓周角是指：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角，叫做圓周角。對于一個圓周角，角的內部必然夾了一段圓弧，通常把圓周角說成是這一弧上的圓周角；角的外部也有一段圓弧，有時也把圓周角說成是這一弧所含的圓周角。
　　如圖：圓中的∠BAC的頂點A在圓上，并且角的兩邊AB、AC都與圓相交，因此，∠BAC是圓O的圓周角。
　　圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。如
301．什么是圓和圓的位置關系？
　　圓與圓之間有以下五種位置關系：
　　（1）外離。
　　兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都各在另一個的外部時，叫做這兩個圓外離。
　　圖中兩圓的半徑分別為r、 R，圓心距為 d，則 d＞r＋ R外離（其中“”表示等價），即當d＞r+R時，兩圓則外離；反之，當兩圓外離時，則d＞r+R。
　　（2）外切。
　　兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都各在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切。
　　圖中的兩圓半徑分別為r、R，圓心距d，則d=r+R外切。
　　（3）相交。
　　兩個圓有兩個公共點時，這兩個圓叫做相交。
　　圖中兩圓半徑分別為r、R，圓心距為d，則R-r＜d＜R＋r（r≥r）相交。
　　（4）內切。
　　兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點之外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內切。這個公共點叫做切點。
　　圖中兩圓半徑分別為r、R，圓心距為d，則d=R-r，（R＞r）內切。
　　（5）內含。
　　兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內含（如左圖）。右圖為同心圓，同心圓則是內含的一種特例。
　　圖中兩個圓的半徑分別為r、R，圓心距為d，則d＜R-r（R＞r）內含。
302．圓周長和圓周率有什么關系？
　　這是兩個不同的概念。但計算圓周長時，必須明確什么是圓周率，否則，圓周長的公式將無法推導出來。
　　圓周長是指圓的長度，通常用字母C表示。圓周率是指圓的周長C與直徑2r的比值。圓周率通常用希臘字母“π”來表示。
　　任何一個圓，不論是大還是小，當用直徑去量圓周長時，就會發現圓周長都是它直徑的3倍多一點，也就是說，圓的周長和直徑的比是一個常數，這個常數是個超越數，或者說：圓周率π是一個無限不循環小數。
　　
　　由于π是無限不循環小數，它的真值是永遠寫不完的。
　　π＝3．1415926535897932384626……。在實用中，并不需要如此精密，在小學數學教材里，通常取圓周率的近似值為：
　　π＝3．14
　　在明確圓周率的基礎上，可以推導出圓周長公式。如果圓周長為c，半徑為r，直徑為d，那么
　　c=2πr，或c=πd
　　在小學生的數學語言中，圓的周長公式一般概括為：圓的周長=直徑×π
　　例（1）已知圓的半徑為5厘米，求圓的周長是多少？
　　c= 2πr（或半徑×2×π）
　　=2×3．14×5
　　=31．4（厘米）
　　答：圓的周長是31．4厘米。
　　例（2）已知圓的直徑為20厘米，求圓的周長是多少？
　　c=πd（或直徑×π）
　　= 20 × 3．14
　　=62．8（厘米）
　　答：圓的周長是62．8厘米。
303.π值是如何計算的？
　　我國古代的《周髀算經》里，對于π值曾得出“周三徑一”的結論。古希臘的學者阿基米德用“逼近法”從圓內接正六邊形，一直到正96邊形，得
　　
　　我國魏晉南北朝時代的數學家劉徽，也應用“逼近法”用到圓內接正192邊形，得到的π值為3．14，南北朝時代的數學家祖沖之（公元429--500年），計算出π的近似值在3．1415926--3．1415927之間，這是世界上計算π值精確到小數點后七位的第一個人，他還運用兩個分數來表示
直到一千多年后的公元1573年，歐州人奧托才求出來。祖沖之在數學上的偉大貢獻得到了世界的公認，為了紀念祖沖之這一貢獻，將密率稱為“祖率”。
　　1959年10月4日，蘇聯發射了第三枚宇宙火箭，第一次拍攝了月球背面的照片，并把月球上的“火谷”、“平原’都做了命名，把其中一個環形山定名為“祖沖之山”。由此可見，祖沖之在國際上所享有的崇高榮譽。
　　到16世紀，法國人韋達計算出的π值是小數點后10位。1615年德國人魯道夫算到小數點后35位，即：
　　3．14159265358979323816264338327950288……。他死后，人們還把這個數值刻在他的墓碑上。以后英國人夏普算到小數點后72位，到1946年美國人連契算到小數點后808位，1973年有人算到小數位達100萬位，1983年達到了16777216位。
　　最近一位美國科學家使用先進的巨型電腦“克雷-2”僅用了28小時，就算出了小數點后有2936萬位的π值，創下了最新的世界記錄。如果把這個驚人的位數全部記錄下來，長度可達60千米，或者相當于50本500頁的長篇小說。在這么長的數字中，出現了一些奇特的情況，即小數點后第710100位起，320465位起，都連續出現七個3--3333333；一千位中連續出現六個相同的數字的有37次。如 762位開始出現999999，從995998位起，出現23456789；但從2747956位起，又出現876543210。
　　至于π值還可以算到小數點后的多少位，還待人們繼續耐心地算下去。
304．怎樣推導圓的周長公式？
　　推導圓的周長公式是小學數學教學的重要內容之一。這是因為在這部分知識中，不僅要使學生認識圓的周長、理解圓的周長與直徑之間的關系；還要掌握圓的周長公式，并能正確計算圓的周長。在這些教學要求中，推導并掌握圓的周長公式，無疑是教學的重點。
　　新課前，教師要安排必要的鋪墊性練習，可從復習長、正方形的周長公式入手，結合提問做如下板書：
　　C＝2（a＋b）
　　在長方形周長公式的基礎上，出示有關正方形周長的板書：
　　C＝4a
　　隨著鋪墊性練習教師可讓學生以正方形對角線的交點為圓心，用事先準備好的正方形紙畫一個最大的圓，然后量出這個圓的直徑，并把這個圓剪下來，明確圓周長的概念，進而自然地導入新知識。
　　新知識的實踐，討論可大體上按下列步驟安排：
　　（1）動手實踐：用直尺測量圓的周長。將圖沿直尺滾動，并用小線圍繞圓周，然后進行測量。測量結果填在下表內。
　　（2）激疑設問：教師可通過圓鉛筆的截面、黑板畫圓和掄動一端系有物品的小線，提問如何測量這些圓的周長，此時還可以通過投影器中的各種圓，啟發學生觀察圓的周長與直徑的關系。
　　（3）概括小結：在組織學生進行同桌或分組議論的基礎上，初步概括：圓有周長總是它直徑的3倍多。同時指出：在同一個圓里，周長與直徑的倍數是固定不變的。這個不變的倍數在數學中叫做“圓周率”。此時可簡要介紹祖沖之在圓周率研究上的杰出貢獻。
　　圓周率用字母π來表示，在小學中π值取小數點后兩位，即3．14。
　　歸納圓周長公式：圓的周長=直徑×π
　　抽象成字母公式：c=πd
　　或 c=2πr
　　（4）反饋練習：（略）
　　進行上述安排時，要求課前做好充分的準備，如教師的投影片等其他教具，學生的正方形紙、剪刀等各種學具。在推導圓的周長公式前，要明確建立圓周率的概念，在教學的全過程中，這是一個必須突破的難點。
305．圓面積與扇形面積有什么關系？
　　教材中先安排圓的認識和圓面積的求法，后安排扇形的認識和扇形面積的求法，這是因為扇形是圓的一部分，扇形面積也是圓面積的一部分。從知識上看，前者是整體，后者是部分；從方法上看，前者是基礎，后者是發展。
　　圓面積就是指圓內部的大小。圓面積等于半徑乘以半徑再乘以π。
　　如果圓面積用S表示，半徑用r表示，直徑用d表示，那么抽象成字母公式為：
　　　
　　通過把一個圓分成若干等份（如16等份），如圖甲，來分析圓面積的公式。
　　再把圓剪成16等塊（如圖乙），把“1”那一塊分成兩半，把它們拼成近似于長方形的圖形（如圖丙），這時“長方形”的長是原圓周長的一半，寬是圓的半徑，由此可得出字母公式如下：
　　
　　長方形的面積=長×寬
　　=πr×r
　　=πr2
　　∴圓面積公式為：S=πr2
　　例（1）求半徑為3厘米的圓的面積。
　　解：S=πr2
　　=3.14×32
　　=28.26（平方厘米）
　　或S=3×3×3.14=28.26（平方厘米）
　　答：這個圓的面積是28.26平方厘米。
　　例（2）求直徑為3.5厘米的圓的面積。
　　　
　　答：這個圓的面積是9.61625平方厘米。
　　由于扇形面積是圓面積的一部分，一個圓的周角是360°，只要知道扇形圓心角的度數，扇形的面積就可以由圓的面積公式按照比例通過計算而得到。
　　根據圓的面積=πr2，扇形圓心角的度數用n°來表示，可以得出扇形面積公式為：
　　
　　例如：求半徑r=6厘米，圓心角為60°的扇形面積。
　　　　
　　答：這個扇形的面積是18.84平方厘米。
306．同心圓和圓環有什么聯系和區別？
　　這是兩個不同的概念，但它們又有所聯系，既同屬于“圓”的范疇，在一定意義上，又有著整體與部分、前提與發展的關系。
　　同心圓是指：圓心相同，半徑不相等的圓，叫做同心圓（如圖甲）。
　　圓環是指：兩個同心圓所夾的部分，叫做圓環（如圖乙）。
　　如圖甲所示：這兩個圓由于具有相同的圓心，但它們的半徑分別是r1和r2（r1≠r2），因此它們是同心圓。
　　圖乙所示：這兩個同心圓所夾的陰影部分，就是一個圓環，也叫做環形。
　　同心圓本身不涉及面積的求法，而圓環可以求出它的面積。由于圓環是兩個同心圓的所夾部分，因此，圓環面積就等于大圓面積與小圓面積之差。即：
　　圓環面積=大圓面積-小圓面積
　　如果用字母來表示，則為：
　　字母公式中的r1和r2分別是大圓和小圓的半徑。
　　例如：求一個大圓半徑為3厘米，小圓半徑為2厘米的圓環面積。
　　解：S=π（r21-r22）
　　=3.14×（32-22）
　　=15.7（平方厘米）
　　答：這個圓環的面積是15.7平方厘米。
307．怎樣推導圓的面積公式？
　　推導圓的面積公式必須建立在明確圓的面積概念的基礎上進行。因此，在教學開始時要先復習什么叫面積？然后過渡到對圓面積的認識。由于教材中關于圓的面積公式是通過割、拼的方法，使圓轉化為近似長方形，所以，對長方形的面積公式也要進行必不可少的復習。以達到以舊引新、新舊結合，使新知識納入舊知識的網絡當中。
　　教學中，當明確圓的面積以后，可提出下列問題讓學生思考后回答。
　　（1）怎樣用字母表示求圓的周長公式？（C=2πr）
　　
　　（3）怎樣求長方形的面積？（長×寬）
　　然后教師出示根據教材制作的圓的教具，演示過程可按以下步驟進行：
　　（1）先把圓分成兩個半圓，每個半圓各分成8等份，每份分別按順序編上號（如圖）。
　　（2）再將三角形1分成兩等份，然后將兩個半圓分別散開，附在磁鐵黑板上（如圖）。
　　（3）在磁鐵黑板上，讓上半圓向下滑動，拼成長方形（如圖）
　　演示至此，讓學生觀察這個長方形的長和寬各相當于圓的哪部分，然后結合前面提問所形成的板書進行公式推導。
　　
　　公式推導出后，可讓學生質疑，然后轉入應用式的反饋練習。
　　當把圓分成16等份后，每份是一個假設三角形時，學生可能概括出下列公式，教師要歸納引導，最后通過比較，統一到πr2上來。
　　（1）1個假設三角形的面積×16。
　　
　　（三角形的底）（高）
　　（2）1個假設平行四邊形的面積×8。
　　　
　　（平行四邊形的底）（高）
　　這個平行四邊形由兩個假設三角形組成。
　　（3）用1個假設的大三角形面積×4。
　　其公式為：
　　
　　（三角形底）（高）
　　這個大三角形由四個假設的小三角形所組成。
308．什么叫做割補法和分割法？
　　割補法和分割法都是計算平面幾何圖形面積的推導方法，也是一種思考方法。在面積和體積教學中，都有著廣泛的應用。
　　割補法是指：把一個圖形的某一部分割下來，填補在圖形的另一部分，在原來面積不變的情況下，使其轉化為已經掌握的舊的圖形，以利于計算公式的推導。平行四邊形通過割補可轉化為長方形（或正方形），梯形通過割補可轉化為平行四邊形，圓通過割補可轉化為近似長方形等。
　　（1）平行四邊形割補后轉化為長方形：
　　（2）梯形割補后轉化為平行四邊形：
　　分割法是指：對一些不規則圖形的面積，不能使用割補法，可以利用不規則圖形的凹凸特點，將其分割成若干個可以計算的規則圖形（如：長方形、三角形、梯形、……），先將各個規則圖形的面積計算出來，然后再把這些規則圖形的面積加在一起，總面積就是不規則圖形的面積。這種計算不規則圖形的方法，叫做分割法。
　　下面兩個圖形就采用了分割法。
　　（1）
　　（2）
　　左圖ABDE是一個不規則圖形，用分割法可分成一個平行四邊形ABCDE，一個三角形BCD，把平行四邊形和三角形的面積分別求出來，再把所得的結果加在一起，就是這個不規則圖形的面積。
309．體積和容積有什么聯系和區別？
　　體積和容積是兩個含義不同的概念，但它們之間又有著聯系。教材中的不少練習是把求體積和求容積放在一起安徘的，因此，學生極容易注意了計算公式的相同，而忽視了這兩個概念的不同含義。
　　一個物體的體積是指這個物體所占有空間的大小。而容積是指一個物體內部空間能夠容納物體的體積。一個容納物品的器皿，譬如一只木箱，從外面量起，確定長、寬、高，它所占空間的大小，就是這只木箱的體積；如果這只木箱從里面量起，確定長、寬、高（或深），里面所能容納物體的大小，就是這只木箱的容積。
　　從里面量與從外面量，這當中在長、寬、高上都會出現長度上的差距，這是因為制作這只箱子用的是木板，木板本身有一定的厚度，從外面量，包括了木板的厚度；從里面量，就減去了木板的厚度。對這只木箱來說，從外面量，就是求它的體積；反之，從里面量，就是求它的容積。
　　計算體積和容積的方法是一樣的，如果這個物體是長方體，無論是求體積還是求容積，其計算公式都是長×寬×高；如果這個物體是圓柱體，求體積或求容積，使用的公式也都是底面積×高。
　　例如：一個長方體木箱，長80厘米，寬50厘米，高40厘米，這只木箱里面長78厘米，寬48厘米，高38厘米，求這木箱的體積和容積各是多少立方分米？
　　體積：80×50×40=160000（立方厘米）
　　=160立方分米
　　容積：78×48×38=142272（立方厘米）
　　≈142立方分米
　　在區分體積和容積概念時，這兩者所使用的單位有時是不同的。體積使用的單位是立方米、立方分米、立方厘米；容積有時（如液體）則使用升和毫升。它們相鄰單位之間的進率都是1000；換算時，1立方分米=1升。
　　還應該看到，有些物體如一塊長方體的磚，就只能計算它的體積，而不能計算它的容積。但用這些長方體的磚砌成一個游泳池，就可以計算游泳池的容積了。
310．如何區分長方體和正方體？
　　由六個長方形（相對的兩個面也可能是正方形）所圍成的六面體，叫做長方體。
　　交會于一個頂點的長方體的三條棱，叫做長方體的三度。長方體的三度在小學數學中，叫做長方體的長、寬、高。
　　長方體有六個面，各相對的兩個面的面積相等。有十二條棱（就是相鄰的面的交線），平行的四條棱的長度相等，有八個頂點（就是每三條棱相交的點），交會于頂點的三條棱，就是長、寬、高。
　　三度相等的長方體，叫做正方體。或者說，長、寬、高都相等的長方體，叫做正方體。
　　與長方體相同的是：正方體也有六個面、八個頂點和十二條棱。
　　與長方體不同的是：正方體的六個面都是全等的正方形，正方體的十二條棱的長度都相等。
　　正方體是特殊的長方體。
311．什么叫做圓柱體和圓錐體？
　　在小學數學教材中，對圓柱和圓錐都沒有下明確的定義，為了更好地駕馭教材，作為數學教師，有必要較為確切地掌握圓柱和圓錐概念。
　　圓柱：以矩形的一邊所在直線為軸，其余各邊繞軸旋轉而成的曲面所圍成的幾何體，叫做圓柱體，簡稱圓柱。圓柱可以看成一個矩形A1AOO1，統一邊O1O旋轉一周形成的旋轉體（如下圖）。O1O稱為圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的兩個圓面，叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉而成的曲面，叫做圓柱的側面，無論旋轉到什么位置，這條邊都叫做圓柱的母線。圓柱兩個底面之間的距離，叫做圓柱的高。
　　當兩個底面中心的連線垂直于底面時，這種圓柱叫做直圓柱。在小學里，所說的圓柱，一般都指直圓柱。圓柱的側面展開成的圖形是一個長方形。
　　圓柱具有以下幾個性質：
　　（1）圓柱的軸過兩個底面的圓心，并且垂直于兩個底面；
　　（2）用垂直于圓柱的軸的平面去截圓柱，所得的截面是和底面相等的圓；
　　（3）用一個過圓柱的軸的平面去截圓柱，所得的截面是一個矩形，它的兩條對邊是圓柱的兩條母線，另外兩條對邊，分別是兩個底面圓的直徑；
　　（4）用一個平行于圓柱的軸的平面去截圓柱，所得的平面是個矩形，它的兩條對邊是圓柱的兩條母線，另外兩條對邊，分別是兩個底面圓的弦。
　　圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，其余兩邊繞軸旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體，叫做圓錐。旋轉的軸叫做圓錐的軸，由另一條直角邊旋轉而成的圓面，叫做圓錐的底面。由斜邊旋轉而成的曲面，叫做圓錐的側面。斜邊無論旋轉到任何位置，都叫圓錐側面的母線。母線的交點叫做圓錐的頂點。從圓錐頂點到圓錐底面的距離，叫做圓錐的高。
　　上圖所示圓錐，是以直角三角形ABO的一條直角邊AO為旋轉軸旋轉而成的，因此，它是一個直圓錐，簡稱圓錐。
　　圓錐具有以下幾個性質：
　　（1）圓錐的底面是一個圓，它所在的平面垂直于圓錐的軸；
　　（2）圓錐的軸經過頂點和底面的圓心，底面圓心和頂點的連線（如圖中的AO）就是圓錐的高；
　　（3）圓錐的一切母線都交于圓錐的頂點，并且都相等，各條母線與軸的夾角都相等。
　　（4）用一個過圓錐的頂點，并且和底面相交的平面去截圓錐，所得的截面是一個等腰三角形。
　　（5）垂直于軸的圓錐截面是個圓。
312．怎樣推導圓柱的體積公式？
　　學習圓柱的體積公式是在掌握圓柱的側面積和表面積的基礎上進行的。由于圓柱的體積公式與圓面積公式和長方體體積公式緊密相連，因此，在準備練習時，要復習圓面積公式和長方體的體積公式，對圓面積公式要讓學生通過教具演示說明公式的推導過程，這是因為圓柱的體積公式與其推導過程是相似的。
　　新課開始時，在提出課題的同時，可安排學生看書自學，教材中有圓柱通過割補法轉化為近似長方體的圖示（如下圖）。
　　自學時，教師要安排適當的自學提綱。
　　如：（1）圓柱是怎樣轉化為近似長方體的？
　　（2）轉化后體積有沒有變化？
　　（3）長方體的各部分相當于圓柱的哪幾部分？
　　在自學、觀察的同時，可圍繞自學提綱組織學生進行同桌或小組議論。在此基礎上，教師再進行用割補法將圓柱轉化為近似長方體的教具演示。如果有條件的話，每個小組都應準備一份教具，讓學生親自動手實踐，效果會更好。
　　在割補的過程中，要說明分得的底面扇形的柱體越多，拼起來越接近長方體。
　　演示和討論中，要使學生明確：
　　（1）轉化后的近似長方體，其底面積（近似長方形）與圓柱的底面積（圓）是一樣的。可喚起學生對圓面積推導過程的回憶。
　　（2）轉化后近似長方體的高，與圓柱的高是一樣的。
　　（3）要從長方體的體積公式推導出圓柱的體積公式來。
　　上述的三個問題一旦明確，教師就可結合準備練習時的板書，講解溝通長方體體積公式與圓柱體積公式的聯系。板書的順序要先出現文字公式，然后再過渡到抽象的字母公式。
　　
　　公式推導出后，可安排應用公式的反饋練習。在練習時，要提醒學生注意以下幾個問題：
　　（1）要認真審題（包括審圖），看清單位和要求；
　　（2）條件中計量單位不一致時，要先統一單位，然后再按公式進行計算；
　　（3）要按規范的格式書寫，并按要求答題。

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