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三、整數、小數四則應用題
122.我們經常遇到的用加法、減法解答的一步應用題有哪些？
　　1.用加法解答的一步應用題主要有以下幾種情況。
　　（1）求兩個數的和。這種情況的題目，根據日常生活中的實際情形，又可分為以下幾種。
　　①在原數上添上一個數
　　例：鉛筆盒里有3支鉛筆，又放進去2支，現在共有幾支鉛筆？
　　3＋2=5（支）
　　②求兩個數的和
　　例：小悅有3支鉛筆，小鵬有2支鉛筆，他們共有幾支鉛筆？
　　3＋2=5（支）
　　③求被減數
　　例：開學以來，小勇用了3支鉛筆，還剩下2支，他原來有幾支鉛筆？
　　3＋2=5（支）
　　（2）求比一個數多幾的數。這就是已知較小數與大、小兩數之差求較大數。這也是用加法解答的一種簡單應用題。
　　例：六年級學生栽了8棵柳樹，后來又栽楊樹，栽的楊樹比柳樹多4棵，栽了多少棵楊樹？
　　8＋4=12（棵）
　　對于上例，可以適當改變已知條件的提法，成為下題的情況。
　　例：六年級學生栽了8棵柳樹，后來又栽楊樹，栽的柳樹比楊樹少4棵，栽了多少棵楊樹？
　　8＋4=12（棵）
　　2.用減法解答的一步應用題主要有以下幾種情況。
　　（1）求剩余。這種情況的題目，根據日常生活中的實際情形，又可分為以下幾種。
　　①求剩余
　　例：粉筆盒里原有10支粉筆，用了4支，還剩幾支？
　　10-4=6（支）
　　②求另一個加數
　　例：粉筆盒里有紅粉筆和白粉筆共10支，其中有紅粉筆4支，白粉筆有幾支？
　　10-4=6（支）
　　③求減數
　　例：粉筆盒里原有10支粉筆，老師講一節算術課之后，粉筆盒里還剩下4支粉筆，用了幾支粉筆？
　　10-4=6（支）
　　（2）求兩個數的差。這是比較兩個數的大小，可以求出較大數比較小數多多少，或者求出較小數比較大數少多少。
　　例：五年級學生種了30棵向日葵，四年級學生種了20棵向日葵。五年級比四年級多種幾棵？四年級比五年級少種幾棵？
　　30-20=10（棵）
　　（3）求比一個數少幾的數。這就是已知較大數與大、小兩數的差求較小數。這也是用減法解答的簡單應用題。
　　例：五年級學生種了30棵向日葵，四年級學生比五年級少種10棵，四年級學生種了多少棵向日葵？
　　30—10=20（棵）
　　總之，加法、減法簡單應用題可以分為兩組。
　　第一組兩個單量同總數之間的關系：
　
　　
　　第二組比較兩個數相差多少：
　
　　
123.我們經常遇到的用乘法、除法解答的一步應用題有那些？
　　1.用乘法解答的一步應用題主要有以下幾種情況。
　　（1）求幾個相同加數的和。根據乘法定義解答這種類型的乘法應用題。
　　例：校園里有3行梧桐樹，每行12棵，共有梧桐樹多少棵？
　　12×3=36（棵）
　　（2）求一個數的幾倍是多少。根據“倍”的概念解答這種類型的乘法應用題。
　　例：四年級的圖書角有故事書80冊，五年級的圖書角有故事書的冊數是四年級的3倍。五年級有故事書多少冊？
　　80×3=240（冊）
　　2.用除法解答的一步應用題主要有以下幾種情況。
　　（1）把一個數平均分成幾份，求一份是多少。這是用除法解答的一種簡單應用題。通常把這種除法應用題，叫等分問題。
　　例：學校買來18個小足球，平均分給6個班，每個班可以得到幾個小足球？
　　18÷6=3（個）
　　（2）求一個數里包含幾個另一個數。這是用除法解答的一種簡單應用題。通常把這種除法應用題，叫包含問題。
　　例：學校買來18個小足球，每班給3個，可以分給幾個班？
　　18÷3=6（個班）
　　（3）求一個數是另一個數的幾倍。這是用除法解答的一種簡單應用題。這種應用題是比較兩個數（或量）之間的倍數關系。
　　例：兩條水渠，第一條水渠長800米，第二條水渠長400米，第一條水渠的長度是第二條水渠的幾倍？
　　800÷400=2（倍）
　　（4）已知一個數的幾倍是多少，求這個數。這是用除法解答的一種簡單應用題。通常把這種類型的應用題，叫做求一倍的數。
　　例：兩條水渠，第一條水渠長800米，它是第二條水渠長度的2倍，求第二條水渠長多少米？
　　800÷2=400（米）
　　總之，乘法、除法簡單應用題可以分為兩組。
　　第一組相同加數、相同加數的個數同積之間的關系：
　　第二組兩個數之間的倍數關系：
124.用綜合法解題是怎樣的思路？
　　綜合法的解題思路，是從已知條件出發，根據數量關系，先選擇兩個已知數量，提出可以解的問題；然后把所求出的數量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解的問題；這樣逐步推導，直到求出應用題所要求的問題為止。
　　例：某服裝廠計劃做制服1030套。前5天每天做70套，改進工作方法后，每天可做85套。求改進工作方法后，還需要幾天完成？
　　采用綜合法，解題思路如下：
　　（1）前5天每天做70套，可以求出已經做的套數；
　　（2）計劃做1030套和前5天已經做的套數，可以求出還要做的套數；
　　（3）還要做的套數及以后每天做85套，就可以求出還需要的天數。
　　用圖表示如下：
125.用分析法解題是怎樣的思路？
　　分析法的解題思路，是從應用題的問題入手，根據數量關系，找出解這個問題所需要的兩個條件；然后把其中的一個（或兩個）未知的條件作為要解的問題，再找出解這一個（或兩個）問題所需要的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在應用題里都是已知的為止。
　　上述（124）例題，采用分析法，解題思路如下：
　　（1）要求出還要做的天數，就必須知道還要做制服的套數（未知的）和以后每天做的套數（85套）；
　　（2）要求出還要做制服的套數，就必須知道計劃做的套數（1030套）和已經做的套數（未知的）；
　　（3）要求出已經做的套數，就必須知道已經做的天數（5天）和每天做的套數（70套）。
　　用圖表示如下：
126.用綜合法或分析法解題時要注意些什么？
　　綜合法與分析法的解題思路是相反的。在解題過程中，分析和綜合并不是孤立的，而是互相聯系的。在解答應用題的時候，兩種方法要協同運用。用分析法思考的時候要隨時注意應用題的已知條件，也就是哪些已知條件搭配起來可以解決所求的問題，因此，可以說，分析中也有綜合。用綜合法思考的時候，要隨時注意應用題的問題，為了解決所提的問題需要哪些已知條件，因此，綜合中也有分析。在解題過程中，兩種方法結合使用為好。
127.什么叫做文字式題？
　　用文字表達數與數之間的運算關系的題目，通常叫做文字式題。例如，29乘以5的積，加上540除以9的商，和是多少？列出算式： 29×5＋ 540÷9=？又如，160加上 48乘以3的積，再減去174，差是多少？列出算式：160＋480×3--174=？文字式題也叫文字敘述題。
128.怎樣分清增加、增加了、增加到、增加幾倍等概念？
　　（1）增加：在原有的基礎上加多少，叫做增加。例如，書架上原來有故事書 90本，后來又增加 40本，現在一共有多少本？又如，學校科技小組原有組員 26人，后來又增加 6人，現在共有組員多少人？
　　（2）增加了：比原有的數多了的部分。例如，圖書館原有科技書540本，現在有科技書650本，增加了110本。又如，學校原有小足球18個，現在共有小足球24個，增加了6個。
　　（3）增加到：在原有的基礎上增加了一部分之后，所達到的結果。也就是說，原有的數加上增加的數，得出增加到的數。即：
　　原有的數+ 增加的數=增加到的數
　　（4）增加幾倍：比原來的數多了幾倍。比如，比原數增加 2倍，那么增加后的數就是原數的 3 倍；如果比原數增加n倍，那么增加后的數就是原數的（n＋1）倍。
　　用圖表示：
　
129.怎樣分清減少、減少了、減少到等概念？
　　（1）減少：從原有的數里去掉一部分，叫做減少。例如，去年種大白菜140畝，今年減少20畝，今年種大白菜120畝。又如：在建筑工地上，原計劃安排30人運土，后來減少6人，由24人運土。
　　（2）減少了：比原有的數減少了的部分。例如，第一車間制造一種機器零件，上個月出廢品7件，這個月出廢品4件，減少了3件。又如，學校鍋爐房上個月燒煤1100千克，這個月燒煤950千克，減少了150千克。
　　（3）減少到：從原有的數里減少一部分之后，所得的結果。也就是說，原有的數減去減少的數，得出減少到的數。即：
　　原有的數-減少的數=減少到的數
130.怎樣理解擴大、擴大了、擴大到等概念？
　　（1）擴大：在原來的基礎上擴展、擴充或放大，叫做擴大。在小學數學教材中，擴大常與“倍”聯系起來使用。例如，某數擴大5倍，它的結果就是某數乘以5。如果汽車的時速一定，路程擴大3倍，所用的時間也擴大相同的倍數。
　　（2）擴大了：某數擴大了幾倍，指的是擴大了的那一部分相當于原來某數的幾倍。例如，學校小操場的面積原來有120平方米，現在又擴大了2倍，這就是說擴大了的面積是240平方米，加上原有的面積共是360平方米。
　　（3）擴大到：擴大到幾倍，指的是某數（或量）擴大之后的結果相當于原數（或量）的幾倍。例如，學校小操場的面積原來有120平方米，現在擴大到3倍，現在的面積就是（120×3=）360平方米了。
131.怎樣理解縮小、縮小了、縮小到等概念？
　　（1）縮小：在原來的基礎上由大變小，叫做縮小。在小學數學教材中，縮小常與“倍”聯系起來使用。例如，某數縮小4倍，就是某數除以4。如果汽車的時速一定，路程縮小3倍，所用的時間也縮小相同的倍數。
　　（2）縮小了：縮小了幾分之幾，指的是縮小了的部分相當于原數的幾分之幾。例如，學校小花園的面積原來有40平方米，現在縮小了五分之二，
　　（3）縮小到：縮小到幾分之幾，指的是縮小后的結果相當于原數的幾分之幾。例如，學校小花園的面積原來有40平方米，現在縮小到原來面積的
　　注意：“某數縮小到三分之一’與“某數縮小三倍”是同樣的含義。
132.圖解法在解題過程中的作用是什么？
　　由于圖形直觀，用圖來表示已知和所求，有助于思考，易于引出解題的線索。畫圖，是個手段，目的是培養學生學會思考問題。我們的著眼點不能停留在畫圖上，而著眼于提高學生分析問題的能力。
　　烏克蘭有一位教育家，名叫瓦·阿·蘇霍姆林斯基（1918--1970），他在數學教學中，要求學生“把應用題畫出來”。具體地說，就是在練習本上，從中間分成兩半，左邊一半用來解答習題，而右邊的一半則用來以直觀的、示意的辦法把應用題畫成圖解的樣子。他的用意，就在于保證學生由具體思維向抽象思維過渡。他曾經說過：“如果哪一個學生學會了‘畫’應用題，我就可以有把握地說，他一定能學會解應用題。”
　　學生學會了用圖解法解答應用題以后，需要時就能手腦并用，借助操作和直觀發現解題方法。
　　畫圖的形式可以靈活多樣。如枝形圖（也叫分析圖）、線段圖、點子圖、幾何圖形等等。要根據題目內容選定畫圖的形式，只要能夠正確表示出數量間的關系就可以了。
　　畫圖，要準確簡明。所謂準確，就是準確地表示出原題的已知和所求；所謂簡明，就是簡單明了，便于觀察思考。畫圖的過程，正是分析題意理解題意的過程，也正是探索解題方法的過程。
　　總之，培養學生畫圖能力，是提高學生分析問題和解決問題能力的重要一環。教學時，既要著眼于能夠使學生解答現在所學習的應用題，又要著眼于將來能夠解答更難一些的題目。培養學生畫圖能力，要有所安排，并且堅持不懈。
133.為什么說“掌握簡單應用題的解法是解答復合應用題的基礎”？
　　在學習簡單應用題過程中，可以理解加、減、乘、除法的意義以及這些法則在實際中的應用。同時，簡單應用題是組成復合應用題的因素，幾個有聯系的簡單應用題組合在一起，就構成了復合應用題。
　　通過解答簡單應用題，逐步理解數量之間的關系。從解題的角度來講，數量之間的關系是確定算法的依據。理解數量之間的關系，主要目的是能夠把數量之間的關系同加、減、乘、除的法則聯系起來，遇到簡單應用題能夠正確選擇算法，并且正確計算出來。
　　在解答復合應用題的過程中是分解成幾個簡單應用題來解的，所以說，掌握簡單應用題的解法是解答復合應用題的基礎。下面，我們解答兩道復合應用題，可以看出簡單應用題同復合應用題的關系。
　　例1：柳林坨鄉修一條長3600米的水渠，原計劃30天完成。實際修筑時，每天比原計劃多修了30米。求修完這條水渠實際用了多少天？
　　解：（1）原計劃每天修多少米？
　　3600÷30=120（米）（工作總量÷時間=工作效率）
　　（2）實際修筑時，每天修多少米？
　　120＋30=150（米）（已知較小數與差，求較大數）
　　（3）實際上用了多少天？
　　3600÷150=24（天）（工作總量÷工作效率=時間）
　　答：修完這條水渠實際用了24天。
　　這道復合應用題，是用三步計算解答的，也就是由三個簡單應用題組合而成的。這三個簡單應用題是：
　　（1）把一個數平均分成幾份，求一份是多少的除法題。
　　（2）求比一個數多幾的數的加法題。
　　（3）求一個數里有幾個另一個數的除法題。
　　例2：某農具廠原計劃每月生產農具250部，技術革新后，9個月的產量比原計劃全年的產量還超過150部，求技術革新后平均每月生產多少部？
　　解：（1）原計劃全年生產農具多少部？
　　250×12=3000（部）（工作效率×時間=工作總量）
　　（2）技術革新后，9個月共生產多少部？
　　3000＋150=3150（部）（已知較小數與差，求較大數）
　　（3）技術革新后，平均每月生產多少部？
　　3150÷9=350（部）（工作總量÷時間=工作效率）
　　答：技術革新后，平均每月生產350部。
　　這道復合應用題，也是由三個簡單應用題組合而成的。這三個簡單應用題是：
　　（1）求幾個相同加數的和的乘法題。
　　（2）求比一個數多幾的數的加法題。
　　（3）把一個數平均分成幾份，求一份是多少的除法題。
　　通過以上兩例，可以看出，解答復合應用題的過程中是分解成幾個簡單應用題來解的。這些簡單應用題，在實際生活中是經常遇到的，確實是組成復合應用題的因素。也可以把簡單應用題看做是基本概念題。因此，學生對于簡單應用題應熟練掌握。
134.常說“學會解答兩步的應用題是解答多步應用題的關鍵”，這是怎么一回事呢？
　　兩步應用題，它的結構是給出一個直接條件，一個間接條件，還有一個與條件有關的問題。因為其中有一個間接條件，因此，分析時比解答一步應用題要難得多。同一步應用題相比，不僅僅是在解答層次上多了一步，事實上，它同一步應用題隔著一級高高的臺階，要跨大步才能邁得上去。
　　學習解答兩步應用題是解答復合應用題的開始，是由一步應用題過渡到三步、四步等較復雜的應用題的橋梁，是非常關鍵的一個階段。正如老師們所說的：一步應用題是基礎，兩步應用題是關鍵。
　　教學兩步應用題，應注意以下兩點：
　　（1）使學生認識兩步應用題的結構
　　由一步應用題向兩步應用題過渡時應使學生弄清楚什么是“間接條件”，間接條件與直接條件的關系，間接條件與問題之間的關系，從而理解兩步應用題的結構。
　　例如，一步應用題是：大牛20頭，小牛5頭，大牛、小牛共有多少頭？
　　根據這個題目，教師可以進行啟發引導：這道題的兩個條件，如果“小牛5頭”這個條件不直接給出來，而根據“大牛20頭”的關系給出來，應該怎樣改編一下這道題呢？
　　學生的思想很活躍，舉手爭先發言。
　　學生甲：大牛20頭，小牛比大牛少15頭，大牛、小牛共有多少頭？
　　20+（20-15）=25（頭）
　　學生乙：大牛20頭，大牛比小牛多15頭，大牛、小牛共有多少頭？
　　20+（20-15）=25（頭）
　　學生丙：大牛20頭，大牛的頭數是小牛的4倍，大牛、小牛共有多少頭？
　　20+20÷4=25（頭）
　　學生丁：大牛20頭，小牛的頭數是大牛的四分之一，大牛、小牛共有多少頭？
　　20+20÷4=25（頭）
　　學生改編的條件都正確。這是在原來的一步應用題的基礎上不受任何限制地改編其中的一個條件。不難看出，學生對于兩步應用題的結構有了初步的認識。
　　間接條件（也叫隱蔽的條件），是構成兩步應用題的重要因素，學會找出間接條件是解答兩步應用題的重要一環。
　　（2）根據問題找條件，鍛煉學生分析問題的能力。
　　一般情況下，凡遇到“求剩下多少”的時候，必然要找出“原有多少”和“用去多少”，也就是要找出被減數和減數。凡遇到“求平均每小組多少人”的時候，必然要找出“共有多少人”和“分為幾個小組”，也就是要找出被除數和除數。這種訓練，實際上是培養學生用分析法解答應用題的思路訓練。
　　上課時，可以提出一些問題，讓學生答出需要的條件。例如：（1）應該找回多少錢？（需要答出：總價是多少，一共給了多少錢？這是一個減法題）
　　（2）兩條水渠共長多少米？（需要答出：第一條水渠長多少米？第二條水渠長多少米？這是一個加法題）
　　（3）實際上比原計劃提前幾天完成？（需要答出：原計劃多少天完成？實際上用了多少天？這是一個減法題）
　　（4）平均每個班能借多少本書？（需要答出：共有書多少本？共有幾個班？這是一個除法題）
　　這樣的訓練很重要。可以使學生認識到：特定的問題，必定具備與之相應的條件。提出的條件，可以是直接的，當然也可以是間接的。
　　如果看到所求的問題就能聯想到相應的條件，這樣訓練的目的是為了提高學生分析數量關系的能力。也可以說是培養學生解題能力的一環。
135.怎樣解答算術平均數問題？
　　在日常生活中經常需要求“算術平均數”的問題。例如，小麥專業隊承包的小麥平均畝產量是318千克，可以看出產量的高低；松林倉小學已統計出三年級學生的身高平均為142厘米，體重平均37.2千克，可以說明學生體質的狀況。又如：四年級學生期末考試，數學平均87.4分，語文平均84.5分，說明這個年級學生的學習成績較好。總之，計算出平均數來，可以說明產量的高低，身體發育的好壞，學習成績的優劣等。可見，掌握求平均數的方法是非常必要的。
　　求算術平均數的時候，必須具備兩個條件：①被均分事物的總量，②要分的總份數。計算時，總量除以相應的總份數，得出“算術平均數”。反之，平均數乘以總份數，得出總量。
　　總數量÷總份數=算術平均數
　　例1：四年級體育小組的學生測量身高，其中3個學生的身高都是146厘米，兩個學生的身高都是145厘米，有一個學生身高149厘米，還有一個學生身高152厘米，求這個小組學生的平均身高是多少厘米？
　　分析：為了求出這個小組學生的平均身高是多少厘米，應該先求出這個小組學生身高的總厘米數及這個小組學生的總人數。總厘米數除以總人數得出平均身高的厘米數。
　　計算：
　　（146×3+145×2+149+152）÷（3+2+1+1）
　　=（438+290+149+152）÷7
　　=1029÷7=147（厘米）
　　答：這個小組學生的平均身高是147厘米。
　　例2：農業科學試驗小組有兩塊小麥試驗田，一塊田是22畝，平均畝產小麥452千克，另一塊田是18畝，平均畝產小麥372千克。求這兩塊試驗田平均畝產小麥多少千克？
　　分析：為了求出這兩塊試驗田的平均畝產量，應該先求出兩塊試驗田共產小麥多少千克
　　計算：
　　（452×22＋372×18）÷（22+18）
　　=（9944＋6696）÷40
　　＝16640÷40
　　=416（千克）
　　答：平均畝產416千克。
　　注意：求這兩塊試驗田的平均畝產量時，一定要先求出這兩塊試驗田小麥的總產量及這兩塊田的總畝數。假如把這兩塊試驗田的各自的平均畝產量加在一起，然后除以2，這樣計算行不行呢？不行。因為這兩塊試驗田的畝數不一樣，一塊是22畝，另一塊是18畝，不能一對一地相加。真要是這樣計算的話，那將得出錯誤的答案。即（452＋372）÷2=824÷2=412（千克）。
　　例3：甲、乙、丙三個學生各拿出同樣多的錢合買同樣規格的練習本。買來以后，甲和乙都比丙多要6本，于是，甲、乙分別給丙人民幣0.72元。求每本練習本的價格是多少？
　　分析：既然是拿出同樣多的錢就應該各自分得同樣多的練習本。實際上呢，甲和乙都比丙多要6本，一共多要了（6×2=）12本。如果甲和乙都不多要，這12本也均分的話，平均每人應分得（12÷3=）4本。可見，甲應退給丙2本，乙也應退給丙2本就可以了。可是都沒有退給練習本，而是甲、乙分別退給丙0.72元。可見，這0.72元是2本練習本的價錢。
　　計算：
　　0.72÷（6-6×2÷3）
　　=0.72÷（6-4）
　　=0.72÷2=0.36（元）
　　答：每本練習本的價格是0.36元。
136.怎樣解答歸一問題？
　　歸一，指的是解題思路。一般情況下，在解答過程中常常是先找出“單一的量”，找出“單一的量”之后，以它為標準，再根據其他條件求出結果。所謂“單一的量”，是指單位時間的工作量，單位時間所走的路程，單位面積的產量，每輛車的載重量以及物品的單價等。
　　例1：7輛同樣的大卡車運沙土，6趟共運走沙土336噸。現有沙土440噸，要求5趟運完，求需要增加同樣的卡車多少輛？
　　分析：為了求出需要增加同樣的卡車多少輛，可以先求出一共需要卡車多少輛。為了求出需要多少輛卡車，應該知道所運沙土的任務及每輛卡車的載重量。已知所運沙土的任務是440噸。因此，先要求出每輛卡車的載重量。
　　計算：
　　（1）1輛卡車1次能運沙土幾噸？
　　336÷6÷7=56÷7=8（噸）
　　（2）需要增加同樣的卡車幾輛？
　　440÷5÷8-7
　　=88÷8-7
　　=11-7=4（輛）
　　答：需要增加同樣的卡車4輛。
　　例2：3臺同樣的拖拉機4小時耕地84畝，照這樣計算，5臺拖拉機7小時能耕地多少畝？
　　計算：
　　84÷3÷4×5×7
　　=7×5×7
　　=245（畝）
　　答：5臺拖拉機7小時耕地245畝。
　　例3：100千克花生可以榨油36千克，現在有花生7500千克，可以榨油多少千克？
　　分析：這道題也可以用“歸一法”解答。但是1千克花生能榨油0.36千克，當小學生還沒有學到“小數”、“分數”的時候，可以更換一種思路--倍比法，來解這類的題目。也就是先求出7500千克相當于100千克的多少倍。
　　計算：
　　36×（7500÷100）
　　=36×75……7500千克是100千克的75倍。
　　=2700（千克）
　　答：可以榨油2700千克。
137.怎樣解答歸總問題？
　　歸總，指的是解題思路。一般情況下，在解答過程中，常常是先找出“總數量”。找出“總數量”之后，再根據其他條件，求出結果。所謂“總數量”，指的是總路程、總產量、工作總量以及物品的總價等等。
　　例1：一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行48千米，5小時可以到達。如果要求4小時到達，每小時需要行多少千米？
　　分析：根據題意，從甲地到乙地的路程是一定的。先求出總路程，再根據其他條件，求出結果。
　　計算：
　　48×5÷4
　　=240÷4
　　=60（千米）
　　答：每小時需要行60千米。
　　例2：大松溝農場用播種機播種，每天每部播種35畝，原計劃用3部播種機10天完成任務。為了加快進度，再增加2部播種機，可以比原計劃提前幾天完成？
　　分析：根據題意可知，這個農場播種的總任務是一定的。為了加快進度，增加播種機，在工作效率不變的情況下，一定可以提前完成任務。
　　計算：
　　10-[35×3×10÷（3＋2）÷35]
　　=10-[1050÷5÷35]
　　=10-6=4（天）
　　答：比原計劃提前4天完成任務。
138.相遇問題與追及問題指的是什么？怎樣解答這類問題？
　　行路方面的相遇問題，基本特征是兩個運動的物體同時或不同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。基本關系如下：
　　相遇時間=總路程÷（甲速+乙速）
　　總路程=（甲速+乙速）×相遇時間
　　甲、乙速度的和-已知速度=另一個速度
　　相遇問題的題材可以是行路方面的，也可以是共同工作方面的。由于已知條件的不同，有些題目是求相遇需要的時間，有些題目是求兩地之間的路程，還有些題目是求另一速度的。相應地，共同工作的問題，有的求完成任務需要的時間，有的求工作總量，還有的求另一個工作效率的。
　　追及問題主要研究同向追及問題。同向追及問題的特征是兩131 個運動物體同時不同地（或同地不同時）出發作同向運動。在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度要慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。在日常生活中，落在后面的想追趕前面的情況，是經常遇到的。基本關系如下：
　　追及所需時間=前后相隔路程÷（快速-慢速）
　　有關同向追及問題，在行路方面有這種情況，相應地，在生產上也有這種情況。
　　例1：甲、乙兩地相距710千米，貨車和客車同時從兩地相對開出，已知客車每小時行55千米，6小時后兩車仍然相距20千米。求貨車的速度？
　　分析：貨車和客車同時從兩地相對開出，6小時后兩車仍然相距20千米，從710千米中減去20千米，就是兩車6小時所行的路。又已知客車每小時行55千米，貨車的速度即可求得。
　　計算：
　　（710-20）÷6-55
　　=690÷6-55
　　=115-55=60（千米）
　　答：貨車時速為60千米。
　　例2：鐵道工程隊計劃挖通全長200米的山洞，甲隊從山的一側平均每天掘進1.2米，乙隊從山的另一側平均每天掘進1.3米，兩隊同時開挖，需要多少天挖通這個山洞？
　　計算：
　　200÷（1.2+1.3）
　　=200÷2.5
　　=80（天）
　　答：需要80天挖通這個山洞。
　　例3：甲、乙兩個學生從學校到少年活動中心去，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米。乙走了4分鐘后，甲才開始走。甲要走多少分鐘才能追上乙？
　　分析：“乙走了4分鐘后，甲才開始走”，說明甲動身的時候，乙已經距學校（50×4=）200米了。甲每分鐘比乙多走（60-50=）10米。這樣，即可求出甲追上乙所需時間。
　　計算：
　　50×4÷（60-50）
　　=200÷10
　　=20（分鐘）
　　答：甲要走20分鐘才能追上乙。
　　例4：張、李二人分別從A、B兩地同時相向而行，張每小時行5千米，李每小時行4千米，兩人第一次相遇后繼續向前走，當張走到B地，立即按原路原速度返回。李走到A地也立即按原路原速度返回。二人從開始走到第二次相遇時走了4小時。求A、B兩地相距多少千米？
　　分析：先畫出線段圖。
　　從圖中可以看到，張、李兩人從開始走到第二次相遇，他們所走的路程之和，應是A、B兩地距離的3倍。這一點是解答這道題的關鍵所在。
　　計算：
　　（5＋4）×4÷3
　　=9×4÷3
　　=36÷3=12（千米）
　　答：A，B兩地相距12千米
139.植樹問題有什么特點？解答時要注意些什么？
　　有關種樹以及與種樹相似的一類應用題叫做植樹問題。植樹問題通常有兩種形式。一種是在不封閉的路線上植樹，另一種是在封閉的路線上植樹。經常遇到的數量有：總距離、間隔長及棵數。
　　如果在不封閉的路線上植樹，并且首、尾都植的話，也就是兩端都要栽1棵。其關系式如下：
　　①總距離÷間隔長+1=棵數
　　②間隔長×（棵數-1）=總距離
　　③總距離÷（棵數-1）=間隔長
　　每兩棵樹之間的間隔，也可以稱作一段。間隔的長度稱作間隔長。
　　如果按照周圍栽樹（沿著圓形水池或方形場地等），也就是在封閉的路線上植樹，那么棵數與間隔數（段數）相等。
　　例1：龍泉大道全長1380米，計劃在路的兩旁每隔12米栽一棵樹，兩端都栽。共栽樹多少棵？
　　分析：按照直線栽樹時，一般是兩端都栽，樹的棵數比間隔數多1。如同自己的5個手指一樣，5個手指，有4個間隔。
　　解答這道題時，可以先求出大道一旁所栽樹的棵數，隨之，即可求出兩旁共栽樹的棵數了。
　　計算：
　　（1380÷12＋1）×2
　　=（115+1）×2
　　=116×2=232（棵）
　　答：共栽樹232棵。
　　例2：花園村小學舉行秋季運動會，在圓形跑道的周圍安排檢查員。周長500米，每隔25米安排一名檢查員。求應安排檢查員多少名？
　　分析：已知運動場的跑道是圓形的，在周圍安排檢查員人數同段數相等。
　　計算：500÷25=20（名）
　　答：應安排檢查員20名。
　　例3：河津路的一側原有木質電線桿86根，每相鄰的兩根相距42米。現在計劃全都換成大型水泥電線桿，每相鄰的兩根相距70米。求需要大型水泥電線桿多少根？
　　分析：為了求出需要大型水泥電線桿的根數，應該求出這條路的全長。已知這條路的一側原有木質電線桿86根，每相鄰的兩根相距42米，根據這兩個條件，可以求出這條街的全長。但是要注意，間隔數比電線桿的根數少1。
　　求出這條路的全長之后，再根據水泥電線桿每相鄰的兩根之間相距70米的條件，即可求出需要大型水泥電線桿的根數。
　　計算：
　　（1）這條路全長多少米？
　　42×（86-1）=3570（米）
　　（2）需要大型水泥電線桿多少根？
　　3570÷70+1=52（根）
　　答：需要大型水泥電線桿52根。
140.盈虧問題有什么特點？怎樣分析這類問題？
　　盈是多余的意思，虧是不足的意思。平時在分物品時或者安排其他工作時，經常會遇到多余或是不足的情況，可以根據多余以及不足的數量引出解題的線索。這類應用題通常叫做盈虧問題。
　　例1：一個植樹小組去栽樹，如果每人栽3棵，還剩下15棵樹苗；如果每人栽5棵，就缺少9棵樹苗。求這個小組有多少人？一共有多少棵樹苗？
　　分析：已知如果每人栽3棵，還剩下15棵樹苗，也就是說還有15棵樹苗沒有栽上，樹苗余下了；又知如果每人栽5棵，就缺少9棵樹苗，這就是說，樹苗不夠了。按照第一種方案去栽，樹苗余下了，若按照第二種方案去栽，樹苗不足了。一個是余下一個是不足，這兩個方案之間相差多少棵呢？相差（15＋9=）24棵，也就是說，如果按照第二種方案去栽的話，可以比第一種方案多栽24棵樹。為什么能多栽24棵樹呢？因為每個人多栽（5-3=）2棵。
　　由于每一個人多栽2棵樹，一共多栽24棵樹，即“2棵樹”對應于“1個人”。這樣，小組的人數可以求得。隨之，樹苗的棵數也可以求得。
　　計算：（1）小組的人數：
　　（15＋9）÷（5-3）
　　=24÷2
　　=12（人）
　　（2）樹苗的棵數：
　　3×12+15=51（棵）
　　答：這個小組有12人，一共有51棵樹苗。
　　在解題時，常常要找兩個“差”。一個是總棵數之差，即第一種方案同第二種方案所栽樹苗的總差數；另一個是單量之差，即每個人所栽樹苗的差。有了這兩個差即可求出結果。因此，這種解題的思路也可以稱作“根據兩個差求未知數”。
　　例2：悅悅每天早晨7點30分從家出發上學去，如果每分鐘走45米，則遲到4分鐘到校；如果每分鐘走75米，則可以提前4分鐘到校。求從家出發需要走多少分鐘才能準時到校？悅悅的家離學校有多少米？
　　分析：已知如果悅悅每分鐘走45米，則遲到4分鐘，這就是說，按照規定到校的時刻來說，還距離學校有（45×4=）180米的路；又知如果每分鐘走75米，則可以提前4分鐘到校，這就是說，到校之后還可以多走出（75×4=）300米的路。這樣，一個慢一個快，在同樣時間之內，速度快要比速度慢多走出（180+300=）480米的路。又知每分鐘多走（75-45=）30米。總之，由于每分鐘多走30米，一共多走出480米；因此，從家到學校所需要的時間就可以求出來了，隨之，悅悅的家距離學校的米數也可以求出來了。
　　計算：
　　（1）準時到校需要多少分鐘？
　　（45×4+75×4）÷（75-45）
　　=480÷30
　　=16（分鐘）
　　（2）悅悅家與學校距離多少米？
　　45×16+45×4
　　=720+180
　　=900（米）
　　答：準時到校需要16分鐘，悅悅家離學校900米。
　　例3：晶晶讀一本故事書，原計劃若干天讀完。如果每天讀11頁，可以比原計劃提前2天讀完；如果每天讀13頁，可以比原計劃提前4天讀完。求原計劃多少天讀完？這本書共有多少頁？
　　分析：已知如果每天讀11頁，可以比原計劃提前2天讀完，這就是說，如果繼續讀2天的話，還可以多讀（11×2=）22頁；又知如果每天讀13頁，可以比原計劃提前4天讀完，這就是說，如果繼續讀4天的話，還可以多讀（13×4=）52頁。兩種情況，雖然都可以多讀，但是它們之間有差別。就是說，在一定的日期之內，第二種方法比第一種方法多讀（52-22=）30頁。為什么能多讀30頁呢？就是因為每天多讀（13-11=）2頁。由于每天多讀2頁，結果一共可以多讀30頁。這是多少天讀的呢，問題不就解決了嗎！
　　計算：（1）原計劃多少天讀完這本書？
　　（13×4-11×2）÷（13-11）
　　=（52-22）÷2
　　=30÷2=15（天）
　　（2）這本書共有多少頁？
　　11×（15-2）
　　=11×13=143（頁）
　　答：這本書共143頁，原計劃15天讀完。
141.怎樣解答和倍問題？
　　和倍問題是已知兩個數量的和及它們之間的倍數關系，求這兩個數量各是多少的應用題。解答的時候，要以其中的一個數量作為標準，也就是把它看作是一份的數，再根據已知的倍數關系，就可以知道另一個數量占幾份。如果是整數倍關系，就把較小的數看作是一份的數為好。
　　例1：果園里有蘋果樹和梨樹共360棵，蘋果樹的棵數是梨樹的3倍。求蘋果樹、梨樹各多少棵？
　　分析：蘋果樹的棵數是梨樹的3倍，如果把梨樹的棵數看作1份，那么蘋果樹的棵數就是3份，兩種樹的棵數共是（1+3）份。又知兩種樹共360棵，這就可以先求出每1份的棵數，也就是梨樹的棵數。然后求出蘋果樹的棵數。
　　計算：（1）梨樹；360÷（1＋3）
　　=360÷4=90（棵）
　　（2）蘋果樹：90×3=270（棵）
　　答：蘋果樹270棵，梨樹90棵。
　　例2：五年級兩個班學生共種向日葵265棵，其中甲班種向日葵比乙班種的2倍還多25棵。求甲班、乙班各種多少棵？
　　分析：這道題比一般的“和倍問題”的條件有一些變化，即“甲班種的向日葵比乙班種的2倍還多25棵”。假如把這25棵暫時減去，則甲班種的向日葵就恰好是乙班的2倍。
　　計算：（1）乙班種了多少棵？
　　（265-25）÷（2+1）
　　=240÷3
　　=80（棵）
　　（2）甲班種了多少棵？
　　80×2+25=185（棵）
　　答：甲班種了185棵，乙班種了80棵。
　　例3：兩箱茶葉共66千克，如果從甲箱取出9千克放入乙箱，則乙箱茶葉的重量是甲箱的2倍。求兩箱原來各有茶葉多少千克？
　　分析：不管是從甲箱取出茶葉放入乙箱，還是從乙箱取出茶葉放入甲箱，總之，兩箱茶葉的總重量是不變的，仍是66千克。這里可以運用假定的方法，假定已經從甲箱取出9千克放入乙箱了，我們可以把原來的題目說成是：兩箱茶葉共66千克，乙箱茶葉的重量是甲箱的2倍，求甲、乙兩箱茶葉各多少千克？然后，再求兩箱原有茶葉各多少千克？
　　計算：（1）從甲箱取出9千克放入乙箱后，甲箱還有茶葉多少千克？
　　66÷（2+1）=22（千克）
　　（2）甲箱原有茶葉多少千克？
　　22＋9=31（千克）
　　（3）乙箱原有茶葉多少千克？
　　66—31=35（千克）
　　答：甲箱原有茶葉31千克，乙箱原有茶葉35千克。
　　解答和倍問題的關系式如下：
　　總和÷（倍數+1）=較小的數
　　較小的數×倍數=較大的數　或總和-較小的數=較大的數
142.怎樣解答差倍問題？
　　差倍問題是已知兩個數量的差及它們之間的倍數關系，求這兩個數量各是多少的應用題。如果兩個數量之間是整數倍關系，還是把較小的那個數量看作是一份為好。解答這類問題時，要注意兩個數量的差相當于較小數的幾倍。舉例如下：
　　（1）如果甲數是乙數的3倍，那么甲、乙兩數的差是乙數的（3-1）倍。
　　（2）如果甲數是乙數的5倍，那么甲、乙兩數的差是乙數的（5-1）倍。
　　（3）如果甲數是乙數的10倍，那么甲、乙兩數的差是乙數的（10-1）倍。
　　解答差倍問題的關系式如下：
　　兩數之差÷（倍數-1）=較小的數
　　較小的數×倍數=較大的數
　　或較小的數+兩數之差=較大的數
　　例1：六（1）班與六（2）班原有圖書的本數一樣多，后來，六（1）班又買來新書100本，六（2）班從本班原有書中取出180本送給三年級同學。這時，六（1）班的圖書是六（2）班所剩圖書的3倍。求兩班原有圖書各多少本？
　　分析：原來兩個班的圖書本數一樣多，后來，六（1）班買進100本，六（2）班送出180本，這時，兩個班相差280本。又知，這時六（1）班的圖書是六（2）班所剩圖書的3倍，則兩班圖書的相差數應是六（2）班所剩圖書的（3—1）倍，這樣，六（2）所剩圖書的本數即可求得。隨之，原有圖書本數也可以求出來了。
　　計算：（1）六（2）班所剩圖書多少本？
　　（180＋100）÷（3—1）
　　=280÷2=140（本）
　　（2）兩個班原有圖書各多少本？
　　140＋180=320（本）
　　答：兩個班原有圖書各320本。
　　例2：第一糧倉存的小麥比第二糧倉多96噸。后來，從兩倉各運出小麥30噸，所余小麥第一倉恰是第二倉的3倍。兩倉原來各存小麥多少噸？
　　分析：已知第一糧倉存的小麥比第二糧倉多96噸。又知從兩倉各運出小麥30噸，因為運走的是相同的數量，所以，兩倉原存小麥的差不變，仍是96噸。
　　運出相同數量的小麥之后，所余小麥第一倉是第二倉的3倍，那么，第一倉比第二倉所多的小麥應該是第二倉余下小麥的（3-1）倍。于是，第二倉余下的小麥噸數即可求得。再加上運出的30噸，就是第二倉原存小麥的噸數。
　　計算：（1）第二倉余下小麥多少噸？
　　96÷（3－1）=48（噸）
　　（2）第二倉原存小麥多少噸？
　　48+30=78（噸）
　　（3）第一倉原存小麥多少噸？
　　78+96=174（噸）
　　答：第一倉原存小麥174噸，第二倉原存小麥78噸。
　　例3：大水池里現在有水880立方米，小水池里現在有水200立方米。計劃往兩水池里注入同樣多的水，使大水池的水量是小水池水量的3倍。求兩水池各應注入多少立方米的水？
　　分析：已知“計劃往兩水池里注入同樣多的水，使大水池的水量是小水池水量的3倍”，既然是注入同樣多的水，那么原來兩水池里的水量之差是不變的。我們可以運用“假定”的思想，假定已經注水完畢，大水池里的水量恰是小水池水量的3倍了，那么大水池比小水池所多的水應該是注水以后小水池水量的（3-1）倍。這樣，就可以求出注水以后小水池里的水量了。隨之，即可求出注入的水量。
　　計算：（1）注入水以后小水池的水量是多少？
　　（880-200）÷（3-1）
　　=680÷2
　　=340（立方米）
　　（2）注入的水量是多少？
　　340-200=140（立方米）
　　答：兩水池各應注入140立方米的水。
143.怎樣解答和差問題？
　　和差問題是已知兩個數的和及它們的差求這兩個數各是多少的應用題。解答的時候，可以把所求的某一個數做為標準。如果把較小的數做為標準，那么，從較大的數里減去兩數的差，剩下的數就同較小的數相等。也就是從總和減去兩個數的差，剩下的數恰好是較小數的2倍，問題可得到解答。如果把較大的數做為標準，那么，給較小的數加上兩個數的差，它就同較大的數相等。也就是兩數之和加上兩個數的差，得出來的數恰好是較大數的2倍，問題可得到解答。
　　解答和差問題的關系式如下：
　　（和--差）÷2=較小的數
　　（和+差）÷2=較大的數
　　例1：把336分為兩個數，使兩個數的和是這兩個數之差的7倍，求所分成的兩個數各是多少？
　　分析：已知這兩數的和是336，又知這336是兩數之差的7倍，于是可以求出這個“差”來。根據兩個數的和與差可以求出這兩個數各是多少。
　　計算：（1）兩數之差是多少？
　　336÷7＝48
　　（2）較小的數是多少？
　　（336-48）÷2=144
　　（3）較大的數是多少？
　　（336+48）÷2=192
　　或者， 336—144=192
　　或者， 144＋48=192
　　答：較小數是114，較大數是192。
　　例2：甲、乙兩筐蘋果共65千克。從甲筐里取出6千克放到乙筐里去，結果甲筐的蘋果還比乙筐的蘋果多3千克，求兩筐原有蘋果各多少千克？
　　分析：根據已知條件，使我們知道甲、乙兩筐蘋果的總重量沒有變化，仍然是65千克。又知從甲筐取出6千克放到乙筐里去，如果這時兩筐蘋果相等的話，那么可以知道甲筐一定比乙筐多12千克。但是，仍未相等，甲筐還比乙筐多3千克，可知甲筐的蘋果比乙筐的蘋果多15千克。這樣，我們知道了兩個數的和與差，按照解答“和差問題”的思路可以求出兩個數各是多少。
　　計算：（1）甲筐原有的蘋果比乙筐多多少千克？
　　6×2＋3=15（千克）
　　（2）乙筐原有蘋果多少千克？
　　（65--15）÷2=25（千克）
　　（3）甲筐原有蘋果多少千克？
　　（65+15）÷2=40（千克）
　　答：乙筐原有蘋果25千克，甲筐原有蘋果40千克。
144.怎樣解答連續數問題？
　　順次差為1的幾個整數叫連續數。如： 5， 6， 7， 8， 9， 10；順次差為2的幾個偶數叫連續偶數。如： 2，4， 6， 8， 10；順次差為 2的幾個奇數叫連續奇數。如：1，3，5，7，9。
　　在算術中，已知幾個連續數的和，求這幾個連續數各是多少的應用題叫做連續數問題。解答這類問題時，因為連續數順次的差是1，若從連續數的第二個較大數起順次加上1，2，3，…，則這幾個數就都變成了最大的數，因此，總和加上1+2+3＋…（加數個數比
　　連續數的個數少1個），再用連續數的個數去除，就得到這幾個連續數中最大的數；同理，總和減去（1＋2＋3＋…），再除以連續數的個數，就得到這幾個連續數中最小的數。
　　例1：9個連續數的和是72，求各數。
　　計算：[72＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）]÷9
　　=[72+36]÷9
　　＝108÷9
　　=12……最大的數
　　連續數的各數是： 4，5，6，7，8，9，10，11，12例2：6個連續偶數的和為126，求各偶數。
　　計算：[126-（2+4＋6＋8+10）]÷6
　　=[126-30]÷6
　　=96÷6
　　=16……最小的數
　　連續偶數的各數是：16，18，20，22，24，26。
145.順流而下與逆流而上問題指的是什么？怎樣解答這類問題？
　　順流而下與逆流而上問題通常稱為流水問題，流水問題屬于行程問題，仍然利用速度、時間、路程三者之間的關系進行解答。解答時要注意各種速度的涵義及它們之間的關系。
　　船在靜水中行駛，單位時間內所走的距離叫做劃行速度或叫做劃力；順水行船的速度叫順流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠動力順水而行，單位時間內走的距離叫做水流速度。各種速度的關系如下：
　　（1）劃行速度+水流速度=順流速度
　　（2）劃行速度-水流速度=逆流速度
　　（3）（順流速度+ 逆流速度）÷2=劃行速度
　　（4）（順流速度-逆流速度）÷2=水流速度
　　例1：兩個碼頭相距144千米，一艘客輪順水行完全程需要6小時，已知這條河的水流速為每小時3千米。求這艘客輪逆水行完全程需要幾小時？
　　分析：流水問題的數量關系仍然是速度、時間與距離之間的關系。即：速度×時間=距離；距離÷速度=時間；距離÷時間=速度。但是，河水是流動的，這就有順流、逆流的區別。在計算時，要把各種速度之間的關系弄清楚是非常必要的。這道題求的是逆行所需要的時間，如果能找出逆水行船的速度，問題可得到解決。
　　計算：（1）順流每小時行多少千米？
　　144÷6=24（千米）
　　（2）逆流每小時行多少千米？
　　24-3-3=18（千米）
　　（3）逆水行完全程需要幾小時？
　　144÷18= 8（小時）
　　答：逆水行完全程需要8小時。
　　例2：一條大河，主航道的水流速為每小時10千米，沿岸邊的水流速為每小時6千米。一條船從興塘碼頭出發，在主航道上順流而下， 5小時行駛180千米。求這條船沿岸邊返回原地，需要多少小時？
　　分析：沿岸邊返回原地，指的是逆水上行，求需要行駛的時間。已知行駛的路程為180千米，只需求出逆流速度就可以了。
　　計算：（1）順流速度：
　　180÷5=36（千米）
　　（2）沿岸邊逆流速度：
　　36-10-6=20（千米）
　　（3）沿岸邊返回原地所需時間：
　　180÷20=9（小時）
　　答：沿岸邊返回原地需要9小時。
　　例3：甲、乙兩個碼頭相距270千米，一艘貨輪從乙碼頭逆水而上，行駛18小時到達甲碼頭。又知這艘貨輪在靜水中每小時能行駛21千米。求這艘貨輪從甲碼頭順流駛回乙碼頭需要多少小時？（假定裝載貨物的重量來去相同）
　　分析：求的順流行完全程需要的時間，而全程為270千米，只要求出順流速度就可以了。根據已知條件可以求出逆流速度，還可以求出水流速度，于是，順流速度即可求出。
　　計算：（1）這艘貨輪逆水行駛的速度：
　　270÷18=15（千米）
　　（2）這條河的水流速度：
　　21-15=6（千米）
　　（3）順水行駛的速度：
　　21＋6=27（千米）
　　（4）順流駛回乙碼頭所需時間：
　　270÷27=10（小時）
　　答：順流駛回乙碼頭需要10小時。
146.列車過橋與通過隧道問題指的是什么？怎樣解答這類問題？
　　列車過橋與通過隧道問題屬于行程問題，仍然利用速度、時間、路程三者之間的關系進行解答。但是，這類應用題有它自身的特點，計算時要注意到列車車身的長度。
　　例1：一列客車全長224米，每秒行駛24米，要經過長880米的大橋，求全車通過這座大橋需要多少秒鐘？
　　分析：所謂“全車通過這座大橋”，指的是從車頭上橋算起到車尾離橋為止。這樣說來，應把橋長加上車身長作為全距離。解答時，為了便于理解，可以把車尾作為標準點，從這個標準點開始算起，到這個標準點高橋為止，這是全車通過這座橋所行駛路程的全長。
　　計算：（880＋224）÷24
　　=1104÷24
　　=46（秒）
　　答：全車通過大橋需要46秒鐘。
　　例2：一列貨車全長280米，每秒鐘行駛20米，全車通過一條隧道需要57秒鐘。求這條隧道長多少米？
　　分析：已知這列貨車每秒鐘行駛20米，全車通過一條隧道需要57秒鐘。知道了行駛速度及行駛的時間，就可以求出行駛的路程。但是，這個路程的長度包含著隧道長與車身長。
　　計算：（1）這列貨車57秒鐘行駛了多少米？
　　20×57=1140（米）
　　（2）這條隧道長多少米？
　　1140—280=860（米）
　　答：這條隧道長860米。
　　例3：一列客車通過616米長的大橋需要38秒鐘，用同樣速度穿過910米長的隧道需要52秒鐘。求這列客車的速度及車身的長度各多少米？
　　分析：已知這列客車通過大橋用了38秒鐘，這38秒鐘行駛的距離是橋長加上車身長；又知這列客車用同樣速度穿過隧道用了52秒鐘，這52秒鐘行駛的距離是隧道長加上車身長。把這兩組條件列出來，便于引出解答的線索。
　　大橋616米+車身長----用38秒
　　隧道910米+車身長---用52秒
　　通過列出來的兩組條件，可以看出所用的時間相差（52-38=）14秒，所行駛的路程相差（910-616=）294米，這就是說，這列客車用14秒鐘行駛了294米。這列客車的速度可以求出來了。隨之，車身的長度也可以求得。
　　計算：（1）這列客車每秒能行駛多少米？
　　（910-616）÷（52-38）
　　=294÷14=21（米）
　　（2）這列客車的車身長多少米？
　　21×38-616
　　=798-616=182（米）
　　答：這列客車每秒能行駛21米，車身長182米。
147.逆運算問題有什么特點？怎樣解答這類問題？
　　逆運算問題是根據題意的敘述順序由后向前逆推計算。解答這類問題的要點在于“還原”，在計算過程中常采用相反的運算，也就是：原題加了的，逆推時應為減；原題減了的，逆推時應為加；原題乘了的，逆推時應為除；原題除了的，逆推時應為乘。這種解題的方法通常叫做“逆推法”，有關這類的應用題通常叫做“逆運算問題”，也有叫做“還原問題”的。
　　例1：一個小學生把“一個數除以3.7”的題，誤算為除以7.3，結果得出18.5，求這個題的正確得數應是多少？
　　分析：已知這個小學生把原數誤除以7.3，結果得出18.5，根據這個條件，可以把原數求出來，求出原數之后，再除以3.7，得出正確的結果。
　　計算：（1）原來的那個數是多少？
　　18.5×7.3=135.05
　　（2）正確得數應是多少？
　　135.05÷3.7＝36.5
　　答：正確的得數應該是36.5。
　　例2：一位農民到農貿市場賣雞蛋。第一次賣出他的全部雞蛋的一半零8個，第二次賣出余下雞蛋的一半零9個，第三次賣出再余下的一半零10個，恰好賣完。求這位農民帶來雞蛋多少個？
　　分析：解答這道題，我們采用逆推的思考方法。
　　“賣出一半零10個，恰好賣完”的含義是什么？不管什么物品，賣出去一半，自然還剩一半，這里說的是“賣出一半零10個”，“零10個”是屬于另一半里邊的，又說“恰好賣完”，這就是說另一半就是10個。
　　計算：（1）第二次賣完之后剩下多少個雞蛋？
　　10×2=20（個）
　　（2）第一次賣完之后剩下多少個雞蛋？
　　（20＋9）×2=58（個）
　　（3）原有多少個雞蛋？
　　（58＋8）×2=132（個）
　　答：這位農民帶來132個雞蛋。
148.怎樣運用比較法分析應用題？
　　比較法是分析應用題的一種思考方法。解答時的思想要點是：把已知條件進行比較，發現其中的差別，找到解題的途徑。通常把這種解題的方法叫做比較法。
　　例1：學校第一次買來15個凳子與6把椅子共付318元；第二次買來同樣的凳子8個與同樣的椅子6把共付234元。求凳子與椅子的單價。
　　分析：擺出條件，進行比較：
　　（第一次） 15個凳子 6把椅子共 318元
　　（第二次） 8個凳子 6把椅子共 234元
　　比較兩次購物的情況，可以看出，第二次比第一次少買7個凳子，少付出（318-234=）84元。由此可以求出凳子的單價，隨之，椅子的單價也可求得。
　　計算：（1）凳子的單價：
　　（318-234）÷（15-8）
　　＝84÷7=12（元）
　　（2）椅子的單價：
　　（234－12×8）÷6
　　＝138÷6＝23（元）
　　答：凳子的單價12元，椅子的單價23元。
　　例2：學校食堂，第一次買來大米30千克及豆油8千克總價57.8元；第二次買來同樣的大米25千克及豆油4千克總價35.9元。求大米、豆油每千克各多少元？
　　分析：擺出條件，進行比較：
　　（第一次）大米30千克+豆油8千克---57.8元
　　（第二次）大米25千克+豆油4千克----35.9元
　　由于兩次所買的大米數量不同，所買的豆油數量也不同。應設法使某一種物品的數量相同，這樣便于比較。
　　把第二次所購物品及所付錢數乘以2，使兩次所購的豆油數量相同，然后進行比較。
　　（第一次）大米30千克+豆油8千克----57.8元
　　（第二次）大米50千克+豆油8千克----71.8元
　　計算：（1）大米每千克多少元？
　　（71.8-57.8）÷（50-30）
　　=14÷20=0.7（元）
　　（2）豆油每千克多少元？
　　（57.8-0.7×30）÷8
　　=（57.8-21）÷8=4.6（元）
　　答：大米每千克0.7元，豆油每千克4.6元。
149.怎樣從不同的角度和不同的側面去分析應用題的數量關系？
　　有些應用題，如果按照原來題意進行分析，有時會感到數量關系復雜、抽象，解答起來比較困難。假如改變一種方式進行思考的話，就可以轉變為另一種數量關系形式。或者改變思考的角度，轉化成另外一種問題，也就是通常所說的轉化的思考方法。
　　改變思考角度的方法是一種思路靈活的思考方法。掌握了這種思考方法，就可以用多種方法解答同一問題，就能從不同的角度和不同的側面去分析應用題中的數量關系，這對理解數量關系和提高思維能力都是有益的。
　　例1：加工一批零件，如果每小時加工35個，可比原計劃時間提前1小時完成；如果每小時加工42個，可比原計劃時間提前4小時完成。求這批零件共有多少個？
　　思考方法一：前者提前一小時完成，后者提前4小時完成，后者比前者提前（4-1）小時完成。也就是說，當后者完成任務時，前者還要工作3小時才能完成任務。這3小時能做多少個零件呢？能做（35×3=）105個。也可以說，在相同時間內，快者比慢者能夠多做出105個零件。又知快者比慢者每小時多做（42－35=）7個，那么，多少小時多做出105個呢？時間求出來了，這批零件的總數即可求得。
　　計算：（1）在相同時間內快者比慢者多做多少個？
　　35×3=105（個）
　　（2）快者完成任務的時間是幾小時？
　　105÷（42-35）=15（小時）
　　（3）這批零件共多少個？
　　42×15=630（個）
　　答：這批零件共630個。
　　思考方法二：我們可以從比的角度進行分析。因為前后兩種工作效率的比為35∶42=5∶6，那么加工同樣個數的零件所需時間的比為6∶5。也就是說，若前者用的時間為6份，那么，后者所用的時間為5份。前者用的時間比后者多1份。根據已知，這1份就是3小時，可見，前者用的時間為18小時，后者用的時間為15小時。求出了工作時間，又知道工作效率，即可求出工作總量。
　　計算：（1）慢者完成任務所需的時間是幾小時？
　　（4-1）÷（6-5）×6=18（小時）
　　（2）這批零件共多少個？
　　35×18=630（個）
　　答：這批零件共630個。
　　思考方法三：我們還可以再換一個角度進行分析。每小時加工零件
　　小時，又知，加工同樣個數的零件，慢者比快者共多用3小時，這就可以求出加工零件的總數。
　　計算：（1）加工每個零件的時間慢者比快者要多用幾小時？
　　（2）這批零件共多少個？
　　答：這批零件共630個。
　　采用不同角度，對數量關系進行分析，可以開闊解題思路。從以上幾種解法可以看出，改變思考角度的方法，是解答應用題的重要思維方法。也是重要的解題思路。
　　例2：甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相對開出，經3小時相遇，相遇后各自仍繼續前行，又經2小時，甲車到達B地，乙車離A地還有75千米。求A、B兩地間相距多少千米？
　　思考方法一：從圖中可以看出，甲車2小時走的路，乙車3小時走完，那么甲車1小時走的路，乙車1.5小時走完。于是，甲車3小時走的路，乙車要4.5小時走完。相遇后，甲車又行2小時到達B地，當甲車到達B地時，乙車距A地還有75千米，這75千米，乙車還要走2.5小時。乙車的時速可以求出，于是，A、B兩地間的距離即可求得。
　　計算：（1）乙車每小時能行駛多少千米？
　　75÷（1.5×3-2）
　　=75÷2.5=30（千米）
　　（2） A、B兩地間的距離是多少千米？
　　30×（3＋4.5）
　　=30×7.5=225（千米）
　　答：A、B兩地間相距225千米。
　　思考方法二：從比的角度進行分析，相遇后，甲用2小時走完了乙用3小時走的路，可知，甲、乙時速的比為3∶2，也就是乙的速度相當于甲的是75千米，于是，全路程即可求得。
　　計算：（1）甲乙兩車速度的比為3∶2。
　　　
　　（3） A、B兩地間的距離：
　　
　　答：A、B兩地間相距225千米。
　　思考方法三：已知甲乙兩車3小時相遇。可見甲乙兩車每小時行完全程
　　
　　
　　米，全程即可求得。
　　計算：（1）乙車每小時行駛全程的幾分之幾？
　　（2）乙車5小時行駛全程的幾分之幾？
　　（3） A、B兩地間的距離是多少千米？
　　答：A、B兩地間相距225千米。
150.怎樣運用矩形圖示法解答應用題？
　　矩形圖示法是應用矩形圖表示題目的已知和所求，是幫助我們尋找解題線索的好辦法。根據題意畫出矩形，可以用矩形的長表示一種量，用矩形的寬表示另一種量，矩形的面積表示這兩種量的積。通過矩形圖可以把抽象的數量關系變得具體形象，便于尋找解題線索。
　　例1：園園買回0.36元一本和0.28元一本的兩種練習本共20本，共用去6.32元。求買回來的兩種練習本各多少本？
　　分析：對于這道題可以用假定的方法進行解答。這里，我們運用矩形圖示法分析這道題。
　　先畫出矩形圖，把矩形的長作為練習本的總數，寬作為練習本的單價（作為價錢貴的練習本的單價）。這個圖的長表示20本，寬表示每本的單價0.36元；而0.28元可以用寬的一部分表示，0.08元是0.36元與0.28元的差。然后觀察圖形進行分析：假如這20本練習本都是0.36元一本的，那么總值應該用整個矩形面積表示，而實際的總錢數為6.32元，即矩形面積中的陰影部分。空白部分呢，是假定的總錢數與實際的總錢數的差。利用這個差以及兩種練習本的單價之差，就可以求出單價0.28元的練習本的本數。隨之，0.36元的練習本的本數也可以求出。
　　計算：（1）假定這20本練習本都是0.36元一本的，總值應是多少元？
　　0.36×20=7.2（元）
　　（2）比實際的總錢數多多少錢？
　　7.2--6.32=0.88（元）
　　（3）每本練習本相差多少錢？
　　0.36-0.28=0.08（元）
　　（4）每本0.28元的練習本多少本？
　　0.88÷0.08=11（本）
　　（5）每本0.36元的練習本多少本？
　　20-11=9（本）
　　例2：第一建筑工程公司建造甲、乙、丙三種不同規格的住房30單元，乙種住房的單元數是丙種住房的2倍。出租時，甲種每單元每月收租金20元，乙種每單元每月收租金16元，丙種每單元每月收租金11元。這三種住房每月租金總數為481元。求三種住房各多少單元？
　　分析：這道題，可以用假定的方法進行解答，也可以運用矩形圖示法解答。
　　先畫出矩形圖。把矩形的長作為住房的單元數，矩形的寬作為每單元每月的租金數。注意乙種住房的單元數是丙種住房的2倍。把租金總數用顏色筆描出，然后觀察圖形，進行分析。
　　假如這30個單元都是甲種住房的話，那么每月房租總數應該用整個矩形面積表示，而實際每月租金總數為481元，即矩形面積中的陰影部分。空白部分是假定的租金總數與實際租金總數的差，利用這個差以及各種單元房之間租金數的差，就可以求出各種住房的單元數。
　　計算：（1）假定30單元都是甲種住房，每月租金總數應是多少元？
　　20×30=600（元）
　　（2）實際租金總數比600元少多少元？
　　600-481＝119（元）
　　（3）丙種住房有多少單元？　
119÷[（20-16）×2+（20-11）]
　　＝119÷[8+9]
　　=7（單元）
　　（4）乙種住房有多少單元？
　　7×2=14（單元）
　　（5）甲種住房有多少單元？
　　30-7-14=9（單元）
　　答：甲、乙、丙三種住房分別為9單元、14單元及7單元。
151.怎樣進行一題多編？
　　采用一題多編的辦法，要目的明確，要有針對性，有計劃有安排，不能為了多編而多編。下面舉例說明。
　　（1）為了鍛練逆思考的能力，我們可以把順解的題目改編成逆思考的題目。
　　例1：三年級學生要栽40棵樹，已經栽了25棵，還要栽多少棵？
　　這是順解的題目。列式：
　　40-25=15（棵）
　　例2：三年級學生已經栽了25棵樹，還要栽多少棵，就夠40棵了？
　　遇到這個題，常常會這樣想：25棵加上多少棵等于40棵呢？然后，反過來想：從40棵里去掉25棵就是所求的數了。這是逆思考題目。列式：
　　40-25=15（棵）
　　例3：三年級學生栽了25棵樹，加上四年級學生栽的，一共是40棵。求四年級學生栽了多少棵？
　　這道題是已知兩個數的和及其中一個加數求另一個加數的運算，是逆思考的題目。列式仍然是：
　　40-25=15（棵）。
　　（2）為了弄清數量之間的關系，進一步理解某些數學概念，提高解題能力而編的一組題目。
　　例1：六（1）班有男生24人，女生比男生少4人，女生有多少人？
　　這道題知道了較大數，又知道較小數比較大數所少的數，求較小數，用減法計算。列式：24-4＝20（人）
　　例2：六（1）班有男生24人，比女生多4人。女生有多少人？
　　這道題仍然是已知較大數，求的是較小數，應該用減法計算。列式：24-4=20（人）
　　但是這道題里有“比……多”這樣的話，容易使我們想到加法。這就需要我們把數量關系弄清楚，特別要弄清“誰比誰多”。不要受個別詞語的影響。
　　例3：六（1）班有女生20人，男生比女生多4人，男生有多少人？
　　這道題知道了較小數，又知道較大數比較小數所多的數，求較大數，用加法計算。列式：
　　20＋4=24（人）
　　例4：六（1）班有女生20人，比男生少4人，男生有多少人？
　　這道題仍然是已知較小數，求較大數，應該用加法計算。列式：
　　20＋4=24（人）
　　但是這道題里有“比……少”這樣的話，容易使我們想到減法。一定要弄清楚“誰比誰少”，說的是較小數比較大數所少的數，而求的是較大數，當然要用加法計算。
　　（3）為了把零散知識串起來，使知識系統化。下面舉出一組分數乘、除法應用題的例子，可以使學生形成認知結構，并且進一步認識“部分與整體”之間的關系，提高解題能力。
　　例1：計劃修一條20千米長的路，已經修了15千米，完成了百分之幾？
　　例2：計劃修一條20千米長的路，已經修了75％，修了多少千米？
　　20×75％=15（千米）
　　例3：計劃修一條路，已經修了15千米，恰是全長的75％。這條路全長多少千米？
　　15÷75％=20（千米）
　　例4：計劃修一條20千米長的路，已經修了75％，還剩多少千米沒有修？
　　20×（1-75％）=5（千米）
　　例5：計劃修一條路，已經修了75％，還剩5千米沒有修，求這條路全長多少千米？
　　5÷（1-75％）=20（千米）
152.對于一道題，你能從不同的角度，尋求不同的解法嗎？
　　有些應用題，可以從不同的角度去分析，采用不同的解答方法，這樣練習，可以提高我們解題的能力，還能激發我們學習數學的興趣。下面試舉幾例。
　　例1：工人王師傅改造了工具，縮短了制造某種零件的時間，過去制做一個零件要用20分鐘，現在只用8分鐘。過去每天能制做24個零件，現在每天能制做多少個？（過去和現在每天的工作時間相同）
　　解法一：
　　所求的是現在每天能制做多少個零件，應該知道每天工作時間有多長及制做一個零件所需的時間。現在制做一個零件的時間只需8分鐘，這是已知的。于是，再求出每天工作的時間就可以了。根據過去制做零件的情況可以知道：制做一個零件用20分鐘，每天能制24個。
　　計算：（1）每天工作的時間：
　　20×24=480（分鐘）
　　（2）現在每天能制做零件的個數：
　　480÷8=60（個）
　　答：現在每天能制做零件60個。
　　解法二：
　　過去制做一個零件要20分鐘，而現在只需8分鐘，過去制做一個零件的時間，現在可以做（20÷8=）2.5個，過去1天能制做24個，現在1天能制做零件的個數即可求得。
　　計算：（1）過去制做一個零件的時間，現在可以制做幾個？
　　20÷8=2.5（個）
　　（2）現在每天能制做多少個？
　　2.5×24=60（個）
　　答：（同上）。
　　解法三：
　　從生產效率方面來考慮，過去制做1個零件需要20分鐘，那么每分鐘能制做（1÷20=）0.05個；現在制做1個零件只需8分鐘，那么每分鐘能制做（1÷8=）0.125個。過去1天能制做24個零件需要多少時間，需要（24÷0.05＝）480分鐘；現在，在這480分鐘之內，可以制做的零件數，就是所求。
　　計算：（1）過去，每分鐘能制做多少個零件？
　　1÷20=0.05（個）
　　（2）現在，每分鐘能制做多少個零件？
　　1÷8=0.125（個）
　　（3）過去，每天制做24個零件，需要多少分鐘？
　　24÷0.05=480（分鐘）
　　（4）現在，每天工作480分鐘，可以制做多少個？
　　0.125×480=60（個）
　　答：（同上）。
　　解法四：
　　求出過去每天制做24個零件需要480分鐘之后，再求出480分鐘包含多少個8分鐘，所得的數即所求。
　　計算：（1）過去，每分鐘能制做多少個零件？
　　1÷20=0.05（個）
　　（2）過去，每天制做24個零件，需要多少分鐘？
　　24÷0.05=480（分鐘）
　　（3）現在，每天工作480分鐘，可以制做多少個？
　　480÷8＝60（個）
　　例2：一列快車和一列慢車，同時從南北兩站相對開出，3小時后，兩車共行的路程與剩下的路程的比是3∶2。已知快車每小時行60千米，慢車每小時行48千米。求南北兩站相距多少千米？
　　解法一：
　　分析：已經知道了快車的時速和慢車的時速，還知道了行駛的時間，這樣，兩車共行的路程可求得。再根據3與2之比，又可以求出剩下的路程。于是，全路程的千米數也可以求出來了。
　　計算：（1）3小時，兩車共行多少千米。
　　（60+48）×3=324（千米）
　　（2）剩下的路程是多少千米？
　　324÷3×2=216（千米）
　　（3）南北兩站相距多少千米？
　　324+216=540（千米）
　　答：南北兩站相距540千米。
　　解法二：
　　分析：用比例方法解。已知兩車共行的路程與剩下的路程的比是3∶2，可求出兩車共行的路程與全程的比是3∶（3+2），根據這樣的比，可以求出全程的千米數。
　　計算：（1） 3小時，兩車共行多少千米？
　　（60＋48）×3=324（千米）
　　（2）兩車共行的路程與全路程的比。
　　3∶（3＋2）=3∶5
　　（3）南北兩站相距多少千米？
　3∶5=324∶x
　　　　　　x=540……全程千米數。
　　答：（同上）。
　　解法三：
　　分析：既然兩車共行的路程與剩下的路程的比是3∶2，那么剩下的路程還可以行幾小時呢？用比例方法可以求出。這樣，行完全程用的時間也可以求出來了。
　　計算：（1）剩下的路程還可以行幾小時？
　　3∶2=3（小時）∶x
　　x=2（小時）
　　（2）兩車行完全程用幾小時？
　　3＋2=5（小時）
　　（3）南北兩站相距多少千米？
　　（60＋48）×5=108×5=540（千米）
　　答：（同上）
　　例3：制鞋廠的兩個車間，共同生產一批旅游鞋。甲車間每天能生產這
務，
求甲車間每天生產多少雙？
　　解法一：
　　游鞋的總數可以求出。隨之，甲車間每天生產多少雙也可以求出來了。
　　計算：
　　（1）甲車間12天生產這批任務的幾分之幾？
　　（2）乙車間12天生產多少雙？
　　45×12=540（雙）
　　（3）這批鞋的任務共是多少雙？
　　（4）甲車間每天生產多少雙？
　　答：甲車間每天生產30雙。
　　解法二：
　　分析：已知甲乙兩車間共同生產12天完成了任務，那么平均每天完成這
任務
的幾分之幾可以求得。問題得到解答了。
　　計算：
　　（1）乙車間每天完成這批任務的幾分之幾？
　　（2）這批任務是多少？
　
　　（3）甲車間每天能生產多少雙？
　　答：（同上）。
　　解法三：
　　分析：先求出乙車間每天的工作量相當于這批任務的幾分之幾
　　　
　　
　　計算：
　　（1）乙車間每天完成這批任務的幾分之幾？
　　（2）甲車間每天的工作量相當于乙車間每天工作量的幾分之幾？
　　（3）甲車間每天生產多少雙？
　　答：（同上）。

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