資源簡介

四、數的整除性
153.為什么要學習“數的整除性”這部分知識？
　　“數的整除性”在小學數學教學中是一個重要的基礎知識。說它重要是因為這部分知識所涉及的基本數學概念不僅多，而且相對集中，如果不能明確、清晰地掌握這些基本數學概念的區別和聯系，就會引起混淆，而混淆也必然給以后的數學知識的學習，帶來嚴重的后遺癥。
　　例如：約數與倍數、質數與合數、奇數與偶數、公約數與公倍數……這些概念在教學中幾乎同時出現，但又有相反的內涵，因此，這些概念必須牢固而又明確地建立起來。
　　還必須看到：“數的整除性”是學習分數的前提和準備。在分數的四則運算中，約分和通分是一定要掌握的基礎知識，而構成這些基礎知識，是離不開“數的整除性”這部分內容的。
　　例如：不掌握求最大公約數的方法，就不可能進行正確、迅速的約分；不掌握求最小公倍數的方法，也無法進行正確、迅速的通分。從這個意義上講，學習“數的整除性”是進一步學習數學的需要。
　　除此之外，學生在過去的學習中，已經知道整數與整數的和、差、積都是整數，但整數除整數時，商不一定是整數，有時會是小數，到底在什么情況下，整數與整數相除，商仍然是整數呢？這就需要根據“數的整除性”的知識來進行正確的判斷了。
　　在未學習“數的整除性”前，學生是很難準確、迅速地判斷出下列各式的商是不是整數。
　87459÷3 65246÷7
　　32846÷11 96375÷25
　　74321÷9 79432÷8
　　由于數字較大，一時難于做出正確的判斷，一旦掌握了“數的整除性”這部分知識，這些問題就不難解決了。
154.整除和除盡有什么不同？
　　整除和除盡是兩個既有區別又有聯系的概念，也是兩個易于混淆的概念。可以通過下面兩道題的計算過程，來加以說明。
　　這兩道題相同的地方是都沒有余數，都可以說成是“除盡”。但這兩道題又有不同的地方，（1）題中的被除數、除數和商都是整數，這種情況稱作“整除”。按原題可以說成是896能被16整除。（2）題中的被除數、除數雖然是整數，但商不是整數，而是小數。這類情況就只能稱作“除盡”，而不能稱作“整除”。按原題可以說成36能被8除盡，而不能說成36能被8整除。
　　又如：3.5÷0.5=7 824÷41.2=20
　　這兩個式子雖然都能除盡，商又是整數，但被除數和除數中， 至少有一個數不是整數，因此，這兩個式子只能屬于“除盡”情況，而不能稱作“整除”。
　　由于在小學數學中，“數的整除性”所涉及的數一般都指的是自然數，不包括0，因此，其定義是：“數a除以數b，除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說，a能被b整除。”
　　“整除”與“除盡”是兩個不同的概念。“除盡”是指在除法中只要除到某一位時沒有余數，不管被除數、除數和商是整數還是小數，都可以說是“除盡”。“整除”是指在除法中只有被除數、除數和商都是整數的情況下，才可以說是“整除”。
　　“整除”是整數范圍內的除法，而“除盡”則不限于整數范圍，只要求余數為零。“整除”與“除盡”的區別和聯系在于“整除”也可以稱作“除盡”，但是“除盡”不一定是“整除”。“除盡”中包括了“整除”，“整除”只是“除盡”的一種特殊情況。“除盡”與“整除”的關系可用右邊集合圖來表示。
155.“數的整除性”有哪些性質？
　　“數的整除性”的性質很多，涉及到小學數學內容的有以下幾個：
　　（1）如果兩個整數a、b都能被c整除，那么a與b的和也能被c整除。
　　例如：42÷7=6 56÷7=8
　　（42＋56）÷7=14
　　42能被7整除，56也能被7整除，那么42與56的和（98）也能被7整除。
　　反之，如果整數a、b中，有一個數能被c整除，而其中一個數不能被c整除，那么a與b的和就一定不能被c整除。
　　例如：36÷9=4 83÷9=9……2
　　（36+83）÷9=13……2
　　36能被9整除，83不能被9整除，那么36與83的和（119）不能被9整除。
　　（2）如果兩個整數a、b都能被c整除，那么a與b的差也能被C整除。
　　例如：88÷11=8， 66÷11=6
　　（88-66）÷11=2
　　88能被11整除，66也能被11整除，那么88與66的差（22）也能被11整除。
　　反之，如果整數a、b中，有一個數能被c整除，另一個數不能被c整除，那么a與b的差就一定不能被c整除。
　　例如：91÷13=7 30÷13=2……4
　　（91-30）÷13=4……9
　　91能被13整除，30不能被13整除，那么91與30的差（61）不能被13整除。
　　（3）如果兩個整數a、b都不能被c整除。那么a與b的和（或差）能或不能被c整除。這是一個不肯定的結論。
　　例如：65÷7=9……2 33÷7=4……5
　　（65＋33）÷7＝14
　　（65-33）÷7=4……4
　　65不能被7整除，33也不能被7整除，由于兩個余數的和（2＋5=7），正好等于除數，因此，65與33的和（98）能被7整除；而65與33的差則不能被7整除。
　　又如：85÷11=7……8 38÷11=3……5
　　（85＋38）÷11＝11……2
　　（85-38）÷11=4……3
　　85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85與38的和（123）或差（47）都不能被11整除。
　　（4）如果整數a能被自然數c整除，那么a的倍數（整數倍）也能被c整除。
　　例如：39÷13=3
　　（39×4）÷13=12
　　39能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。
　　（5）如果a、b、c這三個數中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（這是整除的傳遞性）。
　　例如：有84、21、7三個數
　　84÷24=4 21÷7=3
　　84÷7＝12
　　84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。
　　反之，如果a、b、c這三個數中，a與b或b與c之間只要出現一個不能整除的情況，a就一定不能被c整除。
　　例如：有121、11、5三個數
　　121÷11=11 11÷5=2……1
　　121÷5=24……1
　　121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。
156.“倍”與“倍數”有什么區別？
　　“倍”與“倍數”雖然只有一字之差，卻是兩個不同的數學概念，只有真正明確它們各自的內涵和使用范圍，才不會在理解和應用上造成混淆。
　　“倍”指的是數量之間的關系，它建立在乘法概念的基礎上，在實際教學中，是從“個”和“份”逐步抽象出來的數學概念。
　　例如：白布8米，花布的長度有4個8米；或者說把白布8米看作1份，花布的長度是4份。這里所說的“個”與“份”，換成數學語言就是花布的長度是8米的4“倍”，花布的米數是8×4=32（米）。由此可見，“倍”的出現是從生活中的“個”與“份”逐步抽象出來的，是建立在乘法概念的基礎上的。
　　“倍數”指的是數與數之間的聯系，它建立在“數的整除性”這個大概念的基礎上，是在明確“整除”的前提下，與“約數”同時建立的。
　　例如：28是7的倍數，因為28能被7整除。28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示這三個數的數量關系，則7×4=28，7的4倍是28。由此可見，前者的“倍數”是嚴格限制在“整除”的范圍內，而后者的“倍”只體現在乘法的概念當中，這是兩者的明確區別。
　　在小學數學教材中，“倍數”的運用還有另一種情況，即在比例教學時，當闡述正、反比例關系所提到的“擴大或縮小相同的倍數”，這里所提到的“倍數”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范圍內的概念。比例中所出現的倍數，所表示的是兩個最相比而得到的數，這個數不一定是整數，也可能是小數。在研究“數的整除性”中的倍數，是不允許出現小數的。
157.約數可以等于因數嗎？
　　在“數的整除性”中，約數和因數是兩個重要的概念。在小學數學“教”與“學”中，接觸因數是在整數乘法時，被乘數與乘數對于積來說，都是因數。約數是在“數的整除性”中出現的，它與倍數是在“整除”概念的前提下，同時建立起來的概念。按照教材中對約數所下的定義：“如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。”假設把商定為c，其算式為：
　　a÷b=c 反之 b×c=a
　　僅從算式來觀察，似乎約數與因數已經等同了，實際上并非如此。約數與因數是一個問題在不同范疇內的兩種不同提法，兩者之間既有聯系，也有區別，從上面乘、除法關系的算式中可以看到它們之間的聯系，但它們之間的區別則是主要的。
　　以6÷3＝2為例，6能夠被3整除，也能被2整除，因此，對6來說，3和2都是它的約數。如果換成乘法算式：3×2=6，對于乘積（6）來說， 3和2都是它的因數。由此可見，只有在“整除”的范疇內，才能談得上約數，而在乘法中，因數早已經存在了。
　　事實上，6除了能被3和2整除外，還能夠被1和6整除，也就是說，6共有1、2、3、6四個約數。至于3×2=6，3和2固然是6的因數；但1×6=6，1和6也是6的因數，這是兩個不同的乘法算式，因此，絕不能說成6有1、2、3、6四個因數，否則，1×2×3×6=36，其乘積就不是6，而是36了。
　　約數與因數的另一個區別，還在于各自的應用范圍上。約數的應用范圍是有限的，它只存在于“數的整除性”這部分知識當中，為學習“公約數”和“最大公約數”做好基礎知識上的準備。因數的應用范圍則比較廣泛，無論整數、小數、分數、百分數，以及到中學后所接觸到的負數，只要出現了乘法，就存在著因數的概念。
　　例如：在小數中2.4×0.8=1.92，2.4與0.8都是1.92的因數。
　　
　　在負數中（-5）×7=35，-5和7都是-35的因數。
　　凡此種種，都充分說明：約數與因數是兩個不同的概念，是不能等同的。
158.質數一定是奇數嗎？偶數一定是合數 嗎？
　　質數與奇數，偶數與合數涉及到兩組不同的數學概念。質數與合數是相互依存的，奇數與偶數也是相互依存的。因此，質數不一定是奇數，偶數也不一定是合數。
　　這是因為：一個數只有1和它本身兩個約數的，這樣的數叫做質數（也叫做素數）。而不能被2整除的數叫做奇數。這兩個概念的內涵不同，一般來說，是質數的也都是奇數，如：3、13、29、37……。這些數既是質數，也都是奇數。但有一個數是例外的，這就是“2”。2的約數只有1和它本身，因此，它是質數；但2能被2整除，不符合奇數的定義，所以，2不是奇數。按照數學的嚴密性語言來說：“除2以外的質數都是奇數”，這樣的判斷才是正確的。
　　還必須看到，“除2以外的質數都是奇數”這個結論雖然正確無誤，但反過來說“除2以外，奇數都是質數”則是錯誤的，如：27、35、143……這些數，雖然都是奇數，但這些數除了1和它本身這兩個約數外，還有其他約數，如：27還有3和9，35還有5和7，143還有11和13，都不符合質數的定義，因此，這些數都不是質數。
　　偶數也不一定是合數，因為“能被2整除的數叫做偶數”，而合數的定義是：“除了1和本身，還有別的約數的，這樣的數叫做合數。”這里“2”又是一個重要區分點，2是偶數，但不是合數，準確的說法是：“除2以外的偶數都是合數。”
　　與質數和奇數不能反敘述一樣，如果說成“除2以外的合數都是偶數”也是錯誤的。例如：45、87、187……這些數都是合數，但都不是偶數。
159.最小的偶數是幾？
　　偶數概念的出現是在“數的整除性”這部分知識里，在小學數學教材中“數的整除性”一般是限制在自然數范圍之內的，由于0不是自然數，因此沒有涉及到最小偶數是幾的問題，但在“教”與“學”中，卻常常遇到這個問題，并且說法不一。
　　按照“能被2整除的數叫做偶數”的定義，以及一個數個位上是0、2、4、6、8的數就一定能被2整除的規律，0能夠被2整除，0也應該看作是偶數。
　　至于在“教”與“學”中所提出的“最小的偶數是幾”的問題，必須限定一個范圍，一般來講，要區分三種情況：
　　（1）如果限定在自然數的范圍內，由于已將0排除，最小的偶數是2；
　　（2）如果擴大自然數的范圍，把0包括在內，最小的偶數是0。
　　（3）如果限定在整數范圍內，這個“整數”概念包括負整數，由于沒有最小的負整數，因此，在整數的范圍內，也沒有最小的偶數。
160.“12是倍數，4是約數”這種說法對不對？
　　研究“倍數”與“約數”的概念，都是在整除的前提下進行的，因此，它們當中的每一個概念都不是單獨存在的，而是互相依存的。可以說：沒有倍數就沒有約數，沒有約數也就沒有倍數。按照“如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數”的定義，通過下面的例子，就可以回答上面提出的問題了。
　　例如：15÷3=5
　　15能被3整除，15是3的倍數，3是15的約數。
　　24÷8=3
　　24能被8整除，24是8的倍數，8是24的約數。
　　由此可見，12÷4=3，12在能被4整除的情況下，只能說成12是4的倍數，4是12的約數。表述倍數與約數時，必須完整地說明：誰是誰的倍數，誰是誰的約數。如果籠統地說：“誰是倍數，誰是約數”則是孤立的肯定，而失去倍數與約數本身的意義。所以“12是倍數，4是約數”這種說法是不對的。
161.為什么判斷一個數能不能被2或5整除，只要看這個數的個位數？
　　判斷一個數能不能被2或5整除，在“數的整除性”這個范疇內是一個重要基礎知識。教材中是通過自然數乘以2和乘以5的形式，對乘積個位上數的特征的觀察，從而得出如下的結論：“個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除。”和“個位上是0或者5的數，都能被5整除。”
　　有關這個結論的算理，可以通過下面數例加以說明。
　　例如：（1）364=300＋60＋4
　　（2）876=800＋70＋6
　　（3）4528=4000＋500＋20＋8
　　任何一個數都可以寫成上面的形式，從中可看到：一個數千位、百位、十位上的數字，都表示整千、整百、整十的數，而整千、整百、整十的數都能被2整除（或者說都是2的倍數），這是整除的性質所決定的，那么這個數能不能被2整除的關鍵，就看個位上的數了。因此，只要個位上是0、2、4、6、8的數，這個數就一定能被2整除。個位上是0的數，必然是10的倍數，10能夠被2整除，10的倍數也一定能被2整除。所以個位上是0的數，也一定能被2整除了。
　　又如：（1）485=400＋80＋5
　　（2）3765=3000＋700＋60＋5
　　（3）5970=5000＋900十70＋0
　　同理，千位、百位、十位上的數字，所表示的是整千、整百、整十的數，這些數均能被5整除（或者說都是5的倍數），關鍵是個位上的數，如果個位上的數能被5整除，這個數必然能被5整除。個位上是5的數，當然能被5整除，個位上是0的數，必然是10的倍數，10能被5整除，10的倍數也必然能被5整除。因此，看一個數能不能被5整除，只要看這個數個位上是0或者5，就能正確、迅速地做出判斷。
　　個位上是0的數，是10的倍數，10能被2整除，也能被5整除。因此，個位上是0的數，既能被2整除，又能被5整除。
162.為什么看一個數能不能被3或9整除，就要看這個數各數位上數字的和能不能被3或9整除？
　　一個數只要各數位數字的和是3或9的倍數，就一定能被3或9整除。這個規律可通過下面例子得到證明。
　　例如：判斷3576，2549能不能被3整除。
　　3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍數）
　　∴3576能被3整除。
　　2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍數）
　　∴2549不能被3整除。
　　檢驗：2549÷3=849……2
　　又如：判4212、5282能不能被9整除。
　　4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍數）
　　∴4212能被9整除。
　　5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍數）
　　∴5282不能被9整除。
　　這個規律主要依據是：
　　（1）凡各位數字是9的數，一定能被3和9整除。如：
　　9÷3=3 9÷9=1
　　99÷3=33 99÷9=11
　　999÷3=333 999÷9=111
　　9999÷3=3333 9999÷9=1111
　　…… ……
　　（2）凡是10的倍數都可以用下列形式表示：10=9+1
　　100=99+1
　　1000=999+1
　　10000=9999+1
　　……
　　80=8×10=8×（9+1）
　　700=7×100=7×（99+1）
　　5000=5×1000=5×（999+1）
　　40000=4×10000=4×（9999+1）
　　……根據以上兩點，可以通過下面的等式來說明354能不能被3整除的道理：
　　第一個括號里是9的倍數加上9的倍數，它是能被3或9整除的。因此，這個數能不能被3整除，只要看第二個括號的結果就可以了。而第二個括號里恰恰是354各位數字的和。所以，判斷一個數能不能被3或9整除，只要看各位數字的和就可以了。
　　判斷結果：3+5+4=12，12能被3整除，因此，354能被3整除。
　　由于9本身能被3整除，所以能被9整除的數，一定能被3整除。而能被3整除的數，卻不一定能被9整除。仍以354為例，3+5+4=12，12能被3整除，卻不能被9整除，因此，354能被3整除，不能被9整除。
　　用上述方法不但能判斷一個數能不能被3或9整除，而且還能判斷不能整除時，余數是多少。
　　如：判斷7485能不能被9整除。
　　7+4+8+5=24→2+4=6
　　各位數字繼續相加
　　從結果看出：把7485的各位數字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485這個數不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余數。即：
　　7485÷9=831……6
　　又如：判斷3478能不能被3整除。　　
　　∵3+4+7+8=22
　　
　　∴3478不能被3整除，余數是1。因為22除以3商7后的余數是1，也就是3478除以3的余數1。
　　檢驗： 3478÷3=1159……1
163.怎樣判斷一個數能不能被6整除？
　　判斷一個數能不能被6整除，主要看這個數能被2整除，又能被3整除，如果都能，那么這個數就能被6整除。因為把6分解質因數是2×3，或者說2與3的乘積是6，所以能同時被2和3整除的數，就能被6整除。
　　在判斷一個數能不能被6整除時，可按照下列步驟進行：
　　（1）首先看這個數是不是偶數，凡是偶數都能被2整除。這就符合了能被6整除的第一個條件。如果這個數不是偶數，那就排除了能被6整除的可能。
　　（2）然后按照能被3整除的數的特征，即：這個數各位數字的和是不是3的倍數，如果是3的倍數，這個數就能被6整除。
　　例如：判斷654能不能被6整除。
　　654是偶數，自然能被2整除；654各位數字的和是6+5+4=15，15是3的倍數，因此，654能被6整除。
　　又如：判斷274能不能被6整除。274是偶數，但它各位數字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此，274不能被6整除。
　　如果用圖來表示，下面兩圓相交部分中的數就是既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的數。
164.怎樣判斷一個數能不能被7整除？
　　判斷一個數能不能被7整除，不象判斷一個數能不能被2、5、3整除那佯，根據這個數的數字特征就能直接做出判斷。一般需要采用割減法。
　　割減法的過程是這樣的：把一個數割去末位數字，再從留下來的數中減去所割去數字的2倍，這樣一次次減下去，如果最后的結果是7的倍數（包括0），那么原來這個數就一定能被7整除。
　　例1：判斷3164能不能被7整除。
　　因為14是7的倍數，所以3164能被7整除。
　　檢驗：3164÷7=452.
　　對于數字不大的數，使用割減法判斷能不能被7整除是比較方便的。
　　這個割減的過程，并不需要筆算，口算就可以完成。關于割減法的算理，即：為什么要先割去末位上的數字，然后再從留下的數字中減去割去數字的2倍？這與能不能被7整除有什么關系？講清這個算理，先觀察一下21的倍數有什么特點。
　　從表中可以看到，21的倍數恰好是前位數字是末尾數字的2倍。那么，把一個數割去末位數字，再從前位減去末位數字的2倍，不正是減去21的倍數嗎？如例1中割去84，不就是割去末位數字4的21倍嗎？
　　由于21=7×3，21包含3個7，所以減去21的倍數，也就是減去7的倍數。由此可以看出：判斷一個數能不能被7整除所用的割減法，其依據就是利用了21的倍數的特點。
　　如果一個數連續減去7的倍數，而余下的數也是7的倍數，那么原來這個數也必然是7的倍數，因而也能被7整除。
　　
　　這個過程不一定書寫出來，也可以在口算中進行。
　　因為用割減法連續減去的是21的倍數，如果最后的結果還是21的倍數，那么這個數既能被7整除，還能被21整除，當然也能被3整除。
　　例2：判斷2583，5264能不能被7和21整除。
　　2583能被7整除；也能被21整除。
　　檢驗：2583÷7=369
　　2583÷21=123
　　5264能被7整除，不能被21整除。
　　檢驗：5264÷7=752
　　5264÷21=250……14
165.怎樣判斷一個數能不能被4或25整除？
　　判斷一個數能不能被4或25整除是比較容易的，這就是：如果一個數的末兩位數能被4或25整除，那么這個數就一定能被4或25整除。
　　例如：4750=47×100+50
　　928=9×100+28
　　3800=38×100
　　因為25與4相乘的積是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的數（100的倍數）可以不考慮，只要這個數的末兩位數能被4或25整除，這個數就一定能被4或25整除。由此可以得出：凡是一個數的末兩位數都是0（必然是100的倍數），這個數就一定能被4或25整除。
　　4750的末兩位數是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。
　　928的末兩位數是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而不能被25整除。
　　3800的末兩位數都是0，說明3800是100的倍數，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。
166.怎樣判斷一個數能不能被8或125整除？
　　一個數能不能被8或125整除，要看這個數的末三位，這個數的末三位是8或125的倍數，這個數就能被8或125整除。
　　由于1000=8×125，1000既是8的倍數，也是125的倍數，所以，凡是一個三位以上的多位數，只要末三位數都是0，這個數就一定能被8和125整除。
　　例如：
　　6048能被8整除，4375能被125整除，86000既能被8整除，又能被125整除，7594和7300這兩個數，既不能被8整除，也不能被125整除。
　　這種根據一個數末三位數來進行判斷的方法，其算理是：任何一個三位以上的多位數，都是由1000的倍數和一個三位數組成的。
　　例如：9864=9×1000+864
　　56750=56×1000+750
　　93000=93×1000
　　1000既能被8和125整除，1000的倍數也必然能被8和125整除，因此，一個數末三位左邊的數可以不看，只要末三位數能被8或125整除，這個數就能被8或125整除。
　　看末三位數是不是8的倍數，還可以采用簡便的方法：
　　（1）先看末位數是奇數還是偶數，倘若是奇數，可以肯定不是8的倍數，因為8的倍數永遠是偶數。
　　（2）如果是偶數，用2去除末三位數，看所得的商是4的倍數，這個數就能被8整除。
　　例如：
　　
　　所以7104能被8整除。
　　
　　由于125本身就是三位數，在所有的三位數內，125的倍數只有有限的幾個（125、250、375、500、625、750、875、1000），所以，只要熟記這幾個數據，就可以準確、迅速地進行判斷了。
167.怎樣判斷一個數能不能被11整除？
　　判斷一個數能不能被11整除與判斷一個數能不能被7整除一樣，都沒有直接判斷的方法，需要借助間接的方法，這種間接的方法有兩種，其一是“割減法”，其二是奇偶位差法。
　　（1）割減法：判斷被11整除的割減法與判斷被7整除的割減法不同。即：一個數割去末尾數字，再從留下來的數中減去這個末位數字，這樣一次一次地減下去，如果最后結果是11的倍數（包括得0），那么這個數就能被11整除；如果最后結果不是11的倍數，那么這個數就不能被11整除。
　　例如：4708……割去末位8
　　因此，4708能被11整除。
　　在判斷時，對于數目不大的數，用口算就可以看出結果。
　　通過口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。
　　（2）奇偶位差法：把一個數由右邊向左邊數，將奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數（包括0），那么原來這個數就一定能被11整除。
　　例如①：判斷283679能不能被11整除。
　　23-12=11
　　因此，283679能被11整除。
　　②判斷480637能不能被11整除。
　
　21-7=14
　　因此，480637不能被11整除。
　　上述這種方法叫做奇偶位差法，算理可通過下列算式說明。
　　9÷9=1 9÷11（不能整除）
　　99÷9=11 99÷11=9
　　999÷9=111 99÷11（不能整除）
　　9999÷9=1111 9999÷11=909
　　99999÷9=11111 9999÷11（不能整除）
　　999999÷9=111111 999999÷11=90909
　　…… ……
　　由以上兩算式中可以看到：全部由9組成的任何一個數，都能被9整除，但除以11則不一定，只有當9的個數成偶數時，才能被11整除，當9的個數是奇數時，則不能被11整除。
　　當一個數首尾數字相同，中間都是0，而且0的個數成偶數時，這個數也能被11整除。
　　如：11÷11=1
　　1001÷11=91
　　300003÷11=27273
　　……
　　通過用奇偶位差法的分解來判斷8712能不能被11整除，從中也可以進一步理解這種判斷方法的算理。
　　8712=8000+700+10+2 ①
　　偶 奇 偶 奇
　　偶位上的數可以寫成：
　　8000=8×1000=8×（1001-1） ②
　　10=1×10=1×（11-1） ③
　　奇位上的數可以寫成：
　　700=7×100=7×（99+1） ④
　　把②③④式代到①式中去。
　　第一個括號中所得的結果，肯定能被11整除，原數能不能被11整除，決定于第二個括號中所得的數，而第二個括號中的數，恰恰是奇位數字與偶位數字之差，由此而得出了用奇偶位差法來判斷一個數能不能被11整除。
168.怎樣判斷一個數能不能被13整除？
　　一個數能不能被13整除，在判斷上也沒有直接的方法，需要借助間接的方法，這種間接的方法是：一個多位數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差，這個差如果能被13整除，那么原來的這個多位數就能被13整除。
　　例如：判斷383357能不能被13整除。
　　383357這個數的末三位數是357，末三位以前的數字所組成約數是383，這兩個數之差是383-357=26。
　　∵26能被13整除，
　　∴383357也能被13整除。
　　又如：判斷35062能不能被13整除。
　　35062這個數的末三位數是62，末三位以前的數字所組成的數是35，這兩個數之差是：62-35=27。
　　∵27不能被13整除，
　　∴35062也不能被13整除。
　　這個方法也同樣適用于判斷一個數能不能被7或11整除。
169.怎樣判斷一個數能不能被17整除？
　　判斷一個數能不能被17整除，也沒有直接的方法，間接的方法也使用“割減法”。不過這里使用的割減法與判斷一個數能不能被7整除的割減法，不完全一樣。它也是先割去原來數的末位數字，然后再從留下來的數中減去割去數字的5倍，倘若數字還大，就依照上述步驟繼續割減，當最后的結果是17的倍數時，那么原來這個數就一定能被17整除。如果最后結果不是17的倍數時，那么原來這個數就一定不能被17整除。
　　例如：判斷9894能不能被17整除。
　　最后結果是51，51能被17整除，所以9894也能被17整除。
　　又如：判斷8765能不能被17整除。
　　由于80不能被17整除，因此，8765也不能被17整除。
　　這種判斷一個數能不能被17整除的割減法的算理是：先割去末位數字，實際上是減去末尾數字本身的1倍，再從前位減去所割數字的5倍，實際上又減去了所割數字的50倍，加上已經減去的1倍，一共減去所割數字的51倍。因為51=17×3，51既是17的倍數，減得的結果是17或是17的倍數（包括0），都證明原來這個數一定能被17整除，反之，則不能。
　　如果要求判斷的數不大，判斷過程也完全可以用口算進行。
　　如：判斷782和693能不能被17整除。
　　從上述口算過程可以得出：782能被17整除；693不能被17整除。
170.怎樣判斷一個數能不能被12、15、18、45整除？
　　判斷一個數能不能被12、15、18、45整除都沒有直接的方法，可以按照前面提到的判斷被6整除的做法，從而找出一個間接的方法來。
　　（1）怎樣判斷一個數能不能被12整除。
　　因為12=3×4 a÷12=a÷3÷4
　　由此可以得出：如果一個數能被3整除又能被4整除，那么這個數就一定能被12整除。判斷被3和4整除的數的特征，在前面已經做了解答，只要滿足被3和4整除的這兩個條件,這個數就一定能被12整除。即：一個數的各位數字的和是3的倍數，末兩位的數又是4的倍數，這個數就一定能被12整除。
　　例如：判斷3084能不能被12整除。
　　3084的各位數字的和是3+0+8+4=15，
　　15是3的倍數，3084的末兩位數是84，84又是4的倍數，所以3084能被12整除。
　　檢驗：3084÷12=257
　　又如：判斷4734能不能被12整除。
　　4734的各位數字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍數，但4734的末兩位數是34，34不是4的倍數，所以4734不能被12整除。
　　檢驗：4734÷12=394……6
　　（2）判斷一個數能不能被15整除。
　　因為15=3×5 a÷15=a÷3÷5
　　由此可以得出：一個數既能被3整除，又能被5整除，這個數就一定能被15整除。即：一個數的各位數字的和是3的倍數，而它末位數字是0或5，這個數就能被15整除。
　　例如：判斷8715能不能被15整除。
　　8715的各位數字的和是8+7+1+5=21，21是3的倍數，8715的末位數字又是5，所以8715這個數能被15整除。
　　檢驗：8715÷15=581
　　（3）判斷一個數能不能被18整除。
　　因為18=2×9 a÷18=a÷2÷9
　　由此可以得出：一個數既能被2整除，又能被9整除，那么這個數就一定能被18整除。即：一個末位數字是0、2、4、6、8的數，而它的各位數字的和又是9的倍數，這個數就能被18整除。
　　例如：判斷52416能不能被18整除。
　　52416的末位數字是6，能被2整除，而52416的各位數字的和是5+2+4+1+6=18，18又是9的倍數，因此，52416一定能被18整除。
　　（4）判斷一個數能不能被45整除？
　　因為45=5×9 a÷45=a÷5÷9
　　由此可以得出：一個數既能被5整除，又是9的倍數，那么這個數就一定能被45整除。即：一個數的末位數字是5或0，而它的各位數字的和又是9的倍數，這個數就一定能被45整除。
　　例如：判斷98865能不能被45整除。
　　98865的末位數字是5，可以被5整除，98865的各位數字的和是9+8+8+6+5=36，36又是9的倍數，因此，98865一定能被45整除。
　　使用上述4種間接判斷方法，要特別注意一個問題，即：一個數所分解的兩個數，這兩個數必須是互質數，否則就會發生判斷上的錯誤。
　　例如：12不能分解成2×6，18也不能分解成3×6。如果12=2×6，2與6并不是互質數，且6=2×3，這樣，2就重復考慮了兩次，結果就形成了能被6整除的數就能被12整除的錯誤結論。
　　如果18=3×6，3與6這兩個數也不是互質數，6又可以分解成2×3，這樣，3又重復考慮了兩次。6是3的倍數，也會導致能被6整除的數就能被18整除的錯誤結論。事實上，如：246、462這些數，都滿足能被3和6整除的條件，但卻不能被18整除。
171.為什么三個連續數相乘的積一定是6的倍數？
　　三個連續數相乘的積一定是6的倍數，這決定于自然數列的排列規律。因為在自然數列里，所有的偶數都是2的倍數，也就是每隔一個數必是一個2的倍數，而每隔兩個數，必是3的倍數。
　　例如：從11起自然數列的順序是這樣的：
　　從上面自然數列中可以看出：無論從任何一個數開始，三個連續數中，必定有2和3的倍數，而2與3的乘積是6，所以在三個連續數的乘積里，必定有6的倍數。或者說：三個連續數相乘的積一定是6的倍數。
　　例如：14、15、16三個連續數。
　　這三個連續數中，14和16是2的倍數，15是3的倍數，因此，這三個連續數相乘的積，一定是6的倍數。14、15、16相乘積是14×15×16=3360，而3360是6的560倍。
172.質數、質因數和互質數有什么區別？
　　質數、質因數和互質數這三個術語的概念極易混淆，因為它們都有“質”和“數”兩個字。正確地區分這幾個概念，對掌握數的整除性這部分基礎知識，有著極其重要的意義。
　　（1）質數：一個自然數，如果只有1和它本身兩個約數，這個數叫做質數（也稱素數）。
　　例如：
　　1的約數有：1；
　　2的約數有：1，2；
　　3的約數有：1，3；
　　4的約數有：1，2，4；
　　6的約數有：1，2，3，6；
　　7的約數有：1，7；
　　12的約數有：1，2，3，4，6，12；
　　……
　　從上面各數的約數個數中可以看到：一個自然數的約數個數有三種情況：
　　①只有一個約數的，如1。因此，1不是質數，也不是合數。
　　②只有兩個約數的（1和它本身），如2，3，7……
　　③有兩個以上約數的，如4，6，12……
　　屬于第②種情況的，叫做質數。屬于第③種情況的，即：除了1和本身以外，還有別的約數，這樣的數叫做合數。
　　（2）質因數：一般地說，一個數的因數是質數，就叫做這個數的質因數。
　　例如：18=2×3×3
　　這里的2、3、3都是18的因數，而2和3本身又都是質數，于是我們就把2、3、3叫做18的質因數。這里需要注意的是：18也可以寫成3與6的乘積，即：18=3×6，無疑3和6都是18的因數，但3本身是質數，可以稱做18的質因數，而6是合數，則不能稱做18的質因數。
　　（3）互質數：兩個或幾個自然數，當它們的最大公約數是1的時候，這兩個或幾個數，就叫做互質數（也叫互素數）。
　　例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。
　　上述這幾組數，它們的最大公約數都是1，因此，它們都是互質數。在以上兩個互質數中，如7、11和15這三個數，7和11是互質數，11和15是互質數，7和15也是互質數。這類情況，我們就叫做這三個數“兩兩互質”。但12、20和35這組數中，雖然它們也是互質數，但不是兩兩互質，因為12和35是互質數，至于12和20、20和35都不是互質數。
　　需要注意的是：不管兩個數互質或者兩個的數以上互質，這些數本身卻不一定是質數，如5和7是互質數，它們本身都是質數；4和11是互質數，其中4并不是質數；8和9是互質數，但8和9本身都不是質數。
　　總之，質數是指一個數。譬如說：“2是質數，11是質數”等等。質因數雖然也是指一個數，但是它是針對另一個數而說的。譬如說：“5是35的質因數。”如果離開35，孤立地說：“5是質因數。”則是不妥當的。因此，質因數具有雙重身份：第一必須是個質數；第二必須是另一個數的因數。
　　互質數同質數、質因數都不同，它不是指一個數，而是指除了1以外，再沒有其他公約數的兩個或兩個以上的數。
　　由此可見：掌握質數、質因數和互質數這幾個術語的概念，其中質數是基礎，這三者之間既有聯系，又有區別，要透徹理解和正確區分，才能防止混淆。
173.怎樣判斷一個數是不是質數？
　　正確而迅速地判斷一個自然數是不是質數，在數的整除性這部分知識中，是一項重要的基本技能。
　　由于大于2的質數一定是奇數（奇數又不一定都是質數），所以，在判斷一個自然數是不是質數時，首先要看它是奇數還是偶數。如果是大于2的偶數，這個數肯定不是質數，而是合數；如果是奇數，那就有可能是質數。在這種情況下，一般使用以下兩種方法：
　　（1）查表法：
　　主要是指查“質數表”。編制質數表的過程是：按照自然數列，第一個數1不是質數，因此要除外，然后按順序寫出2至500的所有自然數，這些數中2是質數，把它留下，把2后面所有2的倍數劃去，2后面的3是質數，接著再把3后面所有3的倍數劃去，如此繼續下去，剩下的便是500以內的全部質數。
　　最早使用上述方法來尋求質數的人，是古代希臘數學家埃拉托斯特尼，由于他在開始時，先把自然數寫在一塊蠟板上，把不是質數的數（合數）分別刺上一個孔，這樣，在蠟板上就被刺上了許多象篩子一樣的孔，后來，大家就把這種尋求質數的方法叫做“篩法”。
　　下面是用篩法尋找出的500以內質數表：
　　這類的質數表還可以編制成數字范圍更大一些的，如1000以內質數表等。判斷一個自然數是不是質數，如在表所規定的數字范圍內，即可用查表的方法進行判斷。
　　（2）試除法：
　　在手頭上沒有質數表的情況下，可以用試除法來判斷一個自然數是不是質數。例如判斷143、179是不是質數，就可以按從小到大的順序用2、3、5、7、11……等質數去試除。一般情況下用20以內的2、3、5、7、11、13、17、19這8個質數去除就可以了。如143，這個數的個位是3，排除了被2、5整除的可能性，它各位數字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除，通過口算也證明不能被7整除，當試除到11時，商正好是13，到此就可以斷定143不是質數。
　　對179試除過程如下：
　　179÷2=59……2
　　179÷3=66……1
　　179÷5=35……4
　　179÷7=25……4
　　179÷11=16……3
　　179÷13=13……10
　　179÷17=10……9
　　當179÷17所得到的不完全商10比除數17小時，就不需要繼續再試除，而斷定179是質數。這是因為2、3、5、7、11、13、17都不是179的質因數，因此，179不會再有比17大的質因數，或者說179不可能被小于10的數整除，所以，179必是質數無疑。
　　綜上所述，用試除法判斷一個自然數a是不是質數時，只要用各個質數從小到大依次去除a，如果到某一個質數正好整除，這個a就可以斷定不是質數；如果不能整除，當不完全商又小于這個質數時，就不必再繼續試除，可以斷定a必然是質數。
174.怎樣把一個合數分解質因數？
　　分解質因數在數的整除性這部分知識中，既是整除、約數、質數等基礎知識的綜合運用，也是后面學習最大公約數和最小公倍數的前提和準備，所以，在數的整除中,它具有承上啟下的作用。
　　把一個合數分解質因數，就是把這個合數用質因數相乘的形式表示出來。或者說，把一個合數寫成幾個質數的連乘積。譬如36是合數，把36分解成因數相乘，會有以下幾種情況：
　　（1）36=1×36 （2）36=2×18
　　（3）36=4×9 （4）36=3×12
　　（5）36＝6×6
　　在上面五種分解中，只有（2）式的2和（4）式的3是質數,其他都不是。要分解質因數就要把不是質數的數（1不是質數，也不是合數，排除在外），再分解成質數連乘的形式。如（3）式中的4和9都是合數，4可以分解為：2×2； 9可以分解為： 3 × 3。這樣，把 36分解質因數，36=2×2×3×3。事實上，除（l）式外，（2）（4）（5）式繼續分解，其最后結果也是同樣的。
　　把一個合數分解質因數，具體過程可采用短除法。
　　例如：把420分解質因數。（從最小的質因數開始）
　　由短除式中可以看到，420有2、2、5、3、7五個質因數，420分解質因數的結果是：420=2×2×5×3×7。
　　在進行分解質因數時，最后的書寫格式要特別注意，一定要把所要分解的合數寫在等號的左邊，如：24=2×2×2×3，105=3×5×7等，而不能寫在等號的右邊，如：2× 2×2×3= 24，這樣就與乘法算式相混淆，而不是分解質因數了。
175.怎樣找出一個合數所有的約數？
　　把一個合數所有的約數都找出來，對數目不大的合數，可以通過口算找出來，例如：9的約數有1、3、9；15的約數有1、3、5、15；21的約數有1、3、7、21等。對于數目較大的數，單純靠口算，就有可能會遺漏中間的約數。通常可以先把這個合數分解質因數，再把各個質因數依次搭配結合，就可以找出它的所有約數。
　　例如：找出420的所有約數。
　　先把120分解質因數
　　420=2×2×3×5×7
　　（1）上面這些約數中有質數：2、3、5、7四個。
　　（2）由兩個質數結合成的有：
　　2×2=4 2×3=6
　　2×5=10 2×7=l4
　　3×5=15 3×7＝21
　　5×7=35
　　有4、6、10、14、15、21、35七個。
　　（3）由三個質數結合成的有：
　　2×2×3=12 2×2×5＝20
　　2×2×7＝28 2×3×5＝30
　　2×3×7=42 2×5×7＝70
　　3×5×7＝105
　　有12、20、28、30、42、70、105七個。
　　(4）由四個質數結合成的有：
　　2×2×3×5=60 2×2×3×7=84
　　2×2×5×7=140 2×3×5×7=210
　　有60、84、140、210四個。
　　因此，420的約數有4＋7＋7＋4=22（個），再加上1和420本身，共24個約數。
　　除上述方法外，還可以先把一個合數分解質因數，然后把每個質因數的個數加1，連乘起來，所得的積就是這個合數的所有約數的個數，并且包括了1和它本身。
　　仍以420為例：
　　∴420有 24個約數。
　　∴360也有 24個約數。
176.為什么用短除法能求出幾個數的最大公約數？
　　求幾個數最大公約數的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數的約數找出來，然后再找出公約數，最后在公約數中找出最大公約數。
　　例如：求12與18的最大公約數。
　　12的約數有：1、2、3、4、6、12。
　　18的約數有：1、2、3、6、9、18。
　　12與18的公約數有：1、2、3、6。
　　12與18的最大公約數是6。
　　這種方法對求兩個以上數的最大公約數，特別是數目較大的數，顯然是不方便的。于是又采用了給每個數分別分解質因數的方法。
　　12=2×2×3
　　18=2×3×3
　　12與18都可以分成幾種形式不同的乘積，但分成質因數連乘積就只有以上一種，而且不能再分解了。所分出的質因數無疑都能整除原數，因此這些質因數也都是原數的約數。從分解的結果看，12與 18都有公約數 2和 3，而它們的乘積2×3=6，就是 12與18的最大公約數。
　　采用分解質因數的方法，也是采用短除的形式，只不過是分別短除，然后再找公約數和最大公約數。如果把這兩個數合在一起短除，則更容易找出公約數和最大公約數。
　　從短除中不難看出，12與18都有公約數2和3，它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數。與前邊分別分解質因數相比較，可以發現：不僅結果相同，而且短除法豎式左邊就是這兩個數的公共質因數，而兩個數的最大公約數，就是這兩個數的公共質因數的連乘積。
177.為什么用短除法能求出幾個數的最小公倍數？
　　最小公倍數的定義是：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。求幾個數最小公倍數的方法，可以用分別分解質因數的方法，先找出幾個數公有的質因數，再找出各自獨有的質因數，把這些質因數連乘起來，最后得出的積就是這幾個數的最小公倍數。
　　例如：求12和20的最小公倍數。
　　12和20的最小公倍數是2×2×3×5=60
　　把分別分解合在一起，就是短除法。這樣做，不僅結果一樣，還減少了中間計算的層次，通常采用的就是這種方法。
　　仍如上例：
　　短除豎式左邊是這兩個數的公有質因數，豎式下邊是這兩個數各自獨有的質因數。根據兩個數的最小公倍數一定能被這兩個數整除，所以，最小公倍數必須包含這兩個數里的所有質因數。豎式左邊的公有質因數與豎式下邊各自獨有質因數的連乘積，才是最小公倍數的道理，就在于此。
　　在求三個數的最小公倍數時，兩個數中共同的質因數要篩去，如果不篩去，所求出來的雖然也是這三個數的公倍數，但不是最小公倍數。所以，只要有兩個數能被同一質數整除，就應該繼續除下去，直到除到豎式下邊的三個數兩兩互質為止。
　　例如：求15、30和50的最小公倍數。
　　∴15、 30和50的最小公倍數是5×2×3×5=150。
178.兩個數的最大公約數與最小公倍數有什么聯系？
　　兩個數的最大公約數與最小公倍數是兩個完全不同的概念，但它們之間又存在著一定的規律。以12和20的最大公約數與最小公倍數為例：
　　12和20的最大公約數是2×2=4；
　　12和20的最小公倍數是2×2×3×5=60。
　　12與20的積是12×20=240，它們的最大公約數與最小公倍數的積是 4 × 60=240。兩個積正好一樣，這并非巧合，而是一種規律，即：兩個自然數的積等于這兩個數的最大公約數與最小公倍數的積。通過原來算式的因數交換可以得到證明：
　　再如：45與105的最大公約數和最小公倍數為：
　
　　45與105的最大公約數是3×5=15；
　　45與105的最小公倍數是3×5×3×7=315。
　　45與105的乘積是45×105=4725，再看最大公約數與最小公倍數的乘積也是15×315=4725。由此可證明，兩個數的最大公約數與最小公倍數是有聯系的，這種聯系是通過以上規律來體現的，這個規律如果用字母公式表示為：
　　一般地，a×b=（a，b）× [a，b]
　　依據這個規律，在求兩個數的最大公約數和最小公倍數時，可以推導出新的公式。即：已知12與20的最大公約數是4，求它們的最小公倍數是多少？
　　最小公倍數=兩數的乘積/最大公藥數=12×20/4=60
　　如果已知12與20的最小公倍數是60，求它們的最大公約數是多少？
　　最大公約數=兩數的乘積/最小公倍數=12×20/60=4
179.怎樣用求最大公約數和最小公倍數的方法解答實際問題？
　　在實際生活中，有些應用題需要用求最大公約數和最小公倍數的方法去解答，用其他解應用題的方法將無濟于事。
　　例1：將一塊長24厘米，寬18厘米，厚12厘米的長方體木料，鋸成盡可能大的同樣大小的正方體木塊，可以鋸成多少塊？
　　由于同樣大小的正方體木塊，棱長都必須相等，這個棱長的厘米數，應該是長方體木料長、寬、厚厘米數的公約數，因為要求正方體的木塊盡可能大，也就是要求正方體木塊的棱長盡可能長，所以求的棱長厘米數必然是長方體木料長、寬、厚的最大公約數。
　　24、18和 12的最大公約數是2×3=6。
　　既然正方體木塊的棱長最大長度是6厘米，再分別求出長方體木料的長、寬、厚各有幾個6厘米，最后就可以求出鋸出正方體木塊的塊數。
　　24÷6=4 18÷6＝3 12÷6=2
　　因此，鋸成的塊數是 4×3×2=24（塊）
　　檢驗：
　　長方體木料體積：24×18×12=5184（立方厘米）
　　正方體木塊體積：6×6×6=216（立方厘米）
　　可以鋸成的塊數：5184÷216=24（塊）
　　答：可以鋸成24塊。
　　例2：在公共汽車站有三條汽車線，一路車每隔5分鐘開出一輛，六路車每隔10分鐘開出一輛，八路車每隔8分鐘開出一輛。這三路汽車在同一時刻發車后，至少再過多少分鐘，又在同一時刻發車？
　　這一、六、八路車在同地同時發車后，由于每路車發車時間的間隔不同，再次同時發車經過的時間，必然是5、10、8分鐘的公倍數，根據題意要求，至少再過多少分鐘，說明所求的就是5、10、8分鐘的最小公倍數。
　　5、8、10的最小公倍數是2×5×1×4×1=40
　　答：至少再過40分鐘，又在同一時刻發車。
　　最大公約數與最小公倍數應用題，在實際生活中應用比較廣泛。例如，人數不同的教學班，分成人數相等的小組；行星運轉軌道不同，在同一直線上開始運轉，再次同時運轉所需天數等問題，都需要用上述兩種方法來解答。
180.怎樣用“公倍數法”解“孫子問題”？
　　我國古代的《孫子算經》里，曾提出了這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”
　　翻譯成現代語言就是：“現在有許多物品不知道是多少，三個三個地數余二個，五個五個地數余三個，七個七個地數余二個，問這些物品有多少個？”這個問題通常叫做“孫子定理”或“孫子問題”，它的解法很早就流傳到國外，被稱為“中國剩余定理”。
　　用公倍數法解這道題的思路是這樣的：先考慮第一個條件，并使其余數為1，從第二、三個條件入手，5和7的公倍數是35，但35÷3的余數為 2，不是 1，而 35×2= 70， 70÷3的余數正好是1，也就是說：能被5、7整除，而被3除余1的數是70。
　　再考慮第二個條件，也使其余數為1，從第一、三條件入手，3和7的公倍數是21，21÷5的余數正好是1，這說明：能被3和7整除，而被5除余1的數是21。
　　然后考慮第三個條件，從第一、二條件入手，使其余數也是1， 3和5的公倍數是15，15÷7的余數也恰是1，這說明：能被3和5整除，而被7除余1的數是15。
　　因此，被5和7整除，而被3除余2的數是70×2=140；被3和7整除，而被5除余 3的數是： 21×3=63；被 3和 5整除，而被7除余2的數是15×2=30。把滿足三個條件的數加起來，所得的和必然是具備被3除余2，被5除余3，被7除余2的特點。
　　140＋63＋30=233，這個結果是正確的，但不是唯一的，因為除數3、5、7的最小公倍數是105，233加上或減去若干個105，所得的結果仍然能滿足題目中的全部條件。但減105時，在正整數范圍內，差小于105就可以了。
　　如果原題最后一問加上“最少”兩個字，即：“最少為幾何？”則：233-105-105=23。這個23是滿足題目條件的最小的一個數。
　　這個問題的解法，在明朝程大位《算法統宗》里，有如下歌訣：
　　三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，
　　七子團圓正半月，除百零五便得知。
　　這個歌訣所說的計算步驟，與前面敘述過程一樣，列出算式為：
　　2×70+3×21+2×15=233
　　233-105-105=23
　　檢驗：23÷3=7……2 23÷5=4……3
　　23÷7=3……2w
181.怎樣解“九宮填數”問題？
　　“九宮填數“也叫“九方數”，古代稱為“九宮算”。九宮填數是將九個有效數字填在九個方位格子里，要使每行、每列和每條對角線上的和都相等，即：橫的三個數之和、豎的三個數之和與斜的三個數之和，都相等。在解這個題之前，先把九宮的方位問題明確了，以便講行具體的闡述。
　　這個方位的確定與看地圖的方位是一致的。由于要把1—9這九個數填在適當的格子里，這九個數之和是45，無論是橫、豎、斜都是三個數，把45平均分成三行，每行三個數的和都是15（包括橫、豎、斜）。每三個數的情況：橫有3種，豎有3種，斜有2種，共8種。
　　這8種情況（將15分解成的）有：
　　（1） 1， 5， 9； （2） 1， 6， 8；
　　（3） 2， 4， 9； （4） 2， 5， 8；
　　（5） 2， 6， 7； （6） 3， 4， 8；
　　（7） 3， 5， 7； （8） 4， 5， 6。
　　在填數時，其順序是先把“中數”確定，因為橫、豎、斜這8種情況中，有4種情況都包含“中數”，上面8種組合中，只有“5”在4種中都出現了，因此這個中數是5無疑。
　　然后再確定四個角上的“角數”。由于每個“角數”向橫、豎、斜發展，都會組成一組數，共三組，因此，每個“角數”必然是上面8組數中三組包含的同一個數。從8組數中觀察，這樣的數共有四個偶數，即：2，4，6，8。這四個偶數還不能隨意填，因為斜著的三個數的和必須是15，這樣，兩個對角數的和也應該是10，有了這種條件限制，斜線上的三個數是2，5，8或4，5，6。但排列形式上，由于每個角數變換方位，會出現以下8種情況：
　　
　　“中數”和“角數”確定之后，只剩下“邊數”的四個奇數了，由于橫、豎三個數的和是15，現在已有了其中兩個數，剩下的這個數就不難求出了。
　　上述填數的規律確定之后，如果任意指定填上九個連續自然數，那么上述的規律也同樣適用。即：先確定“中數”，后確定“角數”和“邊數”。這有兩種情況：如果“中數”是奇數，那么“角數”必然是偶數，“邊數”則是奇數；如果中數是偶數，那么“角數”必然是奇數，邊數則是偶數。
　　例如：把下列各組數擺成“九宮數”：
　　（1）5，6，7，8，9，10，11，12，13；
　　（2）6，7，8，9，10，11，12，13，14。
　　（1）式中橫、豎、斜各三個數的和為27；
　　（2）式中橫、豎、斜各三個數的和為30。
182.什么叫輾轉相除法？
　　輾轉相除法是求最大公約數的另一種方法。具體做法是：用較小數除較大數，再用出現的余數（第一余數）去除除數，再用出現的余數（第二余數）去除第一余數，如此反復，直到最后余數是0為止。如果是求兩個數的最大公約數，那么最后的除數就是這兩個數的最大公約數。
　　例如：求112和77的最大公約數。
　　輾轉相除法的過程如下；
　　把112和77并列用77去除112，寫好，用三條豎線隔商1（寫在左邊），余數開。35。
　　當最后余數是0時，輾轉相除的過程已經完成，最后的除數7就是112和77的最大公約數。
　　輾轉相除法的算理是根據：在a=bq+r，中，除數b和余數r能被同一個數整除，那么被除數a也能被這個數整除。或者說，除數與余數的最大公約數，就是被除數與除數的最大公約數；如果反過來說，被除數與除數的最大公約數，就是除數與余數的最大公約數。
　　如果用輾轉相除法求兩個數的最大公約數時，最后的余數是1，那么這兩個數就是互質數，或者說，它們只有公約數1。
183.什么叫哥德巴赫猜想和陳氏定理？
　　1742年，德國數學家哥德巴赫發現了這樣的事實；每一個大于或者等于6的偶數，都是兩個奇質數之和。例如：
　　6=3＋3 8=3＋5 10=5＋5
　　12=5＋7 14=7＋7 16=3＋13
　　18=5+13 100=3+97 1002＝5+997
　　哥德巴赫對許多偶數進行了檢驗，都證明這個論斷是正確的，有人甚至一個一個的偶數進行驗算，一直驗算到三億三千萬個之多，也證明這個論斷是正確的。然而自然數是無窮的，是不是對所有的自然數，這個論斷都正確呢？在數學中還需要從理論上加以證明。
　　由于哥德巴赫自己無法證明，1742年他寫信給當時有名的數學家歐拉，請他幫助做出證明。后來歐拉回信，認為哥德巴赫所提的問題是對的，不過他也無法證明。哥德巴赫所提的問題，直到現在還沒能證明，因此，不能成為一條定律，只能是一個猜想。哥德巴赫所提的問題，就被稱為哥德巴赫猜想，而這一猜想也成為世界著名難題之一。
　　二百多年過去了，這一難題的研究雖然有些進展，但迄今為止，還沒有完全得到解決。
　　1920年挪威數學家布朗證明了：每一個很大偶數（或叫大偶數）是九個素數的積加上九個素數的積，簡稱“9＋9”。1924年法國的拉德巴哈爾證明了：每一個大偶數是七個素數的積加上七個素數的積，簡稱“7＋7”。隨著研究的進展，“6＋6”、“5＋5”……最終還沒有完全證明。
　　研究越前進，困難也越大。50年代以來，我國數學家不斷在哥德巴赫猜想這一世界難題研究中，取得了良好的成績。特別是1966年，我國數學家陳景潤宣布他已經證明了：每一個充分大的偶數，都可以表示成一個素數加上兩個素數的積；即：所謂的（1+2）。
　　例如：8=2+2×3 18=3+3×5
　　98=7＋13×7 1000=7+3×331
　　陳景潤的研究成果是研究哥德巴赫猜想的最好的結果，引起了國際數學界的高度重視，對于陳景潤的杰出貢獻，國外數學家把（1+2）這個證明命名為“陳氏定理”。
　　（1+2）的證明是1973年正式公布的。哥德巴赫猜想這道世界難題的最終解決，還需要人們不斷地探索和證明。
184.什么是棄九驗算法？
　　棄九驗算法又稱九余數法。它是依據九余數的特點，用來檢驗加、減、乘、除四則運算是否正確的一種驗算方法。
　　所謂棄九數，就是指：把一個數的各位數字相加（如果相加的結果大于九要減去九），直到和是一位數，這個數就叫做原來數的棄九數。棄九數也可以通過下列方法得到，即：把一個數中的數字9或相加得9的幾個數字都劃去，將剩下數字相加，得到一個小于9的數，這個數就是原來的棄九數。
　　例如：下列各數的最后數就是棄九數。
　　棄九驗算法的實際應用是：
　　（1）檢驗加法時，如果各個加數九余數之和（如超過9再減去9的倍數）等于和的九余數時，計算結果可能就是正確的。
　　（2）檢驗減法時，如果被減數的九余數減去減數的九余數所得的差，等于差的九余數時，計算結果可能就是正確的。
　　（3）檢驗乘法時，如果被乘數的九余數與乘數的九余數之積的九余數，等于積的九余數，計算結果可能就是正確的；反之則是錯誤的。
　　由于等號兩邊的數字不一致，可以認定結果是錯誤的，正確結果應該是：3585437。
　　(4）檢驗除法時,可以用乘法逆運算的辦法進行。即：商×除數=被除數。當商的九余數和除數的九余數之積的九余數，等于被除數的九余數時，計算結果可能是正確的，反之則是錯誤的。
　　這種棄九驗算法的根據是：利用被9整除數的特征。一個數的棄九數就是這個數被9除后的余數（如果棄九數是0，說明能被9整除）。如果等號兩邊的余數相同，證明原來計算可能是正確的；等號兩邊的余數不相同，說明計算結果是錯誤的。
　　棄九驗算法是一種并不十分精確的驗算方法，它的局限性是：在遇到下列情況時，往往檢驗不出來計算結果的錯誤。
　　（1）如果在抄寫時，數字顛倒了位置，如：837誤抄成873。
　　（2）在數字中出現丟0或多0時，如：8406誤寫成846或84006。
　　（3）這種驗算方法也可以適用于小數四則的計算，驗算時也按上述整數四則的方法進行。但是，當小數點點錯了位置時，也檢驗不出來錯誤的所在。
　　盡管如此，棄九驗算法由于具有簡便易行的特點，在一般情況下，較之用重復計算或逆運算的方法進行驗算，可以省時省力，因此，這種驗算方法還是有一定實用價值的。

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