資源簡介

五、分數和百分數
185.為什么在分數的教與學中，單位“1”是一個重要概念？
　　單位“1”也稱做整體“1”，在分數的教與學中，正確理解單位“1”是正確理解什么是分數的前提。教材中對分數的定義是這樣闡述的：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數。由此可見，不理解單位“1”，就不理解如何平均分份；更不理解幾分之一或幾分之幾，因此，單位“1”是分數中最基本也是最重要的一個概念。
　　單位“1”一般情況下，表示一個事物的整體。如：世界的人口數，一個國家的面積，一個縣播種小麥的畝數，一段路程，一個果園果樹的棵數，一個工廠產品的總產量，一堆煤的重量等，都可以作為單位“1”，也就是把整體看作“1”。
　　但是，整體與部分是相對的，它們之間在一定條件下也是可以相互轉化的。當部分轉化為整體時，單位“1”也可以表示原來的這個部分。如世界人口是50億，是個整體，中國人口是11億，只是它的一部分，當說到北京市人口占全國人口的一百分之一時，中國人口數又成為整體，當說到某區人口是全市人口的十分之一時，全市人口又成了整體等。在這些不同情況下，部分轉化為整體時，都可以用單位“1”來表示。
　　例如：
　　（1）我國土地面積約960萬平方千米；
　　（2）某縣的土地面積約8萬平方千米；
　　（3）紅星小學全校有學生900人；
　　（4）五一班有學生42人；
　　（5）第二學習小組有學生8人；
　　（6）這條公路全長4800米；
　　（7）一根電線全長8.5米；
　　（8）一堆煤重3.2噸。
　　 ……
　　單位“1”包含的數量可以很大，也可以很小。大到有限數的任何事物，都可以看作單位“1”；小到可分事物的某一部分，也可以看作單位“1”。但是，無限多的事物不能看作單位“1”，因為無限多的事物是不可分的。
　　在分數應用題中，單位“1”又是解題的關鍵。如：
　　解這道題，要求沒修的是多少米，必須知道全長多少米和修了多少米。題目中全長480米已知，未知條件是修了多少米。要求修了多少米，根據題目中
　　如果換一種思路進行分析：要求沒修的是多少米，必須先知道沒修的米數是全長的幾分之幾，然后按求一個數的幾分之幾是多少的方法解答，關鍵的問
　　綜上所述，無論是在分數的基礎知識中，還是在解答分數應用題的過程里，單位“1”都是處于前提和關鍵的位置。因此，單位“1”在分數的教與學中，是一個非常重要的概念。
186.什么是分數的基本計數單位？
　　任何計量都要有單位，長度單位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量單位有：毫克、克、千克、噸等。具體到“數”，同樣也是有單位的。自然數的計數單位是1，任何一個自然數都是若干個1組成的。
　　例如：8是由八個1組成的；
　　73是由七十三個1組成的。
　　……
　　分數也有分數的計數單位，或稱分數單位。根據分數的定義，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數（幾分之一）就是原來這個分數的分數單位。一個分數，它的分數單位是有個數的。
　　如圖：
　
　
　
　
　　分數單位是由單位“1”平均分成份數（分母）所決定的，所表示的份數（分子）是表示有幾個的分數單位。
　　
　　由此可以說明，不同分母的分數，其分數單位也是不同的。如果分母用
　　所以，自然數的計數單位與分數計數單位是不一樣的，自然數的計數單位永遠是1，這是不變的；而分數的計數單位則不是固定不變的，它是隨著分數的分母不同而變化的。分母不同，分數單位也不同，分母是幾，分數單位就是幾分之一，分母越大，分數單位就越小；反之，分母越小，分數單位則越大。
　　明確什么是分數單位和分數單位的大小，在學習分數大小比較、分數加、減法時，都是不可缺少的基礎知識。
186.什么是分數的基本計數單位？
　　任何計量都要有單位，長度單位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量單位有：毫克、克、千克、噸等。具體到“數”，同樣也是有單位的。自然數的計數單位是1，任何一個自然數都是若干個1組成的。
　　例如：8是由八個1組成的；
　　73是由七十三個1組成的。
　　……
　　分數也有分數的計數單位，或稱分數單位。根據分數的定義，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數（幾分之一）就是原來這個分數的分數單位。一個分數，它的分數單位是有個數的。
　　如圖：
　
　
　
　
　　分數單位是由單位“1”平均分成份數（分母）所決定的，所表示的份數（分子）是表示有幾個的分數單位。
　　
　　由此可以說明，不同分母的分數，其分數單位也是不同的。如果分母用
　　所以，自然數的計數單位與分數計數單位是不一樣的，自然數的計數單位永遠是1，這是不變的；而分數的計數單位則不是固定不變的，它是隨著分數的分母不同而變化的。分母不同，分數單位也不同，分母是幾，分數單位就是幾分之一，分母越大，分數單位就越小；反之，分母越小，分數單位則越大。
　　明確什么是分數單位和分數單位的大小，在學習分數大小比較、分數加、減法時，都是不可缺少的基礎知識。
187.分數和整數除法的關系是什么？
　　在教材中，學生是在學習整數的基礎上，先學習小數而后學習分數的。如果把小數劃入十進分數的范圍，那么分數是小學數學的第二個主要階段，也是數的一次重要擴展。從整數到分數中間有著密切的聯系，特點是分數基本概念的建立，都用到整數除法的知識。
　　例如：在整數范圍內，當兩個自然數相除不能整除時，由于商無法表示，而不能計算，進入分數領域，這種情況將是不存在的。因為任何除法算式，都可以用分數來表示它們的商。即使在整數范圍內，被除數小于除數這種無法計算的情況，用分數表示也不存在任何問題。
　　分數與整數除法的關系，下圖可以揭示：
　　在分數中，分子相當于除法算式中的被除數，分母相當于除數，分數線相當于除號，分數值相當于商。
　　還應該看到，分數并不等于除法，兩者還有著區別，這就是：分數是一種數，而除法是一種數與數之間的運算。
　　在上述關系的基礎上，分數和整數除法的聯系，還表現在分數的基本性質上。分數的基本性質是：分數的分子和分母都乘以或者除以相同的數（零除外），分數的大小不變。這個基本性質來源于整數除法中商不變的性質，即：被除數與除數同時乘以或者除以相同的數（零除外），商不變。
　　除此之外，根據分數與整數除法的關系，假分數可以化為帶分數，分子（被除數）除以分母（除數），所得的商即為帶分數的整數部分，余數為分子，原來的分母不變。
　　
　　將分數化為小數，或把繁分數化簡，也都是依據分數與除法的關系。至于在分數中分母不能是零的道理，只要溝通分數與除法的關系，即：除法中除數不能是零，分數中分母自然不能是零。
　　總之，在分數教與學中，只要在分數與除法間建立起自然的聯系和遷移，溫故而知新，許多屬于算理的問題，都是比較容易得到解決的。
188.“就是一半”這句話對嗎？
　　
　　中的單位“1”不僅表示自然數的一個基本計數單位，也表示一切可分的事物。如：一堆蘋果的個數、一個班的人數、一堆煤的噸數、一套叢書的冊數、一本書的頁數等，單位“1”既可表示整體，也可以表示整體的一部分。
　　
　　，一半也就不知道是誰的一半了。按后者說法，其結果很容易引起誤解，因
　　不是4個蘋果，而是半個蘋果。這與原來題意就相距太遠了。
　　
　　這句話是不嚴密的，也是不妥當的。
189．為什么有的分數能夠化成有限小數，有的能夠化成純循環小數或混循環小數？
　　把一個分數化成小數，有三種情況：即：有限小數、純循環小數和混循環小數。至于什么樣的分數化成什么樣的小數，確有規律可循，這個規律可通過下面各樣分數化小數的實例來觀察：
　　從上面分數化小數的三種情況看，什么樣的分數化什么樣小數，關鍵不在分子，而在分母。因此，在分數化小數時，要觀察分母的特點，其規律是：
　　（1）分母只含有質因數2和5，這樣的分數就可以化成有限小數。如
?
　　（2）分母里只含有2和5以外的質因數，這樣的分數就可以化成純循
　　（3）分母里既含有質因數2和5，又含有2和5以外的質因數，這樣
　　有了上面這個規律，不需要通過計算，就能判斷出一個最簡分數能化成什么樣的小數。
　　例如：
　　
　　
　　
　　掌握了分數化有限小數的規律，可以把常見分數化小數的數據匯集成表，并且能熟練地背誦下來，這對于提高互化的準確度和速度，都是非常有益的。
　　常見的分數與有限小數互化表
　　對于分數化純循環小數或混循環小數，按照上述規律，可以事前根據分數的分母特點，提早做出判斷。
190．為什么分數不能化成無限不循環小數？
　　在不同的情況下，一個分數可以化成有限小數或者無限循環小數（包括純循環小數和混循環小數），但是不能化成無限不循環小數。　
　　
　　用分子除以分母（7），其余數必定小于分母，每次的余數只能是從1到6之間的一個自然數（如果余數是0，這個分數就能化成有限小數）；或者說，除數是7，余數只能是1、2、3、4、5、6這六個數。如果在除的過程中，有一個余數重復出現一次，那么后面所得的商與余數，也必定要重復出現。也就是說，余數一重復出現，商的相應數位上的數字也重復出現，循環就開始了，所得的商當然是循環小數。原來這個分數化成的是純循環小數。
　　根據上述分析可以得出，當一個分數化成無限小數時，只能得到循環小數，而不可能化成無限不循環小數。
　　分數雖然不能化成無限不循環小數，但在數學中無限不循環小數還是有的，如圓周率π值就是一個無限不循環的小數。
　　π=3.14159265358979323846……
　　無限不循環小數在數學上叫做無理數。
191．怎樣把純循環小數化成分數？
　　在小學數學課本中，分數與有限小數是可以互化的。分數可以化成純循環小數，但純循環小數化成分數，并沒有涉及。事實上，兩者也是可以互化的，比起有限小數化成分數，純循環小數化成分數的方法要稍難一些。
　　例如：有限小數化成分數。
　　只要根據小數的最低位是什么數位，用10、100、1000等做分母，就可以直接化成分數，不是最簡分數的，要約成最簡分數。
　　把純循環小數化成分數，并不象有限小數那樣，用10、100、1000等做分母，而要用9、99、999等這樣的數做分母，其中“9”的個數等于一個循環節數字的個數；一個循環節的數字所組成的數，就是這個分數的分子。
　
　
　　
　　
　　
這樣，前面的四例可以得到證明。即：
　
192．怎樣把混循環小數化成分數？
　　分數既然能化成混循環小數，同樣，混循環小數也能化成分數。這種化的方法，比起純循環小數化成分數的方法，就顯得更為復雜一些。
　　混循環小數化成分數的方法是：用第二個循環節以前的小數部分所組成的數，減去不循環部分所得的差，以這個差作為分數的分子；分母的前幾位數字是9，末幾位數字為0；9的個數與一個循環節的位數相同，0的個數與不循環部分的位數相同。
　　
　　箭頭所指是說明：循環節有一位寫一個9，不循環部分有一位寫一個0。
　　
　　箭頭所指說明：循環節有兩位寫兩個9，不循環部分有一位寫一個0。
　　
　　箭頭所指說明：循環節有兩位寫兩個9，不循環部分有兩位寫兩個0。
　　這種化的方法，比純循環小數化成分數明顯要復雜，但究其算理，仍依據純小數化成分數的方法。即：先把混循環小數化成純循環小數的形式，然后再化成分數。上面三個例題通過推導，都可以得到證明。
　　
　　
　　　
　　
　　
　　推導結果與例（3）的中間脫式一致。
　　由此可見，采用先擴大后縮小相同倍數的方法，根據純循環小數化成分數的方法，證明混循環小數化成分數的方法是完全成立的。
193．為什么分子相同的分數，分母大的分數比較小？
　　在小學數學課本中，涉及到分數大小比較時，經常遇到分子相同的分數進行比較。
　　結論是：分子相同的兩個分數，分母小的分數比較大。反過來說，分子相同的兩個分數，分母大的分數比較小。由于受到整數或小數大小比較的影響，學生在理解這個結論時，有時會在算理上表現出困惑。解決這種困惑，要從直觀和分數單位兩方面入手：
　　從圓形圖和線段圖中觀察，凡是分子相同的分數，分母大的分數比較小。這個結論在直觀上是能夠接受的，但這并非全部的算理。因此，除直觀外，還要從分數單位這個角度上進行具體的闡述。
　　根據分數的意義，把單位“1”平均分成若干份，所分的份數是分母，表示取出的份數是分子，既然兩個分數的分子相同，說明它們含有各自的分數單位個數是相同的，這時它們的大小就取決于分數單位的大小；而分數單位的大小又取決于分母，分母越大，分數單位就越小。所以，分子相同的分數，分母大的分數比較小。
　　
194．什么是分數的相等和分數的不等？
　　分數的相等是指兩個分數的分數值一樣。其定義是：如果第一個分數的分子與第二個分數的分母的積，等于第二個分數的分子與第一個分數的分母的積，那么，這兩個分數就相等。
　　
　　
　　
　　
　　分數的不等是指兩個分數的分數值不一樣。其定義是：如果第一個分數的分子與第二個分數的分母的積，大于（或小于）第二個分數的分子與第一個分數的分母的積，那么，第一個分數就大于（或小于）第二個分數。這兩個分數就是不等的。
　　
　　
　　
195．有什么簡便方法，來比較異分母分數的大小？
　　異分母分數由于分數單位不一致，在比較大小時，一般使用的方法，都是先進行通分，使異分母分數轉化成同分母分數，有了相同的分數單位；然后再比較大小。
　　
　　除上述這一般方法外，還有一種較為簡便的方法，即：異分母分數大小比較時，不必通分，只要把兩個分數的分子、分母交叉相乘，根據這兩個乘積進行比較就行了。
　　
　　用第一個分數的分子（5）去乘第二個分數的分母（10），所得的積是5×10=50；再用第二個分數的分子（7）去乘第一個分數的分母（9），所得的積是7×9=63。
　　
　　為什么這種簡便方法也能比較異分母分數的大小呢？其算理與一般方法先通分后比較是一樣的，只不過是省略了通分的過程。兩個分數的分子、分母交叉相乘，所得的積是在取得公分母情況下的各自的分子，分數單位既已一致，分子的大小就可以比較出分數的大小。但在這比較過程中，省略了通分，也就看不到公分母了。
　　
　　按一般方法先通分：
　　
　　
　　
196．同分母分數相加時，為什么原來的分母不變？
　　同分母分數的加法法則是：分子相加的和作分子，原來的分母不變。
　　原來的分母不變的道理，在于分母是把單位“1”平均分成若干份的數，它決定了這個分數的分數單位，只表示每一份的大小，而不表示所取份數的多少；分子表示取了多少份的數，也就是有多少個分數單位。因此，同分母分數相加，由于是同分母，其分數單位也必然相同，相加的實質是幾個相同分數單位的相加，只是分子的相加，而分母是不能變的。
　　
如果兩個分母5也相加，那么分母就變成了10，這就表示把單位“1”
　
下面線段圖，可以說明一旦分母也相加所造成的錯誤結果。
197．為什么在計算異分母分數加、減法時，要先通分？
　　在進行整數加、減法計算時，對不同計量單位的各個數量，都不能直接進行加、減，必須化成相同單位的量，才能直接進行計算。
　　如：4公頃-30畝=4公頃-2公頃=2公頃
　　或：4公頃-30畝=60畝-30畝=30畝
　　在整數中是這個道理，所以在計算異分母分數加、減法時，要先通分，其理由與上述道理也類似。由于異分母分數的分母不同，因而它們的分數單位也不一樣。要直接進行加或減，必須把不同分母的分數轉化成同分母分數，才能使分數單位一樣，完成這個轉化的手段就是通分。
　　　
　　
　　
　　進行計算。
　　從上圖可以看到，在進行異分母分數加法時，不經過通分，就無法使不同分數單位的分數轉化成相同分數單位的分數。減法也是同樣的道理。
198．有沒有比較簡便的方法來確定最小的公分母？
　　在進行異分母分數加、減法時，必須先通分，使異分母分數轉化成同分母分數，然后才能直接計算。通分首先要確定異分母分數的公分母，由于數是無限多的，因此公分母也是無限多的。只有確定最小公分母，才能使計算的過程變得簡便。確定最小公分母就是求最小公倍數的應用，通常使用的比較簡便的方法有以下幾種：
　　（1）當大分母是小分母的倍數時，大分母就是最小公分母。
　　
　　15是5的倍數，最小公分母為15。
　　24是8的倍數，最小公分母為24。
　　（2）當幾個分母是互質數時，這幾個分母的乘積就是它們的最小公分母。
　　
　　7和5是互質數，最小公分母為（7×5=）35。
　　3、5、7兩兩互質，最小公分母為（3×5×7=）105。
　　（3）當幾個分母有公約數時，這幾個分母的最小公倍數，就是它們的最小公分母。
　　
　　8和12的最小公倍數是24，24就是最小公分母。
　　由于在實際計算異分母加、減法時，分母都不會太大，可以通過對分母的觀察，采用大分母翻倍法來確定最小公分母。所謂的大分母翻倍法，就是當幾個分母有公約數時，不采用求最小公倍數的方法，而是把大分母擴大2倍、3倍、4倍、5倍、……。如果所得的結果是小分母的倍數時，這個結果就是最小公分母。
　　上述確定最小公分母的過程，不要求書寫出來，它只是口算過程的表述。由于運用口算可以簡化通分的程序，從而使確定最小公分母變得簡便，也使異分母分數加、減法的準確計算提高了速度。
199．為什么分數乘以分數時，分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母？
　　在分數乘法中，一般分為三種情況：分數乘以整數、整數乘以分數和分數乘以分數。前兩種法則是：整數與分子相乘的積作分子，原來的分母不變。后一種的法則是：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。實際上前兩種法則與后一種法則是一致的，只要統一成分數乘以分數的法則就可以了。
　　
　　由于任何整數都可以寫成分母是1的假分數，所以任何整數與分數相乘都可以轉化成分數乘以分數的形式。至于分子相乘的積作分子，分母相乘的
　
　
　
　
　　均分成3份，兩次均分成15份，根據所分的份數是分母的意義，分母為（5×3=）15；原來取的4份又均分成2份，這樣就變成了8份，分子則為（4×2=）8，這8份是15份中的8份。
　　
　　由此可見，分數乘以分數的計算法則，是由分數乘法的意義，即：求一個數的幾分之幾是多少來決定的。其中分母相乘的積作分母，表示單位“1”一共平均分成的份數；分子相乘的積作分子，表示一共取出的份數。
200．計算分數除法時，為什么要將除數的分子分母顛倒后用乘法計算？
　　分數除法的計算法則是：甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘以乙數的倒數。或者說，被除數不變，除數顛倒變乘。這個算理在“教”與“學”中都是重點和難點。正確地弄清這個算理，可以從以下五方面的任何一個方面入手。
　　（1）從分數除法的原始法則進行分析：
　　分數乘法的法則是：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。根據乘、除法的關系，分數除法的原始法則是：分子相除的商作分子，分母相除的商作分母。
　　
　　
　　使用這種法則的局限性很大，因為無論是分子相除，還是分母相除，都能整除的情況是很少的，如果不能整除，其結果就會出現繁分數的情況，這就使計算結果變得更為復雜。
　　根據除法中商變化的規律，被除數分子縮小幾倍，商（分數值）也縮小相同倍數，要保證商縮小相應的倍數，不采用被除數縮小而采用除數擴大的方法，也同樣達到被除數縮小的作用。除數縮小幾倍，商反而擴大相同倍數，如果除數不縮小幾倍，被除數擴大相應的倍數，商所起的變化也是一致的。除法有不能整除的情況，但換成乘法卻沒有乘不開的時候。為此，被除數不變，除數一定要顛倒變乘。
　　　　
就可以順利地進行計算。
　　（2）從分數除法的意義來分析：
　　分數除法的意義是：已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數。以下題為例：
　
　s　
　　從圖示中看出，這本書分成4等份，其中的3份是60頁，求4份是多少頁。按照“歸一”應用題的思路，可以得出下列算式：
　　①1份是多少頁？60÷3=20（頁）
　　②4份是多少頁？20×4=80（頁）
　　所以，　
　　示的意思也是一樣的，先求1份是多少頁，再求4份是多少頁。
　　由此可以說明除數顛倒變乘的道理。
　　（3）從分數的基本性質來分析：
　　根據分數的基本性質，分數的分子和分母都乘以相同的數（零除外）分數的大小不變；按照分數除法的原始法則，為了使分子和分母都能整除，可以用除數中分子與分母的相乘積，分別去乘被除數的分子和分母。
　　從脫式中可見，②式分子部分的×3與÷3可以消掉；分母部分的×4與÷4也可以消掉，②式轉化成③式，再轉化成④式，從而證明①式等于④式。這也可以說明除數顛倒變乘的道理。
　　（4）從求一個數的幾分之幾用乘法來分析：
　　可通過以下兩道例題的解法做個比較。
　　①有20米布，平均分成5份，每一份是幾米？
　　20÷5=4（米）
　　　　　
　　第①題是整數除法，第②題是分數乘法，這兩道題所表述的意義卻是一樣的，都是把20米布平均分成5份，求一份是多少，其結果也是一樣的。
　　
　　
　一個分數，可將這個分數的分子、分母顛倒位置后，用乘法計算。
　　（5）從“互為倒數的兩個分數相乘等于1”來分析：
　
　　
　　
　
　　按照乘法的交換律可以得出：
　　從以上五個方面進行分析，分數除法與分數乘法在一定條件下是可以互相轉化的，這也是分數除法法則中，被除數不變而除數顛倒變乘的算理。
201．為什么分數除以整數時，整數只乘分母而不乘分子？
　　在分數乘法中，遇到分數乘以整數時，法則規定是只乘分子而不乘分母。按照乘、除法之間的關系，分數除以整數時，也應該只除分子而不除分母，這個法則本身是成立的。
　　
　　
　
　明，只除分子而不除分母是完全可以的。
　　但是，在實際計算中，用上述方法常常遇到整數除分子不能整除，甚至不能除盡的情況，這就給計算留下一個并不明確的結果。
　　其結果為繁分數，繁分數本身又是分數除法，這樣只能是越算過程越繁瑣。由于受到“分子除以整數一定能整除”這個條件的限制，所以，分子除以整數的方法，就不能應用，如果改用只乘分母的方法，不僅可以得到分子除以整數的同樣結果，而且在任何情況下這種方法都可以使用。
　　這樣，既解決了分子除以整數不能整除的矛盾，同時也能較簡便地得出結果。至于只乘分母不乘分子的道理，可從以下幾方面進行分析：
　
　　來的數沒有任何改變，剩下的只是分母與整數相乘了。
　
　
　　被除數（分子）不變，除數（分母）擴大3倍，商不是反而縮小3倍嗎？從這個意義上講，分子縮小幾倍與分母擴大相同的倍數，所引起商的變化是一致的。
　
　
　　小5倍再縮小3倍，也就是等于把4縮小（5×3=）15倍。根據這個推理和轉化，原算式則為：
　　從以上三方面的分析，都可以說明：為什么分數除以整數時，只乘分母而不乘分子的道理。
202．在分數、小數混合運算中，為什么有時把分數化成小數，而有時又把小數化成分數？
　　在分數、小數的四則混合運算中，到底是把分數化成小數，還是把小數化成分數，這不僅影響到運算過程的繁瑣與簡便，也影響到運算結果的精確度，因此，要具體情況具體分析，而不能只機械地記住一種化法：小數化成分數，或分數化成小數。
　　一般情況下，在加、減法中，分數化成小數比較方便。
　　　　
　　如果把小數化成分數，運算過程則為：
　　　　　
　　從對比中可以看到：在加、減法中，如果分數化成小數，其計算要點只是小數點對齊，而省去了小數化成分數后，中間需要通分的過程，最后的結果，小數沒有約分的要求，而分數有時還要約分。
　　不過，在加、減法中，有時遇到分數只能化成循環小數時，就不能把分數化成小數。因為帶著循環小數進行運算，不可能得到精確的結果。因此在這種情況下，小數又只能化成分數了。
　　
　　正確的結果就有了一定的誤差。
　　在乘、除法中，一般情況下，小數化成分數計算，則比較簡便。這是因為化成分數后，中間的過程可以約分，經過約分后，數字也變小，這樣既提高了準確性，也提高了計算的速度。
　　
　　此題的分數如化成小數，其過程將是這樣的：
　　從形式上看，分數化成小數并不繁瑣，實際計算時，有時需要大乘、大除，運用口算是難以完成的，并且計算過程中易于出錯。小數化成分數，其過程基本上都是在口算中進行的，所以，在實際計算時要簡便得多。
　　上述只是一般情況，有些特殊情況，小數也不一定必須化成分數，這就是小數和分母能直接約分時，小數不用化成分數，而看作整數直接進行約分，但必須注意：小數點一定要保持原來的位置。
　
　　通過以上各種情況的分析，在分數、小數四則混合運算中，要根據具體情況，靈活地選擇互化的方法，以達到運算簡便，結果正確的目的。
203．在分數四則運算中，經常出現的錯誤有哪些？
　　在分數四則運算中，基礎知識稍有缺欠，就會造成運算過程中的錯誤，從而導致計算結果的嚴重誤差，這對個別學生來說，則形成了久治不愈的頑癥。造成這種現象的原因，主要是單項計算不過關。一般來講，其原因及形式有以下幾個方面：
　　（1）概念不清：
　　這反映出對帶分數的概念是不清楚的，帶分數是自然數與真分數的和的一種
　
　　來，從而導致了上述錯誤。
　　（2）法則混淆：
　　運算是憑借法則來進行的，法則一旦發生混淆，是產生錯誤的普遍性原因。在分數乘、除法中，表現尤為突出。
　　這兩道題的結果都是錯的，造成錯的原因都是法則上的混淆。上題是分數乘以整數，法則是：分子與整數相乘，分母不變； 下題是分數除以整數，法則是：分母與整數相乘，分子不變，從脫式的過程看，這兩個法則在運用上都顛倒了。
　　分數除法是將除數的分子、分母顛倒后相乘，結果是一看到第一個運算符號是除號，立即把后面的兩個分數的分子、分母都顛倒了，造成了分數乘、除法法則的混淆。
　　（3）粗心大意：
　　由于學習作風的馬虎和對計算結果缺乏認真負責的良好品質，出現這類錯誤也是各式各樣的。
　　如：抄錯運算符號和數字。
　　
　　計算結果的錯誤則是必然的了。
　　又如：約分的錯誤。
　　
　　在42的下面沒寫6而寫成了7。或者分子25和分母15約分時，口中默念三五十五，卻在15的下面寫了5。這種約分的錯誤，不僅表現在運算過程中，也表現在最后得數上，不是約分約錯，就是該約分而沒約分。
　　再如：不等式的錯誤。
　　第一步脫式就把最后一個數丟掉了，就出現了不等式，在第二步脫式時，
　　除上述三方面的經常性錯誤外，還有由于基本口算不過關、不注意運算順序和簡便運算的因素等原因所造成的錯誤。這些錯誤的出現一般也有規律性，即：數字較大的運算、相近法則的運算、小數和分數的運算、過程復雜的運算等內容，都易于發生上述幾方面的錯誤。因此，在端正學習態度的前提下，針對易于出現的錯誤，采取預防措施，以減少計算錯誤的發生。
204．什么是繁分數和繁分數的化簡？
　　在一個分數的分子和分母里，至少有一個又含有分數，這樣形式的分數，叫做繁分數。
　　繁分數中，把分子部分和分母部分分開的那條分數線，叫做繁分數的主分數線（也叫主分線）。主分線比其他分數線要長一些，書寫位置要取中。在運算過程中，主分線要對準等號。如果一個繁分數的分子部分和分母部分又是繁分數，我們就把最長的那條主分線，叫做中主分線，依次向上為上一主分線，上二主分線……；依次向下叫下一主分線，下二主分線……；兩端的叫末主分線。
　　如：
　　根據分數與除法的關系，分數除法的運算也可以寫成繁分數的形式。
　　把繁分數化為最簡分數或整數的過程，叫做繁分數的化簡。繁分數化簡一般采用以下兩種方法：
　　（1）先找出中主分線，確定出分母部分和分子部分，然后這兩部分分別進行計算，每部分的計算結果，能約分的要約分，最后寫成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出最后結果。
　　
　　此題也可改寫成分數除法的運算式，再進行計算。
　　　　
　　（2）繁分數化簡的另一種方法是：根據分數的基本性質，經繁分數的分子部分、分母部分同時擴大相同的倍數（這個倍數必須是分子部分與分母部分所有分母的最小公倍數），從而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通過計算化為最簡分數或整數。
　　
　　繁分數的分子部分和分母部分，有時也出現是小數的情況，如果分子部分與分母部分都是小數，可依據分數的基本性質，把它們都化成整數，然后再進行計算。如果是分數和小數混合出現的形式，可按照分數、小數四則混合運算的方法進行處理。即：把小數化成分數，或把分數化成小數，再進行化簡。
205．什么叫百分數、百分比、百分率和百分法？
　　表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數。百分數是分數的一種特殊形式，也可以說，分母是100的分數叫做百分數。
　　在工農業生產和科學研究工作中，人們經常要收集有關數據，以便進行必要的數量統計、數量比較、質量分析和效果檢查等各項工作。如果用一般分數形式來表示，由于分母不同，不容易看出精確的變化，而百分數的分母都是100，只要看分子，就能看出數與數之間的明顯差別與變化。因此，百分數在各行各業的生產和生活中，都有著廣泛的應用。
　　如：（1）家俱廠通過深化改革，今年產量是去年產量的128％。
　　（2）王新全家在調整工資后，收入比以前增加了25％。
　　（3）某縣由于計劃生育取得成效，今年出生率比去年下降了2％。
　　把兩個數的比的后項化成100，就叫做百分比。
　　如：拖拉機廠四月份生產拖拉機225臺，五月份生產250臺。四、五兩月生產臺數的百分比是225∶250=90∶100。
　　用100作分母表示成數時，所表示的成數叫做百分率。
　　如：（1）水稻去年畝產比前年畝產增產了二成。這二成就是成數，一成表示十分之一，二成則表示十分之二，也就是20％。
　　（2）某工廠上半年完成了全年計劃的六成三。這里的六成三用小數表示是0.63，用百分率表示是63％。
　　百分數、百分比、百分率這三個概念，盡管在不同范圍和情況下，表述上略有不同，但所表示的意思卻是一致的。
　　用百分率表示事物的數量關系和計算方法，叫做百分法。或者說，求百分率以及應用百分數解決實際問題的方法，叫做百分法。
　　如：（1）六年級（一）班有學生 50人，今天出勤 48人，求出勤人數是應出勤人數的百分之幾？
　　48÷50=0.96=96％
　　答：出勤人數是應出勤人數的96％。
　　（2）加工車間有工人120人，今天出勤率是95％，求今天出勤了多少人？
　　120×95％=114（人）
　　答：今天出勤了114人。
206．什么是百分數問題？
　　在小學數學中，有關百分數的應用題，叫做百分數問題。百分數問題通常分為以下三種類型。
　　（1）求一個數是（或比）另一個數的百分之幾（或多與少）的應用題。求出勤率、出粉率、合格率等，都屬于求一個數是另一個數的百分之幾的應用題；求增產率、上升率等均屬于求一個數比另一數多百分之幾的應用題；求節約率、下降率等均屬于求一個數比另一個數少百分之幾的應用題。
　　解答這類應用題的方法和規律，與分數除法應用題中，求一個數是另一個數的幾分之幾的類型完全相同。
　　如①五年級有男生22人，女生20人，求男生人數是女生人數的百分之幾？
　　22÷20=1.1=110％
　　答：男生人數是女生人數的110％。
　　②化肥廠91年產量是3.5萬噸，92年產量是4.2萬噸，求92年比91年增產百分之幾？
　　（4.2-3.5）÷3.5=0.7÷3.5=0.2=20％
　　答：92年比91年增產20％。
　　③某地區91年出生人口是12000人，92年出生11400人，92年比91年人口出生下降了百分之幾？
　　（12000-11400）÷12000=0.05=5％
　　答：92年比91年人口出生下降5％。
　　（2）求一個數的百分之幾是多少的應用題。這類題目與分數乘法應用題中，求一個數的幾分之幾是多少的應用題，在結構和解答規律上是完全一致的。
　　如：建筑工地需要水泥240噸，已經運來75％，還差多少噸沒運？
　　240×（1-75％）=240×25％=60（噸）
　　答：還差60噸沒運。
　　（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數的應用題。這類題目與分數除法應用題中，已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數的應用題，在結構和解答規律上，也是一致的。
　　如：一根電線，剪去它的40％，還剩5.4米，這根電線是多少米？
　　5.4÷（1-40％）=5.4÷0.6=9（米）
　　答：這根電線是9米。
207．利率和利息這兩個概念一樣嗎？
　　在小學數學教材中，雖然沒有涉及利率和利息這部分知識，但在實際生活中，一般人都要到銀行進行儲蓄，無論是活期還是定期，必然和利率和利息產生聯系。因此，弄清這兩個概念的聯系和區別，處理好儲蓄這個生活中的實際問題，無疑是有實用意義的。
　　到銀行去儲蓄，儲蓄的金額叫做“本金”，簡稱“本”。銀行根據儲蓄金額和儲蓄時間，付給儲蓄人的報酬叫做“利息”。每月（或每年）利息對本金的比，叫做“利率”。也就是說，每月（或每年）獲得的利息是依據本金和利率而計算出來的。
　　利率按月來計算的叫月利率，按年來計算的叫年利率。一般情況下，利率是按月計算的，通常用千分數的形式表示。
　　例如：月利率六厘三，寫作6.3‰；月利率7.2，寫作7.2‰。
　　計算利息和利率的方法是：
　　例如：王老師去銀行存款400元，定期半年（6個月），到期取得利息12.24元，求定期存款半年的月利率是多少？
　　答：定期存款半年的月利率是5.1‰（五厘一）。
　　又如：張小國去銀行活期存款200元，月利率為4.2‰，6個月后取出，得利息多少元？
　　答：5個月后得利息5.04元。

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