資源簡介

六、分數應用題
208．在分數應用題中，如何進行聚簡為繁的訓練？
　　在分數應用題的教與學中，特別是對較復雜的分數應用題，通常采用化繁為簡的方法，即：把較復雜的題目逐步分解成若干個有聯系的簡單應用題。這種分散難點、各個擊破的方法，實際上是化繁為簡的訓練。與此同時，還要進行把簡單應用題逐步組合成較復雜應用題的訓練，使學生既看到較復雜應用題的分解過程，也看到它的組合過程，后者就是聚簡為繁的訓練。
　　
　　完成了多少米？
　　這是一道求一個數幾分之幾是多少的一步應用題，屬于早已掌握的舊知識，可以順利地列式解答。
　　結果求出后，立即提出下題：4天修完6000米，平均每天修了多少米？這是一道除法中求一份數是多少的簡單應用題，也比較容易列式解答。
　　6000÷4=1500（米）
　　接著提出第三個問題：按每天修1500米的速度，完成計劃的36000米，實際要多少天？這是除法中包含除的簡單應用題，列式解答也將是順利的。
　　36000÷1500＝24（天）
　　在此基礎上，提出第四個問題：計劃30天完成的任務，實際用了24天，提前幾天完成任務？這是減法中求兩數差的簡單應用題，列式解答為：
　　30－24=6（天）
　　在分散的基礎上，把四個熟悉并早已掌握的簡單應用題組合起來，就組成了一道四步的較復雜的應用題。即：
　　
　　照這種速度，可以提前幾天完成任務？
　　這種聚簡為繁的訓練，可以幫助學生看到較復雜應用題是如何組成的，也就是較夏雜應用題是怎樣一步一步地復雜起來的。這是兩步應用題教學中，并題訓練的擴大。在此基礎上，對進行化繁為簡的解答，不但起了促進作用，也起了對較復雜應用題在理解上的相輔相成的作用。從而達到培養學生全面地提高邏輯思維能力的目的。
209．在分數應用題教學中，如何進行一題多變？
　　一題多變是應用題教學中常用的一種教學手段，它是在掌握例題典型性的基礎上，充分發揮例題的可變性，通過條件的變化和問題的改換，使知識向縱向和橫向延伸。這對于防止學生思維的呆板，擺脫思維定勢的羈絆，都是極其有益的。
　　一題多變的方法，一般在練習課、復習課和思維訓練課上使用。它不僅可以溝通知識的內在聯系；還可以使基本題向深度和廣度發展，從而看到較復雜題的來龍去脈。既有利于學生思維靈活性的培養，又在有限的教學時間內加大練習和訓練的密度。
　　例如：教師先在黑板上板書兩個條件：男生25人，女生20人。然后啟發學生：依據這兩個條件，在學過分數乘、除法應用題上，可以提出什么問題？開始時，一般提出下面四個問題：
　　（1）男生人數是女生人數的多少倍？
　　（2）女生人數是男生人數的幾分之幾？
　　（3）男生人數比女生人數多幾分之幾？
　　　
　　（4）女生人數比男生人數少幾分之幾？
　　　
　　隨著四個答案，教師繼續板書，將男生25人用紅筆框起來，表示為問題；把女生20人與原來提出的四個問題的答案，作為條件，分別用直線連接。這樣就形成了四個新問題：
　
　　
　
　
　　在完成上述四題的口算后，再將女生20人這個條件用紅筆框起來，用男生25人與上述四題的結果作為條件。這樣又形成了四個新問題：
　
　
　
　
　這時，板書已經形成了以下的網狀結構：
　　通過一題多變，將兩個基本條件，先后組成了十二道基本應用題，同時揭示了分數乘、除法應用題轉化關系。如果把男、女生人數和作為標準量，還可以變化出更多的題目。以上所舉的例子，只是橫向上的一題多變。如果在一道基本題的基礎上，附加條件或引申問題，那就是縱向上的一題多變。
　　運用一題多變，有兩個問題應該注意：
　　其一，一題多變不是目的，而是促進學生思維靈活的手段。不能為多變而多變，更不是變得越多越好，要從班級實際情況出發，做到“適可而止”。
　　其二，進行一題多變的基礎，是學生清晰而明確地掌握基本數量關系和“量”與“率”的對應關系，不能匆忙起步。否則，倉促的多變，反而會引起部分學生思維上的混亂。
210．在分數應用題教學中，如何進行一題多解？
　　一題多解是應用題教學的一種重要方法。即：在不改變條件和問題的情況下，讓學生多角度、多側面地進行分析和思考，以探求不同的解題思路。在探求的過程中，由于學生的思維發散點不同，因而能找出多種解題途徑，收到培養求異思維的效果。
　　進行一題多解的訓練，通常采用兩種方法：一種是先找出常規解法，然后進行發散性的思考，以探求不同的思路；另一種是擺出條件和問題后，不找常規解法而直接進行發散。前者屬于“同中求異”，后者屬于“異中求同”。因為這兩者的目標是一致的：在發展思維的前提下，“殊途同歸”。
　　例如：修路隊九月份（按30天計算）計劃修路2400米，由于開展向國
　　解法一：按分數應用題的常規思路，確定計劃2400米為標準量，求出它
　　兩數差。
　　解法二：按方程的思路分析，把提前的天數設為x，其含有未知數的等式為：
　　解法三：按工程問題的思路分析，把計劃的2400米看作“1”，
　　“1”里面包含著多少個這樣的幾分之幾，就求出了實際的天數，最后用減法求出提前的天數。
　　解法四：按比例應用題的思路來分析，設提前的天數為x，前6天所對
　　的比值，速度是不變量。
　　設：可提前x天完成。
　　解法五：仍按比例應用題的思路分析，根據速度一定，時間和數量成正
　　個數的幾分之幾是多少，求這個數的方法，就可求出實際完成的天數，最后用減法求出提前完成的天數。
　　其他的解法從略。
　　在一題多解的訓練中，選擇恰當的題目是非常重要的。題目要從學生已掌握的知識實際出發，題目中條件與條件、條件與問題之間的關系，都應有一定的廣度，要能夠為求異思維的展開，提供不同的發散點。思路狹窄的題目，是不能為一題多解選用的。
　　一題多解與一題多變一樣，多解也不是目的，目的在于通過思維的發散，開拓解題的思路，發展學生的智力。
211．什么是逆向的思維方法？
　　逆向思維方法是與順向思維方法相對而言的。在分析、解答應用題時，順向思維是按照條件出現的先后順序進行思考的；而逆向思維是不依照題目內條件出現的先后順序，而是從反方向（或從結果）出發，進行逆轉推理的一種思維方法。
　　逆向思維與順向思維是思維訓練的主要的基本形式，也是思維形式上的一對矛盾。正確地進行逆向思維，對開拓分數應用題的解題思路，促進思維的靈活性，都會起到積極的作用。以下面兩題為例：
　
　　解：從題意上分析，這是一道典型的“還原法”問題，如果按一般順向思維的方法進行思考，將難以找到解題的突破口。正確的解題思路就是用逆向思維的方法，從最后的得數出發，一步步地向前逆推。在逆向推理的過程中，對原來題目里的四則運算進行逆向運算。即：加變減、減變加、乘變除、除變乘。
　
　
　　的這個數。列式計算為：
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　解：此題如按順向思維來思考，就是“歸一”的思路，先要求出1噸面
　　如果從逆向思維的角度分析，可以形成另外兩種不同解法：即：①不著眼于先求1噸面粉需多少噸，而著眼于1噸小麥可磨多少噸面粉，然后再求
　　“倍比”的思路，求出面粉的噸數。列式計算為：
　　　
　　通過以上兩例可以看出，掌握逆向思維的方法，遇到問題可以變換角度，進行正、反兩方面的思考，在開拓解題思路的同時，也促進了邏輯思維能力的發展。
212．什么是對應的思維方法？
　　對應思維是一種重要的數學思維，也是現代數學思想的主要內容之一。在小學數學的教材中，對應思維所表現的是一般對應和量率對應，一般對應是從一一對應開始的。
　　例如：甲有6個三角，乙有4個三角，甲比乙多幾個三角？
　　這里的虛線表示的就是一一對應，即：甲和乙都有同樣多的4個三角，而沒有虛線的2個，正是甲比乙多的三角。
　　一般對應隨著知識的擴展，也表現在以下問題上：
　　　　
　　煤80噸，平均每小時采煤多少噸？
　　這是一道求平均數的應用題。要求出每小時采煤多少噸，必須先求上、下午共采煤多少噸和上、下午共工作多少小時。這里的共采煤噸數與共工作的小時數是相對應的，否則求出的結果就不是題目中所求的解。
　　在簡單應用題中，培養與建立對應的思維方法，這是解決較復雜的應用題的基礎。因為較復雜的應用題中，間接條件較多，在推導的過程中，利用對應思維所求出的數，雖然不一定是最后結果，但往往是解題的關鍵所在。在分數乘、除法里，這種對應思維突出表現在數量與分率（或倍數）的對應關系上；正確的解題思路的形成，就建立在清晰、明確的量率對應的基礎上。　
　　
　　
　　從題意分析看出，這是一道“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的分數除法應用題。條件中只有20本這唯一具體的量，解題的關鍵是要找出這個“量”所對應的“率”。
　　如圖：
　
　
　　確定“量”所對應的“率”，是解答此類題的唯一思考途徑。按照對應的思路，列式計算為：
　　答：書架上原有書240本。
　　從上題的思考過程來看，沒有量率對應的思維方法，就不可能找出正確的解題思路。由此可見，在解答分數乘、除法應用題時，對應的思維方法，無疑是一把寶貴的鑰匙。
213．什么是假設的思維方法？
　　假設的思維方法是一種推測性很強的思維方法。這種思維在解答應用題的實踐中，具有很大的實用性。這是因為有些應用題用順向思維和逆向思維都不能找到解題途徑時，可以將題目中的兩個或兩個以上的未知條件，假設成相等的數量，也可以把一個未知條件假設成已知條件，從而使題目中隱蔽或復雜的數量關系，趨于明朗化和簡單化，這是假設思維方法的突出特點。
　　當“假設”的任務確定后，就按照假設后的條件，依據數量的相依關系，做出相應的調整后，列式計算并求出正確的結果。
　
　　題目中有件數和與用布的米數和，由于上、下衣用布量并不一樣，做的件數也不一樣，按照常規思路，將是無從下手的。但是運用假設的思維方法，此題并不難解決，并且有兩個思路：
　　
　
　
　
　　200-80=120（件）上衣
　　
　　500米，比實際總米數少（520-500=）20米，這個差是由于每件上衣用布數
　　才差20米呢？這也是答案之一。列式計算為：
　　200-120=80（件）下衣
　　通過計算表明：這兩個思路都運用了假設的思維方法。在整數應用題里的雞兔同籠問題，實際上也運用的是這種思維方法。
　　假設的思維方法在較復雜的分數乘、除法應用題中，應用也較廣泛。如下題：
　　
各重多少噸？
　　　
　　這樣兩個標準分率就一樣了。用共重的噸數乘以假設后的統一分率，所得的
　　
樣就可求出其中一堆的重量，另一堆重量用減法即可求出。
　　30-12=18（噸）第二堆
　　
　　30-18=12（噸）第一堆
　　以上的兩個思路都是從率入手的。如果從量入手，又會形成兩個思路。無論從量從率入手，都需要假設的思維方法作為解題的前提條件。
214．什么是轉化的思維方法？
　　在分數乘、除法應用題中，常出現兩個或兩個以上的不同標準量，從屬于這些標準量的分率，就很難進行分析和比較。運用轉化的思維方法，就可以將不同的標準量統一成一個共同的標準量。在此基礎上，其不同標準量的分率，也轉化為共同標準量下的分率。經過轉化后的數量關系，也就變得簡單而明朗，既便于果斷地確定思路，也利于準確而迅速地安排解題的步驟。
　　建立轉化的思維方法，必須具備扎實的基礎知識，對基本的數量關系，特別是對量率對應等關系，都能夠熟練地掌握和運用，這是建立轉化的思維方法的前提條件。
　　運用轉化的思維方法的題目，類型較多，以常見的率轉化為例：
　　少歲？
　　從題目的條件與問題分析，這是一道和倍應用題，但標準量卻有兩個（父
　
　這樣就轉化成分數和倍的基本題。列式計算為：
　
　　解這道題，也可以通過轉化，使父子年齡不同標準量統一為子年齡的標
　　轉化為先求子年齡的和倍應用題。
　　如果依據題意畫出線段圖，還可以轉化為另一種思路。
　
　
　　一轉化，就可以確定父子年齡的倍數關系。
　
　
　　如果在觀察圖形的相等部分時，轉換一下思維的角度，此題也可以轉化
　
　　10∶3。有了這個“比”的關系，又有父子年齡的“和”，可以用按比例分配的應用題進行解答。
　　10＋3=13……總份數
　　
　　
　　上述四種解法，不僅思路不同，在算理上也有難有易，但有一個共同點：沒有轉化的思維方法的參與，每個思路都是難以形成的。
215．什么是消元的思維方法？
　　在一些數量關系較復雜的應用題里，有時會出現兩種或兩種以上物品組合關系所構成的應用題，而在已知條件中，又只給了這幾種物品相互混合后的數量的總價，如果按其他思維方法，很難分析出正確的解題思路來。這就需要運用消元的思維方法，即：依據實際的需要，通過直接加、減或經過乘、除后，再間接加、減的方法，消去一個或一個以上未知數，求出第一個結果，然后再用第一個結果推導出第二個或第三個結果來。
　　消元的思維方法與代數中的消元法是一脈相承的，只不過小學中的消元，不設x，因此，也叫做消去未知數的方法。
　　
　　求一升油和一升奶各重多少千克？
　　按照消元的思維方法，題目中的條件可排列如下：
　　7升油+22升奶→29.31千克
　　從條件排列中可見：兩次的油與油、奶與奶的千克數，都存在著倍數關系，如果先消去油的千克數，把第一個條件擴大2倍，減去第二個條件，油固然可以消去，但奶的升數出現了不夠減的情況。因此，只能采用第二個縮小2倍的方法，再減去第一個條件，從而把油消去。
　　條件重新排列及消元的過程如下：
　
　
　千克。列式計算為：
　
　　
　油：（29.31-1.03×22）÷7=0.95（千克）
　　答：一升奶重1.03千克；一升油重0.95千克。
　　除上述思路外，按照消元的思維方法，根據它們之間的倍數關系，也可以形成另一種思路。即：把第一個條件都擴大4倍，使
　　
　　這樣就可消去奶，而先求出油來。
　　條件排列與思路如下：
　　列算式為：
　　
　　
　　運用消元的思維方法，可以發現解答上述這類題目的規律。由于在解題步驟和分析消元的角度上，并不是唯一的，因此，消元的思維方法也必然會促進整個思維的發散性。
216．什么是發散的思維方法？
　　發散思維的方法是依據題目中條件與條件、條件與問題的相依關系，從不同的角度上去分析，從不同的途徑去思考，在推理中尋找解題的線索，在比較中選擇最佳思路，從而使學生的求異思維得到鍛煉和發展。
　　求同思維是求異思維的前提，沒有求同就沒有真正的求異， 或者說：就沒有真正的發散。但求異思維不是求同思維的自然發展，重要的是有計劃、有目的、有重點地進行發散思維方法的培養。讓學生在“同中求異”和“異中求同”，使求同思維與求異思維協同配合，做到在發散中的同步發展。
　　以下面的兩題為例：
　
　　確的，但思路并不一定是一個，而是從不同角度進行發散思維的結果。
　　　　
　　7個100千克是700千克，再加1000千克，得數是1700千克。
　　　　
千克。
　　
　　數點向右移動三位，得數是1700千克。
　　……
　　上述的三種思路，其所得的結果是一致的，但分析和思考時，與舊知識
　　兩部分，采用分別相乘然后相加的方法，在運算中又使用了乘法分配律。思路②是用求一個數是另一個數的幾又幾分之幾倍的分數乘法法則進行計算的。思路③是先將分數化成小數，然后在乘法中，根據小數點移位所引起小數大小變化的規律，從而簡便、準確、迅速地求出結果。
　　（2）當分數、百分數應用題學完后，在練習課上，可通過變直接條件為間接條件的表述，來進行發散思維方法的培養。例如：
　　甲儲蓄80元，乙儲蓄50元，如果把乙儲蓄的50元這個直接條件改為間接條件的表述，采用分數或百分數的形式，可能有幾種表述方式：
　　
　　
　　
　　
　……
　　如果把甲儲蓄的80元轉化為間接條件，還用分數或百分數的形式進行表述，可有以下幾種表述方式：
　　
　　
　　
　　
　　……
　　類似的表述方法還有許多，解答步驟也會由簡到繁。由此可見，發散的思維方法的形式，對于應用題中的數量關系或量率關系，能夠進行多角度、多側面的發散性思考。這種自覺思考習慣的養成，將是一種寶貴的思維品質。
217．什么是聯想的思維方法？
　　聯想的思維方法是溝通新舊知識的內在聯系，在處理新問題的數量關系或量率關系時，能夠對已掌握的舊知識與新問題之間，產生豐富的聯想，并運用知識的正遷移規律，變換審題的角度，使問題得到更順利、更簡捷的解答。
　　當學完分數應用題和比例應用題之后，可通過一道應用題部分條件的出現，激起學生的聯想，從而顯示聯想的思維方法在開闊思路上的作用。
　　例如：行駛一段路程，甲車與乙車速度的比是5∶4。
　　出現這些部分條件后，稍做停頓，學生可能產生的聯想，有以下幾種情況：
　　①甲車與乙車的速度比是5∶4，甲車與乙車的時間比則是4∶5。這是依據路程一定，速度與時間成反比關系而聯想出來的。如果原題的后面條件是給了甲（或乙）行完這段路程的時間，按原來的速度比去思考，此題將是反比例應用題。通過聯想將速度比轉化為時間比，此題便由反比例應用題轉化為正比例應用題。
　　②甲車與乙車的速度比是5∶4，甲車速度就是乙車速度的（5÷4=）
　　求甲車的速度是多少，就可以用求一個數的幾又幾分之幾倍的方法，將原題的正比例應用題轉化成分數乘法的應用題。如果原題給了甲車的速度去求乙車的速度，就可以用已知一個數的幾分之幾倍是多少，求這個數的方法，將原題轉化為分數除法的應用題。
　　
　　分數與比的關系聯想的結果。如果后面給了甲車速度，求乙車速度，則轉化為求一個數的幾分之幾是多少的分數乘法應用題。反之，則轉化為已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數的分數除法應用題。
　　
　　與除法關系的基礎上，聯想到求一個數比另一個數多幾分之幾，把乙車看成
　　差率直接對應，那么用分數除法就可以直接求出乙車的速度。
　　　
　一個數比另一個數少幾分之幾聯想的結果。甲車速度作為標準量“1”，如
　　法直接求出甲車的速度。
　　⑥根據甲、乙車速度比是5∶4，則甲乙兩車的速度和為（5＋4=）9，
　
　配應用題進行的聯想。如果原題后面給了兩車速度和的條件，就可以用分數乘法分別求出甲車速度和乙車速度。
　　⑦根據甲、乙車速度比是5∶4，所需時間比是4∶5，由此聯想出甲
　　車分別從兩地同時出發，相向而行，求中途的相遇時間，那么，把全程作為“1”，這道題又轉化成分數的工程問題。
　　……
　　從上例可以看出，聯想面越廣，解題思路就越開闊，解題步驟也就越加準確而敏捷。由此可見，聯想思維方法所帶來的效益，不僅可以促進學生思維能力的發展，也往往從中閃耀出創造性思維的火花。
218．什么是量不變的思維方法？
　　在一些較復雜的分數應用題中，每個量的變化都會引起相關聯的量的變化，就如同任何一個分量的變化都會引起總量的變化一樣，這種數量之間的相依關系，常常出現以下的情況：在變化的諸量當中，總有一個量是始終固定不變的。
　　有了量不變的思維方法，在紛繁的數量關系中，就能在確定不變量的基礎上，理順它們之間的關系，理清解題的思路，從而準確，迅速地確定解題步驟和方法。在小學的分數應用題中，涉及到量不變的思維方法，一般有以下三種情況：
　　（1）分量發生變化，總量沒有變。
　　
　　
　　從分析題意中可知，甲乙兩人的存款數（分量）先后都發生了變化，但二人存款的總錢數（總量）卻始終未變，可以斷定這是一道總量不變的應用題。抓住了總量不變的特點，就抓住了解題的關鍵。把乙的存款數看作“1”，
　
　
　
　
　　存款數占總存款數的幾分之幾，然后再求乙存款數占總存款數的幾分之幾。
　　經過上面的分析，標準量已轉化到二人總存款數，乙占總存款數的分率
　　此題中，盡管標準量前后不同，中間并經過幾度轉化，過程也較復雜，但一旦抓住總量不變這個特點，就保證了思維過程的條理和清晰。
　　（2）總量發生變化，其中一個分量沒變。
　　
　　根據題意，又買進了一批科技書，說明總量發生了變化，科技書這個分量也發生了變化，但另一個分量（文藝書）卻始終沒變。抓住這個不變量的特點，可求出文藝書的本數：
　　文藝書的本數沒變，但由于后來又買進了科技書，文藝書所占總本數的
　
　　數前后沒變，兩次總本數之差720-630=90（本），則是科技書后來又買進的本數。
　　（3）總量和分量都發生了變化，但分量之間的差量沒變。
　　
　　張華是36歲時，李麗是多少歲？
　　這是一道差量不變的應用題，因為張華年齡增加的同時，李麗的年齡也在同步增加，兩人之間的年齡差卻始終未變。與此同時，兩人年齡和相應發生變化，張華年齡所占二人年齡和的分率也必然發生變化。抓住了年齡差這個不變量，就找到了解題的突破口。　
　　
時，李麗則是36-8=28（歲）。

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