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八．比和比例
239．“比”和“比值”這兩個概念有什么聯(lián)系和區(qū)別?
　　在除法中，兩個數(shù)相除時，就叫做兩個數(shù)的比。一般分為兩種情況：
　　（1）比較同類量的倍數(shù)關(guān)系，表示其中一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍或幾分之幾。
　　例如：紅光小學(xué)有女教師40人，男教師12人。表示女教師與男教師人數(shù)的比是40∶12（或化簡為10∶3），這也表示女教師人數(shù)是男教師人數(shù)
　　（2）兩個不同類量相比，是表示一個新的量。
　　例如：總 價∶數(shù)量，表示單價。
　　路 程∶時間，表示速度。
　　總產(chǎn)量∶畝數(shù)，表示畝產(chǎn)量。
　　“比”是由前項∶后項組成的，而“比值”是前項除以后項所得的商。如：
　
　　由此可以看出：“比”和“比值”這兩個概念是有區(qū)別的。但兩者之間也是有聯(lián)系的，因為沒有前面的“比”，就不會有后面的“比值”。就一般而言，“比”和“比值”都是一個完整比的組成部分。
　　除此之外，還要看到“比”和“比值”也有著一致性。從廣義上解釋，兩個數(shù)的比是兩個數(shù)的商，這個商也是比值。如：
　　　
　　由于比中的比號相當于分數(shù)中的分數(shù)線，所以用比的形式表示，就是7∶
240．比、除法、分數(shù)這三者之間，有什么聯(lián)系和區(qū)別？
　　在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，從除法到分數(shù)，又到比，這不僅是一個發(fā)展過程，三者之間也存在著內(nèi)在的必然聯(lián)系。在比的教與學(xué)中，揭示它們之間的聯(lián)系，是極其必要的。
　　比的前項相當于除法中的被除數(shù)，分數(shù)中的他子；后項相當于除法中的除數(shù)，分數(shù)中的分母；比號柑當于除法中的除號，分數(shù)中的分數(shù)線；比值相當于除法中的商，分數(shù)的分數(shù)值。
　　例如：
　
　　　　
在比中，前項÷后項=比值 a∶b=c
　　在除法中，被除數(shù)÷除數(shù)=商 a÷b=c
　　
　　如上所述，比、除法、分數(shù)三者之間有著如此密切的聯(lián)系，目的在于：有關(guān)比的運算，可以轉(zhuǎn)化為除法運算或分數(shù)形式，而又需要重新建立比的運算法則。
　　它們之間的區(qū)別，從意義上區(qū)分有：
　　“比”是表示兩個數(shù)的倍數(shù)；
　　“除法”表示的是一種運算；
　　“分數(shù)”則是一個數(shù)。
241．“求比值”和“化簡比”有區(qū)別嗎？
　　在比和比例中，求比值是常用的，但也需要把較復(fù)雜的整數(shù)比（不包括含有分數(shù)、小數(shù)的比），化成簡單的整數(shù)比，這兩者是有區(qū)別的。
　　在區(qū)別求比值和化簡比時，有一種并不全面的說法，即：求比值時用除法（比的前項除以后項）；而化簡比時，運用的是比的基本性質(zhì)（比的前項和后項同時乘以或除以一個不等于0的數(shù)，比值不變）。這只是看到了問題的一個方面，實際上，求比值也可以運用比的基本性質(zhì)，而化簡比也可以用除法。
　　　　
　　　　=3∶60（前項和后項同乘以10）
　　　　=1∶20（前項和后項同除以3）
　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　由此看來，用什么方法并不是兩者的主要區(qū)別。應(yīng)該看到的是下述情況：
　　比有三種表示形式，一是比的一般形式，如5∶6；一是比的分數(shù)形式，
　　
　　既可以認為是比，讀作：5比6；也可以認為是比值，讀作：六分之五。在
　　　
就是說，對兩者在這樣的情況下，不需要嚴格區(qū)別。
　　在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，作為不同的練習(xí)形式，又有著求值與化簡比的不同要求。為了使學(xué)生明確這不同的要求，就必須加以約定，如果是求比值，就把結(jié)果寫成數(shù)的形式（整數(shù)、小數(shù)或分數(shù)）；如果是化簡比，就把結(jié)果寫成比的一般形式，以表示這兩者練習(xí)形式上的區(qū)別，至于用什么方法，則不一定強求一致。
242．繪圖時如何選擇比例尺？
　　比例尺是圖上距離和實際距離的比。在繪制地圖、操場或教室的平面圖以及零件圖時，要把實物的長度（或?qū)嶋H距離）縮小若干倍后，再畫到紙上，這就用到比例尺。涉及到比例尺的問題，通常有三種情況：
　　（1）求比例尺。 圖上距離∶實際距離=比例尺
　　（2）求實際距離。 圖上距離÷比例尺=實際距離
　　（3）求圖上距離。 實際距離×比例尺=圖上距離
　　這三類情況，除（1）是求比例尺外，（2）（3）本身都有指定比例尺，因此，計算起來并不困難。但是，在繪圖時，比例尺一般是不知道的，這就要視圖紙大小這個具體情況，自己確定適當?shù)谋壤摺＿@是因為：如果比例尺選擇的太大，圖紙就可能不夠畫；如果比例尺選擇的太小，畫出的圖只占圖紙的很小部分，則圖紙沒有得到充分利用。這樣畫出的圖，即不美觀、大方，也不勻稱、清楚。所以，在繪圖時，選擇“適當”的比例尺，則是重要的前提條件。
　　例如：要把一塊長50米，寬30米的長方形土地，畫在一張長28厘米，寬30厘米的紙上，應(yīng)該選擇怎樣的比例尺？
　　光從長考慮，比例尺可以是：
　　28∶5000≈1∶179
　　再從寬考慮，比例尺可以是：
　　30∶3000=1∶100
　　根據(jù)一張圖紙上只能選用統(tǒng)一的比例尺，對比一下，只能“選小不選大”，因為一旦選大了，圖紙則畫不下，所以，應(yīng)選用1∶179的比例尺考慮到在一般情況下，為了畫圖的準確和方便，實際畫圖時，實際距離（長、寬、高等）擴大或縮小的倍數(shù)，常常是整十、整百、整千、整萬……的倍數(shù)；同時還要考慮到圖案畫上后還要留邊、畫框以及寫圖的名稱和標明比例尺等事項。因此，這張圖選用1∶200的比例尺比較合適。按這個標準的比例尺，在紙上畫出的圖長為25厘米，寬為15厘米，同時也留有余地地滿足了有關(guān)畫圖的其他要求。
　　總之，在用比例尺繪圖前，首先要了解所畫的地形（或?qū)嵨铮┰陂L和寬這兩個方向的實際距離是“多長”（以后畫立體圖時，還要考慮到“高”）；然后再量出圖紙在長和寬這兩個方向上的尺寸有“多大”。這樣，才能根據(jù)實際距離的大小和圖紙的尺寸，確定選用適當?shù)谋壤摺?br/>243．“比”和“連比”一樣嗎？
　　比和連比是兩個不同的概念。從意義上看比是表示兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系（或兩個數(shù)相除）。連比是兩個以上數(shù)之間的各自所占的份數(shù)比，它不是以上兩個數(shù)連除的關(guān)系。
　　比和連比中的“項”也是不同的：
　　從比值上看：比既然表示兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，當然可以求出比值來，如：
　　
值。
　　如果把兩個比組成連比，必須使第一個比的后項等于第二個比的前項。例如：甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，假如把甲、乙、丙的連比寫成3∶4∶5則是錯誤的，寫成3∶6∶5也是錯誤的。因為乙對甲來比是4，對丙來比又是6，這是兩個不同標準的比，現(xiàn)在進行連比，乙必須有一個對甲、對丙都一致的數(shù)。也就是說，把兩個比組成連比，“中項”必須統(tǒng)一。中項統(tǒng)一后，由于中項數(shù)字的變化，前項與后項的數(shù)字，也要發(fā)生相應(yīng)的變化。
　　甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，甲、乙、丙的連比應(yīng)該是9∶12∶10。其中項統(tǒng)一過程如下：
　　連比的項不限于三項，也可能是若干項。連比的一般形式為a1∶a2∶a3∶…∶an，當連比的項較多時，各項的名稱以此為例，a1叫做連比的第一項（也叫首項），a2叫連比的第二項，a3叫連比的第三項，…an叫做連比的第n項（也叫末項）。
244．球賽記分牌上的“2∶0”、“6∶2”等，有沒有比的含義？
　　在激烈的足球比賽中，為了表示比賽雙方的進球數(shù)，記分牌上經(jīng)常顯示“2∶0”或“6∶2”等比分，這些比分都沒有數(shù)學(xué)中“比”的含義。
　　記分牌上的“2∶0”，表示一方踢進對方大門2個球，另一方?jīng)]有踢進。在籃球比賽中，“2”表示一方得了2分，“0”表示一方?jīng)]有得分。固然“2∶0”表示比賽的雙方相差2分；“6∶2”表示相差4分，但這些比分只表示比賽雙方各自的得分和相差的分數(shù)，而不表示“比”的含義中的倍數(shù)關(guān)系。
　　說明球類比賽中“2∶0”不具有“比”的含義，并不因為這個“2∶0”的后項是0，從而根據(jù)比的后項不能是0的規(guī)定得出的結(jié)論。這是因為球類比賽中的比分，所謂的后項不一定都是0。如果按上述結(jié)論去說明，當所謂的后項不是0時，豈不又具有“比”的含義嗎？
　　例如：球場上的比分為“6∶2”，說明比賽雙方相差4分，如果把“6∶2”看作數(shù)學(xué)中的“比”，“比”是可以化簡的，6∶2=3∶1，其結(jié)果表明：比賽雙方相差2分，這與球場的實際情況是完全不符合的。
　　因此，球賽時記分牌上所表示的比分，只是為了直觀，借用了比的符號，而沒有數(shù)學(xué)中的任何比的含義。
245．正比例的性質(zhì)和反比例的性質(zhì)有什么區(qū)別？
　　正比例的性質(zhì)和反比例的性質(zhì)，是相反的兩個性質(zhì)，在學(xué)習(xí)和運用時，由于表述形式近似，只是個別關(guān)鍵詞語的不同，極容易相互混淆，必須正確地加以區(qū)分。
　　正比例的性質(zhì)是：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量的任意兩個數(shù)值的比，等于另一種量對應(yīng)的兩個數(shù)值的比。
　　例如：一列火車的速度每小時60千米，如果所行時間與所行路程成正比例關(guān)系，那么所行時間的任意兩個數(shù)值的比，必須與對應(yīng)所行路程的兩個數(shù)值的比相等。
　　如下表：
　　從順向看：時間上2小時與4小時的比為2∶4=0.5；路程上2小時所行的千米數(shù)與4小時所行的千米數(shù)的比120∶240=0.5。這兩個比的比值相等，具備了正比例的性質(zhì)。
　
　　具備了正比例的性質(zhì)。
　　反比例的性質(zhì)是：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量的任意兩個數(shù)值的比等于另一種量對應(yīng)的兩個數(shù)值比的反比。
　　例如：完成1200臺電視機的生產(chǎn)任務(wù)，每天生產(chǎn)的臺數(shù)和完成的天數(shù)成反比例關(guān)系，每天產(chǎn)量中任意兩個數(shù)值的比，等于所對應(yīng)完成天數(shù)的兩個數(shù)值比的反比。
　　如下表：
　　
　　
　　從逆向看：臺數(shù)上400臺與200臺的比為400∶200=2；其對應(yīng)天數(shù)比的反比為6∶3=2。兩個比的比值相等，具備了反比例的性質(zhì)。
246．反比、反比例和反比例關(guān)系有什么區(qū)別？
　　在比和比例這部分知識中，反比、反比例和反比例關(guān)系也是容易混淆的。不正確區(qū)分三者的確切含義，就會在憑借概念進行判斷和依據(jù)性質(zhì)進行計算上，產(chǎn)生“后遺癥”，最后還得溯本求源，從基本概念上進行澄清。因此，從防微杜漸的角度上，一開始就結(jié)合教材進行正確區(qū)分，是非常必要的。
　　“反比”是與正比相對而言的，它們都不屬于比例的范疇。在兩個比中，如果一個比的前項和后項，分別是另一個比的后項和前項，這兩個比就叫做互為反比。
　　例如：3∶4的反比是4∶3；反過來，4∶3的反比是3∶4。
　　“反比例”是對兩種相關(guān)聯(lián)的量對應(yīng)數(shù)值組成比的順序而言的。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，據(jù)此寫出的比例式稱為反比例。
　　例如：有一堆煤，每天燒煤2噸，可燒12天，如果每天燒煤4噸，可以燒6天，每天燒6噸，可以燒4天。從條件中的規(guī)律可見，煤的總重量一定，每天燒煤量與燒得天數(shù)成反比例。
　　“反比例關(guān)系”是成反比例的兩種量之間的數(shù)量關(guān)系。如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示積（一定），其關(guān)系式為：x×y=k（一定），在這個式子中，x與y的關(guān)系，就是反比例關(guān)系。
247．什么叫做按比例分配的應(yīng)用題？
　　在對物品或任務(wù)進行分配時，有時按照平均分配的方法，這種分配的方法也叫“勻分”。另一種分配方法不是平均分配，而是根據(jù)需要或其他情況，確定分配對象的不同份額，先找出總份額數(shù)（也就是總份數(shù)），再求出每份額（每份數(shù)）的具體數(shù)量，然后根據(jù)不同份額求出各自分配到的具體數(shù)量。這種分配方法叫按比例分配，用按比例分配的方法去解答的應(yīng)用題，叫做按比例分配的應(yīng)用題。
　　例如：光華小學(xué)在植樹日，需完成植樹168棵的任務(wù)，按3∶4∶5的比例，分配給四、五、六年級，求每個年級應(yīng)植樹多少棵？
　　此題按一般應(yīng)用題解法，屬于歸一問題。
　　解題的過程為：
　　（1）三個年級共多少份？3＋4+5=12（份）
　　（2）平均每份是多少棵？168÷12=14（棵）
　　（3）四年級應(yīng)植多少棵？14×3=42（棵）
　　（4）五年級應(yīng)植多少棵？14×4=56（棵）
　　（5）六年級應(yīng)植多少棵？14×5=70（棵）
　　答：（略）
　　此題用按比例分配方法解，同樣要先求出總份數(shù)，但不求每份是多少棵，因為分配給三個年級的份額各占總份數(shù)的幾分之幾，也就是三個年級植的棵數(shù)各占總棵數(shù)（168棵）的幾分之幾，所以可直接求出三個年級各自應(yīng)植的棵數(shù)。
　　解題過程為：
　　（1）總份數(shù)：3＋4＋5=12
　　
　　答：（略）
248．正方形的邊長和面積為什么不成比例？
　　在判斷比例的練習(xí)中，學(xué)生常把正方形的邊長與面積誤判成正比例。造成這種誤判，在于對正比例關(guān)系缺乏全面理解。對“兩種相關(guān)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化”，這句話是記住了，認為邊長擴大，正方形的面積也會擴大，但這只是正比例關(guān)系含義的一半。另一句話，卻被忽略了，即：“如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定”。
　　對其忽略的部分，可通過列出邊長與面積的對應(yīng)數(shù)值表，來進行準確的判斷。
　　從表中的邊長和面積的數(shù)值來看，正方形的邊長和面積相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值并不相等。
　　由上邊所舉數(shù)例可以說明：正方形邊長的任意兩個數(shù)值的比與相對應(yīng)的面積的比，其比值都是不相等的，因此，正方形的邊長與面積不能成正比例。
　　除根據(jù)正比例的關(guān)系來說明正方形的邊長和面積不成比例外，還可以根據(jù)比例的判定式，來證明正方形的邊長和面積是不成比例的。求正方形面積的公式是：
　　無論是成正比例或反比例，其中必有一個量是一定的（或稱不變量）。由于正方形的特征之一是：正方形的四條邊的長度都相等，在上述公式中，找不出一定的量，如果一個邊長擴大了，其他邊長也必然相應(yīng)擴大，否則它就不是正方形了。所以，正方形的邊長和面積是不成比例的。
　　同時，還應(yīng)該看到：正方形的邊長和面積固然不成比例，但正方形的邊長平方和面積是成正比例的。因為邊長平方和相對應(yīng)面積的兩個數(shù)的比值是相等的。
　　仍以上表中的數(shù)值為例：
　　
249．在正、反比例的應(yīng)用題中，怎樣確定“一定”的量？
　　在成比例的兩種相關(guān)聯(lián)的量中，無論是成正比例，還是成反比例，都是這兩種量之間的關(guān)系。但在形成比例的因素中，事實上還存在著與這兩種量密切相關(guān)的另一種量，這個量是“一定”的，也就是不變的量。沒有這個“一定”的量，只有前面的兩種相關(guān)聯(lián)的量，正、反比例的關(guān)系都是不能成立的。例如：
　　（1）火車的速度一定，所行的時間和路程成正比例；
　　（2）玉米的畝產(chǎn)量一定，種植玉米的畝數(shù)和總產(chǎn)量成正比例；
　　（3）生產(chǎn)機器的總臺數(shù)一定，生產(chǎn)時間和效率成反比例；
　　（4）全班學(xué)生人數(shù)一定，分的小組數(shù)和每組人數(shù)成反比例。
　　上述一些成正、反比例關(guān)系的實際問題中，這個“一定”的量比較明顯，因此，容易確定；但在另一些成正、反比例的實際問題中，這個“一定”的量比較隱蔽，所以難以確定。揭示出“一定”的量，就成為判斷兩種量是成正比例還是成反比例的前提條件。例如：
　　（1）正方形的邊長和周長成正比例；
　　（2）圓柱體的底面積和高成反比例；
　　（3）圓的直徑和周長成正比例；
　　（4）齒輪轉(zhuǎn)動，主動輪、從動輪的齒數(shù)和轉(zhuǎn)速成反比例。
　　判斷上述比例，在于揭示出比較隱蔽的“一定”的量。根據(jù)正、反比例
　　種量則成正比例關(guān)系；如果x×y=k（一定），這兩種量則成反比例關(guān)系。
　
　系的關(guān)系式。在這個關(guān)系式中，“一定’的量就是k。因此，要揭示隱蔽的“一定”的量，就必須熟練地掌握上面的關(guān)系式，從關(guān)系式中來確定“一定”的量。
　　前面例舉的四道題，其“一定”的量可如下進行確定：
　　（1）∵正方形周長/正方形邊長=正方形邊數(shù)
　　正方形邊數(shù)是4，這是一定的；
　　∴正方形邊數(shù)就是此題中的“一定”的量。
　　（2）∵圓柱底面積×高=圓柱體體積，圓柱體體積是已知的；
　　∴圓柱體體積是此題中“一定”的量。
　　（3）∵圓的周長/圓的直徑=圓周率
　　圓周率π是一個常數(shù)；
　　∴圓周率是此題中“一定”的量。
　　（4）∵齒輪齒數(shù)×齒輪轉(zhuǎn)數(shù)=轉(zhuǎn)過總齒數(shù)，主動輪、從動輪轉(zhuǎn)過的總
　　齒數(shù)是一樣的；
　　∴轉(zhuǎn)過總齒數(shù)是此題中“一定”的量。
　　上面確定“一定”的量的關(guān)系式中，有除法關(guān)系式，也有乘法關(guān)系式，從“積”或“商”的不變中，可以找出比較隱蔽的“一定”的量。除此之外，還可以從熟悉的基本數(shù)量關(guān)系中，直接用乘法關(guān)系式來尋找。
　　即： 因數(shù)×因數(shù)=積
　　在這個乘法關(guān)系式中，當其中的一個因數(shù)一定時，另一個因數(shù)與積存在著正比例關(guān)系；而當積一定時，兩個因數(shù)之間存在著反比例關(guān)系。以常見的速度×?xí)r間=路程為例：
　　這樣的乘法關(guān)系式還有很多，如：長×寬=長方形面積、底×高=平行四邊形面積、底面積×高=長方體體積（或圓柱體體積）、單價×數(shù)量=總價等，利用這些關(guān)系式，可以一式三用地確定出“一定”的量，從而對正、反比例的應(yīng)用題做出正確的判斷。
250．比例應(yīng)用題有哪些解題思路？
　　在學(xué)習(xí)比例應(yīng)用題以前，已經(jīng)掌握了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的應(yīng)用題，以及用方程解的應(yīng)用題，因此，解比例應(yīng)用題時，其解題思路就不限于比例本身。通常有以下幾個思路：
　　（1）按照正、反比例的關(guān)系去思考，用比例的方法；
　　（2）按照數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系（包括量率對應(yīng)關(guān)系）去思考，用算術(shù)的方法；
　　（3）按等量關(guān)系去思考，用方程的方法。
　　這三種思路在下面例題中可以看到它們的具體運用：
　　如：一輛汽車2小時行駛64千米，用同樣的速度，從甲地到乙地共行駛5小時，甲乙兩地之間的路程是多少千米？
　　用比例的方法解：從條件中可知，速度為“一定”的量。
　　設(shè)：甲乙兩地之間的路程是x千米。
　　答：甲乙兩地之間的路程是160千米。
　　用以前學(xué)習(xí)過的算術(shù)方法解：汽車5小時行多少千米，要先求出汽車1小時行多少千米，屬于歸一問題的思路或倍比問題的思路。
　　歸一解：64÷2×5=160（千米）
　　倍比解：64×（5÷2）=160（千米）
　　答：甲乙兩地之間的路程是160千米。
　　用方程的思路解：由于汽車的速度前后沒變，其等量關(guān)系式是：5小時行的千米數(shù)÷5=2小時行的千米數(shù)÷2
　　實際上是速度=速度。
　　設(shè)甲乙兩地之間的路程是x千米。
　　x÷5=64÷2
　　x=64÷2×5
　　x=160
　　答：甲乙兩地之間的路程是160千米。
　　上述三種思路只是從比例、算術(shù)、方程的角度上劃分的，事實上在算術(shù)的范圍內(nèi)有時還會出現(xiàn)多種解法，而每一種解法都是一種思路。因此，在掌握用比例解法解比例應(yīng)用題的同時，也鼓勵學(xué)生在可能的情況下進行“一題多解”，這既是對解題思路的開拓，也是對已學(xué)過知識的自覺復(fù)習(xí)。
251．什么叫做復(fù)比例？
　　在兩個或若干個比例的各對應(yīng)項上，實行四則運算，所得到的比例叫做復(fù)比例。復(fù)比例通常有以下三種情況：
　　（1）比例的加法和減法：由兩個或若干個具有相等比值的比例，其對應(yīng)項相加或相減所成的復(fù)比例，也具有原來相等的比值。
　　例如：40∶10=24∶6（比值為4）
　　 12∶3=8∶2（比值為4）
　　經(jīng)過加減得到的復(fù)比例是：
　　（40±12）∶（10±3）=（24±8）∶（6±2）
　　按加法得：52∶13=32∶8
　　按減法得：28∶7=16∶4
　　（2）比例的乘法：從兩個或若干個比例各對應(yīng)項相乘所得到的復(fù)比例，它的比值等于已知各比例比值的積。
　　通過乘法得到的復(fù)比例是：
　　（3×4）∶（2×2）=（6×2）∶（4×1）
　　12∶4=12∶4（比值為3）
　　
　　由此可知，已知比例的各項自乘所得到的復(fù)比例，它得的比值等于已知比值自乘以同次方。
　　
比例各項自乘3次得到復(fù)比例為：
　　（3）比例的除法：一個比例的各項除以另一個比例的各對應(yīng)項所得的復(fù)比例，它的比值等于兩個已知比例的比值的商。
　　
　　通過除法得到的復(fù)比例為：
　　（3÷4）∶（2÷2）=（6÷2）∶（4÷1）
　　
　　
252．什么是復(fù)比例應(yīng)用題？
　　計算兩個以上的量成比例的應(yīng)用題，叫做復(fù)比例應(yīng)用題。
　　例如：6個水管10小時注滿10米長、3米寬、1.5米深的水池，用同樣的水管8個，要注滿9米長、4米寬、2.5米深的水池，需要多少小時？
　　設(shè)需要x小時。列出已知條件，使同類量上下對齊：
　　此題中共有五個量，在列出的條件里，“↓”表示所求量與已知量成正比例；“↑”表示所求量與已知量成反比例。
　　在固定其他量“一定’的前提下，判斷未知量與每一個量成正比例還是反比例。成正比例的，向下畫一個箭頭；成反比例的，向上畫一個箭頭。最后把箭頭所指的數(shù)及與未知數(shù)同一列的數(shù)的積作分子，箭尾指著的數(shù)的積作分母，所得的分數(shù)值，就是題目中所求。
　　　　
　　答：需要15小時。
　　復(fù)比例應(yīng)用題也可以用整數(shù)或小數(shù)中的“歸一”方法解，仍以上題為例：
　　（1）每個水管1小時注水多少立方米？
　　10×3×1.5÷10÷6=0.75（立方米）
　　（2）要注滿水的水池容積是多少立方米？
　　9×4×2.5=90（立方米）
　　（3）8個水管1小時注水多少立方米？
　　0.75×8=6（立方米）
　　（4）需要多少小時？
　　90÷6=15（小時）
253．什么是混合比例應(yīng)用題？
　　把價值不同、數(shù)量不等的同類物品相混合，已知各物品的單價及混合后的平均價格（或總價和總數(shù)量），求混合量的應(yīng)用題，叫做混合比例應(yīng)用題。
　　混合比例應(yīng)用題在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中雖然沒有涉及，但在實際生活中，這類問題又是常見的。例如：
　　兩種糖果，每千克的價格，甲種4.8元，乙種4.2元，混合后每千克價格為4.6元，已知混合時，甲種糖果比乙種多用2.5千克，求兩種糖果各用多少千克？
　　解：設(shè)甲種糖果用x千克，乙種糖果用了（x-2.5）千克。
　　（4.8-4.6）∶（4.6-4.2）=（x-2.5）∶x
　　0.2∶0.4=（x-2.5）∶x
　　0.2x=0.4x-1
　　0.2x=1
　　x=5（千克）甲種
　　5-2.5=2.5（千克）乙種
　　驗算：甲種糖果5千克價：4.8×5=24（元）
　　乙種糖果2.5千克價：4.2×2.5=10.5（元）
　　兩種糖果共價：24＋10.5=34.5（元）
　　兩種糖果共重：5＋2.5=7.5（千克）
　　混合后每千克價：34.5÷7.5=4.6（元）
　　又如：買來甲乙兩種鉛筆若干支作為獎品，甲種每支0.6元，乙種每支0.4元，平均每支0.525元，已知甲種鉛筆比乙種多20支，求兩種鉛筆各多少支？
　　解：設(shè)甲種鉛筆x支，乙種鉛筆（x-20）支。
　　答：甲種鉛筆50支；乙種鉛筆30支。

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