資源簡介

七、簡易方程
219．什么叫做代數式和代數式的值？
　　用運算符號加、減、乘、除、乘方、開方把數字和表示數的字母連接起來所得的式子，叫做代數式。特殊的，單獨的一個數字或字母也可以叫做代
　　用數代替代數式里的變數字母．計算所得的結果，叫做這個代數式的值。
　　
　　的值是289。
220．什么叫做等式？等式有哪些性質？
　　表示兩個數或兩個代數式相等關系的式子叫做等式。兩個數或兩個代數式之間用等號“=”連接起來。例如：27＋23=50，a+b=b+a，4x+6=86。
　　等式的性質有以下幾條：
　　（1）等式兩邊可以調換位置。也就是說，如果a=b，那么b=a。
　　（2）等式兩邊都加上（或減去）同一個數，所得的等式仍然成立。即如果a=b，那么a±m=b±m。
　　（3）等式兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能為零），所
　　得的等式仍然成立。即如果a=b，那么am=bm，a÷n=b÷n（n≠0）。
221．什么叫做方程和方程的解？
　　含有未知數的等式，叫做方程。例如：3x＋4=10，7x=2.8，ax2＋bx＋c=0（其中a、b、c為已知數，x是未知數）等都是方程。方程是提出一個問題：當未知數取什么數時，等式成立。
使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。例如：x=2是方程3x+4=10的解。x=1.7是方程4x=6.8的解。
222．什么叫做單項式和多項式？
　　不含加、減運算的整式，叫做單項式。特殊的，單獨一個數或一個字母
多項式。例如：4x+7，3x2+5，6x2+7x+2等都是多項式。
223．什么叫做同類項及合并同類項？
　　在多項式中，所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項，叫做同類項。例如：5x2＋3x+4x2＋6中，5x2與4x2是同類項。
　　把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。例如：5x2＋3x+4x2＋6=9x2+3x+6是合并同類項。
224．方程的基本性質有哪些？
　　方程的基本性質有以下兩點：
　　（1）方程的兩邊都加上（或減去）同一個數或者同一個整式，所得的方程和原方程有共同的解（叫同解方程）。
　　（2）方程的兩邊都乘以（或除以）不等于零的同一個數，所得的方程和原方程是同解方程。
　　方程的基本性質是解方程的依據。解方程實際上就是把一個較復雜的方程，根據方程的基本性質化成簡單的同解方程的過程。最后得到的x=a也是原方程的同解方程。所以a就是原方程的解。在小學里，限于學生的知識基礎，解方程不是從方程的基本性質出發，而是根據學生已有的加減之間、乘除之間的逆運算關系來求解的。經過適當的練習，再用“移加變減”與“移減變加”等通俗語言概括出移項的規律，為進一步學習數打下一點基礎。
225．什么叫做有理數？
　　整數和分數統稱有理數。其中整數含有正整數、零及負整數；分數含有
　　數，且n≠0）。正整數、正分數叫做正有理數；負整數、負分數叫做負有理數；正有理數與零叫做非負有理數；零與負有理數叫做非正有理數。
226．什么叫做相反數？　　
　　
　　任一正數a總有一個確定的負數-a與它相對應，像這樣只有符號不同的兩個數，叫做相反數。
　　例如：-5與5是相反數，5與-5也是相反數。零的相反數是零。
　　相反數a與-a在數軸上的對應點分別在原點的兩側，并且與原點的距離相等，但方向相反。
　　因此，負數的相反數是正數，正數的相反數是負數，零的相反數還是零。
227．有理數大小的比較法則有哪些？
　　（1）正數都大于零；
　　（2）負數都小于零；
　　（3）正數大于一切負數；
　　（4）兩個負數比較，絕對值大的反而小。
228．有理數的混合運算法則是怎樣規定的？
　　在代數運算中，加法與減法是一級運算，乘法與除法是二級運算，乘方與開方是三級運算。如果有理數的同級運算在一起，那么按照從左到右的順序進行計算；如果是不同級運算在一起，那么先算較高級的運算，再算較低級的運算。即先算乘方或開方， 再算乘法或除法，后算加法或減法。有括號時、先算小括號里面的運算，再算中括號，然后算大括號。
229．去括號與添括號的法則指的是什么？
　　去括號的法則是：括號前面是“+”號，去括號時，括號里的各項都不變；括號前面是“-”號，去括號時，括號里的各項都變號。例如；
　　5a+（4b-3a）-（2b+a）=5a+4b-3a-2b-a=a+2b。
　　添括號的法則是：添括號時，括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都變號。例如：
　　4a-3b-2c=4a-（3b+2c）；
　　7a+2b-5c=7a+（2b-5c）。
230．什么叫做絕對值？
　　數軸上表示一個數的點離開原點的距離，叫做這個數的絕對值。一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零。例如：+5和-5的絕對值都是5，通常用|5|表示。又如，一個數是a，它的絕對值表示如下：
　　（1）當a＞0時，|a|=a；
　　（2）當a＝0時，|a|=0；
　　（3）當a＜0時，|a|=-a。
231．什么叫做完全平方數及完全立方數？
　　如果一個正數恰好是另一個有理數的平方，則這個正數叫做完全平方
　　都是完全平方數。
　　如果一個數等于另一個數的立方，則這個數叫做另一個數的完全立方數。例如：27是3的完全立方數，64是4的完全立方數。
232．在科學技術上常用科學記數法，你知道怎樣記數嗎？
　　把一個正數寫成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n比這個正數的整數位數少1。這種記數方法，習慣上叫做科學記數法。例如：
　　這種記數方法便于記大數，易于比較大小，常用在科學技術上。
233．列方程解應用題要做好哪幾步工作？
　　用字母代替應用題中的未知數，根據等量關系列出方程，再解所列出的方程，從而得到應用題的答案，這個過程叫做列方程解應用題。解題時要做好以下幾步工作：
　　（1）分析題意。認真讀題，反復審題，弄清楚應用題中哪些是已知條件，哪些是未知條件，已知條件與未知條件之間有什么等量關系；
　　（2）設未知數。用字母代替應用題中的未知數；
　　（3）列方程，解方程。根據所設的未知數x和題目中的已知條件，按照等量關系列出方程。根據算術四則運算中加法與減法、乘法與除法之間的逆運算關系求出未知數x的值；
　　（4）檢驗，答題。解方程后，應進行檢查驗算；針對應用題的所問作出答案。
234．列方程解應用題應進行哪些基礎訓練？
　　列方程解應用題，應進行如下一些訓練：
　　（1）列代數式的訓練。正確、迅速地列出代數式是列方程的基礎，可以用以下幾種形式進行訓練：
　　①用數學語言敘述代數式。例如：
　　3x+5（一個數的3倍與5的和）；
　　7×8-4x（7的8倍減去一個數的4倍）。
　　②用代數式表示數量關系。例如：
　　a的6倍（6a）；
　　90減去x的5倍（90-5x）。
　　③根據題意敘述代數式的意義。例如：“學校買來6個小足球，每個a元，又買來8個排球，每個b元。”要求學生敘述以下各式的意義。
　　6a（表示6個足球的價錢），
　　8b（表示8個排球的價錢），
　　6a+8b（表示兩種球的總價），等等。
　　反過來，老師提出問題，要求學生列出代數式。
　　（2）找等量關系的訓練。找出題目中的等量關系是列方程的關鍵。教學時，可以讓學生找出日常生活事例中的一些等量關系，使學生逐步熟悉。
　　例如：小俠到商店去買筆記本，總價錢是1.6元，小俠付出2元，找回0.4元。把這件事情列出等式。
　　付出的2元-筆記本總價1.6元=找回的0.4元，
　　筆記本總價1.6元+找回的0.4元=付出的2元，
　　付出的2元-找回的0.4元=筆記本總價1.6元。
　　（3）列方程的訓練。把列代數式的訓練和找等量關系的訓練結合起來進行（只要求列出方程，不必解方程）。
　　例1：計劃修一條水渠260米，已經修了7天，每天能修x 米，還剩50米沒有修。
　　等量關系是：計劃米數-已經修的米數=剩下的米數；
　　方程是：260-7x=50
　　例2：農具廠兩個車間計劃生產720把鐮刀。第一車間每天生產鐮刀38把，第二車間每天生產鐮刀42把，x天完成了任務。
　　等量關系是：第一車間生產數+第二車間生產數=全部任務；
　　或（第一車間工作效率+第二車間工作效率）×x=全部任務。
　　方程是：38x+42x=720，
　　或 （38+42）×x=720。
235．只用一步運算解答的簡易方程有哪幾種？
　　（1）求未知的加數：解法是從和中減去已知的加數。
　　例1：解方程x+38=90解：90是兩個數的和，38是已知加數。所以
　　x+38=90
　　x=90-38
　　x=52
　　（2）求未知的被減數：解法是把差加上已知的減數。例2：解方程x-62=27
　　解：27是差，62是減數。所以
　　x-62=27
　　x=27+62
　　x=89
　　（3）求未知的減數：解法是從被減數中減去差。例3：解方程76-x=19
　　解：76是被減數，19是差。所以
　　76-x=19
　　x=76-19
　　x=57
　　（4）求未知的因數：解法是把積除以已知的因數。例4 解方程5x=240
　　解：240是積，5是已知的因數。所以
　　5x=240
　　x=240÷5
　　x=48
　　（51）求未知的被除數。解法是把商乘以除數。例5：解方程x÷18=34
　　解：34是商，18是除數。所以
　　x÷18=34
　　x=34×18
　　x=612
　　（6）求未知的除數。解法是把被除數除以商。例6：解方程1247÷x=43
　　解：1247是被除數，43是商。所以
　　1247÷x=43
　　x=1247÷43
　　x=29
236．需要用兩、三步運算解答的簡易方程有哪幾種？
　　（1）先把積看成一個數進行運算。
　　例1：解方程3x+24=87
　　解：3x+24=87（先把3x看成一個加數）
　　 3x=87-24
　　 3x=63
　　 x=21
　　例2：解方程100-5x=35
　　解：100-5x=35（先把5x看成一個減數）
　　 5x=100-35
　　 5x=65
　　 x=13
　　例3：解方程7x÷14=9
　　解：7x÷14=9（先把7x看成是一個被除數）
　　 7x=9×14
　　 7x＝126
　　 x=18
　　例4：解方程16x-7×4=148解：16x-7×4=148
　　16x-28=148（先把16x看成是一個被減數）
　　 16x=148+28
　　 16x=176
　　 x=11
　　（2）合并同類項。
　　例5：解方程7.5x+2.5x=64
　　解：7.5x+2.5x=64（先計算7.5x+2.5x）
　　10x=64
　　x=6.4
　　例6：解方程28x-13x=240
　　解：28x-13x=240（先計算28x-13x）
　　15x=240
　　x=16
　　（3）去括號或者把括號里的數看成一個數。
　　例7：解方程16（7+x）=192
　　解法一：16（7+x）=192（去括號）
　　16×7+16x=192（把16x看成一個數）
　　 16x=192-112
　　 16x=80
　　 x=5
　　解法二：
　　16（7+x）=192（把7+x看成一個因數）
　　7+x=192÷16
　　7+x=12
　　x=12-7
　　x=5
237．用方程解應用題時，怎樣找等量關系？
　　在解應用題時，常常先找出應用題中數量間的相等關系，也就是通常所說的“等量關系”，然后列方程求解。下面舉例說明。
　　（1）只含有三個數量的簡單應用題的等量關系和方程。
　　只含有三個數量的簡單應用題，已知兩個數量，求第三個數量。這類應用題的等量關系比較明顯，容易找出。根據三個量間的等量關系，往往可以列出三個等式。在這三個等式里，可選擇一個等式作為解答該題的方程，習慣上把未知的數量放在等號的左邊，用字母x表示。
　　例1：黃豆和綠豆共重90千克，其中黃豆65千克，綠豆的重量是多個千克？
　　分析：根據這道題里的三個量，可以列出下面三個等式：
　　①共重90千克-黃豆65千克=綠豆重量；
　　②綠豆重量+黃豆65千克=共重90千克；
　　③共重90千克-綠豆重量=黃豆65千克。
　　如果把未知量用x表示，并且把它放在等號的左邊，可列出方程：
　　x+65=90或者90-x=65
　　由于題目中說的是“黃豆和綠豆共重90千克”，所以列出的方程以“x+65=90”為好。
　　例2：小俠身高158厘米，比小勇高13厘米。小勇的身高是多少厘米？
　　分析：根據這道題里的三個量，可以列出下面三個等式：
　　①小俠身高158厘米-13厘米=小勇身高；
　　②小俠身高158 厘米-小勇身高=13厘米；
　　③小勇身高+13厘米=小俠身高158厘米。
　　如果把未知量用x表示，按照題目里所說的“小俠的身高是158厘米，比小勇高13厘米”，可列出方程：
　　158-x=13或者x+13=158
　　例3：一輛卡車每小時行駛45千米，幾小時可以行駛270千米？
　　分析：根據速度、時間與路程三個量之間常用的數量關系，可以寫出下面三個等式：
　　①每小時45千米×小時數=路程270千米；
　　②路程270千米÷每小時45千米=小時數；
　　③路程270千米÷小時數=每小時45千米。
　　如果設x小時走完全程，根據題意可以列出方程：
　　45x=270或者270÷x=45
　　例4：一個長方形的面積是2800平方厘米，它的長是70厘米，寬是多少厘米？
　　分析：有關計算面積、體積的題目的等量關系，就是面積、體積的計算公式。這道題是長方形面積，根據長方形的面積計算公式，可以寫出下面三個等式：
　　①長×寬=長方形面積；
　　②長方形面積÷長=寬；
　　③長方形面積÷寬=長。
　　如果設長方形的寬為x厘米，根據題意可列出方程：
　　70x=2800
　　總之，在找等量關系和列方程時，主要是以應用題的數量關系為基礎，根據四則運算的意義列成等式。但是，方程解法與算術解法在解題思路上是不同的。算術解法，為了求出未知數，需要把已知數集中起來加以分析，找出未知數與已知數之間的關系，利用已知數與運算符號組成算式，通過計算求出未知數。而列方程解應用題呢，可以用字母表示未知數，例如x、y等，讓未知數x和已知數處于同樣地位，按照題目中三個數量的等量關系直接參加列式運算。有些在算術中需要“逆解”的題目，用方程解法往往比較容易。
　　（2）含有三個以上數量的應用題的等量關系和方程。
　　遇到含有三個以上數量的應用題，要認真審查題意，弄清題目所說的是怎么一回事，才能分析出已知數量同未知數量間的關系，列出方程。
　　例1：地球繞太陽一周要用365天，比水星繞太陽一周用的時間的4倍多13天。水星繞太陽一周要用多少天？
　　分析：由于列方程解應用題可以讓未知數（x）和已知數處于同樣地位，直接參加列式運算，我們可以把題目中敘述的條件適當變換一下說法。這道題可以說成：水星繞太陽一周所需時間（x）的4倍再加13天就等于365天。這樣，可列出下面的方程：
　　4x＋13=365
　　這道題也可以說成：365天減去水星繞太陽一周所需時間（x）的4倍等于13天。這樣，可列出下面的方程：
　　365-4x=13
　　這道題還可以說成：365天減去3天與水星繞太陽一周所需時間（x）的4倍相等。我們把未知數（x）寫在等號左邊，可列得方程：
　　4x=365-13
　　以上舉出的三個不同形式的方程，都是解答這道應用題的方程，在解答這道題時，用哪一個都可以。
　　例2：學校買來5個籃球和7個排球共用去355元，已知每個籃球的價錢是36元，求每個排球的價錢是多少元？
　　分析：這道題，如果按照算術方法去解，是“逆解”的題目； 如果利用方程方法去解，根據題目里的已知條件，就比較容易找出等量關系。
　　已知每個籃球的價錢是36元，如果設每個排球的價錢為x元，那么可列出方程：
　　7x+36×5=355
　　例3：柳長堤小學五、六年級同學今年共植樹150棵，六年級植的棵數是五年級的2倍。兩個年級各植了多少棵？
　　分析：這道題是常見的一種典型應用題，通常叫“和倍問題”。如果用算術方法解，是有規律的。即：
　　兩個數的和÷（倍數+1）=作為1倍的數
　　但是，用方程方法解，可以按照題目里敘述已知條件的順序直接寫出等量關系。
　　為了計算方便，我們常常把“可以作為1份（1倍）”的數設為x，在這道題里，設五年級植樹棵數為x棵，那么六年級植樹棵數為2x棵。列出方程為：
　　x+2x=150
　　例4：A、B兩鎮之間的公路長216千米，甲、乙兩汽車同時從兩鎮相對開出，3小時后相遇。甲汽車每小時行38千米，乙汽車每小時行多少千米？
　　分析：甲、乙兩輛汽車同時從兩鎮相對開出，3小時后相遇，這就說明了：甲汽車3小時行的路程+乙汽車3小時行的路程=兩鎮之間的公路長。設乙汽車每小時行x千米，可列出方程：
　　38×3+3x=216
　　這道題還可以按照下面的等量關系列出方程，即：兩鎮之間的公路長-乙汽車3小時行的路程=甲汽車3小時行的路程。可列出方程：
　　216-3x=38×3
　　甲、乙兩汽車同時開出，相向而行，那么，每小時兩輛汽車共走的路程是甲、乙兩汽車速度之和。這樣，又可以寫出一種等量關系，即：甲、乙兩汽車速度之和×時間=兩鎮之間的公路長。可列出方程：
　　（38＋x）×3=216
238．你會用方程解法解應用題嗎？
　　舉出幾例，試用方程解答。
　　例1：四、五年級的學生種向日葵，五年級種的棵數是四年級種的棵數的3倍。又知五年級比四年級多種了90棵。兩個年級各種了多少棵？
　　解：設四年級種了x棵，那么五年級種了3x棵。根據題意列出方程，得：
　　3x-x=90
　　2x=90
　　x=45（四年級種的棵數）
　　3x=3×45=135（五年級種的棵數）
　　答：四年級種了45棵，五年級種了135棵。
　　例2：李師傅計劃加工150個零件，加工了8小時以后，還剩22個沒有加工。求李師傅每小時加工多少個零件？
　　解：設每小時加工x個零件。根據題意列出方程，得：
　　150-8x=22
　　8x=150-22
　　8x=128
　　x=16
　　答：李師傅每小時加工16個零件。
　　這道題還可以列出其他形式的方程。如：8小時加工的零件數加上沒有加工的22件，等于原計劃加工的150個零件。即8x+22=150。或者，原計劃加工的150個零件減去沒有加工的22個，就是8小時加工的零件數。即8x=152-22。
　　例3：甲、乙、丙三個數的和是960，甲數是乙數的2倍，乙數是丙數的3倍。甲、乙、丙三個數各是多少？
　　解：設丙數為x，那么乙數為3x，甲數為6x。根據題意列出方程，得：
　　x+3x+6x=960
　　10x=960
　　x=96（丙數）
　　3x=3×96=288（乙數）
　　6x=6×96=576（甲數）
　　答：甲數是575，乙數是288，丙數是96。
　　例4：有一塊梯形地，面積是79.2平方米，它的高是7.2米、上底是9.6米，下底是多少米？
　　解：因為，梯形面積=（上底+下底）×高÷2，設下底為x 米，根據梯形面積公式，列出方程，得：
　　（9.6+x）×7.2÷2=79.2
　　（9.6+x）×7.2=79.2×2
　　9.6+x=158.4÷7
　　x=22-9.6
　　x=12.4
　　答：下底是12．4米。
　　例5：學校計劃修整操場，原計劃每天修整96平方米，50天可以修完。實際上每天比原計劃多修24平方米，照這樣計算，可以提前幾天修完？
　　解：設實際用x天修完，根據題意列出方程，得：
　　（96＋24）x=96×50
　　120x=4800
　　x=40
　　50-40=10（天）
　　答：可以提前10天修完。
　　在解答這道題時，設x表示實際用的天數，而沒有按照題目的“問題”設x表示提前的天數。為什么沒有設“x”表示提前的天數呢？如果這樣設x的話，那么“實際用的天數”就得用（50-x）來表示。這樣，所列方程將是如下形式：
　　（96＋24）×（50-x）=96×50
　　解這個方程，比解例題所列的方程麻煩得多。
　　因此，解題時要認真審查題意，弄清數量之間的關系，考慮好怎樣設x，可以使所列的方程簡便些。通常把例5設x的方法叫做“間接設元”。而例1到例4，是根據題目的“問題”設x的，也就是說，要求的是什么，就把所求的未知數設為“x”，通常把這種設x的方法叫做“直接設元”。

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