資源簡介

(共36張PPT)
第三章 實數
3.1 平方根
01
教學目標
02
新知導入
03
新知講解
04
課堂練習
05
課堂小結
06
作業布置
01
教學目標
1.了解平方根、算術平方根的概念，并會用根號表示非負數的平方根、算術平方根；
2.掌握求非負數的算術平方根的方法；
3.了解平方與開平方互為逆運算，會用平方運算求平方根。
02
新知導入
一張正方形桌面的面積為1.44，它的邊為多少米？
03
新知講解
一個正方形的面積為1.44(如圖)，這個正方形的邊長為多少米？你是怎么想的？什么數的平方等于1.44？
03
新知講解
一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。
例如，因為＝1.44，所以1.2是1.44的平方根。又因為＝1.44，所以－1.2也是1.44的平方根。
請分別說出49，，0的平方根。
49的平方根±7
的平方根±
0的平方根0
03
新知講解
說明
例如：3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它們互為相反數.
平方根是它本身的數只有0.
03
新知講解
關于數的平方根，我們有以下事實：
一個正數有正、負兩個平方根，它們互為相反數；
零的平方根是零；負數沒有平方根。
03
新知講解
一個正數a的正平方根用“”表示(讀作“根號a”)；a 的負平方根用“－”表示(讀作“負根號 a”)，因此，一個正數a的平方根就用“±”表示(讀作“正、負根號a”)，其中a叫作被開方數。
求一個數的平方根的運算叫作開平方。開平方是平方運算的逆運算，因此，可以運用平方運算求一個數的平方根。
03
新知講解
注意 與() 的區別
(1)意義不同：前者是a的平方的算術平方根，后者是a的算術平方根的平方.
(2)被開方數的取值范圍不同，前者a為任意數，后者a為非負數.
(3)結果不同：
=|a|= a(a>0),
-a(a<0);
只有當a≥0時，即a為非負數時，這兩個式子的結果才相同.
() =a(a=0).
03
新知講解
例1 求下列各數的平方根：
(1)9； (2)； (3)0.36； (4)。
解：
(1)因為＝9， ＝9，所以9的平方根是±3，即±＝±3。
(2)因為＝，所以的平方根是±，即±＝±。
03
新知講解
例1 求下列各數的平方根：
(1)9； (2)； (3)0.36； (4)。
解：
(3)因為＝0.36， 所以0.36的平方根是±0.6，即± ＝±0.6。
(4)因為＝，所以的平方根是±，即±＝±。
03
新知講解
正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。一個數a(a≥0)的算術平方根記作“”。
例如，9的算術平方根是3，即＝3，的算術平方根是，即＝。
03
新知講解
一個正數的算術平方根是正根，0的算術平方根0。
算術平方根的雙重非負性：
(1)被開方數a≥0；
(2)算術平方根≥0.
03
新知講解
例2 先說出下列各式的意義，再計算。
(1)±； (2)； (3)－。
解：
(1)±表示的平方根。 ±＝±。
(2)表示225的算術平方根。＝15。
(3)－表示的負平方根。 －＝－。
04
課堂練習
【例1】平方根是±的數是( )
A.
B.
C.
D.±
C 【解析】因為=，所以平方根是±的數是。故選C.
04
課堂練習
【例2】的平方根是_________。
±9 【解析】因為=81，所以81的平方根是±9.故答案為±9.
04
課堂練習
【例3】如果一個正數x的兩個平方根分別是2a-3和5-a，那么x的值是_________
49 【解析】因為一個正數x的兩個平方根分別是2a-3與5-a，所以2a-3+5-a=0，解得a-2，所以5-a=7，所以x==49.故答案為49.
04
課堂練習
【例4】一個正整數的算術平方根為a，則比這個正整數大3的數的算術平方根是( )
A.a+3
B.a+
C.
D.
C 【解析】根據題意得，這個正整數為則比這個正整數大3的數的算術平方根是，故選C.
04
課堂練習
【選做】5. (1)已知m-3的算術平方根是3，=2，則m-n的算術平方根是_______；
(2)已知是2a-1的平方根，3是3a+2b-3的算術平方根，則a+2b的平方根是_______.
04
課堂練習
【選做】5. (1)3 (2)
解：(1)因為m-3的算術平方根是3,所以m-3=,解得 m=12.因為=2,所以n+1=4,解得n=3.所以m-n=12-3=9,所以m-n的算術平方根是3.
(2)因為是2a-1的平方根,所以2a-1=5,解得a=3，因為3是3a+2b-3的算術平方根，所以3a+2b-3=9,解得b=.當a=3,b=.時，a+2b=6，所以a+2b的平方根為.
04
課堂練習
【選做】6.的平方根是( )
A.9
B.±9
C.3
D.±3
易錯點 審題不仔細，忽視根號造成錯解
D 【解析】因為=9，所以的平方根是土3，故選D.
05
課堂小結
知識點1 平方根
1.概念：一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。
2.性質：一個正數有正、負兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
3.一個正數a的正平方根用“”表示(讀作“根號a”)；a 的負平方根用“－”表示(讀作“負根號 a”)，因此，一個正數a的平方根就用“±”表示(讀作“正、負根號a”)，其中a叫作被開方數。
05
課堂小結
知識點2 開平方
1.概念：求一個數的平方根的運算叫作開平方.
2.開平方是平方運算的逆運算，因此，可以運用平方運算求一個數的平方根.
05
課堂小結
知識點3算術平方根
1.正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。
一個數a(a≥0)的算術平方根記作“”。
2.一個正數的算術平方根是正數，0的算術平方根0。
3.算術平方根的雙重非負性：
(1)被開方數a≥0；
(2)算術平方根≥0.
06
作業布置
【必做】1.一個正方形的面積變為原來的9倍，它的邊長變為原來邊長的_________倍.
3 【解析】設原正方形的面積為1,則擴大后的正方形的面積為9，原正方形的邊長為=1，所以擴大后的正方形的邊長為=3，因此邊長變為原來邊長的3倍，故答案為3.
06
作業布置
【必做】2.若有理數x，y滿足+=0,則等于_________
4 【解析】因為+=0，所以x-2=0,y-3=0，解得x=2,y=3，所以==4，故答案為4.
06
作業布置
【必做】3.求下列各數的平方根：
(1)4; (2); (3)0.01
解：
(1)4的平方根為±=±2;
(2)的平方根為±=±;
(3)0.01的平方根為±=±0.1.
06
作業布置
【必做】4.如圖,網格中每個小正方形的邊長為1,若把陰影部分剪拼成一個正方形,那么新正方形的邊長是_________
【解析】根據圖形得 =222224+2=6,則新正方形的邊長為.故答案為.
06
作業布置
【選做】5.將邊長分別為1和2的長方形沿圖虛線剪開，拼成一個與長方形面積相等的正方形，則正方形的邊長是()
A. B. C. D.2
C 因為長方形的長為2,寬為1,所以長方形的面積為21=2.設正方形的邊長為a,則可得=2,所以a=.因為a是正方形的邊長,即a>0,所以 a=.故選 C.
06
作業布置
【選做】6. (1)觀察各式：……發現規律：被開方數的小數點每向右移動_______位，其算術平方根的小數點向_______移動_______位；
(2)應用：已知_______，_______；
(3)拓展：已知，，計算.
06
作業布置
【選做】6.(1)觀察各式: ，……發現規律:被開方數的小數點每向右移動2位,其算術平方根的小數點向右移動1位.故答案為2，右，1.
(2)已知,則0.2236，22.36,故答案為0.2236，22.36
.(3
06
作業布置
【拓展題】我們知道，負數沒有算術平方根，但對于三個互不相等的負整數，若兩兩乘積的算術平方根都是整數，則稱這三個數為“完美組合數”.例如：-9，-4，-1這三個數，，其結果6,3,2都是整數，所以-1，-4，-9這三個數稱為“完美組合數”.
(1)-18，-8，-2這三個數是“完美組合數”嗎？請說明理由.
(2)若三個數-3，m，-12是“完美組合數”，其中有兩個數乘積的算術平方根為13，求m的值.
06
作業布置
【拓展題】(1)-18,-8,-2這三個數是“完美組合數”.理由如下:因為,所以-18,-8,-2這三個數是“完美組合數”
(2)因為,所以分兩種情況討論:
①當=12時,-3m=144,所以m=-48;
②當時,-12m=144,所以m=-12(不符合題意,舍去).綜上,m的值是-48.
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3.1 平方根教學設計
課題 3.1 平方根 單元 第三單元 學科 數學 年級 七年級（上）
教材分析 平方根的學習是在學生掌握了有理數和數的乘方運算的基礎上進行的。它作為實數內容的一部分，標志著學生從有理數領域向實數領域的過渡。平方根不僅是后續學習二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎，也為高中階段學習不等式、函數和解析幾何等知識做好準備。
核心素養 能力培養 通過學習平方根和算術平方根，初步形成基本的數學抽象和數學運算的能力； 通過平方與開平方的應用，培養運算能力和應用意識。
教學目標 了解平方根、算術平方根的概念，并會用根號表示非負數的平方根、算術平方根； 掌握求非負數的算術平方根的方法； 了解平方與開平方互為逆運算，會用平方運算求平方根。
教學重點 算術平方根的概念以及求法。
教學難點 算術平方根的雙重非負性，了解平方與開平方互為逆運算。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
新知導入 教師出示問題： 復習回顧： 計算 15-4×(-3)+×2的結果為_______ 原式=15-(-12)+9×2=15+12+18=45.故答案為45. 創設情境、導入新課 一張正方形桌面的面積為1.44，它的邊為多少米？ 復習回顧之前學習第二章的有理數的運算法則。 先自主探究，再小組合作，分析。 鞏固認識有理數的運算法則相關知識。 從正方形桌面的面積求邊長導入平方根的定義，引出運算方法。
新知探究 探究一：引入概念 一個正方形的面積為1.44(如圖)，這個正方形的邊長為多少米？你是怎么想的？什么數的平方等于1.44？ 一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。 例如，因為＝1.44，所以1.2是1.44的平方根。又因為＝1.44，所以－1.2也是1.44的平方根。 請分別說出49，，0的平方根。 49的平方根±7 的平方根± 0的平方根0 說明 例如：3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它們互為相反數. 平方根是它本身的數只有0. 【強調】： 關于數的平方根，我們有以下事實： 一個正數有正、負兩個平方根，它們互為相反數； 零的平方根是零；負數沒有平方根。 一個正數a的正平方根用“”表示(讀作“根號a”)；a 的負平方根用“－”表示(讀作“負根號 a”)，因此，一個正數a的平方根就用“±”表示(讀作“正、負根號a”)，其中a叫作被開方數。 求一個數的平方根的運算叫作開平方。開平方是平方運算的逆運算，因此，可以運用平方運算求一個數的平方根。 注意 與() 的區別 (1)意義不同：前者是a的平方的算術平方根，后者是a的算術平方根的平方. (2)被開方數的取值范圍不同，前者a為任意數，后者a為非負數. (3)結果不同： =|a|= a(a>0), -a(a<0); () =a(a=0). 只有當a≥0時，即a為非負數時，這兩個式子的結果才相同. 探究二：例題講解 教材第79頁： 例1 求下列各數的平方根： (1)9； (2)； (3)0.36； (4)。 解： (1)因為＝9， ＝9，所以9的平方根是±3，即±＝±3。 (2)因為＝，所以的平方根是±，即±＝±。 【強調】： 正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。 一個數a(a≥0)的算術平方根記作“”。 例如，9的算術平方根是3，即＝3，的算術平方根是，即＝。 一個正數的算術平方根是正根，0的算術平方根0。 算術平方根的雙重非負性： (1)被開方數a≥0； (2)算術平方根≥0. 例2 先說出下列各式的意義，再計算。 (1)±； (2)； (3)－。 解： (1)±表示的平方根。 ±＝±。 (2)表示225的算術平方根。＝15。 (3)－表示的負平方根。 －＝－。 學生自學、互動。在具體學習時，可以通過小組合作交流，放手讓學生去思考、討論，猜想，發現結論。 思考教材實際例題，理解實際問題的解決 勾起學生的探究欲望，激發學生對學習本節課的濃厚興趣。通過例題的解決發現規律，提高學生歸納能力. 通過對問題的討論，學生將學習平方根，開平方和算術平方根。
課堂練習 【例1】平方根是±的數是( ) A. B. C. D.± C 【解析】因為=，所以平方根是±的數是。故選C. 【例2】的平方根是_________。 ±9 【解析】因為=81，所以81的平方根是±9.故答案為±9. 【例3】如果一個正數x的兩個平方根分別是2a-3和5-a，那么x的值是_________ 49 【解析】因為一個正數x的兩個平方根分別是2a-3與5-a，所以2a-3+5-a=0，解得a-2，所以5-a=7，所以x==49.故答案為49. 【例4】一個正整數的算術平方根為a，則比這個正整數大3的數的算術平方根是( ) A.a+3 B.a+ C. D. C 【解析】根據題意得，這個正整數為則比這個正整數大3的數的算術平方根是，故選C. 【選做】5.(1)已知m-3的算術平方根是3，=2，則m-n的算術平方根是_______； (2)已知是2a-1的平方根，3是3a+2b-3的算術平方根，則a+2b的平方根是_______. (1)3 (2) 解：(1)因為m-3的算術平方根是3,所以m-3=,解得 m=12.因為=2,所以n+1=4,解得n=3.所以m-n=12-3=9,所以m-n的算術平方根是3. (2)因為是2a-1的平方根,所以2a-1=5,解得a=3，因為3是3a+2b-3的算術平方根，所以3a+2b-3=9,解得b=.當a=3,b=.時，a+2b=6，所以a+2b的平方根為. 【選做】6.的平方根是( ) A.9 B.±9 C.3 D.±3 易錯點 審題不仔細，忽視根號造成錯解 D 【解析】因為=9，所以的平方根是土3，故選D. 完成例題和練習. 在學生自主、合作、探究后，學生解答，師生歸納出重點要點難點 加深學生對有理數的混合運算的理解。培養學生多角度思考和解決問題的能力.，
課堂小結 知識點1 平方根 1.概念：一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。 2.性質：一個正數有正、負兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。 3.一個正數a的正平方根用“”表示(讀作“根號a”)；a 的負平方根用“－”表示(讀作“負根號 a”)，因此，一個正數a的平方根就用“±”表示(讀作“正、負根號a”)，其中a叫作被開方數. 知識點2 開平方 1.概念：求一個數的平方根的運算叫作開平方. 2.開平方是平方運算的逆運算，因此，可以運用平方運算求一個數的平方根. 被開方數。 知識點3 算術平方根 1.正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。 一個數a(a≥0)的算術平方根記作“”。 2.一個正數的算術平方根是正數，0的算術平方根0。 3.算術平方根的雙重非負性： (1)被開方數a≥0； (2)算術平方根≥0. 學生歸納本節所學知識 回顧學過的知識，總結本節內容，提高學生的歸納以及語言表達能力。
作業布置 1.必做題：學案課后練習 習題1-4 2.選做題：學案課后練習 習題5-6 3.拓展題：學案課后練習 拓展題 學生自主完成 鞏固訓練，提高學生應用數學知識解決問題能力
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
第三章 實數
3.1 平方根
學習目標：
了解平方根、算術平方根的概念，并會用根號表示非負數的平方根、算術平方根；
掌握求非負數的算術平方根的方法；
了解平方與開平方互為逆運算，會用平方運算求平方根。
核心素養目標：通過學習平方根和算術平方根，初步形成基本的數學抽象和數學運算的能力；通過平方與開平方的應用，培養運算能力和應用意識。
學習重點：算術平方根的概念以及求法。
學習難點：算術平方根的雙重非負性，了解平方與開平方互為逆運算。
一、知識鏈接
1.一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的_________，也叫作a的_________。
2.性質：一個正數有正、負兩個平方根，它們互為_________；零的平方根是_________；負數_________平方根。
3.一個正數a的正平方根用“_________”表示(讀作“_________”)；a 的負平方根用“_________”表示(讀作“_________”)，因此，一個正數a的平方根就用“_________”表示(讀作“_________”)，其中a叫作_________。
4.求一個數的平方根的運算叫作開平方.
5.開平方是平方運算的逆運算，因此，可以運用平方運算求一個數的平方根.
6.正數的_________稱為算術平方根，0的算術平方根是_________。一個數a(a≥0)的算術平方根記作“”。
7.一個正數的算術平方根是_________數，負數_________算術平方根，0的算術平方根是_________。
二、自學自測
1.正數2的平方根可以表示為( )
A.
B.±
C.
D.-
2.已知=25,那么a=_______
一、創設情境、導入新課
一張正方形桌面的面積為1.44，它的邊為多少米？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
一個正方形的面積為1.44(如圖)，這個正方形的邊長為多少米？你是怎么想的？什么數的平方等于1.44？
一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。
例如，因為＝1.44，所以1.2是1.44的平方根。又因為＝1.44，所以－1.2也是1.44的平方根。
請分別說出49，，0的平方根。
說明
例如：3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它們互為相反數.
平方根是它本身的數只有0.
【強調】：
關于數的平方根，我們有以下事實：
一個正數有正、負兩個平方根，它們互為相反數；
零的平方根是零；負數沒有平方根。
一個正數a的正平方根用“”表示(讀作“根號a”)；a 的負平方根用“－”表示(讀作“負根號 a”)，因此，一個正數a的平方根就用“±”表示(讀作“正、負根號a”)，其中a叫作被開方數。
求一個數的平方根的運算叫作開平方。開平方是平方運算的逆運算，因此，可以運用平方運算求一個數的平方根。
注意 與() 的區別
(1)意義不同：前者是a的平方的算術平方根，后者是a的算術平方根的平方.
(2)被開方數的取值范圍不同，前者a為任意數，后者a為非負數.
(3)結果不同：
=|a|= a(a>0),
-a(a<0);
() =a(a=0).
只有當a≥0時，即a為非負數時，這兩個式子的結果才相同.
探究二：例題講解
教材第79頁：
例1 求下列各數的平方根：
(1)9； (2)； (3)0.36； (4)。
【強調】：正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。一個數a(a≥0)的算術平方根記作“”。
例如，9的算術平方根是3，即＝3，的算術平方根是，即＝。
一個正數的算術平方根是正根，0的算術平方根0。
算術平方根的雙重非負性：
(1)被開方數a≥0；
(2)算術平方根≥0.
例2 先說出下列各式的意義，再計算。
(1)±； (2)； (3)－。
【例1】平方根是±的數是( )
A.
B.
C.
D.±
【例2】的平方根是_________。
【例3】如果一個正數x的兩個平方根分別是2a-3和5-a，那么x的值是_________
【例4】一個正整數的算術平方根為a，則比這個正整數大3的數的算術平方根是( )
A.a+3
B.a+
C.
D.
【選做】5.(1)已知m-3的算術平方根是3，=2，則m-n的算術平方根是_______；
(2)已知是2a-1的平方根，3是3a+2b-3的算術平方根，則a+2b的平方根是_______.
【選做】6.的平方根是( )
A.9
B.±9
C.3
D.±3
知識點1 平方根
1.概念：一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。
2.性質：一個正數有正、負兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
3.一個正數a的正平方根用“”表示(讀作“根號a”)；a 的負平方根用“－”表示(讀作“負根號 a”)，因此，一個正數a的平方根就用“±”表示(讀作“正、負根號a”)，其中a叫作被開方數.
知識點2 開平方
1.概念：求一個數的平方根的運算叫作開平方.
2.開平方是平方運算的逆運算，因此，可以運用平方運算求一個數的平方根.
被開方數。
知識點3 算術平方根
1.正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。
一個數a(a≥0)的算術平方根記作“”。
2.一個正數的算術平方根是正數，0的算術平方根0。
3.算術平方根的雙重非負性：
(1)被開方數a≥0；
(2)算術平方根≥0.
必做題：
1.一個正方形的面積變為原來的9倍，它的邊長變為原來邊長的_________倍.
2.若有理數x，y滿足+=0,則等于_________
3.求下列各數的平方根：
(1)4; (2); (3)0.01
4.如圖,網格中每個小正方形的邊長為1,若把陰影部分剪拼成一個正方形,那么新正方形的邊長是_________
選做題：
5. 將邊長分別為1和2的長方形沿圖虛線剪開，拼成一個與長方形面積相等的正方形，則正方形的邊長是()
A. B. C. D.2
6.(1)觀察各式：……發現規律：被開方數的小數點每向右移動_______位，其算術平方根的小數點向_______移動_______位；
(2)應用：已知_______，_______；
(3)拓展：已知，，計算.
拓展題：
我們知道，負數沒有算術平方根，但對于三個互不相等的負整數，若兩兩乘積的算術平方根都是整數，則稱這三個數為“完美組合數”.例如：-9，-4，-1這三個數，，其結果6,3,2都是整數，所以-1，-4，-9這三個數稱為“完美組合數”.
(1)-18，-8，-2這三個數是“完美組合數”嗎？請說明理由.
(2)若三個數-3，m，-12是“完美組合數”，其中有兩個數乘積的算術平方根為13，求m的值.
參考答案
【預習自測】
1. B
2. ±5
【作業布置】
必做
1.3 【解析】設原正方形的面積為1,則擴大后的正方形的面積為9，原正方形的邊長為=1，所以擴大后的正方形的邊長為=3，因此邊長變為原來邊長的3倍，故答案為3.
2.4 【解析】因為+=0，所以x-2=0,y-3=0，解得x=2,y=3，所以==4，故答案為4.
3.解：
(1)4的平方根為±=±2;
(2)的平方根為±=±;
(3)0.01的平方根為±=±0.1.
4.【解析】根據圖形得 =222224+2=6,則新正方形的邊長為.故答案為.
選做
5.C 因為長方形的長為2,寬為1,所以長方形的面積為21=2.設正方形的邊長為a,則可得=2,所以a=.因為a是正方形的邊長,即a>0,所以 a=.故選 C.
6. (1)觀察各式: ，……發現規律:被開方數的小數點每向右移動2位,其算術平方根的小數點向右移動1位.故答案為2，右，1.
(2)已知,則0.2236，22.36,故答案為0.2236，22.36
(3)
拓展
(1)-18,-8,-2這三個數是“完美組合數”.理由如下:因為,所以-18,-8,-2這三個數是“完美組合數”
(2)因為,所以分兩種情況討論:
①當=12時,-3m=144,所以m=-48;
②當時,-12m=144,所以m=-12(不符合題意,舍去).綜上,m的值是-48.
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