資源簡介

《直線與圓及其方程》、《圓錐曲線與方程》
一、選擇題
1．【廣東韶關·文】7.圓上的動點到直線的最小距離為 B
A．1 B． C． D．
2．【潮州·理科】8、（文科10）已知點是圓：內一點，直線是以為中點的弦所在的直線，若直線的方程為，則 A
A ∥且與圓相離 B ∥且與圓相交
C 與重合且與圓相離 D ⊥且與圓相離
3．【揭陽·理】3．已知是等差數(shù)列，，，則過點的直線的斜率 A
A．4 B． C．－4 D．－14
4．【揭陽·文】7．已知是等差數(shù)列，，，則過點的直線的斜率 A
A．4 B． C．－4 D．－14
5．【湛江市·理】6．（文科6）若過點A (3 , 0 ) 的直線l與曲線 有公共點，則直線l斜率的取值范圍為 D
A．(, ) B．[, ] C．(, ) D．[, ]
6．【珠海·文】8.：兩條直線互相垂直，：，則是的 C
A．充分但不必要條件 B．充分且必要條件
C．必要但不充分條件 D．既不充分也不必要條件
7．【廣東韶關·文】4.如圖, 共頂點的橢圓①,②與雙曲線③,④的離心率分別
為,其大小關系為 C
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8．【揭陽·理】5．（文科4）若點到直線的距離比它到點的距離小2，則點的軌跡方程為 A
A. B. C. D.
9．【珠海·理】7．（文科7）經過拋物線的焦點且平行于直線的直線的方程是（ A ）
A. B.
C. D.
二、填空題
1．【潮州·理科】10、以點為圓心、雙曲線的漸近線為切線的圓的標準方程是______。
2．【潮州·文科】12、拋物線的準線方程是______。
3．【汕頭潮南區(qū)·理】11．已知在直角坐標系中，兩定點坐標為A（-4,0），B（4，0），一動點M（x,y）滿足條件，則點M的軌跡方程是
4．【湛江市·理】9.拋物線的焦點坐標是_______（0，）___________.
三、計算題
1．【廣東韶關·文】19. (本題滿分14分)
已知動圓過定點，且與定直線相切.
（I）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（II）若是軌跡C的動弦，且過， 分別以、為切點作軌跡C的切線，設兩切線交點為Q，證明:.
【解】（I）依題意，圓心的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線上…2分
因為拋物線焦點到準線距離等于4, 所以圓心的軌跡是………………….5分
（II） …………….6分
， ， ………8分
拋物線方程為 所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是
， ，
所以，
2．【潮州·理科】 18、（本題滿分14分）
橢圓的對稱中心在坐標原點，一個頂點為，右焦點與點的距離為。
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在斜率的直線：，使直線與橢圓相交于不同的兩點滿足，若存在，求直線的傾斜角；若不存在，說明理由。
【解】（1）依題意，設橢圓方程為，則其右焦點坐標為
， ………… 2分
由，得，
即，解得。 ………… 4分
又 ∵ ，∴ ，即橢圓方程為。 ……5分
（2）由知點在線段的垂直平分線上，
由消去得
即 （*） ………… 7分
由，得方程（*）的，即方程（*）有兩個不相等的實數(shù)根。
…………8分
設、，線段的中點，
則，，
，即 ……… 10分
，∴直線的斜率為，……11分
由，得， …… 12分
∴ ，解得：，即， …… 13分
又，故 ，或，
∴ 存在直線滿足題意，其傾斜角，或。…… 14分
3．【潮州·理科】20、（本題滿分14分）
拋物線經過點、與點，其中，
，設函數(shù)在和處取到極值。
（1）用表示；
（2） 比較的大小（要求按從小到大排列）；
（3）若，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線均相切，求。
【解】（1）由拋物線經過點、設拋物線方程，
又拋物線過點，則，得，
所以。 …………………… 3分
（2），
，函數(shù)在和處取到極值，…… 5分
故，
，
………… 7分
又，故。 …… 8分
（3）設切點，則切線的斜率
又，所以切線的方程是
…… 9分
又切線過原點，故
所以，解得，或。 ………… 10分
兩條切線的斜率為，，
由，得，，
，
………………………… 12分
所以，
又兩條切線垂直，故，所以上式等號成立，有，且。
所以。 ………… 14 分
4．【潮州·文科】18、（本題滿分14分）
橢圓方程為的一個頂點為，離心率。
（1）求橢圓的方程；
（2）直線：與橢圓相交于不同的兩點滿足，求。
【解】（1）設，依題意得
即 …… 4分
∴ ，即橢圓方程為。 …… 5分
（2）
∴ ，且點線段的中點，
由消去得
即 （*） ………… 7分
由，得方程（*）的，顯然方程（*）有兩個不相等的實數(shù)根。 ……… 8分
設、，線段的中點，
則，
∴ ，即 ……… 10分
，∴直線的斜率為，…… 11分
由，得，…… 13分
∴ ，解得：，…… 14分
5．【揭陽·理】19．（本小題滿分14分）
已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A,C上頂點為B，過F,B,C三點作，其中圓心P的坐標為．
(1) 若橢圓的離心率，求的方程；
（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
【解】（1）當時，∵，∴，
∴，，點,，------------2分
設的方程為
由過點F,B,C得
∴-----------------①
-----------------②
-------------------③----------------------------5分
由①②③聯(lián)立解得，，-----------------------7分
∴所求的的方程為-------------8分
（2）∵過點F,B,C三點，∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，F(xiàn)C的垂直平分線方程為--------④----------------------9分
∵BC的中點為，
∴BC的垂直平分線方程為-----⑤---------------------10分
由④⑤得，即----------------11分
∵P在直線上，∴
∵ ∴
由得-------------------------------------------13分
∴橢圓的方程為--------------------------------------------------------------14分
6．【揭陽·文】19．（本小題滿分14分）
已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A,C上頂點為B，過F,B,C三點作，其中圓心P的坐標為．
(1) 若FC是的直徑，求橢圓的離心率；
（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．
【解】（1）由橢圓的方程知，∴點，，
設的坐標為，
∵FC是的直徑，∴
∵ ∴ -------------------------2分
∴，-------------------------------------------------3分
解得 -----------------------------------------------------------------------5分
∴橢圓的離心率---------------------------------6分
（2）∵過點F,B,C三點，∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，F(xiàn)C的垂直平分線方程為--------①-----------------------------------7分
∵BC的中點為，
∴BC的垂直平分線方程為-----②---------------------9分
由①②得，即--------------------11分
∵P在直線上，∴
∵ ∴--------------------------------------------------13分
由得
∴橢圓的方程為------------------------------------------------------------------14分
7．【汕頭潮南區(qū)·理】19．（本題14分）
橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2，相應于焦點F（c,0）（c>0）的準線（準線方程x=,其中a為長半軸，c為半焦距）與x軸交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于點P、Q。
求橢圓方程；
求橢圓的離心率；
若，求直線PQ的方程。
【解】（1）由已知得，解得：……………………2分
所求橢圓方程為………………………………………………4分
（2）因，得……………………………………7分
（3）因點即A（3，0），設直線PQ方程為………………8分
則由方程組，消去y得：
設點則……………………10分
因，得，
又，代入上式得
，故
解得：，所求直線PQ方程為……………………14分
8．【湛江市·理】20．（本小題滿分14分）
已知定圓圓心為A，動圓M過點，且和圓A相切，動圓的圓心M的軌跡記為C．
(Ⅰ)求曲線C的方程；
(Ⅱ)若點為曲線C上一點，探究直線與曲線C是否存在交點? 若存在則求出交點坐標, 若不存在請說明理由．
【解】 (Ⅰ) 圓A的圓心為， ……………… 1 分
設動圓M的圓心為 ………… 2分
由|AB|=，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，故|MA|=r1-r2，
即|MA|+|MB|=4， ……………… 4分
所以，點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設橢圓方程為，
由
故曲線C的方程為 ……………… 6分
(Ⅱ)當，
………………8分
消去 ① …………… 10分
由點為曲線C上一點，
于是方程①可以化簡為 解得， …………… 12分
……………………………………………………………13分
綜上，直線l與曲線C存在唯一的一個交點，交點為. …………… 14分
9．【湛江市·文】20．（本小題滿分14分）
已知直線與曲線交于不同的兩點，為坐標原點．
（Ⅰ）若，求證：曲線是一個圓；
（Ⅱ）若，當且時，求曲線的離心率的取值范圍．
【解】（Ⅰ）證明：設直線與曲線的交點為
∴ 即：
∴ --------2分
在上
∴，
∴兩式相減得： ----------------4分
∴ 即： ---------------5分
∴曲線是一個圓 ----------------6分
（Ⅱ）設直線與曲線的交點為，
∴曲線是焦點在軸上的橢圓 ----------7分
∴ 即： ----------8分
將代入整理得：

∴， ---------------10分
在上 ∴
又
∴
∴2
∴
∴
∴
∴
∴ ---------------12分
∴
∴
------------14分
10．【珠海·理】19.（本小題滿分14分）已知橢圓的方程為雙曲線的兩條漸近線為和，過橢圓的右焦點作直線，使得于點，又與交于點，與橢圓的兩個交點從上到下依次為（如圖）.
(1)當直線的傾斜角為，雙曲線的焦距為8時，求橢圓的方程；
(2)設，證明：為常數(shù).
解：（1）由已知，，…………………2分
解得:， …………………4分
所以橢圓的方程是:. …………………5分
（2）解法1：設
由題意得: 直線的方程為: ,直線的方程為: ,………………7分
則直線的方程為: ,其中點的坐標為; ………………………8分
由 得: ,則點; ………9分
由 消y得:,則; 10分
由得:,則:,
同理由得:, …………………………………………………12分
故為常數(shù). ……………………………………………………………………14分
解法2：過作軸的垂線，過分別作的垂線，垂足分別為，…6分
由題意得: 直線的方程為: ,直線的方程為: ,………………8分
則直線的方程為: ,其中點的坐標為; ………………………9分
由 得: ,則直線m為橢圓E的右準線; ………10分
則: ,其中e的離心率; …………………………12分
,
故為常數(shù). ………………………………………………………………14分
11．【珠海·文】19. （14分）已知橢圓的方程為雙曲線的兩條漸近線為和，過橢圓的右焦點作直線，使得于點，又與交于點，與橢圓的兩個交點從上到下依次為（如圖）.
（Ⅰ）當直線的傾斜角為，雙曲線的焦距為8時，求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：
解：（Ⅰ）由已知，，解得，
所以橢圓的方程是
（Ⅱ）直線的方程是，聯(lián)立，解得的坐標為
又聯(lián)立，解得的坐標為

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