資源簡介

第三講 中位線及中心對稱復習
教學目標：
理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線定理；
運用三角形中位線與第三邊的位置關系、數量關系解決問題；
理解并掌握三角形中位線定理的拓展結論。
中心對稱章末復習回顧
知識梳理：
（思維導圖）
知識要點：
要點一、三角形的中位線
1．定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.
特別說明：
（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應的位置關系與數量關系.
（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.
（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.
要點二、中點三角形
定義：中點三角形就是把一個三角形的三邊中點順次連接起來的一個新三角形.
性質：
（1）這個新三角形的各個邊長分別是原來三角形三邊長的一半且分別平行，角的度數與原三角形分別相等，4個三角形都全等
（2）中點三角形周長是原三角形的周長一半。
（3）中點三角形面積是原三角形面積的四分之一。
補充：中點三角形與原三角形不僅相似，而且位似。
要點三、中點四邊形
定義：依次連接任意各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。中點四邊形的形狀與原四邊形的對角線的數量和位置關系有關。
性質（1）不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是。
要點四、四邊形的聯系
例題精講：
題型1：三角形中位線定理的認識與理解
例1（☆）：在中，，，，點，，分別為邊，，的中點，則的周長為（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
變式1-1（☆☆）：如圖，是的中線，E是的中點，F是延長線與的交點，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
變式1-2（☆☆）：在RtABC中，C=90°，AC=5，BC=12，點N是BC邊上一點，點M為AB邊上的動點，點D、E分別為CN、MN的中點，則DE的最小值是______．
變式1-3（☆☆☆）（1）回顧定理：如圖1，在中，是的中位線．那么與的關系有___________．
（2）運用定理：如圖2，在四邊形中，，，點F為的中點，點E為的中點．若，，求的長．
題型2：三角形中位線定理的應用
例2（☆）：如圖，的面積是，點，，，分別是，，，的中點，則的面積是________
變式2-1（☆☆）：如圖，已知四邊形中，，點E、F分別是邊的中點，連接，則的長是（　　）
B．5 C． D．10
變式2-2（☆☆）：如圖，在中，，動點在邊上從點A開始向終點運動，則線段的中點從開始到停止所經過的路線長為______cm．
變式2-3（☆☆☆）如圖，在中，，將平移5個單位長度得到，點P，Q分別是，的中點，的值不可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
題型3：中點四邊形的理解與應用
例3（☆）：若順次連接四邊形各邊的中點所得的四邊形是正方形，則四邊形的兩條對角線一定是( )
A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
變式3-1（☆☆）：如圖，四邊形中，點、、、分別是線段、、、的中點，則四邊形的周長（ ）
A．只與、的長有關 B．只與、的長有關
C．只與、的長有關 D．與四邊形各邊的長都有關.
變式3-2（☆☆☆）：（宋體 小四）如圖，點、、、分別是四邊形邊、、、的中點．則下列說法：
①若，則四邊形為矩形；
②若，則四邊形為菱形；
③若四邊形是平行四邊形，則與互相平分；
④若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等．
其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型4：特殊四邊形的性質及應用
例4（☆）：如圖，在平行四邊形中，的平分線與的平分線交于點E，若點E恰好在邊上，則的值為______．
變式4-1（☆☆）：如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E在邊AB上，且．若點P在對角線BD上移動，則的最小值是 _________ ．
變式4-2（☆☆）：如圖，正方形ABCD 的邊長為4，E 為AB 上一點，且AE=3 ，F 為BC 邊上的一個動點，連接EF ，以EF 為邊向左側作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，連接AG ，則AG 的最小值為________________．
變式4-3（☆☆☆）：點 E．F 分別為正方形 ABCD 邊 AD．AB 上的點，連接 CE，DF 交于點 P．
(1)如圖 1，若 DE=AF，則線段 DF 與 CE 具有怎樣的數量和位置關系？說明理由．
(2)如圖 2，若 E 為 AD 中點，F 為 AB 中點，求證 BP=BC．
(3)若將正方形 ABCD 折疊，使得 A 點的對應點 A'落在 BC 邊上，折痕 MN 分別交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的邊長為 6，線段 A'B=2，則 DN 的長為 ．
題型5：特殊四邊形的判定
例5（☆）：如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，對角線AC、BD交于點O，且AO＝OC．
(1)求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；
(2)過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數．
變式5-1（☆☆）：如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，分別過A、D兩點作AO、DO的垂線，兩垂線交于點E．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若四邊形AODE的面積為12，AD＝5，求四邊形AODE的周長．
變式5-2（☆☆）：如圖，平行四邊形ABCD中，．對角線相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交于點E，F．
(1)證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
(2)證明：在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；
(3)在旋轉過程中，當AC繞點O順時針旋轉多少度時，四邊形BEDF是菱形，請給出證明．
變式5-3（☆☆☆）：四邊形 ABCD 為正方形，點 E 為線段 AC 上一點，連接 DE，過點 E 作 EF ⊥DE，交射線 BC 于點 F，以 DE、EF 為鄰邊作矩形 DEFG，連接 CG．
(1)求證：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的長；
(3)當線段 DE 與正方形 ABCD 的某條邊的夾角是 40°時，直接寫出∠EFC 的度數．
強化練習：
1、（☆☆）下列命題是假命題的是（ ）
A．順次連接矩形各邊的中點所成的四邊形是菱形 B．四個角都相等的四邊形是矩形
C．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
2、（☆）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，連接DE，EF，則四邊形ADEF的周長是（ ）
A．15 B．11 C．10 D．9
3、（☆☆）已知：四邊形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分別是AD，BC的中點，則線段MN的取值范圍是（ 　）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
4、（☆☆）如圖，點、點分別是的邊、的中點，的平分線交于點，，，則的長為__________．
5、（☆☆）如圖，三邊的中線，，的公共點為G，且，若，則圖中陰影部分的面積是_____．
6、（☆☆☆）如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是BD、AC的中點，當AB、CD滿足條件 _______時，有EF⊥GH ．
7、（☆☆）如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點，點為的中點，于點，點為上一點，連接，，且．
求證：四邊形為矩形；
若，，，則___________．
8、（☆☆☆）如圖1所示：在中，點D、E分別是AB，AC的中點，
(1)直接寫出DE與BC之間的關系：________________．理由：____________________________．
(2)如圖2，點D、E、F分別是三邊中點，圖中有______個平行四邊形，求證：；
(3)如圖3，點P、Q、R、S分別是四邊形ABCD的中點，問題1，圖中是否有平行四邊形，有請指出并證明你所指出的四邊形是平行四邊形．問題2、猜想四邊形ABCD和四邊形PQRS之間的面積關系．并證明你的猜想．
9、（☆☆☆）已知：△ABC，AD為BC邊上的中線，點M為AD上一動點（不與點A重合），過點M作ME∥AB，過點C作CE∥AD，連接AE．
如圖1，當點M與點D重合時，求證：①△ABM≌△EMC；②四邊形ABME是平行四邊形
如圖2，當點M不與點D重合時，試判斷四邊形ABME還是平行四邊形嗎？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；
如圖3，延長BM交AC于點N，若點M為AD的中點，求的值．
10、（☆☆☆）如圖1，在平面直角坐標系中，點，點，且a，b滿足．平移OA至CB（點O與點C對應，點A與點B對應），連接OC，AB．
(1)填空： ， ，點B的坐標為 ；
(2)點D，E分別是OA，AB邊上的動點，連接DC，DE，M，N分別為DC，DE的中點，連接MN．當D，E分別在OA，AB邊上運動時，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，請說明理由；
(3)如圖2，將線段CO繞點C逆時針旋轉90°至CF，連接OF．P為線段OF上一點，以CP為直角邊作等腰直角三角形CPQ，其中．試猜想，，三者之間有怎樣的數量關系，并證明你的猜想．
11、（☆☆☆）已知：若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關于這條底邊互為頂針點；若再滿足兩個頂角和是180°，則稱這個兩個頂點關于這條底邊互為勾股頂針點．
如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB＝AC，DB＝DC，則點A與點D關于BC互為頂針點；若再滿足∠A+∠D＝180°，則點A與點D關于BC互為勾股頂針點．
初步思考
（1）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E為△ABC外兩點，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC為等邊三角形．
①點A與點______關于BC互為頂針點：
②求證：點D與點A關于BC互為勾股頂針點．
實踐操作
（2）在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．
①如圖3，點E在AB邊上，點F在AD邊上，請用圓規和無刻度的直尺作出點E、F，使得點E與點C關于BF互為勾股頂針點．（不寫作法，保留作圖痕跡）
思維探究
②如圖4，點E是直線AB上的動點，點P是平面內一點，點E與點C關于BP互為勾股頂針點，直線CP與直線AD交于點F，求在點E運動過程中，當線段BE與線段AF的長度相等時AE的長．
課后作業：
1、（☆）（邗江區期中）如圖，平行四邊形ABCD的周長為28，對角線AC、BD相交于點O，點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為(　　)
A. 28 B. 12 C. 13 D. 17
2、（☆☆）（江都期中）如圖，菱形中，，對角線相交于點O，過點D作于點H，連接，若菱形的面積為，則的長為（ ）
A. 4 B. C. 8 D.
3、（☆☆）（梅苑期中）如圖，ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若BC＝6，則DF的長是（　　）
A. 2 B. 3 C. D. 4
4、（☆☆）（江都區期中）如圖，在中，D是上一點，，垂足為點E，F是的中點，若，則EF的長為__________．
5、（☆☆）（邗江區期末）如圖，點E在平行四邊形ABCD的邊AD上，且AE＝2ED，M、N分別是BE、CE的中點，連接MN，已知MN＝3，則AE的長是___．
6、（☆）（邗江區期中）四邊形中，E，F，G，H分別是邊，，，的中點．若四邊形為菱形，則四邊形應滿足條件_____．
7、（☆☆）（梅嶺期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，點E在AD上且DE＝4.點G在AE上且GE＝8，點P為BC邊上的一個動點，F為EP的中點，則GF＋EF的最小值為____．
8、（☆☆）（高郵期中）如圖，在矩形ABCD中，BE平分，交CD于點E，點M、N分別是BE、AB的中點，連接MN，若，，則CD的長為______________．
9、（☆☆☆）（梅苑期中）如圖，在菱形中，，，分別為，的中點，，分別為線段，的中點．若線段的長為8，則的長為______．
10、（☆）（樹人期中）如圖，的對角線相交于點，直線EF過點O分別交BC，AD于點E、F，G、H分別為OB、OD的中點，求證：四邊形GEHF是平行四邊形．
11、（☆☆）（梅嶺期中）如圖，點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接E、F、G、H得四邊形EFGH．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）當四邊形ABCD分別是菱形、矩形、正方形時，相應的平行四邊形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請將你的結論填入下表：
四邊形ABCD 菱形 矩形 正方形
平行四邊形EFGH
12、（☆☆☆）（邗江區期中）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．如圖（1），已知四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點M是BC邊的中點，過點M作ME∥AC交BD于點E，作MF∥BD交AC于點F．我們稱四邊形0EMF為四邊形ABCD的“伴隨四邊形”．
（1）若四邊形ABCD是菱形，則其“伴隨四邊形”是　 　，若四邊形ABCD矩形，則其“伴隨四邊形”是：　 　（在橫線上填特殊平行四邊形的名稱）
（2）如圖（2），若四邊形ABCD是矩形，M是BC延長線上的一個動點，其他條件不變，點F落在AC的延長線上，請寫出線段OB、ME，MF之間的數量關系，并說明理由．
13、（☆☆☆）（高郵期末）已知點E、F分別在矩形紙片ABCD的邊BC、AD上，連接EF，將矩形紙片ABCD沿EF折疊．
（1）如圖1，若點C恰好落在點A處，EF與AC相交于點O，連接AE、CF．
①判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結論；
②若，，求折痕EF的長；
（2）如圖2，若點B恰好落在邊CD上的點處，且，點A落在處，交AD于點G．
①求證：；
②若，，求CE的長．
14、（☆☆☆）（廣陵區期中）【方法回顧】
（1）如圖1，過正方形ABCD的頂點A作一條直線l交邊BC于點P，BE⊥AP于點E，DF⊥AP于點F，若DF＝2.5，BE＝1，則EF＝　 　．
【問題解決】
（2）如圖2，菱形ABCD的邊長為1.5，過點A作一條直線l交邊BC于點P，且∠DAP＝90°，點F是AP上一點，且∠BAD+∠AFD＝180°，過點B作BE⊥AB，與直線l交于點E，若EF＝1，求BE的長．
【思維拓展】
（3）如圖3，在正方形ABCD中，點P在AD所在直線上的上方，AP＝2，連接PB，PD，若△PAD的面積與△PAB的面積之差為m（m＞0），則PB2﹣PD2的值為　 　．（用含m的式子表示）

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