資源簡介

是
函數性質問題的類型及解法
理解和掌握函數性質是學習函數知識的基礎之一，運用函數性質解答函數問題又是不可或缺的基本技能。函數的性質主要涉及：①函數的單調性；②函數的奇偶性；③函數的周期性。縱觀近幾年高一期末調研考試（或高一單元測試與高一專題練習）試卷，歸結起來函數性質問題主要包括：①函數單調性的判斷（或證明）；②函數單調性的運用；③函數奇偶性的判斷（或證明）；④函數奇偶性的運用；⑤函數周期性的判斷（或證明）；⑥函數性質的綜合運用等幾種類型。各種類型問題結構上具有相應的特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答函數性質問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過近幾年高一期末調研考試（或高一單元測試與高一專題練習）試卷中函數性質問題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
函數f(x)=-，則函數f(x)（）（成都市高2023級高一單元測試）
A 在R上是增函數 B 在R上是減函數
C 在（-∞，0）上是增函數 D 在（0，+∞）上是減函數
函數f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的遞增區間依次是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，0〕，（-∞，1〕 B （-∞，0〕，〔1，+∞）
C 〔0，+∞），（-∞，1〕 D 〔0，+∞），〔1，+∞）
3、如圖是函數f(x)（x∈R）的圖像，則（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A函數f(x)先增后減B函數f(x)先減后增C函數f(x)是R上增函數D函數f(x)是R上減函數
4、函數f(x)=|x|(1-x)在區間A上是增函數，那么區間A是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
5、函數f(x)= （-4）的單調遞增區間是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （0，+∞） B （-∞，0） C （2，+∞） D （-∞，-2）
6、（多選）下列函數中，既是奇函數，又在定義域內是增函數的有（ ） （成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
7、證明函數f(x)=+2在區間（0，+∞）上是增函數（成都市高2023級高一單元測試）
8、討論函數f(x)=x+ (a＞0)的單調性（成都市高2023級高一單元測試）
9、求函數f(x)=|x-1|-|2-3x|的單調區間并判斷函數的單調性；（成都市高2023級高一單元測試）
10、判斷函數f(x)= |-x-12|的單調性；（成都市高2023級高一單元測試）
11、已知函數y=f(x)對任意的x，yR,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且當x＞0時，f(x)＜0，
f(1)=- 。（成都市高2023級高一單元測試）
判斷并證明函數f(x)在R上的單調性；
（2）求f(x)在區間〔-3,3〕上的最大值和最小值。
『思考問題1』
（1）【典例1】是判斷（或證明）函數單調性的問題，解答這類問題需要理解增函數，減函數，函數單調性的定義，掌握增函數，減函數，函數單調性的性質和判斷（或證明）函數單調性的基本方法，判斷（或證明）函數單調性的基本方法有：①定義法；②圖像法；
（2）圖像法的基本方法是：①作出函數的圖像；②確定判斷（或證明）的區間；③在函數的圖像上找到相應的區間；④根據函數圖像得出函數在區間上的單調性；
（3）定義法的基本方法是：①求出函數的定義域；②確定判斷（或證明）的區間；③在相應的區間上任取，，且＜； ④比較函數值f()，f()的大小；⑤根據④得出函數在區間上的單調性。
（4）比較函數值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函數值f()-f()的差；②把①中的差與數0作比較；③根據②得出函數值f()，f()的大小；
（6）求商法的基本方法是：①求出函數值的商；②把①中的商與數1作比較；③根據②得出函數值f()，f()的大小；
（7）對含參數的函數，在判斷（或證明）函數的單調性時，應注意對參數的可能情況進行分別考慮，然后再綜合得出函數的單調性。
〔練習1〕解答下列問題：
下列函數中，在區間（0，+∞）上是增函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A y=-+4 B y=3-x C y= D y= x
2、下列函數中，在區間（0，2）上為增函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A y=-x+1 B y= C y=-4x+5 D y=
3、函數y= 的單調遞減區間是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A ［0，+∞） B （-∞，0〕 C （-∞，0），（0，+∞） D （-∞，0）（0，+∞）
4、函數f(x)=- +2|x|+3的單調遞增區間為 （成都市高2023級高一單元測試）
5、證明：①函數f(x)= +1在（-∞，0）上是減函數；②函數f(x)= 1- 在（-∞，0）上是增函數；（成都市高2023級高一單元測試）
6、討論函數f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的單調性；（成都市高2023級高一單元測試）
7、判斷函數f(x)= 2-1， (x≥0)， 的單調性；
-3x ， (x＜0)，（成都市高2023級高一單元測試）
求函數f(x)= 的單調區間；（成都市高2023級高一單元測試）
9、設函數f(x)是定義在R上的函數，且對任意的實數m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，當x＜0時，f(x)＞1.（成都市高2023級高一單元測試）
（1）證明：f(0)=1；（提示：令m=n=0就可證明f(0)=1；）
（2）證明：當x＞0時，0＜f(x)＜1；（提示：設x（0，+∞）,則-x（-∞，0）,令m=x，n=-x，根據恒等式就可證明0＜f(x)＜1；）
（3)證明：f(x)是R上的減函數。（提示：運用數學賦值法和證明函數單調性的定義法就可證明函數f(x)是R上的減函數。）
【典例2】解答下列問題：
1、已知定義在R上的函數f(x)滿足f(1-x)=f(1+x)，且在[1，+）上單調遞增，若a=f(),
b=f(2),c=f(),則a，b，c的大小關系為（）（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D b>a>c
2、已知函數f(x)=+1，x≥1，在R上是增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
(2-a)x+2，x<1，（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
若函數f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值為4，且函數g(x)=（1-m）在
R上是減函數，則實數m的取值范圍為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A m>1 B m<1 C m>0 D m<0
已知函數f(x)=-2ax-3在區間[1，2]上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，1） B （-∞，1] C （2，+∞） D [2，+∞）
5、已知函數f(x)為定義在R的偶函數，在區間[0，+）上單調遞減，且滿足f(3)=0，則不等式<0的解集為 。（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
6、已知函數f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數，求實數a的取值范圍；（成都市高2023級高一單元測試）
7、設函數f(x)=lg，若當x(-∞,1〕時，f(x)有意義，求實數a的取值范圍；（成都市高2023級高一單元測試）
8、已知a＞0，設函數f(x)= （x）的最大值為M，最小值為N，那么M+N= ；（成都市高2023級高一單元測試）
9、求函數f(x)= 的值域；（成都市高2023級高一單元測試）
10、已知函數y=f(x)對任意的x、yR,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且當x＞0時，f(x)＜0，
f(1)=- 。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）判斷并證明函數f(x)在R上的單調性；
（2）求f(x)在區間〔-3，3〕上的最大值和最小值。
11、定義在R上的函數y=f(x)，f(0)≠0,當x＞0時，f(x)＞1，且對任意的a、bR，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）證明：f(0)=1；
（2）證明：對任意的xR，恒有f(x)＞0；
（3）證明：函數f(x)是R上的增函數；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范圍。（成都市高2023級高一單元測試）
12、若函數f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數，且f()=f(x)-f(y)。
求f(1)的值；
若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f()<2（成都市高2023級高一單元測試）
『思考問題2』
（1）【典例2】是函數單調性運用的問題，解答這類問題需要理解增函數，減函數的定義，掌握判斷（或證明）函數單調性的基本方法；
（2）函數單調性的運用問題主要包括：①已知函數的單調性，求函數解析式中參數的取值范圍；②運用函數的單調性求函數的值域（或最值）；③運用函數的單調性求解（或證明）不等式；
（3）已知函數單調性，求函數解析式中參數取值范圍問題解答的基本方法是：①根據函數的單調性得到關于參數的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出結果；
（4）利用函數的單調性求函數值域（或最值）的基本方法是：①判斷函數在定義域上的單調性；②根據函數的單調性求函數在定義域上的最值；③確定函數的值域；④得出結果。
（5）運用函數的單調性，求不等式的解集（或證明不等式）問題的基本方法是：①根據函數的單調性得到關于自變量的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出不等式的解集（或證明的結論）。
〔練習2〕解答下列問題：
如果函數f(x)=a+2x-3在區間（-∞，4）上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0
2、若函數f(x)=+（2a-1）x+1在區間（-∞，2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-，+∞） B （-∞，-] C （3，+∞） D （-∞，-3]
3、已知函數f(x)是定義在[0，+∞）上的減函數，則當f(2a-1)>f()時，實數a的取值范圍為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （，+∞） B （-∞，） C （，） D （，）
4、已知函數f(x)= （2-a）x+1，x＜1，滿足對任意，都有＞0成立，
（，x1，那么實數a的取值范圍是 ；（成都市高2023級高一
單元測試）
5、設二次函數f(x)=a-4x+c的值域為〔0,+ ），則u=的最小值為
；（成都市高2023級高一單元測試）
6、求函數y= 的值域。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數y= 的值域為[4，+∞））
7、已知f(x)在定義域（0，+∞）上為增函數，且滿足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)≤2；（成都市高2023級高一單元測試）
8、函數f(x)對任意的m，nR，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.
（1）求證：f(x)在R上是增函數；（提示：運用數學賦值法和證明函數單調性定義法。）
（2）若f(3)=4，解不等式f(+a-5)＜2。（成都市高2023級高一單元測試）
【典例3】解答下列問題：
已知函數f(x) = 2023+2024x，x≤0，為奇函數，則a+b=（ ）（成都市高2023級
a+bx，x>0，高一單元測試）
A -1 B 0 C 1 D 2
2、下列函數是偶函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x［0,1］
3、（多選）下列函數中，既是奇函數，又在定義域內是增函數的有（ ） （成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
4、（多選）設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且函數f(x)是奇函數，函數g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 函數f(x).g(x)是奇函數 B 函數|f(x)|.g(x)是偶函數
C 函數f(x).|g(x)|是偶函數 D 函數|f(x).g(x)|是奇函數
5、判斷函數f(x)=+x ，(x＜0) ，的奇偶性；
- +x ，（x＞0），（成都市高2023級高一單元測試）
6、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）證明函數f(x)是奇函數；
（3）判斷并證明函數f(x)在定義域上的單調性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范圍。（成都市高2023級高一單元測試）
7、已知函數f(x)對一切x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求證：函數f(x)是奇函數；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).（成都市高2023級高一單元測試）
已知函數f(-3)=lg。
求函數f(x)的解析式及定義域；
判斷函數f(x)的奇偶性。（成都市高2023級高一單元測試）
『思考問題3』
（1）【典例3】是判斷（或證明）函數奇偶性的問題，解答這類問題需要理解奇函數，偶函數的定義，掌握奇函數，偶函數的性質和判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法；
(2)判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法是：①圖像法；②定義法；
（3）在具體判斷（或證明）函數的奇偶性時，如果已知函數的解析式，一般應該采用定義法；如果已知函數的圖像（或函數的圖像容易作出）應該采用圖像法；
（4）分段函數判斷（或證明）奇偶性時，在驗證f(-x)與f(x)的關系時，需要分段分別進行驗證，并注意f(-x)對應的解析式。
〔練習3〕解答下列問題：
1、下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（）成都市高2023級高一單元測試）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
（多選）下列函數中，在定義域內既是奇函數，又是增函數的為（ ）（成都市高2023
級高一單元測試）
A y=x B y= C y=- D y=
x+1， (x＞0)，
判斷函數f(x)= 1 ， (x=0) ，的奇偶性；（成都市高2023級高一單元測試）
-x+1 ，(x＜0），級高一單元測試）
4、證明函數f(x)= (a＞1)是奇函數；（成都市高2023級高一單元測試）
4、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)，求證函數f(x)是奇函數；
5、已知函數f(x)是定義在R上的不恒為0的函數，且對任意的a，bR，都有f(a.b)=af(b)+bf(a)成立。
（1）求f(0)，f(1)的值；（答案：f(0)=0，f(1)=0；）
（2）判斷函數f(x)的奇偶性，并證明你的結論（成都市高2023級高一單元測試）
【典例4】解答下列問題：
1、若偶函數f(x)在區間（-∞，0] 上單調遞減，且f(3)=0，則不等式（x-1）f(x)>0的解集是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，-1）（1，+∞） B （-3，1）（3，+∞）
C （-∞，-3）（3，+∞） D （-3，1]（0，+∞）
已知函數f(x)是偶函數，且在[0，+∞）上單調遞減，若f(lgx)>f(1)，則x的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （，1） B （0，）（1,+∞） C （，10） D （0，1）（10,+∞）
已知偶函數f(x)在區間［0，+∞）上單調遞增，則滿足f(2x-1)＜f()的x的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
4、若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數，則實數a= （成都市高2023級高一單元測試）
5、設函數y=f(x)是奇函數，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，則f(1)+f(2)的值為 （成都市高2023級高一單元測試）
6、設函數f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m= （成都市高2023級高一單元測試）
7、已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x0時，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 （成都市高2023級高一單元測試）
8、已知定義在（-∞，+∞）上的函數f(x)的圖像關于原點對稱，且當x＞0時，f(x)=-2x+2，求函數f(x)的解析式；（成都市高2023級高一單元測試）
9、已知函數f(x)= +(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，aR)。
（1）若f(x)能表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在區間（-∞，〕上都是減函數，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，比較f(1)和的大小。（成都市高2023級高一單元測試）
10、設函數f(x)=k-（a>0，且a1）是定義域為R的奇函數。
若f(1)>0，判斷函數f(x)的單調性，并求不等式f(x+2)+f(x-6)>0的解集；
（2）若f(1)=，且g(x)=+-2f(x),求g(x)在[1，+∞）上的最小值。（成都市高2023級高一單元測試）
11、若函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數。
求實數a的值，并證明函數f(x)的單調性；
若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，求實數k的取值范圍。（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
『思考問題4』
（1）【典例4】是函數奇偶性應用的問題，解答這類問題需要理解奇函數，偶函數的定義，掌握奇函數，偶函數的性質，注意弄清楚問題與奇函數（或偶函數）的哪一個性質相關；
（2）函數奇偶性的應用問題主要包括：①已知函數的奇偶性，求函數的解析式；②已知含字母系數函數的解析式和奇偶性，求參數的值（或取值范圍）；
（3）解答已知函數的奇偶性，求函數的解析式問題的基本方法是：①運用函數的奇偶性討論函數在各個分類區間上的解析式，②利用函數奇偶性中f(-x)與f(x)的關系式求出所求函數的解析式；
（4）解答已知含字母系數函數的解析式和奇偶性，求參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是分離系數法，運用f(-x) f(x)=0得到關于參數的恒等式，利用系數的對等性求出參數的值（或取值范圍）；
（5）運用函數奇偶性解答問題必須注意性質的條件與結論，只有性質的條件滿足時，才能得到相應性質的結論。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)=ln(-3x)+1，則f(lg2)+f(lg)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A -1 B 0 C 1 D 2
2、設偶函數f(x)的定義域為R，當x ［0，+∞）時，f(x)是增函數，則f(-2),f()，f(-3)的大小關系是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在（-∞，0）上單調遞增，f(3)=0，則使f(x)< 0的x的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-3，3） B （-∞，-3） （3，+∞） C （3，+∞） D （-∞，-3）
4、已知函數f(x)是R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)= +x+1，
求函數f(x)的解析式；（成都市高2023級高一單元測試）
5、若函數f(x)= 為奇函數，則a= ；（成都市高2023級高一單元測試）
6、已知函數f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，則f(-d)= ；（成都市高2023級高一單元測試） y
7、設奇函數的定義域為［-6,6］，若當x［0,6］時，
f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集是 ；
（成都市高2023級高一單元測試） -6 -3 0 3 6 x
8、已知奇函數f(x)在定義域〔-1，1〕上為增函數，則不等式f()+f(x-1)＞0的解集為 ；
（成都市高2023級高一單元測試）
9、已知f(x)為R上的偶函數，g(x)為R上的奇函數且過點（-1，3），g(x)=f(x-1)，則f(2012)+g(2013)= ；（成都市高2023級高一單元測試）
10、若函數f(x)=（m-1）+6mx+2是偶函數，則f(0)，f(1)，f(-2)從小到大的排列是 （成都市高2023級高一單元測試）
11、已知函數f(x)= (a＞1)。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）判斷函數f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的值域。
【典例5】解答下列問題：
1、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，函數g(x)是定義在R 上的奇函數，且g(x)= f(x-
1)，則f(2017)+f(2019)的值為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A -1 B 1 C 0 D 無法計算
2、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=- ，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(-105.5)= 。（成都市高2023級高一單元測試）
3、設函數f(x)在R 上滿足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判斷函數f(x)是不是周期數；
（成都市高2023級高一單元測試）
『思考問題5』
【典例5】是函數周期性判斷（或證明）的問題，解答這類問題需要理解周期函數的
定義，掌握周期函數判斷（或證明）的基本方法；
（2）判斷（或證明）函數是周期函數的基本方法是定義法；
（3）用定義法判斷（或證明）函數是周期函數的基本方法是：①確定一個常數T；②驗證
f(x+T)與f(x)的值是否相等；③得出函數是否是周期函數；
（4）周期函數的周期有無數個，最小正周期也是周期函數的一個周期。
〔練習5〕解答下列問題：
1、定義在R上的函數f(x)滿足f(x+6)=f(x)，當-3 x ＜-1時，f(x)= -，當-1x ＜
3時，f(x)=x，則f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；（成都市高2023級高一單元測試）
2、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=-f(x)，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(-106.5)= 。（成都市高2023級高一單元測試）
【典例6】解答下列問題：
1、已知函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(5)= ，則實數a的取值范圍為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
2、（多選）已知函數 f(x)的定義域為R，且滿足以下三個條件：①f(-x)+f(x)=0；② f(x)=f(2-x)；③f(1)=2，則下列說法正確的有（ ）（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
A 函數 f(x)的圖像關于直線x=-1軸對稱 B 函數 f(x)的圖像關于點（2，0）中心對稱 C f(x+4)=f(x) D f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=10
3、函數f(x)=lg(a+ )為奇函數，則實數a= ；（成都市高2023級高一單元測試）
4、設f(x)是以2為周期的函數，且當x ［1,3）時，f(x)=x-2，則f(-1)= ；（成都市高2023級高一單元測試）
5、設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，
其中a，b∈R，若f()=f()，則a+3b的值為 ； ，0x 1，
（成都市高2023級高一單元測試）
6、定義在R上的偶函數f(x)滿足f（x+4）=-f(x)+f(2)，且當x 〔0，2〕時，y=f(x)單調遞減，給出下列四個命題：（1）f(2)=0；（2）x=-4為函數y=f(x)圖像的一條對稱軸；（3）函數y=f(x)在〔8，10〕上單調遞增；（4）若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的兩根為，，則+=-8。其中正確命題的序號為 ；（成都市高2023級高一單元測試）
7、定義在區間D={x\x0}上的函數f(x)，對a，bD，都有f(ab)=f(a)+f(b)，且當x>1時，f(x)>0。（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
判斷函數f(x)的奇偶性，并證明；
判斷函數f(x)在（0，+）上的單調性，并證明；
（3）若f(2)=3，求滿足不等式f(3m+2)+f(m-1)-3<0的實數m的取值范圍。
8、函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，當x∈(0,1〕時，f(x)= (2-x) (a＞0)。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）當x∈〔2k-1,2k+1〕時，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值為，解關于x的不等式f(x)＞。
『思考問題6』
（1）【典例6】是函數性質綜合運用的問題，解答這類問題需要理解函數的單調性，奇偶性和周期性，并能靈活運用函數的單調性，奇偶性和周期性解答相關問題；
（2）對于具體問題首先應該弄清楚它與函數單調性，奇偶性和周期性的哪些性質相關，然后結合函數的相應性質進行解答；
（3）解答函數性質綜合問題的關鍵是將未知區間上的問題轉化為已知區間上的問題，注意兩個常用結論：①f(x)為偶函數f(x)=f(|x|)；②若奇函數在x=0處與意義，則有f(0)=0.
〔練習6〕解答下列問題：
奇函數f(x)的定義域為R，若f(x+2)為偶函數，且f(1)=1，則f(8)+f(9)等于（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A -2 B -1 C 0 D 1
2、已知函數f(x)為奇函數，且當x＜0時，f(x)= +3x+2，若當x［1，3］時，n≤f(x)≤m恒成立，則m-n的最小值為 ；（成都市高2023級高一單元測試）
3、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函數，則a= ；（成都市高2023級高一單元測試）
4、設f(x)是定義在R上的偶函數，且是以2為周期的周期函數，在區間〔2,3〕上，f(x)=4-2。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）求函數f(x)在區間〔1,2〕上的解析式；
（2）若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上，C、D在函數y=f(x)(0≤x≤2)的圖像上，求矩形面積S的最大值。
函數性質問題的類型及解法
理解和掌握函數性質是學習函數知識的基礎之一，運用函數性質解答函數問題又是不可或缺的基本技能。函數的性質主要涉及：①函數的單調性；②函數的奇偶性；③函數的周期性。縱觀近幾年高一期末調研考試（或高一單元測試與高一專題練習）試卷，歸結起來函數性質問題主要包括：①函數單調性的判斷（或證明）；②函數單調性的運用；③函數奇偶性的判斷（或證明）；④函數奇偶性的運用；⑤函數周期性的判斷（或證明）；⑥函數性質的綜合運用等幾種類型。各種類型問題結構上具有相應的特征，解答方法也有一定的規律可尋。那么在實際解答函數性質問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過近幾年高一期末調研考試（或高一單元測試與高一專題練習）試卷中函數性質問題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、函數f(x)=-，則函數f(x)（）（成都市高2023級高一單元測試）
A 在R上是增函數 B 在R上是減函數
C 在（-∞，0）上是增函數 D 在（0，+∞）上是減函數
【解析】
【知識點】①函數單調性定義與性質；②判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件判斷出函數f(x)的單調性就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=-的定義域為（-∞，0〕〔0，+∞），函數f(x)= 在定義域上是減函數， 函數f(x)=- 在定義域上是增函數， C正確，選C。
2、函數f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的遞增區間依次是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，0〕，（-∞，1〕 B （-∞，0〕，〔1，+∞）
C 〔0，+∞），（-∞，1〕 D 〔0，+∞），〔1，+∞）
【解析】
【知識點】①增函數定義與性質；②判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據增函數的性質，運用判斷函數單調性的基本方法，結合問題條件求出函數f(x)，g(x)的遞增區間就可得出選項。
【詳細解答】 f(x)=｜x｜= x，x 0，g(x)=- +2x，函數f(x)遞增區間是〔0，+∞），
-x，x＜0，函數g(x)的遞增區間是（-∞，1〕，C正確，
選C。
3、如圖是函數f(x)（x∈R）的圖像，則（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A函數f(x)先增后減B函數f(x)先減后增C函數f(x)是R上增函數D函數f(x)是R上減函數
【解析】
【知識點】①函數單調性定義與性質；②判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數的性質，運用判斷函數單調性的基本方法，結合問題條件判斷出函數f(x)，的單調性就可得出選項。
【詳細解答】由函數f(x)（x∈R）的圖像可知，函數f(x)是R上的增函數，C正確，
選C。
4、函數f(x)=|x|(1-x)在區間A上是增函數，那么區間A是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
【解析】
【知識點】①分段函數定義與性質；②判斷（或證明）分段函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據分段函數的性質，運用判斷分段函數單調性的基本方法，結合問題條件求出函數f(x)遞增區間就可得出選項。
【詳細解答】 f(x)=|x|(1-x)= -+x，x 0，作出函數f(x)的圖像如圖所示，由圖知函
-x，x＜0，數f(x)的遞增區間是［0，］，B正確，選B。
函數f(x)= （-4）的單調遞增區間是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （0，+∞） B （-∞，0） C （2，+∞） D （-∞，-2）
【解析】
【知識點】①復合函數定義與性質；②一元二次函數定義與性質；③對數函數定義與性質；④復合函數單調性判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】設g(x)= -4，根據一元二次函數的圖像與性質，確定函數f(x)的定義域，并判斷函數g(x)在定義域上的單調性，把函數g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調性，運用復合函數單調性的判斷法則判斷函數f(x)的單調性。
【詳細解答】設g(x)= -4，作出函數g(x)的圖像如圖所示，由圖知函數f(x)的定義域是（-，-2）（2，+），函數g(x)在（-，-2）上單調遞減，在（2，+）上單調遞增，0<<1，函數f（g(x)）在（-，-2），（2，+）上單調遞減，函數f(x) 在（-，-2）上單調遞增，在（2，+）上單調遞減，D正確，選D。
6、（多選）下列函數中，既是奇函數，又在定義域內是增函數的有（ ） （成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
【解析】
【考點】①函數奇偶性定義與性質；②函數單調性定義與性質；③判斷函數奇偶性的基本方法；④判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數奇偶性和單調性的性質，運用判斷函數奇偶性和函數單調性的基本方法，對各選項函數的奇偶性和單調性進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，函數 f(x)的定義域是 （-，0）（0，+）關于原點對稱，f(-x)=-x-
=-（x+） =- f(x)，函數 f(x)是奇函數，但在定義域既有單調遞減區間，也有單調遞增區間，A錯誤；對B，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，，f(-x)=+=f(x)，函數 f(x)是偶函數，B錯誤；對C，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，f(-x)=-
=-（-）=-f(x)，函數 f(x)是奇函數，函數 f(x)是R上的增函數，C正確；對D，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，f(-x)=--2 -x=-（2+x ）=-f(x)，函數 f(x)是奇函數，函數 f(x)是R上的增函數， D正確， C，D正確，選C，D。
7、證明函數f(x)=+2在區間（0，+∞）上是增函數（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①函數單調性定義與性質；②判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數的性質，運用證明函數單調性的基本方法，結合問題條件就可證明函數f(x) 在區間（0，+∞）上是增函數。
【詳細解答】證明：任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+2--2
=（+）（-），+＞0，-＜0， f（）-f（）=（+）（-）＜0， f（）＜f（），函數f(x) 在區間（0，+∞）上是增函數。
8、討論函數f(x)=x+ (a＞0)的單調性（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①函數單調性定義與性質；②參數分類討論原則和基本方法；③判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數單調性的性質，運用參數分類討論原則與基本方法和判斷函數單調性的基本方法，結合問題條件，對參數a的可能情況分別考慮，就可得出函數f(x) 的單調性。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為（-，0）（0，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+--=（-）（1-），①當1-＞0，即＞時，f（）-f（）=（-）（1-）＜0， f（）＜f（），函數f(x) 在區間［，+∞）上是增函數；②當1-＜0，即＜時，f（）-f（）=（-）（1-）＞0， f（）＞f（），函數f(x) 在區間（0，）上是減函數；同理可得函數f(x) 在區間（-∞，］上是增函數；在區間（-，0）上是減函數；綜上所述，當a＞0時，函數f(x) 在區間（-∞，］，［，+∞）上是增函數，在區間（-，0），（0，）上是減函數。
9、求函數f(x)=|x-1|-|2-3x|的單調區間并判斷函數的單調性；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①分段函數定義與性質；②判斷（或證明）分段函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據分段函數的性質，運用判斷分段函數單調性基本方法，結合問題條件，對函數f(x)的的單調性進行判斷就可得出函數的單調性。 2x-1，x ，
【詳細解答】從問題條件得：函數 f(x)=|x-1|-|2-3x|= -4x+3，＜x＜1，函數f(x)在區
-2x+1，x1，間（-∞，］上是增函數，在區間（，+∞）上是減函數。
10、判斷函數f(x)= |-x-12|的單調性；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①復合函數定義與性質；②一元二次函數定義與性質；③對數函數定義與性質；④復合函數單調性判斷（或證明）的法則和基本方法。
【解題思路】設g(x)= |-x-12|，根據一元二次函數的圖像與性質，確定函數f(x)的定義域，并判斷函數g(x)在定義域上的單調性，把函數g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調性，運用復合函數單調性判斷法則判斷的法則和基本方法就可判斷函數f(x)的單調性。
【詳細解答】設g(x)= |-x-12|，作出函數g(x)的圖像 如圖所示，由圖知函數f(x)的定
義域是（-，-3）（-3，4）（4，+），函數g(x)在（-，-3），（，4）上單調遞減，在（-3，），（4，+）上單調遞增，0<0.5<1，函數f（g(x)）在（-，-3），（-3，），（，4），（4，+）上單調遞減，函數f(x) 在（-，-3），（，4）上單調遞增，在（-3，），（4，+）上單調遞減。
11、已知函數y=f(x)對任意的x，yR,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且當x＞0時，f(x)＜0，
f(1)=- 。（成都市高2023級高一單元測試）
判斷并證明函數f(x)在R上的單調性；
（2）求f(x)在區間〔-3,3〕上的最大值和最小值。
【解析】
【知識點】①抽象函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③數學賦值法及運用；④函數單調性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】（1）根據抽象函數和函數單調性的性質，運用數學賦值法和定義法判斷（或證明）函數的單調性的基本方法，結合問題條件，就可判斷并證明函數f(x)在R上的單調性，（這里比較f()， f()的大小是借助于恒等式運用數學賦值法進行的，怎樣賦值是解答問題的關鍵，注意問題中當x＞0時，f(x)＜0的條件，現在已經有->0，這樣需要在x，y中賦一個-，由恒等式x+y=，從而可知x，y中的另一個只能賦）；（2）根據（1）的結論，得到函數f(x)在〔-3，3〕上單調遞減，從而得到= f(-3)，
= f(3)，求出f(-3)，f(3)的值就可得出函數f(x)在區間〔-3,3〕上的最大值和最小值。
【詳細解答】（1）函數f(x)在R上單調遞減，證明：設，∈R ，且>，->0，當x＞0時，f(x)＜0， f(-)<0，令x=-，y=，函數y=f(x)對任意的x，yR,均有f(x)+f(y)=f（x+y）, f(-)+f()=f(-+)=f()， f()-f()=f(-)<0，函數f(x)在R上單調遞減；（2）由（1）可知函數f(x)在R上單調遞減，函數f(x)在〔-3，3〕上單調遞減，= f(-3)，= f(3)， f(1)=- ， f(2)= f(1+1)= f(1)+ f(1)= - - =- ，f(3)= f(2+1)= f(2)+ f(1)= - - =-2， f(0)= f(0+0)= f(0)+ f(0)， f(0)=0，f(0)= f(3-3)= f(3)+ f(-3)=0， f(-3)+=-f(3)=-（-2）=2, 當x∈〔-3，3〕時，= f(-3)=2，= f(3)=-2。
『思考問題1』
（1）【典例1】是判斷（或證明）函數單調性的問題，解答這類問題需要理解增函數，減函數，函數單調性的定義，掌握增函數，減函數，函數單調性的性質和判斷（或證明）函數單調性的基本方法，判斷（或證明）函數單調性的基本方法有：①定義法；②圖像法；
（2）圖像法的基本方法是：①作出函數的圖像；②確定判斷（或證明）的區間；③在函數的圖像上找到相應的區間；④根據函數圖像得出函數在區間上的單調性；
（3）定義法的基本方法是：①求出函數的定義域；②確定判斷（或證明）的區間；③在相應的區間上任取，，且＜； ④比較函數值f()，f()的大小；⑤根據④得出函數在區間上的單調性。
（4）比較函數值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函數值f()-f()的差；②把①中的差與數0作比較；③根據②得出函數值f()，f()的大小；
（6）求商法的基本方法是：①求出函數值的商；②把①中的商與數1作比較；③根據②得出函數值f()，f()的大小；
（7）對含參數的函數，在判斷（或證明）函數的單調性時，應注意對參數的可能情況進行分別考慮，然后再綜合得出函數的單調性。
〔練習1〕解答下列問題：
下列函數中，在區間（0，+∞）上是增函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A y=-+4 B y=3-x C y= D y= x （答案：D)
2、下列函數中，在區間（0，2）上為增函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試） （答案：B）
A y=-x+1 B y= C y=-4x+5 D y=
3、函數y= 的單調遞減區間是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
A ［0，+∞） B （-∞，0〕 C （-∞，0），（0，+∞） D （-∞，0）（0，+∞）
4、函數f(x)=- +2|x|+3的單調遞增區間為 （成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數f(x)的單調遞增區間為（-∞，-1），（0，1）. ）
5、證明：①函數f(x)= +1在（-∞，0）上是減函數；②函數f(x)= 1- 在（-∞，0）上是增函數；（成都市高2023級高一單元測試）（提示：用定義法進行證明。）
6、討論函數f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的單調性；（成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數f(x)在區間（-1，1）上單調遞減。）
7、判斷函數f(x)= 2-1， (x≥0)， 的單調性；
-3x ， (x＜0)，（成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數f(x)在（-∞，0）上單調遞減，在［0，+∞）上單調遞增。）
8、求函數f(x)= 的單調區間；（成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數f(x)在（-∞，）上單調遞減，在［，+∞）上單調遞增。）
9、設函數f(x)是定義在R上的函數，且對任意的實數m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，當x＜0時，f(x)＞1.（成都市高2023級高一單元測試）
（1）證明：f(0)=1；（提示：令m=n=0就可證明f(0)=1；）
（2）證明：當x＞0時，0＜f(x)＜1；（提示：設x（0，+∞）,則-x（-∞，0）,令m=x，n=-x，根據恒等式就可證明0＜f(x)＜1；）
（3)證明：f(x)是R上的減函數。（提示：運用數學賦值法和證明函數單調性的定義法就可證明函數f(x)是R上的減函數。）
【典例2】解答下列問題：
1、已知定義在R上的函數f(x)滿足f(1-x)=f(1+x)，且在[1，+）上單調遞增，若a=f(),
b=f(2),c=f(),則a，b，c的大小關系為（）（成都市高2023級高一上期期末調研考試）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D b>a>c
【解析】
【考點】①對數定義與性質；②指數定義與性質；③函數單調性定義與性質；④函數圖像定義與性質；⑤比較實數大小的基本方法。
【解題思路】根據對數，指數，函數單調性和函數圖像的性質，運用比較實數大小的基本方法，結合問題條件得出a，b，c的大小關系就可得出選項。
【詳細解答】義在R上的函數f(x)滿足f(1-x)=f(1+x)，b=f(2)=f(1-)=f(1
+)=f(),c=f()=f(1-6)=f(1+6)=f(12),1<<<<2<3<12，函數f(x)在[1，+）上單調遞增， c>a>b ，A正確，選A。
2、已知函數f(x)=+1，x≥1，在R上是增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
(2-a)x+2，x<1，（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
【解析】
【考點】①指數函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③判斷（或證明）函數單調性的基本方法；④求解不等式組的基本方法。
【解題思路】根據指數函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于a的不等式組，求解不等式組求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)在R上是增函數，a>1①，2-a>0②，a+1≥2-a+2③,聯立①②③
解得：≤a<2，若函數f(x)在R上是增函數，則實數a的取值范圍是[，2）,D正確，選D。
若函數f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值為4，且函數g(x)=（1-m）在
R上是減函數，則實數m的取值范圍為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A m>1 B m<1 C m>0 D m<0
【解析】
【考點】①指數函數定義與性質；②對數函數定義與性質；③函數單調性調研與性質；④判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據指數函數，對數函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于實數m的不等式，求解不等式求出實數m的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】當a>1時，函數f(x)=x在[2，4]上單調遞增，函數f(x)=x 在[2，4]上的最大值為f(4)=4=4，解之得：a=>1；當01，此時無解，綜上所述，若函數f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值為4，則a=，函數g(x)=（1-m）在R上是減函數，1-m<0，解之得： m>1，
A正確，選A。
已知函數f(x)=-2ax-3在區間[1，2]上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，1） B （-∞，1] C （2，+∞） D [2，+∞）
【解析】
【考點】①一元二次函數定義與性質；②判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據一元二次函數的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于實數a的不等式，求解不等式求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=-2ax-3在區間[1，2]上是單調遞增函數，函數f(x)=-2ax-3圖像的對稱軸x=-=a≤1，B正確，選B。
5、已知函數f(x)為定義在R的偶函數，在區間[0，+）上單調遞減，且滿足f(3)=0，則不等式<0的解集為 。（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
【解析】
【考點】①偶函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和函數單調性的性質，運用求解不等式的基本方法，結合問題條件
就可求出不等式<0的解集。 y
【詳細解答】函數f(x)為定義在R的偶函數， f(x)
在區間[0，+）上單調遞減，且滿足f(3)=0，
作出函數f(x)的大致圖像如圖所示，不等 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
式<0，<0，自變量
x與函數f(x)的值異號，由圖知-33，不等式<0的解集為（-3，0）（3，+）。
6、已知函數f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數，求實數a的取值范圍；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①復合函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③對數函數定義與性質；④判斷復合函數單調性的法則和基本方法。
【解題思路】設g(x)=2-ax，根據復合函數，對數函數和函數單調性的性質，運用判斷復合函數單調性的法則和基本方法，結合問題條件得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】 a>0，且a1，函數g(x)在（0，1）上單調遞減，函數f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數，函數f(g(x))在（0，1）上單調遞增，a>1，若函數f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數，則實數a的取值范圍是（1，+∞）。
7、設函數f(x)=lg，若當x(-∞,1〕時，f(x)有意義，求實數a的取值范圍；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①復合函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③對數函數定義與性質；④判斷復合函數單調性的法則和基本方法。
【解題思路】設g(x)= ，根據復合函數，對數函數和函數單調性的性質，運用判斷復合函數單調性的法則和基本方法，結合問題條件得到>0在(-∞,1〕上恒成立，從而得出>0在(-∞,1〕上恒成立，分離參數a得到a>--在(-∞,1〕上恒成立，令h(x)= --，判斷函數h(x) 在(-∞,1〕上的單調性，求出函數h(x)在(-∞,1〕上的最大值就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數f(x)=lg在(-∞,1〕上有意義，>0在(-∞,1〕上恒成立，>0在(-∞,1〕上恒成立， a>--在(-∞,1〕上恒成立，
設h(x)= --，函數h(x) 在(-∞,1〕上的單調遞增，當x(-∞,1〕時，
= h(1)=- - =- ，a>-，若函數f(x)=lg在(-∞,1〕上有意義，則實數a的取值范圍是（-，+∞）。
8、已知a＞0，設函數f(x)= （x）的最大值為M，最小值為N，那么M+N= ；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③運用函數單調性求函數值域（或最值）的基本方法。
【解題思路】由f(x)= = =2012- ，根據指數函數和函數單調性的性質，運用判斷函數單調性的基本方法，判斷函數f(x)在 上的單調性，利用函數的單調性求出函數f(x) 在 上的最大值M，最小值N，從而就可求出M+N的值。
【詳細解答】 f(x)= = =2012- ，任取，，且＜，f（）-f(）=2012--2012+=
=＜0，函數f(x)= 在上單調遞增；M=f(a)= 2012- ，N=f(-a)= 2012- =2012- ，M+N=2012- +2012- =4024-2=4022。
9、求函數f(x)= 的值域；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①分式定義與性質；②一元二次根式定義與性質；③函數單調性定義與性質；④運用函數單調性求函數值域的基本方法。
【解題思路】由f(x)= = = + ，設t=，t［2，+），得到f(t)=t+，判斷函數f(t)在［2，+）上的單調性，根據函數f(t)在［2，+）上的單調性求出函數f(t)在［2，+）上的最值，從而就可求出函數f(x)的值域。
【詳細解答】 f(x)= = = + ，設t=，t［2，+），f(t)=t+，任取，［2，+），且＜，f()-f()=+--
=(-)(1-)＜0，函數f(t)=t+在［2，+）單調遞增；函數f(t)在［2，+）上的最小值為2+=，函數f(x)= 的值域為［，+）。
10、已知函數y=f(x)對任意的x、yR,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且當x＞0時，f(x)＜0，
f(1)=- 。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）判斷并證明函數f(x)在R上的單調性；
（2）求f(x)在區間〔-3，3〕上的最大值和最小值。
【解析】
【知識點】①抽象函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③數學賦值法及運用；④函數單調性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】（1）根據抽象函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數的單調性和數學賦值法的基本方法，結合問題條件就可證明函數f(x)在R上的單調性（這里比較f()， f()的大小是借助于恒等式和運用數學賦值法進行的，怎樣賦值是解答問題的關鍵，注意問題中當x＞0時，f(x)＜0的條件，現在已經有->0，這樣需要在x，y中賦一個-，由恒等式x+y=，從而可知x，y中的另一個只能賦）；（2）根據（1）的結論，得到函數f(x)在〔-3，3〕上單調遞減，從而得到= f(-3)，= f(3)，求出f(-3)，f(3)的值就可得出函數f(x)在區間〔-3，3〕上的最大值和最小值。
【詳細解答】（1）設，R ，且>，->0，當x＞0時，f(x)＜0， f(-)<0，
令x=-，y=，函數y=f(x)對任意的x，yR,均有f(x)+f(y)=f（x+y）, f(-)+
f()=f(-+)=f()， f()-f()=f(-)<0，函數f(x)在R上單調遞減；（2）由（1）可知函數f(x)在R上單調遞減，函數f(x)在〔-3，3〕上單調遞減，
= f(-3)，= f(3)， f(1)=- ， f(2)= f(1+1)= f(1)+ f(1)= - - =- ，f(3)= f(2+1)= f(2)+ f(1)= - - =-2， f(0)= f(0+0)= f(0)+ f(0)，
f(0)=0，f(0)= f(3-3)= f(3)+ f(-3)=0， f(-3)+=-f(3)=-（-2）=2, 當x〔-3，3〕時，= f(-3)=2，= f(3)=-2。
11、定義在R上的函數y=f(x)，f(0)≠0,當x＞0時，f(x)＞1，且對任意的a、bR，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）證明：f(0)=1；
（2）證明：對任意的xR，恒有f(x)＞0；
（3）證明：函數f(x)是R上的增函數；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范圍。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①抽象函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③數學賦值法及運用；④函數單調性的判斷（或證明）的基本方法；⑤求解不等式的基本方法。
【解題思路】（1）根據抽象函數和函數單調性的性質，運用數學賦值法，結合問題條件，令a=b=0，得到關于f(0)的等式，從而就可證明f(0)=1；（2）由（1）可得f(0)=1>0，問題條件已知當x＞0時，f(x)＞1>0，現在只需證明當x<0時，f(x)＞0就可得到結論，設x<0，則-x>0，令a=x,b=-x,依據對任意的a，bR，均有f(a+b)=f(a).f(b)，得到f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x),就可可以證明f(x)>0；（3）根據定義法判斷（或證明）函數的單調性的基本方法，這里比較f()， f()的大小可借助于恒等式運用賦值法進行，怎樣賦值是解答問題的關鍵，注意問題中當x＞0時，f(x)>1的條件，現在已經有->0，這樣需要在x，y中賦一個-，由恒等式x+y=，從而可知x，y中的另一個只能賦，代入恒等式就可以證明函數f(x)是R上的增函數；（4）根據（3）的結論，可得f(x)在R上單調遞增，根據f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0).f(3x-)> f(0) 3x->0，利用求解不等式的基本方法解這個不等式即可得出x的取值范圍。
【詳細解答】（1）令a=b=0，對任意的a，bR，均有f(a+b)=f(a).f(b)， f(0+0)=f(0).f(0)， f(0)（f(0)-1）=0， f(0)≠0, f(0)-1=0， f(0)=1；（2）設x<0，則-x>0，令a=x,b=-x, 對任意的a，bR，均有f(a+b)=f(a).f(b)，f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x), f(x)= >0， f(0)=1>0，當x＞0時，f(x)＞1>0，對任意的 x∈R，恒有f(x)＞0；（3）設，∈R ，且>，->0，當x＞0時，f(x)>1， f(-)>1，令a=-，b=，函數y=f(x)對任意的a、b∈R, 均有f(a+b)=f(a).f(b), f(-+)=f().f(-)， f()=f().f(-)，
= f(-)>1，函數f(x)是R上的增函數；（4）根據（3）的結論，可得f(x)在R上單調遞增，f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0).f(3x-)> f(0) 3x->0，012、若函數f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數，且f()=f(x)-f(y)。
求f(1)的值；
若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f()<2（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①抽象函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③數學賦值法及運用；④求解不等式的基本方法。
【解題思路】（1）根據抽象函數的性質，運用數學賦值法，結合問題條件就可求出f(1)的值；（2）根據抽象函數和函數單調性的性質，集合問題條件得到關于x的不等式組，求解不等式組就可求出不等式f(x+3)-f()<2的解集。的取值范圍。
【詳細解答】（1）令x=y=1，f()=f(1)=f(1)-f(1)，f(1)=0；（2）f(6)=1，f()=f(1)-f(x)，
不等式f(x+3)-f()<2，不等式f(x+3)+f(x)<2f(6)，不等式f(x+3)-f(6)+f(x)-f(6)<0，不等式f()+f()<0，函數f(x)是定義在（0，+∞）上的增函數，f(1)=0，0<
<1，且0<<1，0『思考問題2』
（1）【典例2】是函數單調性運用的問題，解答這類問題需要理解增函數，減函數的定義，掌握判斷（或證明）函數單調性的基本方法；
（2）函數單調性的運用問題主要包括：①已知函數的單調性，求函數解析式中參數的取值范圍；②運用函數的單調性求函數的值域（或最值）；③運用函數的單調性求解（或證明）不等式；
（3）已知函數單調性，求函數解析式中參數取值范圍問題解答的基本方法是：①根據函數的單調性得到關于參數的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出結果；
（4）利用函數的單調性求函數值域（或最值）的基本方法是：①判斷函數在定義域上的單調性；②根據函數的單調性求函數在定義域上的最值；③確定函數的值域；④得出結果。
（5）運用函數的單調性，求不等式的解集（或證明不等式）問題的基本方法是：①根據函數的單調性得到關于自變量的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出不等式的解集（或證明的結論）。
〔練習2〕解答下列問題：
如果函數f(x)=a+2x-3在區間（-∞，4）上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0
2、若函數f(x)=+（2a-1）x+1在區間（-∞，2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A （-，+∞） B （-∞，-] C （3，+∞） D （-∞，-3]
3、已知函數f(x)是定義在[0，+∞）上的減函數，則當f(2a-1)>f()時，實數a的取值范圍為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：C）
A （，+∞） B （-∞，） C （，） D （，）
4、已知函數f(x)= （2-a）x+1，x＜1，滿足對任意，都有＞0成立，
（，x1，那么實數a的取值范圍是 ；（成都市高2023級高一
單元測試）（答案：實數a的取值范圍是（1，2）。）
5、設二次函數f(x)=a-4x+c的值域為〔0,+ ），則u=的最小值為
；（成都市高2023級高一單元測試） （答案：u=的最小值為。） 6、求函數y= 的值域。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數y= 的值域為[4，+∞））
7、已知f(x)在定義域（0，+∞）上為增函數，且滿足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)≤2；（成都市高2023級高一單元測試）（答案：不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集為（8，9]。）
8、函數f(x)對任意的m，nR，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.
（1）求證：f(x)在R上是增函數；（提示：運用數學賦值法和證明函數單調性定義法。）
（2）若f(3)=4，解不等式f(+a-5)＜2。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：不等式f(+a-5)＜2的解集為（-3，2）。）
【典例3】解答下列問題：
已知函數f(x) = 2023+2024x，x≤0，為奇函數，則a+b=（ ）（成都市高2023級
a+bx，x>0，高一單元測試）
A -1 B 0 C 1 D 2
【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據奇函數的性質，運用判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法，結合問題條件求出a+b的值就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x）為奇函數，f(1）=a+b，ff(-1）=2023-2024=-1，f(1）=-f(-1），a+b=1，C正確，選C。
2、下列函數是偶函數的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x［0,1］
【解析】
【知識點】①偶函數定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質，運用判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件分別對各選項進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】C，D兩個選項中的定義域分別是（0,+ ），［0,1］關于原點不對稱，C，D兩個選項中的函數不具有奇偶性，可以排除，選項A，B中的兩個函數的定義域都是R，關于原點對稱，對選項A， f(-x)=-x=- f(x)，選項A的函數是奇函數，對選項B， f(-x)=2 -3=2-3=f(x)，選項B的函數是偶函數，B正確，選B。
3、（多選）下列函數中，既是奇函數，又在定義域內是增函數的有（ ） （成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
【解析】
【考點】①函數奇偶性定義與性質；②函數單調性定義與性質；③判斷函數奇偶性的基本方法；④判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數奇偶性和單調性的性質，運用判斷函數奇偶性和函數單調性的基本方法，對各選項函數的奇偶性和單調性進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，函數 f(x)的定義域是 （-，0）（0，+）關于原點對稱，f(-x)=-x-
=-（x+） =- f(x)，函數 f(x)是奇函數，但在定義域既有單調遞減區間，也有單調遞增區間，A錯誤；對B，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，，f(-x)=+=f(x)，函數 f(x)是偶函數，B錯誤；對C，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，f(-x)=-
=-（-）=-f(x)，函數 f(x)是奇函數，函數 f(x)是R上的增函數，C正確；對D，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，f(-x)=--2 -x=-（2+x ）=-f(x)，函數 f(x)是奇函數，函數 f(x)是R上的增函數， D正確， C，D正確，選C，D。
4、（多選）設函數f(x)，g(x)的定義域都為R，且函數f(x)是奇函數，函數g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A 函數f(x).g(x)是奇函數 B 函數|f(x)|.g(x)是偶函數
C 函數f(x).|g(x)|是偶函數 D 函數|f(x).g(x)|是奇函數
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②偶函數定義與性質；③判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據奇函數和偶函數的性質，運用判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法，集合問題探究對各選項結論是否正確進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，函數f(x)，g(x)的定義域都為R，函數f(x)是奇函數，函數g(x)是偶函數，f(-x).g(-x)=-f(x).g(x)，函數f(x).g(x)是奇函數，A正確；對B，函數f(x)，g(x)的定義域都為R，函數f(x)是奇函數，函數g(x)是偶函數，|f(-x)|.g(-x)=|-f(x)|
.g(x)=|f(x)|.g(x)，函數|f(x)|.g(x)是偶函數，B正確；對C，函數f(x)，g(x)的定義域都為R，函數f(x)是奇函數，函數g(x)是偶函數，f(-x).|g(-x)|=-f(x).|g(x)|，函數f(x).|g(x)|是奇函數，C錯誤；對D，函數f(x)，g(x)的定義域都為R，函數f(x)是奇函數，函數g(x)是偶函數，|f(-x).g(-x)|=|-f(x).g(x)|=|f(x).g(x)|，函數|f(x).g(x)|是偶函數，D正確,綜上所述，A，B，D正確，選A，B，D。
5、判斷函數f(x)=+x ，(x＜0) ，的奇偶性；
- +x ，（x＞0），（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①分段函數定義與性質；②函數奇偶性定義與性質；③判斷（或證明）分段函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據分段函數和函數奇偶性的性質，運用判斷分段函數奇偶性的基本方法就可判斷函數f(x)的奇偶性。
【詳細解答】從函數的解析式可知，函數的定義域為（- ，0）（0,+ ），顯然關于原點對稱，①當x＞0時， -x＜0， f(-x)= -x=-x=-（-+x）=- f(x)；②當x<0時， -x>0， f(-x)= --x=--x=-（+x）=- f(x)，函數f(x)是奇函數。
6、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）證明函數f(x)是奇函數；
（3）判斷并證明函數f(x)在定義域上的單調性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范圍。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①函數定義域的定義與求法；②復合函數的定義與性質；③分式的定義與性質；④對數函數的定義與性質；⑤復合函數奇偶性判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】（1）由函數f(x)有意義的條件得到 >0，解這個不等式就可以得到函數f(x)的定義域；（2）由（1）可知函數f(x)的定義域為（-1，1）關于原點對稱，只需證明f(-x)=-f(x)就可得到結論；（3）設g(x)= 運用定義法先判斷函數g(x)在（-1，1）上的單調性，再根據復合函數單調性的判斷法則得出結論（注意底數a的兩種可能情況）；（4）根據底數a的兩種可能情況分別進行解答，得出結果。
【詳細解答】（1）函數f(x)有意義，必有 >0，-1=<0，g（）1時，函數f（g(x)）在（-1，1）上單調遞增，函數f(x)在（-1，1）上單調遞增；
（4）①當01時， f(x)＞0，>1，01時， f(x)＞0時，x的取值范圍是（0，1）。
7、已知函數f(x)對一切x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求證：函數f(x)是奇函數；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①抽象函數定義與性質；②函數奇偶性定義與性質；③數學賦值法及運用；④判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】（1）根據抽象函數和函數奇偶性的性質，運用判斷（或證明）函數的奇偶性，的基本方法和數學賦值法，結合問題條件就可證明函數f(x)是奇函數；（2）根據（1）知函數f(x)是R上的奇函數，從而得到f(3)=- f(-3)=-a，運用數學賦值法，結合問題條件就可得出f(12)關于a的表示式。
【詳細解答】（1）函數f(x)對一切x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=f(0)=0，函數f(x)是R上的奇函數；（2）由（1）知函數f(x)是R上1的奇函數，f(-3)=a，f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，f(6)=-2a，令x=y=6， f(6+6)=f(6)+f(6)=-2a-2a=-4a，f(12)=-4a。
已知函數f(-3)=lg。
求函數f(x)的解析式及定義域；
判斷函數f(x)的奇偶性。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①對數函數定義與性質；②函數奇偶性定義與性質；③函數解析式定義與性質；④函數定義域定義與性質；⑤求函數解析式的基本方法；⑥求函數定義域的基本方法；⑦判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】（1）根據對數函數，函數解析式和函數定義域的性質，運用求函數解析式和定義域的基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x)的解析式及定義域；（2）根據函數奇偶性的性質，運用判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法，集合問題條件就可判斷函數f(x)的奇偶性。
【詳細解答】（1）設t=-3，t[-3，+∞），=t+3，f(t)=lg，函數f(x)的解析式為f(x)=lg（x≥-3），函數f(x)有意義，必有>0，解之得x>3，函數f(x)的定義域為（3，+∞）；（2）由（1）知函數f(x)的定義域為（3，+∞）關于原點不對稱，
函數f(x)不具有奇偶性。
『思考問題3』
（1）【典例3】是判斷（或證明）函數奇偶性的問題，解答這類問題需要理解奇函數，偶函數的定義，掌握奇函數，偶函數的性質和判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法；
(2)判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法是：①圖像法；②定義法；
（3）在具體判斷（或證明）函數的奇偶性時，如果已知函數的解析式，一般應該采用定義法；如果已知函數的圖像（或函數的圖像容易作出）應該采用圖像法；
（4）分段函數判斷（或證明）奇偶性時，在驗證f(-x)與f(x)的關系時，需要分段分別進行驗證，并注意f(-x)對應的解析式。
〔練習3〕解答下列問題：
1、下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（）成都市高2023級高一單元測試）
（答案：D）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
（多選）下列函數中，在定義域內既是奇函數，又是增函數的為（ ）（成都市高2023
級高一單元測試）（答案：A，B，C）
A y=x B y= C y=- D y=
x+1， (x＞0)，
判斷函數f(x)= 1 ， (x=0) ，的奇偶性；（成都市高2023級高一單元測試）
-x+1 ，(x＜0），級高一單元測試）（答案：函數f(x)是偶函數。）
4、證明函數f(x)= (a＞1)是奇函數；（成都市高2023級高一單元測試）（提示：用定義法進行證明。）
4、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)，求證函數f(x)是奇函數；（提示：用定義法進行證明。）
5、已知函數f(x)是定義在R上的不恒為0的函數，且對任意的a，bR，都有f(a.b)=af(b)+bf(a)成立。
（1）求f(0)，f(1)的值；（答案：f(0)=0，f(1)=0；）
（2）判斷函數f(x)的奇偶性，并證明你的結論（成都市高2023級高一單元測試）（答案：函數f(x)為奇函數，證明用定義法進行。）
【典例4】解答下列問題：
1、若偶函數f(x)在區間（-∞，0] 上單調遞減，且f(3)=0，則不等式（x-1）f(x)>0的解集是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-∞，-1）（1，+∞） B （-3，1）（3，+∞）
C （-∞，-3）（3，+∞） D （-3，1]（0，+∞）
【解析】
【知識點】①偶函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和函數單調性的性質，運用區間不等式的基本方法，結合問題條件求出不等式（x-1）f(x)>0的解集就可得出選項。
【詳細解答】偶函數f(x)在區間（-∞，0] 上單調遞減，且f(3)=0，函數f(x)在區間（0，,+∞） 上單調遞增，且f(-3)=f(3）=0，不等式（x-1）f(x)>0，（x-1）>0且f(x)>0，或（x-1）<0且f(x)<0，不等式（x-1）f(x)>0的解集是（-3，1）（3，+∞），B正確，選B。
已知函數f(x)是偶函數，且在[0，+∞）上單調遞減，若f(lgx)>f(1)，則x的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （，1） B （0，）（1,+∞） C （，10） D （0，1）（10,+∞）
【解析】
【知識點】①偶函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③對數函數定義與性質；④求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據偶函數，對數函數和函數單調性的性質，運用求解不等式的基本方法，結合問題條件求出使f(lgx)>f(1)成立的x的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)是偶函數，且在[0，+∞）上單調遞減，f(lgx)>f(1)，|lgx|<1，-1
已知偶函數f(x)在區間［0，+∞）上單調遞增，則滿足f(2x-1)＜f()的x的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
【解析】
【知識點】①偶函數定義與性質；②求解絕對值不等式的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質，結合問題條件得到關于x的絕對值不等式，運用求解絕對值不等式的基本方法求出x的取值范圍就可求出選項。
【詳細解答】偶函數f(x)在區間［0，+∞）上單調遞增，且f(2x-1)＜f()，|2x-1|＜，
4、若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數，則實數a= （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①偶函數定義與性質；②求解方程的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質，結合問題條件得到關于a的方程，運用求解方程的基本方法就可求出a的值。
【詳細解答】 f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數， f(-x)=(-x+a)(-x-4)= +（4-a）x-4a= f(x)=(x+a)
(x-4)=+（a-4）x-4a，2（a-4）x=0，a=4。
5、設函數y=f(x)是奇函數，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，則f(1)+f(2)的值為 （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②求解方程的基本方法。
【解題思路】根據奇函數的性質，結合問題條件得到關于f(1)+f(2)的方程，運用求解方程的基本方法就可求出f(1)+f(2)的值。
【詳細解答】函數y=f(x)是奇函數， f(-2)+f(-1)=- f(2)-f(1)， f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，
-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3，2[f(1)+f(2)]=-6，f(1)+f(2)=-3。
6、設函數f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m= （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法；③求函數最值的基本方法。
【解題思路】由f(x)= =1+，設g(x)= ，根據奇函數的性質和判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件得到函數g(x)是奇函數，運用奇函數的性質和求函數最值的基本方法得到函數g(x)的最大值與最小值的和為0，從而求出M+m的值。
【詳細解答】 f(x)= =1+，設g(x)= ，對函數g(x)定義域為R關于原點對稱，g(-x)= = =- g(x)，函數g(x)是奇函數，+=0，M==1+，m==1+，
M+m=1++1+=2++=2。
7、已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x0時，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 （成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①偶函數定義與性質；②求函數解析式的基本方法；③判斷函數單調性的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質，運用求函數解析式的基本方法，結合問題條件求出當x<0時，函數f(x)的解析式，由判斷函數單調性的基本方法判斷函數f(x)的單調性，利用函數單調性得到關于x的不等式，求解不等式就可求出不等式f(x+2) ＜5的解集。
【詳細解答】設x<0，則-x>0，函數f(x)是定義域為R的偶函數，當x0時，f(x)=-4x，
f(x)= f(-x)= -4（-x）=+4x， f(x)= -4x，x0，函數f(x)在（-∞，
+4x，x<0，-2），（0，2）上單調遞減，在（-2，0），（2，+∞）上單調遞增， f(-5)= f(5)=25-45=5， f(x+2) ＜5|x+2|<5，-78、已知定義在（-∞，+∞）上的函數f(x)的圖像關于原點對稱，且當x＞0時，f(x)=-2x+2，求函數f(x)的解析式；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法；③求函數解析式的基本方法。
【解題思路】根據判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件得到函數f(x)是奇函數，運用奇函數的性質，結合問題條件就可求出函數f(x)的解析式。
【詳細解答】定義在（-∞，+∞）上的函數f(x)的圖像關于原點對稱，函數f(x)是奇函數， f(0)=0，設x<0，則-x>0，當x＞0時，f(x)=-2x+2， f(x)=- f(-x)=-[ -2（-x）+2=+2x+2， f(x)= -2x+2，x＞0，
0， x=0，
+2x+2，x<0。
9、已知函數f(x)= +(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，aR)。
（1）若f(x)能表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在區間（-∞，〕上都是減函數，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，比較f(1)和的大小。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②偶函數定義與性質；③減函數定義與性質；④判斷函數單調性的基本方法；⑤比較實數大小的基本方法。
【解題思路】（1）根據奇函數和偶函數的性質，結合問題條件得到關于函數g(x)，h(x)的方程組，求解方程組就可求出函數g(x)和h(x)的解析式；（2根據減函數的性質，結合問題條件得到關于a的不等式組，求解不等式組就可求出實數a的取值范圍；（3）求出f(1)關于a的表示式，利用判斷函數單調性的基本方法判斷f(1)關于a的函數在區間[-，-1）的單調性，求出f(1) 在區間[-，-1）上的最小值，借助于比較實數大小的基本方法就可得出f(1)和的大小關系。
【詳細解答】（1） f(x)= g(x)+ h(x)=+(a+1)x+lg|a+2|①，g(x)是奇函數，h(x)是偶函數， f(-x)= g(-x)+ h(-x)=- g(x)+ h(x)=-(a+1)x+lg|a+2|②，聯立①②解得：g(x)= (a+1)x， h(x)
=+ lg|a+2|；（2） 函數f(x)和g(x)在區間（-∞，〕上都是減函數，-
①，a≠-2②，a+1<0③，聯立①②③解得：- a<-1；（3） f(1)=1+a+1+lg|a+2|
=2+a+ lg|a+2|，設M（a）= f(1)= a+2+ lg|a+2|， 函數M（a）= f(1)在區間[-，-1）上單調遞增，== M（-）=-+2+lg|-+2|=+lg=+ lg >+ lg =-=， f(1)> 。
10、設函數f(x)=k-（a>0，且a1）是定義域為R的奇函數。
若f(1)>0，判斷函數f(x)的單調性，并求不等式f(x+2)+f(x-6)>0的解集；
（2）若f(1)=，且g(x)=+-2f(x),求g(x)在[1，+∞）上的最小值。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③指數函數調研與性質；④判斷（或證明）函數單調性的基本方法；⑤求函數在給定區間上最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據奇函數函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件就可求出實數k的值，從而判斷函數f(x)的單調性，求出不等式f(x+2)+f(x-6)>0的解集；（2）根據奇函數和函數單調性的性質，運用求函數在給定區間上最值的基本方法，結合問題條件求出a的值，得到實數k關于某個函數的不等式在區間[-1，1]恒成立，運用求函數最值的基本方法求出該函數在區間[-1，1]上的最值，就可求出實數k的取值范圍。
【詳細解答】（1）函數f(x)=k-（a>0，且a1）是定義域為R的奇函數，f(0)
=k-1=0，k=1，函數f(x)=-（a>0，且a1），f(1)=a->0，a>1,函數f(x)在R上單調遞增，不等式f(x+2)+f(x-6)>0，不等式f(x+2)-f(6-x)>0，不等式f(x+2)>f(6-x)，不等式x+2>6-x，解之得：x>2，不等式f(x+2)+f(x-6)>0的解集是（2，+∞）；（2）f(1)=a-=，2-3a-2=0，解之得：a=-，或a=2，a>0，
a=2，函數g(x)=+-2f(x)=+-2+2=-2（-）+2,
令t=- ,t[，+∞）,函數g(x)=+-2f(x),函數g(t)=-2t+2在[，+∞）上單調遞增，函數g(t)在[，+∞）上的最小值為g()=-3+2=，若f(1)=，且g(x)=+-2f(x),則函數g(x)在[1，+∞）上的最小值是。
11、若函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數。
求實數a的值，并證明函數f(x)的單調性；
若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，求實數k的取值范圍。（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③判斷（或證明）函數單調性的基本方法；④求函數在給定區間上最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據奇函數函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件就可求出實數a的值，從而證明函數f(x)的單調性；（2）根據奇函數函數的性質，結合問題條件得到實數k關于某個函數的不等式在區間[-1，1]恒成立，運用求函數最值的基本方法求出該函數在區間[-1，1]上的最值，就可求出實數k的取值范圍。
【詳細解答】（1）函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數，f(0)=1-為==0，a=2，任取，R，且<，f()-f()=1--1+=
=<0，函數f(x)在R上單調遞增；（2）函數f(x）為定義在R上的奇函數，不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，不等式f(k.)-f(-1)≥0能成立，不等式f(k.)≥f(-1)，函數f(x)在R上單調遞增，不等式f(k.)≥f(
-1)能成立，x[-1，1]使得不等式k.≥-1，x[-1，1]使得不等式k≥-，設t=,g（t）=-+2t，x[-1，1]，t[，2]，函數g（t）在[，2]上的最小值為g（2）=-4+4=0，x[-1，1]使得不等式k≥-，t[，2]使得不等式k≥-+2t，k,≥0，若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，則實數k的取值范圍是[0，+）。
『思考問題4』
（1）【典例4】是函數奇偶性應用的問題，解答這類問題需要理解奇函數，偶函數的定義，掌握奇函數，偶函數的性質，注意弄清楚問題與奇函數（或偶函數）的哪一個性質相關；
（2）函數奇偶性的應用問題主要包括：①已知函數的奇偶性，求函數的解析式；②已知含字母系數函數的解析式和奇偶性，求參數的值（或取值范圍）；
（3）解答已知函數的奇偶性，求函數的解析式問題的基本方法是：①運用函數的奇偶性討論函數在各個分類區間上的解析式，②利用函數奇偶性中f(-x)與f(x)的關系式求出所求函數的解析式；
（4）解答已知含字母系數函數的解析式和奇偶性，求參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是分離系數法，運用f(-x) f(x)=0得到關于參數的恒等式，利用系數的對等性求出參數的值（或取值范圍）；
（5）運用函數奇偶性解答問題必須注意性質的條件與結論，只有性質的條件滿足時，才能得到相應性質的結論。
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)=ln(-3x)+1，則f(lg2)+f(lg)=（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A -1 B 0 C 1 D 2
2、設偶函數f(x)的定義域為R，當x ［0，+∞）時，f(x)是增函數，則f(-2),f()，f(-3)的大小關系是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：A）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在（-∞，0）上單調遞增，f(3)=0，則使f(x)< 0的x的取值范圍是（ ）（成都市高2023級高一單元測試）（答案：B）
A （-3，3） B （-∞，-3） （3，+∞） C （3，+∞） D （-∞，-3）
4、已知函數f(x)是R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)= +x+1， +x+1，x>0,
求函數f(x)的解析式；（成都市高2023級高一單元測試）（答案：f(x)=0，x=0）
5、若函數f(x)= 為奇函數，則a= ； -+x-1，x<0,
（成都市高2023級高一單元測試）（答案：a=-1。）
6、已知函數f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，則f(-d)= ；（成都市高2023級高一單元測試）（答案：f(-d)=-26.） y
7、設奇函數的定義域為［-6,6］，若當x［0,6］時，
f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集是 ；
（成都市高2023級高一單元測試） -6 -3 0 3 6 x
（答案：不等式f(x)＜0的解集是（-3，0）（3，6）。）
8、已知奇函數f(x)在定義域〔-1，1〕上為增函數，則不等式f()+f(x-1)＞0的解集為 ；
（成都市高2023級高一單元測試）（答案：不等式f()+f(x-1)＞0的解集為（，1）。）
9、已知f(x)為R上的偶函數，g(x)為R上的奇函數且過點（-1，3），g(x)=f(x-1)，則f(2012)+g(2013)= ；（成都市高2023級高一單元測試）（答案：f(2012)+g(2013)=-6.）
10、若函數f(x)=（m-1）+6mx+2是偶函數，則f(0)，f(1)，f(-2)從小到大的排列是 （成都市高2023級高一單元測試）（答案：從小到大的排列是f(-2)，f(1)，f(0)）
11、已知函數f(x)= (a＞1)。（成都市高2023級高一單元測試）
（1）判斷函數f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的值域。（答案：（1）函數f(x)是奇函數；（2）f(x)的值域為（-1，1）。）
【典例5】解答下列問題：
1、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，函數g(x)是定義在R 上的奇函數，且g(x)= f(x-
1)，則f(2017)+f(2019)的值為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A -1 B 1 C 0 D 無法計算
【解析】
【知識點】①周期函數定義與性質；②判斷函數是周期函數的基本方法；③奇函數定義與性
質；④偶函數定義與性質。
【解題思路】根據奇函數和偶函數的性質，結合問題條件，得到f(x)=g(x+1)，f(-x)=g(-x
+1)，從而得到g(-x)=g(x+2)，運用判斷函數是周期函數的基本方法，得到函數g(x)是以4
為周期的周期函數，由f(2017)= g(2016)，f(2019)= g(2018)，利用周期函數的性質求出
g(2016)+ g(2018)的值，從而求出f(2017)+f(2019)的值就可得出選項。
【詳細解答】 g(x)= f(x-1)， g(-x)= f(-x-1)，函數g(x)是定義在R 上的奇函數，
f(x-1)=- f(-x-1)， f(x)= -f(-x-2)， f(-x)=-f(x-2)，函數f(x)是定義在R 上
的偶函數， f(-x-2)=f(x-2)，f(x)=f(-x-4)=f(x+4)，函數f(x)是以4為周期的周
期函數， g(0)=0，f(0-1)= f(-1)= f(1)=0， f(3)= f(-3)=-f(1)=0，f(2017)
= f(504 4+1)= f(1)，f(2019)= f(5044+3)= f(3)， f(2017)+f(2019)= f(1)+
f(3)=0+0=0，C正確，選C。
2、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=- ，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(-105.5)= 。（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①周期函數定義與性質；②判斷函數是周期函數的基本方法；③偶函數的定義
與性質。
【解題思路】根據判斷函數是周期函數的基本方法，結合問題條件，得到函數f(x)是以4
為周期的周期函數，運用偶函數和周期函數的性質就可求出f(-105.5)的值。
【詳細解答】 f(x+2)=- ， f(x)=- ， f(x+2)=- ，
f(x)= f(x+4)，函數f(x)是以4為周期的周期函數，函數f(x)是定義在R 上的偶函數，
當2 x 3時，f(x)=x， f(-105.5)=f(105.5)= f(1.5)=1.5。
設函數f(x)在R 上滿足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判斷函數f(x)是不是周期數；
（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①周期函數定義與性質；②判斷函數是周期函數的基本方法。
【解題思路】根據問題條件，得出f(x+4)= f(x+14)，從而得到f(x)= f(x+10)，運用周期
函數的性質和判斷函數是周期函數的基本方法，就可判斷函數f(x)是以10為周期的周期函
數。
【詳細解答】 f(2-x)=f(2+x)， f(x)= f(4-x)， f(7-x)=f(7+x)， f(x)= f(14-x)，
f(4-x)= f(14-x)，f(4+x)= f(14+x)， f(x)= f(x+10)，函數f(x)是以10為周期的周期函數。
『思考問題5』
【典例5】是函數周期性判斷（或證明）的問題，解答這類問題需要理解周期函數的
定義，掌握周期函數判斷（或證明）的基本方法；
（2）判斷（或證明）函數是周期函數的基本方法是定義法；
（3）用定義法判斷（或證明）函數是周期函數的基本方法是：①確定一個常數T；②驗證
f(x+T)與f(x)的值是否相等；③得出函數是否是周期函數；
（4）周期函數的周期有無數個，最小正周期也是周期函數的一個周期。
〔練習5〕解答下列問題：
1、定義在R上的函數f(x)滿足f(x+6)=f(x)，當-3 x ＜-1時，f(x)= -，當-1x ＜
3時，f(x)=x，則f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；（成都市高2023級高一單元測試）（答
案：f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)=336。）
2、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=-f(x)，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(-106.5)= 。（成都市高2023級高一單元測試）（答案：f(-106.5)=2.5）
【典例6】解答下列問題：
1、已知函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(5)= ，則實數a的取值范圍為（ ）（成都市高2023級高一單元測試）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
【解析】
【知識點】①周期函數定義與性質；②偶函數定義與性質；③求解分式不等式的基本方法。
【解題思路】運用周期函數和偶函數的性質，結合問題條件，得出f(5)= f(23-1)= f(-1)
= f(1)，從而得到關于a的不等式，求解不等式求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數， f(5)= f(23-1)= f(-1)
= f(1)， f(1)＜1，f(5)= ，＜1，-12、（多選）已知函數 f(x)的定義域為R，且滿足以下三個條件：①f(-x)+f(x)=0；② f(x)=f(2-x)；③f(1)=2，則下列說法正確的有（ ）（成都市高2023級高一上期期末名校聯盟考試）
A 函數 f(x)的圖像關于直線x=-1軸對稱 B 函數 f(x)的圖像關于點（2，0）中心對稱 C f(x+4)=f(x) D f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=10
【解析】
【考點】①函數奇偶性定義與性質；②判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法；③軸對稱圖形定義與性質；④中心對稱圖形定義與性質；⑤周期函數定義與性質；⑥判斷（或證明）函數周期性的基本方法。
【解題思路】根據函數奇偶性，周期性，軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質，運用判斷（或證明）函數奇偶性和周期性的基本方法，結合問題條件對各選項說法的正確性進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】f(x)=f(2-x)，函數 f(x)的圖像關于直線x=1軸對稱，函數 f(x)的定義域為R關于原點對稱，f(-x)+f(x)=0， 函數 f(x)是奇函數， f(-x)=-f(x)=f(x-2)， f(x)=-f(x-2)， 函數 f(x)的圖像關于直線x=-1軸對稱，A正確；f(x)=-f(x+2)，
f(x)=f(x+4)，函數 f(x)是以4為周期的周期函數，C正確；f(-x)+f(x)=f(-x)+f(x+4)=0，f(-x)=-f(x+4)， 函數 f(x)的圖像關于點（2，0）中心對稱 ，B正確；f(1)=2，f(-1)
=-2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-2，f(4)=f(4+0)=f(0)=0，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0
=0，f(17）=f(44+1）=f(1)=2， f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=40+f(17）
=f(1)=2，D錯誤，綜上所述，A，B，C正確，選A，B，C。
3、函數f(x)=lg(a+ )為奇函數，則實數a= ；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①奇函數的定義與性質；②對數函數的定義與性質；③求解方程的基本方法。
【解題思路】運用奇函數和對數函數的性質，結合問題條件，得到關于a的方程，求解方程
就可求出實數a的值。
【詳細解答】函數f(x)=lg(a+ )為奇函數， f(-x)=lg(a+ )=- f(x)=-lg(a+ )
=lg ，=，a=-1。
4、設f(x)是以2為周期的函數，且當x ［1,3）時，f(x)=x-2，則f(-1)= ；（成都市高2023級高一單元測試）
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②求函數解析式的基本方法。
【解題思路】運用周期函數的性質和求函數解析式的基本方法，結合問題條件，求出函數
f(x)在區間［-1,1）的解析式就可求出f(-1)的值。
【詳細解答】設x ［-1,1），則x+2 ［1,3）， f(x)是以2為周期的函數，且當x ［1,3）時，f(x)=x-2， f(x)= f(x+2)=x+2-2=x， x ［-1,1）

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