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3.8 弧長及扇形面積七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：利用弧長公式求弧長
【經典例題1】如圖，在扇形中，，半徑，是上一點，連接，是上一點，且，連接．若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，弧長公式等知識點，掌握以上知識點是解答本題的關鍵．
連接，根據垂直平分線的性質得，可得是等邊三角形，求出，再根據弧長公式計算即可．
【詳解】解：如圖，連接，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
的長為，
故選：B．
【變式訓練1-1】如圖，在半徑為的上，為上一動點，將射線繞逆時針旋轉交于，取的中點，求在的運動過程中的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理推論，圓內接四邊形，圓周角定理，弧長公式，當點重合時，，由為中點，則，當點在運動過程中，在以為圓心，為半徑的上運動，然后根據弧長公式即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】如圖，取圓上一點，
∵，，
∴，
∴，
如圖，當點重合時，
∵，
∵為中點，
∴，
∴，
∴為直徑，
當點在運動過程中，在以為圓心，長度為半徑的上運動，
∵為中點，為中點，
∴，
∴，
∴在的運動過程中的路徑長為，
故選：．
【變式訓練1-2】如圖，在扇形中，，，則的長為 ．
【答案】
【分析】此題考查求弧長，把已知數據代入弧長公式計算即可，掌握弧長公式的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：的長=，
故答案為：．
【變式訓練1-3】如圖，四邊形內接于為的直徑，平分，若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】根據圓周角定理結合角平分線性質可推出是等腰直角三角形，先根據勾股定理求出的長，再根據弧長公式即可求出的長．
【詳解】解：連接，
∵四邊形內接于為的直徑，
，
平分，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
，
∴，
則的長，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形性質和判定，弧長公式等知識點，解題的關鍵是熟練掌握并運用相關知識．
【變式訓練1-4】在半徑是的圓中，的圓心角所對的弧長為 ．（結果保留）
【答案】
【分析】本題考查了弧長的計算，根據弧長公式，由此即可求解．
【詳解】解：的圓心角所對的弧長為，
故答案為： ．
【變式訓練1-5】如圖．是以 ABC的邊為直徑的外接圓，且，是上一點，且在的下方．
(1)求的度數．
(2)若，．求劣弧的長．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根據是的直徑可知，根據可求出，進而得出是等腰直角三角形，于是得到，最后根據同弧所對圓周角相等即可求解；
（2）連接，，根據是等腰直角三角形得到是等腰直角三角形，進而得到，
根據，得到的度數，進而根據圓周角定理得到的度數，最后根據弧長計算公式即可求解．
【詳解】（1）解：是的直徑，
．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）解：如圖，連接，．
由（1）知，，
是等腰直角三角形（底邊上三線合一），
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查圓周角定理，弧長公式，等腰三角形的判定與性質，同弧所對圓周角相等，掌握相關定義以及定理是解題的關鍵．
題型二：利用公式求扇形半徑
【經典例題2】已知扇形的面積是，圓心角，則這個扇形的半徑是 ．
【答案】2
【分析】本題考查的是扇形面積的計算，設該扇形的半徑是，再根據扇形的面積公式即可得出結論．
【詳解】解：設該扇形的半徑是，則
，
解得．
故答案為：2．
【變式訓練2-1】在數學實踐活動中，某同學用一張如圖1所示的矩形紙板制做了一個扇形，并有這個扇形，圍成一個圓錐模型（如圖2所示），若扇形的圓心角為，圓錐的底面半徑為，則此圓錐的母線長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓錐的相關知識、弧長的計算，設此圓錐的母線長為，由于圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到，然后解方程即可，熟練掌握圓錐的相關知識是解題關鍵．
【詳解】解：設此圓錐的母線長為，
根據題意得，解得，
即此圓錐的母線長為，
故答案為：．
【變式訓練2-2】如圖，從一塊圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，將剪下的扇形圍成一個圓錐，若圍成圓錐的底面半徑為1，則該圓錐的母線長是 ．
【答案】4
【分析】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．
連接，根據扇形圓心角為，得到B，O，C三點共線，為圓O的直徑，首先求得扇形的弧長，再利用弧長公式求出圓錐的母線長即可．
【詳解】解：如圖，連接，
，
為圓O的直徑，
B，O，C三點共線，
圍成圓錐的底面半徑為1，
，
，
，
故答案為：4．
【變式訓練2-3】如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型．若圓的半徑為1，扇形的圓心角等于，則扇形的半徑是 ．

【答案】4
【分析】本題主要考查扇形弧長計算，利用圓的周長就是扇形的弧長，根據弧長的計算公式即可求得半徑的長．
【詳解】解：設扇形的半徑是，
則，
解得：，
扇形的半徑是4．
故答案為：4．
【變式訓練2-4】如圖，如果一個扇形的圓心角為，弧長為，那么該扇形的半徑為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了弧長公式的應用，熟練掌握弧長公式是解答本題的關鍵．根據弧長公式，計算得到答案．
【詳解】解：設扇形的半徑是R，
則
解得：．
故答案為：．
【變式訓練2-5】如圖，用一個圓心角為150°的扇形圍成一個無底的圓錐，如果這個圓錐底面圓的半徑為5cm，則這個扇形的半徑是 cm．
【答案】12
【分析】根據底面圓的周長等于扇形的弧長，進行求解即可．掌握圓錐的底面圓的周長等于扇形的弧長，是解題的關鍵．
【詳解】解：設扇形的半徑為，
由題意，得：，
解得：，
故答案為：12．
題型三：利用公式求圓心角
【經典例題3】一個滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的直徑是，當重物上升時，滑輪的一條半徑繞軸心O按逆時針方向旋轉的角度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了弧長公式的計算，重物上升時，即弧長是，設旋轉的角度是，利用弧長公式計算即可得出答案，熟練掌握弧長公式是解此題的關鍵．
【詳解】解：滑輪的直徑是，
滑輪的半徑是，
設旋轉的角度是，
由題意得：，
解得：，
滑輪的一條半徑繞軸心按逆時針方向旋轉的角度約為，
故選：B．
【變式訓練3-1】如圖，折線段將面積為的分成兩個扇形，大扇形、小扇形的面積分別為，若，則稱分成的小扇形為“黃金扇形”，生活中的折扇大致是“黃金扇形”，則“黃金扇形”的圓心角約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查圓心角的計算，利用圓的周角等于，根據“黃金扇形”的定義列算式求解即可．
【詳解】解：“黃金扇形”的圓心角約為，
故選C．
【變式訓練3-2】(1)已知扇形的圓心角為，弧長等于，則該扇形的半徑是 ；
(2)如果一個扇形的半徑是1，弧長是，那么此扇形的圓心角的大小為 ．
【答案】 2 /60度
【分析】此題主要考查了弧長公式的應用，熟練掌握弧長公式是解題關鍵．直接利用扇形弧長公式代入求解即可．
【詳解】解：（1）設扇形的半徑為R，
則根據題意，得，
解得.
故該扇形的半徑是2．
（2）根據弧長公式得，
解得，
故扇形圓心角的大小為．
故答案為：2；．
【變式訓練3-3】“輪動發石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰國時期被廣泛應用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅動部分的示意圖，其中，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當順時針轉動3周時，⊙N上的點P隨之旋轉，則 ．
【答案】108
【分析】本題主要考查了求弧長．先求出點P移動的距離，再根據弧長公式計算，即可求解．
【詳解】解：根據題意得：點P移動的距離為，
∴，
解得：．
故答案為：108
【變式訓練3-4】在一個半徑為的圓上，截取一段長度為的圓弧，則這段圓弧所對的圓心角的度數為 ．
【答案】/140度
【分析】本題考查的知識點是求圓的周長、求圓心角，解題關鍵是熟練掌握求圓心角的方法．
先求出圓的周長，再根據即可求出所對的圓心角度數．
【詳解】解：該圓的周長為，
長度為的圓弧所對的圓心角度數為．
故答案為：．
【變式訓練3-5】若半徑為的扇形弧長為，則該扇形的圓心角度數為 ．
【答案】/45度
【分析】本題主要考查了弧長公式．
設該扇形的圓心角度數為，根據弧長公式建立方程即可求解．
【詳解】解：設設該扇形的圓心角度數為，
根據弧長公式得：，解得，即圓心角度數為．
故答案為：．
題型四：求某點弧形運動路徑長度
【經典例題4】某校開展研學活動，其中有“列隊訓練”的項目．我們以“向右轉”為例研究其中蘊含的數學知識，如圖，把右腳鞋底抽象成一條線段，忽略鞋底的摩擦、彈性等誤差．“向右轉”時，以鞋跟O為圓心，順時針旋轉得線段．若某同學右腳鞋底長，那么鞋尖A在“向右轉”的運動中路徑長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了軌跡、弧長公式等知識點，正確理解題意及熟練利用弧長公式是解題的關鍵．
根據鞋尖A在“向右轉”的運動中路徑是以O為圓心為半徑，圓心角為的一段弧，再利用弧長公式計算即可．
【詳解】解：依題意可知：鞋尖A在 “向右轉”的運動中路徑長是一段弧長，其半徑是,弧的圓心角為，
∴ 鞋尖A在“向右轉”的運動中路徑長.
故選：A．
【變式訓練4-1】如圖，在中，，，．將繞的中點O逆時針旋轉，點A，B，C的對應點分別為點D，E，F．當點E與點C第一次重合時，點A運動路徑的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了弧長公式，直角三角形的特征，旋轉的性質，連接，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，得到，進而得到，則，易知點E 與點C 第一次重合時，旋轉角為，根據旋轉的性質得到，點A 運動路徑的長為，利用弧長公式求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
在中，點O是的中點，，
，
，
，
，
點E與點C第一次重合時，旋轉角為，
，
由旋轉的性質得到，
點A運動路徑的長為，
點A運動路徑的長為：，
故選：A．
【變式訓練4-2】如圖，在中，，把 ABC繞點A順時針旋轉后，得到，則點B走過的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了勾股定理，求弧長，旋轉的性質，先利用勾股定理得到，再由由旋轉的性質可得，據此利用弧長公式求解即可．
【詳解】解：在中，由勾股定理得，
由旋轉的性質可得，
∴點B走過的路徑長為，
故選：D．
【變式訓練4-3】如圖，在平面直角坐標系中， ABC的頂點的坐標分別為，把繞著點A按順時針方向旋轉得到，點B的對應點為E，點C的對應點為F．
(1)在圖中畫出；
(2)點C的運動路徑長為____________；
(3)旋轉過程中線段掃過的面積為______．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查坐標系與圖形變換旋轉，以及弧長和扇形面積的計算．熟練掌握旋轉三要素，弧長和扇形的計算公式，是解題的關鍵．
（1）作出點、繞著點順時針旋轉得到的對應點，再首尾順次連接即可得；
（2）根據弧長公式求解可得；
（3）結合圖形知線段所掃過的面積為，再利用扇形的面積公式求解可得．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：∵，
∴點的運動路徑長為，
故答案為：；
（3）解：旋轉過程中線段掃過的面積為，
故答案為：．
【變式訓練4-4】如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為個單位長度， ABC的頂點、、都在格點上（兩條網格線的交點叫格點）．請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法） ．
(1)將 ABC繞點按順時針方向旋轉，點的對應點為，點的對應點為，畫出，
(2)連接，的面積為 ．
(3)點在旋轉過程中經過的路徑長為 ．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查作旋轉圖形，勾股定理，求弧長，掌握旋轉的性質是解題關鍵．
（1）根據旋轉的性質分別找到、、點的對應點，再依次連接即可；
（2）由勾股定理可求出，由旋轉的性質可得，，最后根據，即可求解；
（3）根據點在旋轉過程中經過的路徑長是以點位圓心，為半徑的圓周長的，以此計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）由圖可知，，，
，
由旋轉可知，，，
，
故答案為：；
（3），，
點在旋轉過程中經過的路徑長為，
故答案為：．
【變式訓練4-5】已知 ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．
(1)分別寫出圖中點A和點C的坐標；
(2)畫出 ABC繞點按順時針方向旋轉后的；
(3)求點A旋轉到點所經過的路線長（結果保留π）．
【答案】(1)、
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查平面直角坐標系中點的坐標的讀取、平面圖形的旋轉變換．屬于基本題型，掌握基本概念是解題關鍵．
（1）根據平面直角坐標系寫出點A、C的坐標即可；
（2）根據網格結構先找出點A、B、C繞點C順時針旋轉的對應點的位置，然后再找出旋轉后的三角形繞點B逆時針旋轉的對應點的位置，然后順次連接即可；
（3）根據勾股定理求出的長度，然后根據弧長公式列式求出點A所經過的路線長．
【詳解】（1）、；
（2）如圖，即為所求，
（3），
．
題型五：利用扇形面積公式求面積
【經典例題5】如圖，半徑，將圓沿折疊，點與圓心重合，圖中陰影部分面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，，，，與交于，由折疊的性質可證，是等邊三角形，由扇形面積公式可計算出扇形的面積，再求出的面積，由可求出陰影面積．本題考查了扇形面積的計算，等腰三角形的性質，軸對稱的性質，含的直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握分割法求陰影面積．
【詳解】解：連接，，，，與交于，
由折疊性質可得，，，，
，
，，
∴，是等邊三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
故選：D．
【變式訓練5-1】如圖，是上的點，半徑，，，連接，則扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了圓周角定義，扇形的面積，連接，由圓周角定理可得，進而得，再根據扇形的面積計算公式計算即可求解，掌握圓周角定理及扇形的面積計算公式是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，則，
∵，
∴，
∴，
故選：．
【變式訓練5-2】如圖，是邊長均為6的正八邊形和正六邊形的組合圖形，以頂點A為圓心，長為半徑畫圓，則陰影部分的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查正多邊形和圓，扇形面積的計算．根據正八邊形、正六邊形的性質求出它的內角的度數，進而求出陰影部分扇形的圓心角的度數，由扇形面積的計算方法進行計算即可．
【詳解】解：正八邊形和正六邊形，
，，
，
．
故答案為：．
【變式訓練5-3】如圖，以銳角的三條邊為直徑作圓．如果三角形外的陰影部分總面積為450，而三角形內部的深色陰影部分面積為90，則的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了扇形的面積的計算，圓的面積的計算，正確的識別圖形找出各圖形之間的關系是解題的關鍵． 設外的6個小弓形的面積和為
，觀察圖形得到外的3個半圓的面積和三角形外的陰影部分總面積外的3個半圓的面積和，得到的面積(另外3個半圓的面積和三角形內部的深色陰影部分面積)，于是得到答案
【詳解】解：設外的6個小弓形的面積和為，
外的3個半圓的面積和三角形外的陰影部分總面積外的3個半圓的面積和，
∴的面積(另外3個半圓的面積和三角形內部的深色陰影部分面積)
[另外3個半圓的面積和(外的3個半圓的面積和)]
；
故答案為∶．
【變式訓練5-4】某種商品的商標圖案如圖（圖中的陰影部分），已知的直徑，且，弧是以D為圓心，為半徑的弧，則商標圖案的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查圓周角定理的推論，扇形的面積公式，關鍵是掌握直徑所對的圓周角等于90°，
先求出，，再利用扇形面積公式求解即可
【詳解】解：∵，是的直徑，
∴，
∵弧是以D為圓心，為半徑的弧，
∴，
∴商標圖案的面積為：（）
故答案為：
【變式訓練5-5】如圖，為 ABC的外接圓，為的直徑，點D為的中點，連接．
(1)求證：．
(2)設交于點E，若，，．求陰影部分面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先根據圓周角定理可得，再根據垂徑定理的推論可得垂直平分，然后根據平行線的判定即可得證；
（2）設的半徑為，從而可得，再根據垂徑定理的推論可得，然后在中，利用勾股定理可得的值，求出的度數，最后利用扇形和三角形的面積公式即可得．
【詳解】（1）證明：∵為的直徑，
∴，即，
∵點D為的中點，
∴，
∴；
（2）解：設的半徑為，則，
，
，
∵點D為的中點，
∴，
，
在中，，即，
解得，
，
又，
，
，
∴陰影部分面積為．
【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理的推論、扇形的面積公式、勾股定理等知識點，熟練掌握并靈活運用各定理和公式是解題關鍵．
題型六：利用面積公式求弓形面積
【經典例題6】如圖，在四邊形中，先以點A為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點C，再以點C為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點A．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了扇形的面積、等邊三角形的判定與性質等知識，熟練掌握扇形的面積公式是解題關鍵．連接，過點作于點，先證出是等邊三角形，再根據圖中陰影部分的面積等于求解即可得．
【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，

由題意可知，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
則圖中陰影部分的面積為
，
故選：A．
【變式訓練6-1】如圖，在等腰 ABC中，，，以為直徑的交于點D，連接、，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓的性質，等腰三角形的性質，扇形面積公式，熟練掌握圓的性質，扇形面積公式是解題的關鍵．根據圓周角定理可得，再根據三角形中位線定理可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：∵，，為的直徑．
∴，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積為．
故答案為：
【變式訓練6-2】如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過圓心的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為 ．

【答案】
【分析】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計算，勾股定理的應用，熟記正六邊形的性質是解本題的關鍵．
如圖，連接，標注直線與圓的交點，由正六邊形的性質可得：，，三點共線，為等邊三角形，證明扇形與扇形重合，可得，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，標注直線與圓的交點，
由正六邊形的性質可得：，，三點共線，為等邊三角形，

∴，，
∴，
∴扇形與扇形重合，
∴，
∵為等邊三角形，，過作于，
∴，，，
∴；
故答案為：．
【變式訓練6-3】如圖，已知 ABC在邊長為1的小正方形的格點上，的外接圓的一部分和的邊組成的兩個弓形（陰影部分）的面積和為 ．
【答案】
【分析】本題考查了網格知識，勾股定理，弓形面積的求解，取格點，則點為的外接圓的圓心，先求出，再根據求解即可，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解 ：取格點，則點為的外接圓的圓心，如圖：
由網格可知，，
，
∵
，
故答案為：．
【變式訓練6-4】如圖，已知正六邊形的邊長為2，分別以頂點C，E為圓心，正六邊形邊長為半徑畫，兩弧的交點為O，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正六邊形的性質、扇形的面積、等邊三角形的判定與性質等知識點，連接，作，可推出四邊形是菱形；根據正六邊形的性質可得，進一步推出均為等邊三角形；根據陰影部分的面積即可求解．
【詳解】解：連接，作如圖所示：
由題意得：，
∴四邊形是菱形，
∵是正六邊形，
∴，
∴，
∴均為等邊三角形，
∴
∴
∴陰影部分的面積，
故答案為：
【變式訓練6-5】如圖，在邊長為3的等邊三角形中，以為直徑構造半圓，則圖中陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】連接，，，根據等邊三角形的判定與性質求出、、是邊長相等的等邊三角形，再根據陰影部分的面積求解即可．此題考查了扇形的面積、等邊三角形的性質，熟記扇形的面積公式是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，，，
是等邊三角形的邊長為3，
，，
以為直徑構造半圓，
，
、是等邊三角形，
，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
陰影部分的面積，
故答案為：．
題型七：利用面積公式求其他不規則圖形面積
【經典例題7】如圖，在邊長為1的正方形中，以各頂點為圓心，對角線的長的一半為半徑在正方形內畫弧，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了扇形面積以及圖形面積之間的轉化．
圖中陰影部分可以分為四個相同的圖形1，圖中陰影部分的面積四個相同的圖形1的面積之和，圖形1的面積四邊形的面積兩個全等的弓形面積，由此可計算出陰影部分的面積．
【詳解】解：圖中陰影部分可以分為四個相同的圖形1，圖形1如下圖所示：
圖中陰影部分的面積四個相同的圖形1的面積之和，
圖形1的面積四邊形的面積兩個全等的弓形面積，四邊形和弓形如下圖所示：
四邊形的面積，
弓形的面積扇形的面積三角形的面積，扇形和三角形如下圖所示：
扇形的面積，
三角形面積，
弓形的面積，
圖形1的面積，
圖中陰影部分的面積圖形1的面積．
故選：A．
【變式訓練7-1】如圖，在菱形中，已知，，以為直徑的與菱形ABCD相交，則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】
【分析】本題考查了扇形的面積，菱形的判定與性質，根據在菱形中，已知，，以為直徑的與菱形ABCD相交，可以得到圓的半徑和圓內各角的度數，然后根據陰影部分的面積求解即可．
【詳解】解：設與菱形的四條邊相交于E、F、G、H，連接，，，，，

在菱形中，，，
∴是等邊三角形，，
∴，
∵以為直徑的與菱形ABCD相交，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
同理，
∴四邊形是菱形，
∴，
同理、、都是等邊三角形，四邊形是菱形，
∴，
∴陰影部分面積為，
故答案為：．
【變式訓練7-2】如圖，在中，，，分別以的邊為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是 ．
【答案】
【分析】本題考查了弓形面積計算，陰影面積計算，勾股定理，設大陰影的面積為，小陰影的面積為，大弓形的面積為，小弓形的面積為，的面積為，得到；正確分割表示陰影的面積是解題的關鍵．
【詳解】設大陰影的面積為，小陰影的面積為，大弓形的面積為，小弓形的面積為，的面積為，
根據題意，得，，
∴，
∵，
∴
，
∵中，，，
∴，
．
故答案為：24．
【變式訓練7-3】如圖所示，在直角三角形中，，，從中剪掉兩個半徑相等的扇形，求陰影部分的面積為 ．（結果保留π）
【答案】
【分析】本題主要考查了直角三角形的面積和扇形的面積的計算，用直角三角形的面積減去兩個半徑相等的扇形的面積，就是剩余部分的面積．
【詳解】解：，
，
故答案為：．
【變式訓練7-4】如圖，直徑AB為6的半圓，繞A點逆時針旋轉，此時點B到了點，則圖中陰影部分的面積是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了扇形的面積的計算，根據陰影部分的面積以為直徑的半圓的面積扇形的面積以為直徑的半圓的面積，即可求解．
【詳解】解：陰影部分的面積以為直徑的半圓的面積扇形的面積以為直徑的半圓的面積扇形的面積，
則陰影部分的面積是：，
故答案為：．
【變式訓練7-5】如圖，等邊 ABC的邊長為2，的內切圓與三邊的切點分別為，，，以點為圓心，為半徑作，則陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】此題考查了正三角形的內切圓、等邊三角形的性質、扇形面積等知識，由等邊的邊長為2可得扇形的面積為，等邊的面積為，的面積為．即可求出陰影部分的面積．
【詳解】解：∵等邊的邊長為2，
∴，
∴等邊的面積為，扇形的面積為，的半徑為
∴的面積為．
陰影部分的面積
故答案為：
【變式訓練7-6】杭州西湖十景是杭州市西湖上的十處特色風景，一游客在去西湖游玩時買了一把印有西湖十景的折扇，打開后，如圖，小扇形的半徑為，弧長為，大扇形的半徑為，扇面的寬度為，則扇面的面積（陰影部分）是 （結果保留 π）．
【答案】
【分析】本題考查了求扇形面積，先根據小扇形的半徑為，弧長為，求出D的度數，根據列式代入數值進行計算，即可作答．
【詳解】解：設
∵小扇形的半徑為，弧長為
∴
則
則
∵大扇形的半徑為，扇面的寬度為，
∴
則
故答案為：
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3.8 弧長及扇形面積七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：利用弧長公式求弧長
【經典例題1】如圖，在扇形中，，半徑，是上一點，連接，是上一點，且，連接．若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】如圖，在半徑為的上，為上一動點，將射線繞逆時針旋轉交于，取的中點，求在的運動過程中的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】如圖，在扇形中，，，則的長為 ．
【變式訓練1-3】如圖，四邊形內接于為的直徑，平分，若，，則的長為 ．
【變式訓練1-4】在半徑是的圓中，的圓心角所對的弧長為 ．（結果保留）
【變式訓練1-5】如圖．是以 ABC的邊為直徑的外接圓，且，是上一點，且在的下方．
(1)求的度數．
(2)若，．求劣弧的長．
題型二：利用公式求扇形半徑
【經典例題2】已知扇形的面積是，圓心角，則這個扇形的半徑是 ．
【變式訓練2-1】在數學實踐活動中，某同學用一張如圖1所示的矩形紙板制做了一個扇形，并有這個扇形，圍成一個圓錐模型（如圖2所示），若扇形的圓心角為，圓錐的底面半徑為，則此圓錐的母線長為 ．
【變式訓練2-2】如圖，從一塊圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，將剪下的扇形圍成一個圓錐，若圍成圓錐的底面半徑為1，則該圓錐的母線長是 ．
【變式訓練2-3】如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型．若圓的半徑為1，扇形的圓心角等于，則扇形的半徑是 ．

【變式訓練2-4】如圖，如果一個扇形的圓心角為，弧長為，那么該扇形的半徑為 ．
【變式訓練2-5】如圖，用一個圓心角為150°的扇形圍成一個無底的圓錐，如果這個圓錐底面圓的半徑為5cm，則這個扇形的半徑是 cm．
題型三：利用公式求圓心角
【經典例題3】一個滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的直徑是，當重物上升時，滑輪的一條半徑繞軸心O按逆時針方向旋轉的角度為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖，折線段將面積為的分成兩個扇形，大扇形、小扇形的面積分別為，若，則稱分成的小扇形為“黃金扇形”，生活中的折扇大致是“黃金扇形”，則“黃金扇形”的圓心角約為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】(1)已知扇形的圓心角為，弧長等于，則該扇形的半徑是 ；
(2)如果一個扇形的半徑是1，弧長是，那么此扇形的圓心角的大小為 ．
【變式訓練3-3】“輪動發石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰國時期被廣泛應用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型，圖2是模型驅動部分的示意圖，其中，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當順時針轉動3周時，⊙N上的點P隨之旋轉，則 ．
【變式訓練3-4】在一個半徑為的圓上，截取一段長度為的圓弧，則這段圓弧所對的圓心角的度數為 ．
【變式訓練3-5】若半徑為的扇形弧長為，則該扇形的圓心角度數為 ．
題型四：求某點弧形運動路徑長度
【經典例題4】某校開展研學活動，其中有“列隊訓練”的項目．我們以“向右轉”為例研究其中蘊含的數學知識，如圖，把右腳鞋底抽象成一條線段，忽略鞋底的摩擦、彈性等誤差．“向右轉”時，以鞋跟O為圓心，順時針旋轉得線段．若某同學右腳鞋底長，那么鞋尖A在“向右轉”的運動中路徑長是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，在中，，，．將繞的中點O逆時針旋轉，點A，B，C的對應點分別為點D，E，F．當點E與點C第一次重合時，點A運動路徑的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖，在中，，把 ABC繞點A順時針旋轉后，得到，則點B走過的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】如圖，在平面直角坐標系中， ABC的頂點的坐標分別為，把繞著點A按順時針方向旋轉得到，點B的對應點為E，點C的對應點為F．
(1)在圖中畫出；
(2)點C的運動路徑長為____________；
(3)旋轉過程中線段掃過的面積為______．
【變式訓練4-4】如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為個單位長度， ABC的頂點、、都在格點上（兩條網格線的交點叫格點）．請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法） ．
(1)將 ABC繞點按順時針方向旋轉，點的對應點為，點的對應點為，畫出，
(2)連接，的面積為 ．
(3)點在旋轉過程中經過的路徑長為 ．
【變式訓練4-5】已知 ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．
(1)分別寫出圖中點A和點C的坐標；
(2)畫出 ABC繞點按順時針方向旋轉后的；
(3)求點A旋轉到點所經過的路線長（結果保留π）．
題型五：利用扇形面積公式求面積
【經典例題5】如圖，半徑，將圓沿折疊，點與圓心重合，圖中陰影部分面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】如圖，是上的點，半徑，，，連接，則扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，是邊長均為6的正八邊形和正六邊形的組合圖形，以頂點A為圓心，長為半徑畫圓，則陰影部分的面積是 ．
【變式訓練5-3】如圖，以銳角的三條邊為直徑作圓．如果三角形外的陰影部分總面積為450，而三角形內部的深色陰影部分面積為90，則的面積為 ．
【變式訓練5-4】某種商品的商標圖案如圖（圖中的陰影部分），已知的直徑，且，弧是以D為圓心，為半徑的弧，則商標圖案的面積為 ．
【變式訓練5-5】如圖，為 ABC的外接圓，為的直徑，點D為的中點，連接．
(1)求證：．
(2)設交于點E，若，，．求陰影部分面積．
題型六：利用面積公式求弓形面積
【經典例題6】如圖，在四邊形中，先以點A為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點C，再以點C為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點A．若，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練6-1】如圖，在等腰 ABC中，，，以為直徑的交于點D，連接、，則圖中陰影部分的面積為 ．
【變式訓練6-2】如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過圓心的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為 ．

【變式訓練6-3】如圖，已知 ABC在邊長為1的小正方形的格點上，的外接圓的一部分和的邊組成的兩個弓形（陰影部分）的面積和為 ．
【變式訓練6-4】如圖，已知正六邊形的邊長為2，分別以頂點C，E為圓心，正六邊形邊長為半徑畫，兩弧的交點為O，則圖中陰影部分的面積為 ．
【變式訓練6-5】如圖，在邊長為3的等邊三角形中，以為直徑構造半圓，則圖中陰影部分的面積為 ．
題型七：利用面積公式求其他不規則圖形面積
【經典例題7】如圖，在邊長為1的正方形中，以各頂點為圓心，對角線的長的一半為半徑在正方形內畫弧，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練7-1】如圖，在菱形中，已知，，以為直徑的與菱形ABCD相交，則圖中陰影部分的面積為 ．

【變式訓練7-2】如圖，在中，，，分別以的邊為直徑畫半圓，則陰影部分的面積是 ．
【變式訓練7-3】如圖所示，在直角三角形中，，，從中剪掉兩個半徑相等的扇形，求陰影部分的面積為 ．（結果保留π）
【變式訓練7-4】如圖，直徑AB為6的半圓，繞A點逆時針旋轉，此時點B到了點，則圖中陰影部分的面積是 ．
【變式訓練7-5】如圖，等邊 ABC的邊長為2，的內切圓與三邊的切點分別為，，，以點為圓心，為半徑作，則陰影部分的面積為 ．
【變式訓練7-6】杭州西湖十景是杭州市西湖上的十處特色風景，一游客在去西湖游玩時買了一把印有西湖十景的折扇，打開后，如圖，小扇形的半徑為，弧長為，大扇形的半徑為，扇面的寬度為，則扇面的面積（陰影部分）是 （結果保留 π）．
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