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第2課時　雙曲線的幾何性質的綜合問題
【學習目標】
　　理解雙曲線的離心率、漸近線.
【課前預習】
◆ 知識點一　雙曲線的離心率
我們把叫作雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率,用e表示.因為c>a>0,所以e=>1.決定雙曲線的開口大小,越大,雙曲線的開口就越大.因為===,所以　　　　,e也　　　　,從而離心率e可以用來表示雙曲線開口的程度.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
雙曲線的離心率越大,雙曲線的開口越大. (　 )
2.橢圓的離心率與雙曲線的離心率的取值范圍是否相同
◆ 知識點二　雙曲線的漸近線
一般地,直線y=x和y=-x稱為雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線.
直線y=x和y=-x稱為雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線.
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
雙曲線-=1與-=1(a>0,b>0)的漸近線相同. (　 )
2.當雙曲線的漸近線確定時,其標準方程能確定嗎
【課中探究】
◆ 探究點一　雙曲線的離心率
例1 (1)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的實軸長是虛軸長的3倍,則C的離心率為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
(2)已知A,B分別為焦點在x軸上的雙曲線E的左、右頂點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,且△ABM的頂角為120°,則E的離心率為 (　 )
A. B.2 C. D.
變式 (1)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,若在雙曲線C上存在點P(不是頂點),使得∠PF2F1=3∠PF1F2,則C的離心率的取值范圍為 (　 )
A.(,2) B.(,+∞)
C.(1,] D.(1,]
(2)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,且雙曲線上存在點P,使|PF1|=2|PF2|,求雙曲線離心率的取值范圍.
[素養小結]
求雙曲線離心率的值或取值范圍的方法:
(1)求a,b,c的值,由e2===1+或e=直接求e.
(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解.
拓展 設F1,F2分別是雙曲線M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線M交于A,B兩點,若點F2滿足·<0,則雙曲線的離心率e的取值范圍是 (　 )
A.1B.e>+1
C.1D.e>
◆ 探究點二　雙曲線的漸近線
例2 (1)雙曲線2x2-y2=-8的漸近線方程是 (　 )
A.y=±x
B.y=±2x
C.y=±x
D.y=±x
(2)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的一條漸近線的方程為 (　 )
A.x-y=0
B.x-y=0
C.x-y=0
D.x-y=0
變式 (1)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其兩條漸近線的夾角為　　　　.
(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x±y=0,其焦點到漸近線的距離為2,則此雙曲線的標準方程為　　　　　　　　　　.
[素養小結]
對于雙曲線的漸近線,有下面兩種考查方式:
(1)已知雙曲線的方程求其漸近線方程;
(2)給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程,由漸近線方程可確定a,b的關系,結合已知條件可解.
拓展 過雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左焦點F作C的一條漸近線的垂線l,垂足為M,l與C的另一條漸近線交于點N,且+=0,則C的漸近線方程為 (　 )
A.2x±y=0
B.x±y=0
C.x±y=0
D.x±y=0
◆ 探究點三　與雙曲線有關的軌跡問題
例3 (1)已知P是圓F1:(x+3)2+y2=16上的一個動點,點F2(3,0),線段PF2的垂直平分線交直線PF1于點Q,則點Q的軌跡方程為 (　 )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1(x>0)
(2)已知M(-2,0),圓C:x2-4x+y2=0,動圓P經過M點且與圓C相切,則動圓圓心P的軌跡方程是 (　 )
A.x2-=1(x≥1)
B.-y2=1(x≥)
C.x2-=1
D.-y2=1
變式 動圓M截直線x-3y=0和3x-y=0所得的弦長分別為8,4,則動圓圓心M的軌跡是 (　 )
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
[素養小結]
求與雙曲線有關的軌跡方程常用下列方法:1.待定系數法;2.直譯法;3.定義法;4.相關點法.
第2課時　雙曲線的幾何性質的綜合問題
【課前預習】
知識點一
越大　越大
診斷分析 1.√
2.解:不相同.雙曲線的離心率的取值范圍是(1,+∞);橢圓的離心率的取值范圍是(0,1).
知識點二
診斷分析 1.×
2.解:不能.每條雙曲線對應唯一一組漸近線,但當漸近線確定時,它對應無數條雙曲線,且其焦點可能在x軸上,也可能在y軸上.
【課中探究】
例1　(1)B　(2)D　[解析] (1)由題可知a=3b,所以e2=1+=,所以e=.故選B.
(2)由題意可設雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),不妨設M在雙曲線-=1(a>0,b>0)的左支上,則∠MAB=120°,|MA|=|AB|=2a.過點M作MN⊥x軸,垂足為N,在Rt△AMN中,|AN|=|AM|=a,|MN|=a,∴點M的坐標為(-2a,a),代入雙曲線方程得4-=1,則a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,∴e=,故選D.
變式　(1)A　[解析] 設PF1與y軸交于點Q,連接QF2,則|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1,因為∠PF2F1=3∠PF1F2,所以點P在雙曲線的右支上,且易知∠PF2Q=2∠PF1F2=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|,可得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a.在Rt△QOF1中(其中O為坐標原點),|QF1|>|OF1|,即2a>c,故e=<2.由∠PF2F1=3∠PF1F2,且三角形內角和為180°,得∠PF1F2<=45°,則cos∠PF1F2=>cos 45°,即>,即e=>,所以C的離心率的取值范圍為(,2).故選A.
(2)解:設A為雙曲線的右頂點,O為坐標原點,∵在雙曲線上存在一點P,使得|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|-|PF2|=2|PF2|-|PF2|=|PF2|=2a,即在雙曲線右支上存在點P,使得|PF2|=2a,可得|AF2|≤2a,∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a,∴c≤3a.又∵c>a,∴a拓展　B　[解析] ∵·<0, ∴||·||·cos∠AF2B<0,∴∠AF2B為鈍角,∴<∠AF2F1<,∴tan∠AF2F1>1,∴>1,又∵|AF1|=,|F1F2|=2c,∴>1,∴c2-a2>2ac,∴e>+1或e<1-(舍去).故選B.
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)方程2x2-y2=-8可化為-=1,則a=2,b=2,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.故選C.
(2)因為C的離心率e==,所以=,所以漸近線的方程為x±y=0.故選B.
變式　(1)　(2)x2-=1或-=1　[解析] (1)因為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,所以e==,所以=1,即=1,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x,所以兩條漸近線的夾角為.
(2)因為漸近線方程為2x±y=0,所以可設雙曲線的方程為4x2-y2=λ(λ≠0).當λ>0時,方程可化為-=1,此時雙曲線焦點為,則焦點到漸近線的距離為=2,得λ=4,則雙曲線的標準方程為x2-=1.當λ<0時,方程可化為-=1,此時雙曲線焦點為,則焦點到漸近線的距離為=2,解得λ=-16,則雙曲線的標準方程為-=1.所以此雙曲線的標準方程為x2-=1或-=1.
拓展　B　[解析] 設雙曲線的右焦點為F1,O為坐標原點,則OM,ON為雙曲線的兩條漸近線.由題意知,FM⊥OM,因為+=0,所以M為線段FN的中點,則△FON為等腰三角形,則∠FOM=∠NOM,又∠FOM=∠F1ON,所以∠FOM=,所以雙曲線的漸近線方程為x±y=0.故選B.
例3　(1)C　(2)C　[解析] (1)由題可知圓F1的圓心為F1(-3,0),|PF1|=4,F2(3,0),∵線段PF2的垂直平分線交直線PF1于點Q,∴|QP|=|QF2|,∴||QF1|-|QF2||=||QF1|-|QP||=|PF1|=4,又|F1F2|=6>4,∴點Q的軌跡為以F1,F2為焦點且實軸長為4的雙曲線,則a=2,c=3,∴b=,∴點Q的軌跡方程為-=1.故選C.
(2)由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=4,則圓C的圓心為C(2,0),半徑r=2,設動圓P的半徑為R.若動圓P與圓C相內切,則圓C在圓P內,所以|PM|=R,|PC|=R-2,所以|PM|-|PC|=2<|MC|=4,所以動點P是以M(-2,0),C(2,0)為焦點的雙曲線的右支,且a=1,c=2,所以b==,所以動圓圓心P的軌跡方程是x2-=1(x≥1).若動圓P與圓C相外切,則|PM|=R,|PC|=R+2,所以|PC|-|PM|=2<|MC|=4,所以動點P是以M(-2,0),C(2,0)為焦點的雙曲線的左支,且a=1,c=2,所以b==,所以動圓圓心P的軌跡方程是x2-=1(x≤-1).綜上可得,動圓圓心P的軌跡方程是x2-=1.故選C.
變式　C　[解析] 設動圓的圓心為M(x,y),半徑為r,則點M到直線x-3y=0的距離d1=,點M到直線3x-y=0的距離d2=,則r2=+42=+22,即+42=+22,整理可得x2-y2=15,即-=1,故動圓圓心M的軌跡是雙曲線.故選C.

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