資源簡介

§2　圓與圓的方程
2.1　圓的標準方程
第1課時　圓的標準方程
【學(xué)習(xí)目標】
　　回顧確定圓的幾何要素,在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程.
【課前預(yù)習(xí)】
◆ 知識點一　圓的標準方程
1.圓的標準方程的表示
圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標準方程是　　　　　　　　　　　.
　　　　和　　　　分別確定了圓的位置和大小,從而確定了圓,所以只要a,b,r(r>0)三個量確定了,圓的方程就唯一確定了.
2.幾種常見的特殊的圓的方程
條件 方程形式
圓心在原點 x2+y2=r2(r>0)
圓過原點 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)
圓與x軸相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)
圓與y軸相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)
圓與兩坐標軸都相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示圓. (　 )
(2)若圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0),則該圓的圓心為(a,b),半徑為m. (　 )
(3)圓心是原點的圓的標準方程是x2+y2=r2(r>0). (　 )
(4)已知A(x1,y1),B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0. (　 )
◆ 知識點二　點與圓的位置關(guān)系
點M(x0,y0)與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷方法如下:
位置關(guān)系 利用點到圓心的距離判斷 利用方程判斷
點M在圓上 |CM|　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　r2
點M在圓外 |CM|　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　r2
點M在圓內(nèi) |CM|　　r (x0-a)2+(y0-b)2　　r2
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)點P(1,3)在圓x2+y2=24上. (　 )
(2)點(2,2)在圓(x-1)2+(y+2)2=1外. (　 )
2.已知點P(1,-1)在圓(x+2)2+y2=m的內(nèi)部,求實數(shù)m的取值范圍.
【課中探究】
◆ 探究點一　圓的標準方程的判斷
例1 (1)圓(x+2)2+(y-3)2=2的圓心和半徑分別是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(2,3), B.(-2,-3),2
C.(2,3),1 D.(-2,3),
(2)下面方程為圓的標準方程的是 (　 )
A.(x+2)2+(y-1)2=-1
B.(x-4)2+(y+5)2=log2
C.(x-π)2+(y+e)2=0.01
D.(x-1)2+(y-1)2=k2
變式 下面方程為圓的標準方程的是 (　 )
A.(x-1)2+(x+3)2=3
B.(x-1)2+(y-1)2=a
C.x2+y2-2x+2=0
D. y2+(x-1)2=1
[素養(yǎng)小結(jié)]
對圓的標準方程的認識:左邊是平方和結(jié)構(gòu),即(x-a)2+(y-b)2,右邊是一個正數(shù).
◆ 探究點二　求圓的標準方程
例2 (1)圓心為原點,半徑是5的圓的標準方程為　　　　　　　　.
(2)圓心為點C(2,1),半徑是的圓的標準方程為　　　　　　　　.
(3)經(jīng)過原點和點(3,-1)且圓心在直線3x+y-5=0上的圓的標準方程為　.
變式 (1)直線+=1與x軸、y軸分別交于點A,B,以線段AB為直徑的圓的標準方程為 (　 )
A.(x-2)2+(y-1)2=4
B.(x-2)2+(y-1)2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=4
D.(x-1)2+(y-2)2=5
(2)過點A(1,-2),B(3,4)且周長最小的圓的標準方程為　　　　　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
利用待定系數(shù)法確定圓的標準方程
由三個獨立條件得到三個方程,解方程組得到圓的標準方程中的三個參數(shù),從而確定圓的標準方程.這種方法是求圓的方程最常用的方法,一般步驟是:
①設(shè)——設(shè)所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);
②列——由已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程組;
③解——解方程組,求出a,b,r;
④代——將a,b,r代入所設(shè)方程,得所求圓的標準方程.
◆ 探究點三　點與圓的位置關(guān)系
例3 已知點A(1,0),B(1,2)與圓O:x2+y2=4,則 (　 )
A.點A與點B都在圓O外
B.點A在圓O外,點B在圓O內(nèi)
C.點A在圓O內(nèi),點B在圓O外
D.點A與點B都在圓O內(nèi)
變式 若點(1,1)在圓(x-a)2+y2=5的內(nèi)部,則實數(shù)a的取值范圍是 (　 )
A.(-1,3)
B.(-2,2)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
[素養(yǎng)小結(jié)]
(1)判斷點與圓的位置關(guān)系的方法
①計算該點與圓的圓心之間的距離,與半徑作比較即可;
②把點的坐標代入圓的標準方程,判斷等式兩邊的大小關(guān)系,并作出判斷.
(2)靈活運用
若已知點與圓的位置關(guān)系,也可利用以上兩種方法列出不等式或方程,求解參數(shù)范圍或大小.
拓展 [2024·山東煙臺高二期中] 已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=r2上總存在兩個點到原點的距離為2,則圓C的半徑r的取值范圍是 (　 )
A.(3,5) B.(5,7)
C.(3,7) D.(3,+∞)
§2　圓與圓的方程
2.1　圓的標準方程
第1課時　圓的標準方程
【課前預(yù)習(xí)】
知識點一
1.(x-a)2+(y-b)2=r2　圓心　半徑
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
知識點二
=　=　>　>　<　<
診斷分析 1.(1)×　(2)√
2.解:因為P(1,-1)在圓(x+2)2+y2=m的內(nèi)部,所以(1+2)2+(-1)210,即m的取值范圍為(10,+∞).
【課中探究】
例1　(1)D　(2)C　變式　D
例2　(1)x2+y2=25　(2)(x-2)2+(y-1)2=3　(3)+y2=　[解析] (3)設(shè)該圓的圓心為C(a,5-3a),因為該圓經(jīng)過原點和點(3,-1),所以=,解得a=,可得C,則該圓的半徑為=,故所求圓的標準方程為+y2=.
變式　(1)B　(2)(x-2)2+(y-1)2=10　[解析] (1)因為直線+=1在x軸、y軸上的截距分別為4,2,所以A(4,0),B(0,2),所以線段AB的中點坐標為(2,1),且圓的半徑r=|AB|=×=,故以線段AB為直徑的圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=5.故選B.
(2)連接AB,當(dāng)圓以線段AB為直徑時,圓的周長最小,此時,線段AB的中點(2,1)即為圓心,因為|AB|==2,所以圓的半徑r=,所以所求圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=10.
例3　C
變式　A　[解析] 因為點(1,1)在圓(x-a)2+y2=5的內(nèi)部,所以(1-a)2+12<5,解得-1拓展　C　[解析] 由圓心為C(3,4),得原點與C(3,4)之間的距離d=5.因為總存在兩個點到原點的距離為2,所以若原點在圓外,則可得3

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