資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　理解圓的幾何性質(zhì).
【課前預(yù)習(xí)】
◆ 知識(shí)點(diǎn)　圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
由圓的方程x2+y2=r2(r>0),可得圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì):
(1)范圍
由方程x2+y2=r2可得圓上任意一點(diǎn)P(x,y)都滿足不等式|x|≤r,|y|≤r,這說(shuō)明圓上的所有點(diǎn)都在兩條平行直線x=-r,x=r和兩條平行直線y=-r,y=r圍成的　　　　之間.
(2)對(duì)稱性
根據(jù)方程x2+y2=r2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn):若點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足方程x2+y2=r2,則點(diǎn)P分別關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)　　　　,　　　　,　　　　的坐標(biāo)也都滿足方程x2+y2=r2,這說(shuō)明圓x2+y2=r2既是關(guān)于　　　　和　　　　的軸對(duì)稱圖形,也是關(guān)于　　　　的中心對(duì)稱圖形.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)都滿足不等式|x|≤r,|y|≤r. (　 )
(2)若圓關(guān)于直線對(duì)稱,則直線一定過(guò)該圓的圓心. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點(diǎn)一　與直線相關(guān)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例1 過(guò)點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(x-1)2+(y-1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-3)2+(y+1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
變式 已知圓C的圓心在直線y=x上,且與y軸相切于點(diǎn)(0,5),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (　 )
A.(x+5)2+(y-5)2=25
B.(x-5)2+(y-5)2=25
C.(x-5)2+(y-5)2=5
D.(x+5)2+(y-5)2=5
[素養(yǎng)小結(jié)]
求具備一定條件的圓的方程時(shí),關(guān)鍵是確定圓的兩個(gè)幾何要素,即圓心和半徑,常用待定系數(shù)法.在一些問(wèn)題中借助圓的平面幾何知識(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算,如已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)時(shí),其圓心一定在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上,解題時(shí)要注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用.
◆ 探究點(diǎn)二　圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
例2 (1)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x+4)2+(y-2)2=4,則x的最大值為 (　 )
A.3 B.2
C.-1 D.-2
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是圓C:(x-3)2+(y-4)2=1上的動(dòng)點(diǎn),若A(-a,0),B(a,0),a≠0,則|+|的最大值為　　　　.
變式 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓C:x2+(y-2)2=1上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(1,0),B(-1,0),則·的最大值為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí),借助于圓的幾何性質(zhì),往往可以簡(jiǎn)化思路,簡(jiǎn)便運(yùn)算.
◆ 探究點(diǎn)三　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
例3 已知點(diǎn)(x,y)在曲線(x-2)2+y2=1上,則的最大值是 (　 )
A.6 B.25
C.26 D.36
變式 一束光線從點(diǎn)A(-1,1)射出,經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是(　 )
A.4 B.2
C.5 D.6
[素養(yǎng)小結(jié)]
求解與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題時(shí),一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.
拓展 [2024·山東泰安高二期中] 已知點(diǎn)(x,y)在曲線x-1=上,則的最大值,最小值分別為 (　 )
A.+2,-2
B.+2,
C.,-2
D.,
第2課時(shí)　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的綜合應(yīng)用
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)
(1)正方形　(2)P1(x,-y)　P2(-x,y)　P3(-x,-y)
x軸　y軸　原點(diǎn)
診斷分析 (1)×　(2)√
【課中探究】
例1　A　[解析] 因?yàn)锳(1,-1),B(-1,1),所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),kAB==-1,所以線段AB的中垂線的斜率k=1,所以線段AB的中垂線的方程為y=x,即圓心在直線y=x上.又因?yàn)閳A心在直線x+y-2=0上,所以由解得所以圓心坐標(biāo)為(1,1),圓的半徑r==2,所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=4.故選A.
變式　B　[解析] 設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,a),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,5),連接AC,由于圓C與y軸相切于點(diǎn)A(0,5),所以AC⊥y軸,可得a=5,所以圓心C的坐標(biāo)為(5,5),圓C的半徑為|AC|=5,因此,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(y-5)2=25.故選B.
例2　(1)D　(2)12　[解析] (1)由題可知,點(diǎn)(x,y)為圓(x+4)2+(y-2)2=4上的點(diǎn),圓心坐標(biāo)為(-4,2),半徑r=2,則-6≤x≤-2,即x的最大值是-2,故選D.
(2)易知|+|=2||,且||max=|OC|+1=+1=6,所以|+|max=12.
變式　8　[解析] 因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在圓C上,所以x2+(y-2)2=1,則x2=1-(y-2)2,且1≤y≤3.因?yàn)?(1-x,-y),=(-1-x,-y),所以·=x2-1+y2=-(y-2)2+y2=4y-4,由1≤y≤3,得0≤4y-4≤8,即·的最大值為8.
例3　A　[解析] d=表示圓(x-2)2+y2=1上的點(diǎn)到點(diǎn)(5,-4)的距離,所以d的最大值為圓心(2,0)到點(diǎn)(5,-4)的距離加上半徑1,故dmax=+1=6.故選A.
變式　A　[解析] 點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(-1,-1),圓C的圓心為C(2,3),半徑r=1,連接BC,所以最短路程是|BC|-1=-1=5-1=4.故選A.
拓展　B　[解析] 由x-1=,可得(x-1)2+y2=4(x≥1),此方程表示的曲線是以A(1,0)為圓心,2為半徑的圓的右半部分,設(shè)點(diǎn)B在第一象限,且AB⊥x軸,垂足為A,交該半圓于點(diǎn)B.顯然表示點(diǎn)P(0,4)與此半圓上的點(diǎn)的距離,其最大值為|PA|+2,最小值為|PB|,易知B(1,2),|PB|==,|PA|==,所以的最大值為+2,最小值為.故選B.

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