資源簡介

第二章　圓錐曲線
§1　橢圓
1.1　橢圓及其標準方程
【學習目標】
　　1.了解橢圓的實際背景.2.經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程.3.掌握橢圓的定義及橢圓的標準方程.
【課前預習】
◆ 知識點一　橢圓的定義
1.平面內到兩個定點F1,F2的距離之　　　等于常數(　　　　　　)的點的集合(或軌跡)叫作橢圓.這兩個定點F1,F2叫作　　　　　,兩個焦點間的距離|F1F2|叫作　　　　　　　.
2.橢圓的定義中提到的“常數”常用　　　　表示,焦距常用　　　　表示.設點M為橢圓上任意一點,則橢圓的定義的數學表達式為　　　　　　　　　　　　.
3.橢圓定義的三個要點:
(1)在平面內,F1,F2是兩個　　　　;
(2)|MF1|+|MF2|為　　　　;
(3)定長2a　　　　|F1F2|.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面內到點F1,F2的距離之和等于2的點的軌跡是橢圓. (　 )
(2)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面內到點F1,F2的距離之和等于4的點的軌跡是橢圓. (　 )
(3)已知F1(-2,0),F2(2,0),平面內到點F1,F2的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓. (　 )
◆ 知識點二　橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 　　　　　　　 　　　　　　　
圖形
(續表)
焦點在x軸上 焦點在y軸上
焦點及坐標 　　　　　 　　　　　
a,b,c的關系 　　　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)橢圓的焦點只能在坐標軸上. (　 )
(2)方程+=1(m>0,n>0)不一定表示橢圓. (　 )
(3)兩種橢圓的標準方程中,有時a>b>0,有時b>a>0. (　 )
◆ 知識點三　點和橢圓的位置關系
點P(x0,y0)與焦點在x軸上的橢圓+=1(a>b>0)的關系如下:
點P(x0,y0)在橢圓+=1上的充要條件是　　　　　　;
點P(x0,y0)在橢圓+=1內部的充要條件是　　　　　　;
點P(x0,y0)在橢圓+=1外部的充要條件是　　　　　　.
點P(x0,y0)與焦點在y軸上的橢圓+=1(a>b>0)的關系有類似的結論.
【診斷分析】 探索不在橢圓上的點到兩焦點的距離之和與2a的大小關系.
【課中探究】
◆ 探究點一　橢圓的定義
例1 (1)設定點F1(0,-3),F2(0,3),動點P滿足條件|PF1|+|PF2|=a2-2a+7(a∈R),則動點P的軌跡是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.橢圓 B.線段
C.橢圓或線段 D.圓
(2)(多選題)下列說法中錯誤的是 (　 )
A.已知F1(-4,0),F2(4,0),則平面內到F1,F2的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓
B.已知F1(-4,0),F2(4,0),則平面內到F1,F2的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓
C.平面內到點F1(-4,0),F2(4,0)的距離之和等于點M(5,3)到F1,F2的距離之和的點的軌跡是橢圓
D.平面內到點F1(-4,0),F2(4,0)的距離相等的點的軌跡是橢圓
變式 已知動圓P過點M(-2,0),且與圓N:x2+y2-4x-28=0相切,則圓心P的軌跡是什么
[素養小結]
橢圓上一點P與該橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△F1PF2稱為焦點三角形,解關于橢圓中的焦點三角形的問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識.對于求焦點三角形的面積的問題,若已知∠F1PF2,則可利用公式S=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2.具體求解時可把|PF1|·|PF2|看成一個整體,利用定義|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|的值,這樣可以減少運算量.
拓展 已知M為圓P:(x+2)2+y2=36上的一個動點,定點Q(2,0),線段MQ的垂直平分線交線段PM于點N,則點N的軌跡為 (　 )
A.線段 B.直線
C.圓 D.橢圓
◆ 探究點二　橢圓的標準方程
例2 (1)已知橢圓的中心在原點,焦點F1,F2在x軸上,且橢圓經過點P(2,),同時|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,則橢圓的標準方程為 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)求滿足下列條件的橢圓的標準方程.
①橢圓兩個焦點的坐標分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經過點(5,0);
②橢圓的焦點在x軸上,且a∶b=2∶1,c=.
變式 求滿足下列條件的橢圓的標準方程.
(1)橢圓經過點(2,-),;
(2)橢圓過點(,-),且與橢圓+=1有相同的焦點.
[素養小結]
確定橢圓方程過程中的“定位”與“定量”
提醒:若橢圓的焦點位置不確定,需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況進行討論,也可設橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
拓展 當3◆ 探究點三　點和橢圓的位置關系
例3 求證點A(bcos θ,asin θ)(0≤θ<2π)在橢圓+=1上.
變式 若點A(1,m)在橢圓C:+=1的內部,則實數m的取值范圍是　　　　.
[素養小結]
在判斷點與橢圓的位置關系時,可以類比點與圓的三種位置關系.
1.1　橢圓及其標準方程
【課前預習】
知識點一
1.和　大于|F1F2|　橢圓的焦點　橢圓的焦距
2.2a　2c　|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)　
3.(1)定點　(2)定長　(3)>
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√
知識點二
+=1(a>b>0)　+=1(a>b>0)　F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　b2=a2-c2
診斷分析 (1)×　(2)√　(3)×　
知識點三
+=1　+<1　+>1
診斷分析
解:到兩焦點距離之和大于2a的點在橢圓外;到兩焦點距離之和小于2a的點在橢圓內.
【課中探究】
例1　(1)C　(2)ABD　[解析] (1)由F1(0,-3),F2(0,3),得|F1F2|=6,因為a2-2a+7=(a-1)2+6≥|F1F2|=6,所以動點P滿足條件|PF1|+|PF2|=|F1F2|或|PF1|+|PF2|>|F1F2|,所以動點P的軌跡是線段或橢圓.故選C.
(2)對于A,|F1F2|=8,則平面內到F1,F2的距離之和等于8的點的軌跡是線段,所以A中說法錯誤;對于B,因為|F1F2|=8,且到F1,F2的距離之和等于6<8,所以這樣的點的軌跡不存在,所以B中說法錯誤;對于C,點M(5,3)到F1,F2的距離之和為+=4>|F1F2|=8,則點的軌跡是橢圓,所以C中說法正確;對于D,該軌跡應是線段F1F2的垂直平分線,所以D中說法錯誤.故選ABD.
變式　解:由題意知,圓N的標準方程為(x-2)2+y2=32,
因為(-2-2)2+02=16<32,所以點M在圓N內,于是圓P與圓N內切,所以|PN|=4-|PM|,因此|PN|+|PM|=4>|MN|=4,所以動點P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓.
拓展　D　[解析] 連接NQ,易知|NM|=|NQ|,因為|NP|+|NM|=6,所以|NP|+|NQ|=6>|PQ|=4,所以點N的軌跡是以P,Q為焦點的橢圓.
例2　(1)A　[解析] 由題意可設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),則+=1(a>b>0)①,又|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,所以2a=4c,即a=2c②,因為a2-b2=c2③,所以由①②③得a2=8,b2=6,c2=2,所以橢圓的標準方程為+=1.故選A.
(2)解:①∵橢圓的焦點在x軸上,∴可設其標準方程為+=1(a>b>0).∵2a=+=10,∴a=5.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9.故所求橢圓的標準方程為+=1.
②∵c=,∴a2-b2=c2=6.由a∶b=2∶1,得a=2b,得4b2-b2=6,解得b2=2,∴a2=8.∵橢圓的焦點在x軸上,∴橢圓的標準方程為+=1.
變式　解:(1)方法一:若橢圓的焦點在x軸上,則設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),由已知條件得解得所以所求橢圓的標準方程為+=1.若橢圓的焦點在y軸上,則設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),由已知條件得解得則a=2,b=2,與a>b>0矛盾,所以應舍去.
綜上,所求橢圓的標準方程為+=1.
方法二:設橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).分別將(2,-),的坐標代入方程,得解得所以所求橢圓的標準方程為+=1.
(2)因為所求橢圓的焦點與橢圓+=1的焦點相同,所以所求橢圓的焦點在y軸上,且其焦距2c=2=8.
設所求橢圓的標準方程為+=1(a>b>0).
因為2c=8,所以a2-b2=16①.
又點(,-)在橢圓上,所以+=1,
即+=1②.由①②得b2=4,a2=20,所以所求橢圓的標準方程為+=1.
拓展　解:∵30且k-3>0.若9-k>k-3,即3例3　證明:將點A的坐標代入方程+=1中,得+=sin2θ+cos2θ=1,
所以點A(bcos θ,asin θ)(0≤θ<2π)在橢圓+=1上.
變式　　[解析] 由題意可知+<1,解得-

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