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1.2　橢圓的簡單幾何性質
第1課時　橢圓的簡單幾何性質
【學習目標】
　　1.掌握橢圓的簡單幾何性質.
　　2.了解橢圓標準方程中a,b,c,e的幾何意義.
【課前預習】
◆ 知識點　橢圓的簡單幾何性質
1.橢圓的幾何性質
標準方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
圖形
(續表)
標準方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0)
性 質 焦點 　　　　　 　　　　　
焦距 |F1F2|=2c(c=)
范圍 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
對稱性 關于　　　　　　　　　對稱
長軸 |A1A2|=2a,其中a為長半軸長
短軸 |B1B2|=2b,其中b為短半軸長
頂點 　　　　　 　　　　　
離心率 　　　(02.離心率對橢圓扁圓程度的影響
(1)離心率
橢圓的焦距與長軸長度的比叫作橢圓的離心率,用e表示,即　　　　,顯然0(2)離心率對橢圓扁圓程度的影響
如圖所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,記e=,則0【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)橢圓的頂點一定在坐標軸上. (　 )
(2)橢圓+=1(a>b>0)的長軸長是a.(　 )
(3)若橢圓的對稱軸為坐標軸,長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的方程為+=1. (　 )
(4)橢圓+=1比橢圓+=1更扁一些. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　橢圓的簡單幾何性質
例1 求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點坐標、焦點坐標和離心率:
(1)+=1;
(2)+=1;
(3)4x2+9y2=1.
變式 [2024·蘭州一中高二期中] 已知橢圓x2+=2(m>0)的離心率e=,求m的值及橢圓的長軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標.
[素養小結]
解決橢圓幾何性質問題的方法是先將所給方程化為標準形式,然后根據方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上,再利用a,b,c之間的關系和定義,求橢圓的基本量.
◆ 探究點二　橢圓的簡單幾何性質的應用
例2 求滿足下列條件的橢圓的標準方程.
(1)橢圓過點(3,0),離心率e=;
(2)橢圓在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直,且其焦距為8;
(3)橢圓經過點M(1,2),且與橢圓+=1有相同的離心率.
變式 已知橢圓的對稱軸是坐標軸,O為坐標原點,F是一個焦點,A是一個頂點,若橢圓的長軸長是26,cos∠OFA=,則橢圓的方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
[素養小結]
利用橢圓的幾何性質求其標準方程的思路
(1)當利用橢圓的幾何性質求橢圓的標準方程時,通常采用待定系數法,其步驟是:
①確定焦點的位置;
②設出相應橢圓的標準方程;
③根據已知條件列方程(組),常用的關系式有b2=a2-c2,e=等.
(2)不能確定橢圓的焦點位置時,滿足題意的橢圓的標準方程可能有兩個.
提醒:與橢圓+=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程為+=k1(k1>0,焦點在x軸上)或+=k2(k2>0,焦點在y軸上).
◆ 探究點三　橢圓的離心率
例3 (1)若一個橢圓的長軸長2a、短軸長2b和焦距2c滿足2a+2c=2×2b,則該橢圓的離心率是 (　 )
A. B. C. D.
(2)如圖,A,B,C分別為橢圓+=1(a>b>0)的左頂點、上頂點與右焦點,若∠ABC=90°,求該橢圓的離心率.
變式 (1)[2024·黃山高二期中] 已知矩形ABCD的四個頂點都在橢圓+=1(a>b>0)上,邊AD和BC分別經過橢圓的左、右焦點,且2|AB|=|BC|,則該橢圓的離心率為 (　 )
A.-1+ B.2-
C.-1+ D.2-
(2)已知橢圓C:+=1(a>b>0),其上頂點為A,左、右焦點分別為F1,F2,且△AF1F2為等邊三角形,則橢圓C的離心率為 (　 )
A. B.
C. D.
[素養小結]
求橢圓離心率的值或范圍的兩種方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c,可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據條件建立a,b,c的齊次關系式,借助a2=b2+c2,轉化為關于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同時除以a的最高次冪,得到關于e的方程或不等式,即可求得e的值或范圍.
拓展 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,若橢圓上存在點P,使得∠A1PA2=120°,則橢圓C的離心率的取值范圍為　　　　.
1.2　橢圓的簡單幾何性質
第1課時　橢圓的簡單幾何性質
【課前預習】
知識點
1.F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　-a≤x≤a,-b≤y≤b　-b≤x≤b,-a≤y≤a　x軸、y軸和原點
(±a,0),(0,±b)　(0,±a),(±b,0)　e=
2.(1)=e　(2)扁　圓
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√
【課中探究】
例1　解:(1)由橢圓方程+=1可知其焦點在y軸上,a=3,b=,則c=,所以該橢圓的長軸長為6,短軸長為2,焦距為2;上、下頂點坐標分別為(0,3),(0,-3),左、右頂點坐標分別為(-,0),(,0);上、下焦點坐標分別為(0,),(0,-),離心率e=.
(2)由橢圓方程+=1可知其焦點在x軸上,可得a=13,b=12,則c=5,所以該橢圓的長軸長為26,短軸長為24,焦距為10;上、下頂點坐標分別為(0,12),(0,-12),左、右頂點坐標分別為(-13,0),(13,0);左、右焦點坐標分別為(-5,0),(5,0),離心率e=.
(3)將橢圓方程4x2+9y2=1整理變形成標準方程可得+=1,易知其焦點在x軸上,可得a=,b=,則c=,所以該橢圓的長軸長為1,短軸長為,焦距為;上、下頂點坐標分別為,,左、右頂點坐標分別為,;左、右焦點坐標分別為,,離心率e==.
變式　解:由x2+=2整理得+=1.因為m>0,所以該橢圓的焦點在y軸上且a2=2(m+3),b2=2.
又因為e=,所以e2=1-=1-=,解得m=1,所以橢圓的方程為+=1,可得a=2,b=,則c==.所以橢圓的長軸長為4,焦距為2,焦點坐標為(0,±),上、下頂點坐標分別為(0,2),(0,-2),左、右頂點坐標分別為(-,0),(,0).
例2　解:(1)若橢圓的焦點在x軸上,則a=3,∵e==,∴c=,∴b2=a2-c2=9-6=3,∴橢圓的標準方程為+=1.若橢圓的焦點在y軸上,則b=3,由e=====,解得a2=27,∴橢圓的標準方程為+=1.綜上,所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
(2)由題意知橢圓的焦點在x軸上,可設橢圓的方程為+=1(a>b>0).設該橢圓的一個焦點為F,O為坐標原點,短軸的兩個端點分別為A1,A2,則△A1FA2為等腰直角三角形,易知OF為斜邊A1A2的中線(高),則在△A1FA2中,|OF|=|OA1|=|OA2|,
∵|OF|=c,|A1A2|=2b,且橢圓的焦距為8,
∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32,
故所求橢圓的標準方程為+=1.
(3)方法一:設+=1的離心率為e,所求橢圓的長半軸長為a,短半軸長為b,由題意知e2=1-=.
∵所求橢圓與橢圓+=1的離心率相同,
∴=,即a2=2b2,可設所求橢圓的標準方程為+=1或+=1,
將點M(1,2)的坐標代入橢圓的標準方程中,得+=1或+=1,解得b2=或b2=3.
故所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
方法二:由題意設所求橢圓的方程為+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),將點M的坐標代入可得+=k1,+=k2,解得k1=,k2=,故+=或+=,即所求橢圓的標準方程為+=1或+=1.
變式　D　[解析] 由cos∠OFA=知A是短軸的端點,∵長軸長是26,∴|FA|=13,即a=13,由cos∠OFA==,得c=5,∴b2=132-52=122=144,∴橢圓的方程為+=1或+=1.
例3　(1)C　[解析] 由2a+2c=2×2b,得a+c=2b,則(a+c)2=4b2=4(a2-c2),所以3a2-5c2=2ac,等號兩邊同時除以a2,整理得5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍去),故選C.
(2)解:設該橢圓的焦距為2c,由題意可得A(-a,0),B(0,b),C(c,0),
則kAB=,kCB=-,
因為∠ABC=90°,所以kAB·kBC=·=-1,
則b2=ac=a2-c2,整理可得e2+e-1=0,
解得e=,
又1>e>0,所以e=.
變式　(1)A　(2)A　[解析] (1)由橢圓方程知,當x=c時,y=±,所以|AB|=2c,|BC|=.因為2|AB|=|BC|,所以4c=,即2ac=b2=a2-c2,所以2e=1-e2,可得e=-1+,故選A.
(2)由題可知,橢圓C的離心率e==cos∠AF1F2=cos=.故選A.
拓展　　[解析] 易知當點P為橢圓與y軸的交點時,∠A1PA2最大,由題可知此時
∠A1PA2≥120°,即∠A2PO≥60°(O為坐標原點),則tan∠A2PO=≥tan 60°=,即a≥b,即a2≥3b2,即a2≥3(a2-c2),得2a2≤3c2,不等號兩邊同時除以a2得3e2≥2,又0

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