資源簡介

第2課時　橢圓的幾何性質的綜合問題
【學習目標】
　　1.了解橢圓系方程的設法.
　　2.結合橢圓的定義,會用代數法、幾何法求橢圓中的最值問題.
【課前預習】
◆ 知識點　兩個橢圓的關系問題
1.共焦點的橢圓系方程
①與橢圓+=1(a>b>0)有公共焦點的橢圓系方程為+=1(a>b>0,λ>-b2);
②與橢圓+=1(a>b>0)有公共焦點的橢圓系方程為+=1(a>b>0,λ>-b2).
2.同離心率的橢圓系方程
①與橢圓+=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓系方程為+=λ(a>b>0,λ>0)或+=λ(a>b>0,λ>0);
②與橢圓+=1(a>b>0)有相同離心率的橢圓系方程為+=λ(a>b>0,λ>0)或+=λ(a>b>0,λ>0).
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)橢圓的頂點坐標、長軸長、短軸長、離心率都與焦點所在的坐標軸有關. (　 )
(2)橢圓方程+=1(a>b>0)中的參數不能刻畫橢圓的扁平程度,而能刻畫橢圓的扁平程度. (　 )
(3)離心率相同的橢圓是同一個橢圓. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　兩個橢圓的關系問題
例1 過點(-3,2)且與橢圓+=1有相同焦點的橢圓的標準方程是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
變式 橢圓+=1與橢圓+=1(k<9且k≠0)的 (　 )
A.長軸長相等 B.短軸長相等
C.離心率相等 D.焦距相等
[素養小結]
在求兩個橢圓的關系問題時,常有兩種思路:(1)由橢圓的幾何性質來進行判斷求解;(2)由橢圓系方程來判斷求解.
◆ 探究點二　橢圓中的最值問題
例2 (1)已知焦點在x軸上的橢圓+=1,且a+c=4,F,A分別是橢圓的左焦點和右頂點,P是橢圓上任意一點,則·的最大值為(　 )
A.8 B.10
C.12 D.16
(2)已知橢圓的標準方程為+=1,則橢圓上的點P到橢圓中心O的距離|OP|的取值范圍為 (　 )
A.[6,10] B.[6,8]
C.[8,10] D.[16,20]
變式 設F1是橢圓+=1的左焦點,P為橢圓上任意一點,點Q的坐標為(-1,4),則|PQ|+|PF1|的最大值為　　　　.
[素養小結]
最值問題常涉及一些不等式.例如:在橢圓+=1(a>b>0)中,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0◆ 探究點三　與橢圓有關的軌跡問題
例3 已知面積為16的正方形ABCD的頂點A,B分別在x軸和y軸上滑動,O為坐標原點,=+,則動點P的軌跡方程是 (　 )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
變式 (1)將圓x2+y2=4上所有點的橫坐標不變,縱坐標變為原來的一半,所得曲線的方程是　　　　　　.
(2)已知圓x2+y2=12上的動點P在y軸上的射影為Q,O為坐標原點,動點M滿足(1-)=-,則動點M的軌跡方程為　　　　　　.
[素養小結]
解決與橢圓有關的軌跡問題的三種方法:
(1)直接法:直接法即根據所滿足的幾何條件,將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x,y的形式,即F(x,y)=0,然后進行等價變換,化簡為f(x,y)=0.
(2)定義法:看所求動點的軌跡是否符合橢圓的定義,若符合橢圓的定義,則用待定系數法求解即可.
(3)相關點法:有些問題中的動點軌跡是由另一個動點按照某種規律運動而形成的,只要把所求動點的坐標“轉移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去,即可解決問題,這種方法稱為相關點法.
拓展 在平面直角坐標系中,已知點A(0,2)與B(0,-2),動點M(x,y)滿足直線AM,BM的斜率之積為-,則點M的軌跡方程為　　　　　　　　.
◆ 探究點四　橢圓簡單幾何性質的實際應用
例4 如圖①,韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋,具有樁深、塔高、梁重、跨大的特點,它跨越了曲江區、湞江區、武江區,成為連接曲江區與芙蓉新城的重要交通橋梁,大橋承擔著實現韶關“三區融合”的重要使命.韶州大橋的橋塔外形近似橢圓,示意圖如圖②.若橋塔所在面截橋面所得線段記為AB,且AB過橢圓的下焦點,|AB|=44,橋塔最高點P到橋面的距離為110,則此橢圓的離心率為 (　 )
A. B. C. D.
變式 如圖,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面)的一部分.燈絲位于橢圓的一個焦點F1上,由F1發出的光線,經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點F2.已知此橢圓的離心率為,且|F1F2|=5 cm,則燈絲發出的光線經反射鏡面反射后到達另一個焦點時所經過的路程為 (　 )
A.9 cm B.10 cm
C.14 cm D.18 cm
[素養小結]
求解橢圓的實際應用問題的思路:
(1)通過數學抽象找出實際問題中的橢圓;
(2)建立適當的坐標系,通過橢圓的方程或幾何性質解決實際問題.
第2課時　橢圓的幾何性質的綜合問題
【課前預習】
知識點
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×
【課中探究】
例1　A　[解析] 由題意知所求橢圓的焦點為(±,0),設其方程為+=1(a>),將點(-3,2)的坐標代入方程可得+=1,得a2=15,故所求橢圓的標準方程為+=1,故選A.
變式　D　[解析] 易知所以=16;所以=16=,則兩橢圓的焦距相等,D正確.因為所以兩橢圓的長軸長不相等,短軸長不相等,A,B錯誤.根據e=知,兩橢圓的離心率不相等,C錯誤.故選D.
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)因為橢圓+=1的焦點在x軸上,所以a2=8+c2.由解得所以橢圓方程為+=1,則左焦點F(-1,0),右頂點A(3,0).設P(x0,y0),則+=1,所以=8,則·=(-1-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=-2x0-3+=-2x0-3+8-=-2x0+5=(x0-9)2-4,x0∈[-3,3],可知當x0=-3時,·取得最大值12.故選C.
(2)方法一:設點P(x0,y0),則|OP|=,且|x0|≤a=10,|y0|≤b=8.∵點P在橢圓上,∴+=1,則=64-,∴|OP|=.∵0≤≤100,∴64≤+64≤100,即8≤|OP|≤10.
方法二:設點P(x0,y0),其中x0=10cos θ,y0=8sin θ,θ∈[0,2π),則|OP|===,∵cos2θ∈[0,1],∴8≤|OP|≤10.故選C.
變式　11　[解析] 設該橢圓的右焦點為F2,連接PF2.因為+>1,所以點Q在橢圓外.由題意可得a=3,b=,c===2,所以F1(-2,0),F2(2,0),因為|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF1|+|PQ|=6-|PF2|+|PQ|≤6+|QF2|,當且僅當Q,F2,P三點共線,且F2在線段PQ上時,等號成立.因為|QF2|==5,所以|PF1|+|PQ|≤11.
例3　B　[解析] 設P(x,y),A(x1,0),B(0,y2),因為正方形ABCD的面積為16,所以|AB|=4,所以+=16.由=+,可得即則+(2y)2=16,整理得+=1.故選B.
變式　(1)+y2=1　(2)+=1　[解析] (1)設圓x2+y2=4上一點的坐標為(x,y),經變換后所對應點的坐標為(x',y'),因為圓x2+y2=4上所有點的橫坐標不變,縱坐標變為原來的一半,所以即所以(x')2+(2y')2=4,即+y'2=1,所以所得曲線的方程為+y2=1.
(2)設M(x,y),P(x0,y0),則Q(0,y0).由(1-)=-,得=,則(-x0,0)=(-x,y0-y),可得因為點P(x,y)在圓x2+y2=12上,所以(x)2+y2=12,即+=1,所以動點M的軌跡方程為+=1.
拓展　+=1(x≠0)　[解析] ∵kAM·kBM=-,∴·=-,化簡得+=1.當M位于y軸上時,直線AM,BM的斜率均不存在,不合題意,舍去.故點M的軌跡方程為+=1(x≠0).
例4　D　[解析] 取橢圓的中心為坐標原點,對稱軸為坐標軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設橢圓方程為+=1(a>b>0),令y=-c,則+=1,解得x=±,依題意可得所以所以=,所以e==.故選D.
變式　A　[解析] 以F1F2所在直線為x軸,F1F2的中點為原點,建立平面直角坐標系.設橢圓的方程為+=1(a>b>0),因為橢圓的離心率為,且|F1F2|=5 cm,所以e==,2c=5,可得a=,c=,所以由橢圓的定義得所求路程為2a=9(cm).故選A.

展開更多......

收起↑