資源簡介

2.2　圓的一般方程
【學習目標】
　　1.在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的一般方程.
　　2.會將圓的一般方程化為圓的標準方程,并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小.
【課前預習】
◆ 知識點　圓的一般方程
將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)配方得　　　　　　　　　　　　　　　.
當D2+E2-4F>0時,方程(*)表示以　　　　　　為圓心,　　　　　　　　為半徑的圓,我們把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)叫作圓的一般方程.
(1)圓的一般方程的特點是:①x2,y2的系數都是　　　　;②不含　　　　這樣的二次項;③D2+E2-4F　　　　0.
(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0并不一定表示圓,當其系數滿足D2+E2-4F>0時,它表示　　　　;當D2+E2-4F=0時,它表示一個　　　　;當D2+E2-4F<0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實數解,它不表示任何圖形.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)圓的一般方程可以化為圓的標準方程. (　 )
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某個圓的方程. (　 )
(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圓,則E≠0. (　 )
(4)在圓的一般方程中,當D=0時,圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的圓心在x軸上. (　 )
(5)任何一個圓的方程都能寫成一個二元二次方程. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　圓的一般方程的判斷
例1 下列方程各表示什么圖形 若表示圓,求出其圓心和半徑.
(1)x2+y2-4x=0;
(2)x2+y2-4x-2y+5=0;
(3)2x2+2y2-3x+4y+6=0.
例2 討論方程x2+y2-2y+λ(x2+y2-2x)=0(λ為任意實數)所表示的曲線.
變式 (多選題)若方程x2+y2-ax+2ay+2a+1=0表示圓,則實數a的可能取值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.4 B.2 C.0 D.-2
[素養小結]
二元二次方程與圓的關系:
形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時可有如下方法:由圓的一般方程的定義判斷D2+E2-4F是否為正,若D2+E2-4F>0,則方程表示圓,否則不表示圓;也可將方程配方變形成“標準”形式后,利用公式寫出圓心坐標,利用公式r=求出半徑.
◆ 探究點二　求圓的一般方程
例3 已知圓M過點A(1,1),B(1,-2),C(3,-2),求圓M的方程.
變式 [2024·新疆伊犁高二期中] 圓C:x2+y2-6x+4y-12=0關于直線l:x-y-1=0對稱的圓的一般方程為　　　　　　　　　.
[素養小結]
求圓的方程主要有兩種方法:定義法和待定系數法.定義法是根據題目利用定義判斷曲線為圓,求出圓心坐標和半徑,從而得到圓的方程;待定系數法是列出關于D,E,F的方程組,求出D,E,F,從而得到圓的一般方程.
拓展 如圖所示,四邊形ABCD是一塊草坪,其中AB=BC=2,∠ABC=120°,∠ADC=60°.現在要在草坪中的某個位置M建一個燈柱,要求M到草坪四個頂點A,B,C,D的距離都相等,則M到四個頂點的距離等于　　　　.
◆ 探究點三　圓的一般方程的綜合問題
例4 (1)(多選題)已知圓C:x2+y2-4x-1=0,則下列說法正確的是 (　 )
A.圓C關于點(2,0)對稱
B.圓C關于直線y=0對稱
C.圓C關于直線x+3y-2=0對稱
D.圓C關于直線x-y+2=0對稱
(2)[2024·重慶萬州高二期中] 若(2,1),(4,2),(3,4),(1,m)四點共圓,則m的值為 (　 )
A.2或3 B.或2
C.或3 D.或3
變式 (1)若曲線C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的點均在第二象限內,則a的取值范圍為 (　 )
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
(2)已知圓C:x2+y2-4x-2y=m+1不經過第三象限,則實數m的最大值為　　　　.
[素養小結]
解決與圓有關的綜合問題時,一定要結合圓的幾何性質與代數關系特點,綜合運用求解.
拓展 (多選題)已知圓C:x2+y2-4x+6y+11=0與點A(0,-5),則 (　 )
A.圓C的半徑為2
B.點A在圓C外
C.點A與圓C上任一點之間距離的最大值為3
D.點A與圓C上任一點之間距離的最小值為
2.2　圓的一般方程
【課前預習】
知識點
+=　
　(1)①1　②xy　③>　(2)圓　點
診斷分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　
【課中探究】
例1　解:(1)因為(-4)2=16>0,
所以該方程表示圓,又-=2,-=0,
所以該圓的圓心為(2,0),半徑r==2.
(2)因為(-4)2+(-2)2-4×5=16+4-20=0,
所以該方程表示點,又-=2,-=1,
所以該方程表示的點的坐標是(2,1).
(3)原方程可化為x2+y2-x+2y+3=0,
因為+22-3×4=+4-12<0,
所以該方程無實數解,方程不表示任何圖形.
例2　解:方程x2+y2-2y+λ(x2+y2-2x)=0可化為 (λ+1)x2+(λ+1)y2-2λx-2y=0.
當λ+1=0,即 λ=-1時,原方程可化為y=x,此時該方程表示直線;當 λ+1≠0,即 λ≠-1時,原方程可化為+=,該方程表示以為圓心,以 為半徑的圓.綜上所述,當λ=-1時,方程表示直線x=y;當λ≠-1時,方程表示以 為圓心,以 為半徑的圓.
變式　AD　[解析] 因為方程x2+y2-ax+2ay+2a+1=0表示圓,所以(-a)2+(2a)2-4(2a+1)>0,可得5a2-8a-4>0,即(5a+2)(a-2)>0,所以a<-或a>2.觀察選項,只有4和-2符合題意.故選AD.
例3　解:設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則解得所以圓M的方程為x2+y2-4x+y+1=0.
變式　x2+y2+2x-4y-20=0　[解析] 方程x2+y2-6x+4y-12=0可化為(x-3)2+(y+2)2=25,故該圓的圓心坐標為(3,-2),半徑為5.設對稱圓的圓心坐標為(m,n),則點在直線l上,且兩圓心所在直線與直線l垂直,所以--1=0,且=-1,可得m=-1,n=2.顯然,對稱圓的半徑也為5,則所求圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=25,一般方程為x2+y2+2x-4y-20=0.
拓展　2　[解析] 因為∠ABC+∠ADC=180°,所以A,B,C,D四點共圓,則原問題轉化為求四邊形ABCD外接圓的半徑.以點B為原點,AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(-2,0),B(0,0),C(1,),設四邊形ABCD外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,分別將A,B,C三點的坐標代入求得D=2,E=-2,F=0,故外接圓的方程為x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-)2=4,所以外接圓的半徑為2.故M到四個頂點的距離等于2.
例4　(1)ABC　(2)A　[解析] (1)方程x2+y2-4x-1=0可化為(x-2)2+y2=5,所以該圓的圓心坐標為(2,0).圓是關于圓心對稱的中心對稱圖形,而點(2,0)是該圓的圓心,故A選項正確;圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形,直線y=0過圓心,故B選項正確;直線x+3y-2=0過圓心,故C選項正確;直線x-y+2=0不過圓心,故D選項不正確.故選ABC.
(2)設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),則解得所以圓的方程為x2+y2-5x-5y+10=0.又點(1,m)在圓上,所以1+m2-5-5m+10=0,整理得m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.故選A.
變式　(1)D　(2)-1　[解析] (1)由題意,曲線C的標準方程為(x+a)2+(y-2a)2=4,因此曲線C是圓心為(-a,2a),半徑為2的圓,∵曲線C上所有的點均在第二象限內,∴解得a>2,∴a的取值范圍是(2,+∞),故選D.
(2)圓的方程可整理為(x-2)2+(y-1)2=m+6,則圓心C的坐標為(2,1),所以|OC|==(其中O為坐標原點).因為圓C不經過第三象限,所以≥>0,解得-6拓展　BCD　[解析] 依題意,圓C的標準方程為(x-2)2+(y+3)2=2,則圓心C(2,-3),半徑r=,故A不正確;因為點A(0,-5),所以|AC|=2>r,即點A在圓C外,故B正確;由|AC|=2,r=,可得點A與圓C上任一點之間距離的最小值為,最大值為3,故C,D正確.故選BCD.

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