資源簡介

§2　雙曲線
2.1　雙曲線及其標準方程
【學習目標】
　　1.了解雙曲線的實際背景.
　　2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線的過程.
　　3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.
【課前預習】
◆ 知識點一　雙曲線的定義
1.雙曲線的定義:平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之　　　　　　等于常數(shù)(　　　　　　　　)的點的集合(或軌跡)叫作雙曲線.這兩個定點F1,F2叫作雙曲線的焦點,兩個焦點間的距離叫作雙曲線的　　　　.
2.設點M為雙曲線上一點,則雙曲線的定義的數(shù)學表達式為　　　　　　　　　　,焦距常用　　　　表示.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)已知兩定點F1(-3,0),F2(3,0),滿足條件|PF1|-|PF2|=5的動點P的軌跡是雙曲線. (　 )
(2)已知兩定點F1(-3,0),F2(3,0),滿足條件||PF1|-|PF2||=6的動點P的軌跡是雙曲線. (　 )
(3)已知兩定點F1(-3,0),F2(3,0),滿足條件||PF1|-|PF2||=7的動點P的軌跡是雙曲線. (　 )
◆ 知識點二　雙曲線的標準方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖象
標準方程 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
(續(xù)表)
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
焦點坐標 　　　　　 　　　　　
a,b,c的關系 　　　　　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)對于雙曲線的標準方程,參數(shù)a,b,c中,最大的一定是c. (　 )
(2)方程-=1(mn>0)表示的曲線一定是雙曲線. (　 )
(3)在雙曲線方程-=1(a>0,b>0)中,必有a>b>0. (　 )
【課中探究】
◆探究點一　雙曲線的定義
例1 (1)已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,當a=3或a=5時,點P的軌跡分別為(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.雙曲線或一條直線
B.雙曲線或兩條直線
C.雙曲線的一支或一條直線
D.雙曲線的一支或一條射線
(2)[2024·內(nèi)蒙古高二期中] 若雙曲線C:-=1上的點P到左焦點的距離為9,則P到右焦點的距離為 (　 )
A.15 B.3
C.3或15 D.5或12
變式 (1)已知圓C1:(x+2)2+y2=,圓C2:(x-2)2+y2=,若動圓P與圓C1,C2都外切,則動圓的圓心P的軌跡是 (　 )
A.雙曲線的一支 B.一條射線
C.橢圓 D.圓
(2)方程|-|=8化簡后的結果是 (　 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[素養(yǎng)小結]
雙曲線上的點P與其兩個焦點F1,F2連接而成的三角形PF1F2稱為焦點三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,θ∈(0,π),因為|F1F2|=2c,所以有
(1)定義:|r1-r2|=2a.
(2)余弦定理:4c2=+-2r1r2cos θ.
(3)面積公式:=r1r2sin θ.
一般地,在△PF1F2中,利用以上三個等式,所求問題都會順利解決.
拓展 已知F1,F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點.
(1)若雙曲線上一點M到雙曲線的一個焦點的距離為16,求點M到另一個焦點的距離;
(2)若P是雙曲線左支上一點,且|PF1|·|PF2|=32,求△F1PF2的面積.
◆ 探究點二　雙曲線的標準方程
例2 求滿足下列條件的雙曲線的標準方程.
(1)b=4,雙曲線的一個焦點的坐標是(-8,0);
(2)c=6,雙曲線焦點在x軸上,且雙曲線過點A(-5,2);
(3)雙曲線經(jīng)過點A(-7,-6),B(,-3).
變式 (1)a=4,c=6,且焦點在x軸上;
(2)經(jīng)過點P(-3,2),Q(-6,-7).
[素養(yǎng)小結]
雙曲線標準方程的兩種求法:
(1)定義法:根據(jù)雙曲線的定義得到相應的a,b,c,再寫出雙曲線的標準方程.
(2)待定系數(shù)法:首先設出雙曲線的標準方程為-=1或-=1(a>0,b>0),然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù),代入方程即可.
特別地,若雙曲線的焦點的位置不明確,則應注意分類討論,也可以設雙曲線方程為mx2+ny2=1,注意標明條件mn<0.
◆ 探究點三　雙曲線的實際問題
例3 某航天飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(分別記為A,B,C),A在B的正東方向上,A,B兩地相距6千米,C在B的北偏西30°方向上,B,C兩地相距4千米,P為航天員著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.
變式 已知A,B兩地相距600 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地早1 s,且聲速為340 m/s.以線段AB的中點為坐標原點,的方向為x軸的正方向建立平面直角坐標系xOy,則炮彈爆炸點的軌跡方程為 (　 )
A.-=1(x<0)
B.-=1(x<0)
C.-=1(x>0)
D.-=1(x>0)
[素養(yǎng)小結]
利用雙曲線解決實際問題的基本步驟如下:
(1)建立適當?shù)淖鴺讼?
(2)求出雙曲線的標準方程;
(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應用問題.
注意:實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.
§2　雙曲線
2.1　雙曲線及其標準方程
【課前預習】
知識點一
1.差的絕對值　大于零且小于|F1F2|　焦距
2.||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|　2c
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)×
知識點二
-=1(a>0,b>0)　-=1(a>0,b>0)
F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　c2=a2+b2
診斷分析 (1)√　(2)√　(3)×
【課中探究】
例1　(1)D　(2)A　[解析] (1)易知|AB|=10,∵當a=3時,2a=6,∴點P的軌跡為雙曲線的一支(靠近點B).∵當a=5時,2a=10,∴點P的軌跡是以B為端點的一條射線.故選D.
(2)設雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F2,則|PF1|=9.因為a=3,c==7,所以|PF1|變式　(1)A　(2)D　[解析] (1)由題可得圓C1的圓心為C1(-2,0),半徑為,圓C2的圓心為C2(2,0),半徑為.設動圓P與圓C1、圓C2外切的切點分別為A,B,則C1,A,P共線,C2,B,P共線,則|PC1|-|PC2|=|PA|+|AC1|-(|PB|+|BC2|),因為|PA|=|PB|,所以|PC1|-|PC2|=|AC1|-|BC2|=2,又|C1C2|=4>2,所以點P的軌跡為以C1,C2為焦點的雙曲線的右支.故選A.
(2)設P(x,y),A(-5,0),B(5,0),則由已知得||PA|-|PB||=8,即動點P到兩個定點A,B的距離之差的絕對值等于常數(shù)8,又|AB|=10,且8<10,所以根據(jù)雙曲線的定義知,動點P的軌跡是以A,B為焦點,實軸長為8的雙曲線.設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),則2a=8,2c=10,所以a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9,所以雙曲線的標準方程為-=1,即方程|-|=8化簡后的結果是-=1.故選D.
拓展　解:因為雙曲線的標準方程為-=1,所以a=3,b=4,c==5.
(1)由雙曲線的定義得||MF1|-|MF2||=2a=6,設點M到另一個焦點的距離為x,因為雙曲線上一點M到雙曲線的一個焦點的距離為16,所以|16-x|=6,解得x=10或x=22,故點M到另一個焦點的距離為10或22.
(2)由題意知|PF2|-|PF1|=2a=6,將等號兩邊同時平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,則|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===0,且∠F1PF2∈(0°,180°),所以∠F1PF2=90°,故=|PF1|·|PF2|=×32=16.
例2　解:(1)由題意知,c=8,b=4,且雙曲線的焦點在x軸上,
所以a2=c2-b2=48,
故所求雙曲線的標準方程為-=1.
(2)因為雙曲線的焦點在x軸上,所以可設其標準方程為-=1(a>0,b>0).因為雙曲線過點A(-5,2),所以-=1,又c2=a2+b2=36,所以a2=20,b2=16,因此,所求雙曲線的標準方程為-=1.
(3)設雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn<0),因為雙曲線經(jīng)過點A(-7,-6),B(,-3),所以解得所以所求雙曲線的標準方程為x2-=1.
變式　解:(1)根據(jù)題意可知,a2=16,b2=c2-a2=20,
又焦點在x軸上,∴雙曲線的標準方程為-=1.
(2)依題意,設雙曲線的方程為Ax2-By2=1(AB>0),
∵雙曲線經(jīng)過點P(-3,2)和Q(-6,-7),
∴解得
故雙曲線的標準方程為-=1.
例3　解:因為|PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因為|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以點P在以A,B為焦點的雙曲線的靠近A的那一支上.在A,B,C所在平面上,以線段AB的中點為坐標原點,AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示.則A(3,0),B(-3,0),C(-5,2),由a=2,c=3得b2=9-4=5,所以點P所在雙曲線右支的方程為-=1(x≥2)①,易知線段BC的垂直平分線的方程為x-y+7=0②.由①②得x=8,y=5,所以P(8,5),kPA=,所以點P在點A的北偏東30°方向上,即在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角為30°.
變式　B　[解析] 設炮彈爆炸點P的坐標為(x,y),則|PB|-|PA|=340×1=340<600,所以P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的左支.因為2a=340,所以a=170,又|AB|=600=2c,所以c=300,所以b2=c2-a2=90 000-28 900=61 100,故炮彈爆炸點的軌跡方程為-=1(x<0).故選B.

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