資源簡介

2.2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時(shí)　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì).
　　2.了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的幾何意義.
【課前預(yù)習(xí)】
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　雙曲線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
圖象
(續(xù)表)
標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
性 質(zhì) 焦點(diǎn) 　　　　　 　　　　　
焦距 　　　 　　　
范圍 　　　　　 　　　　　
對稱性 關(guān)于　　　　　　　　對稱
頂點(diǎn) 　　　 　　　
a,b,c的關(guān)系 　　　　　　　
實(shí)軸 兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸,它的長度等于2a,其中a叫作雙曲線的實(shí)半軸長
虛軸 線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長度等于2b,其中b叫作雙曲線的虛半軸長
【診斷分析】 判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)雙曲線-=1的焦點(diǎn)在y軸上. (　 )
(2)雙曲線-=1(a>0,b>0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的形狀相同. (　 )
(3)雙曲線有四個(gè)頂點(diǎn),分別是雙曲線與實(shí)軸及虛軸的交點(diǎn). (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　共焦點(diǎn)的雙曲線系問題
1.與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程
(1)與雙曲線-=1(a>0,b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為-=1(-a2<λ(2)與雙曲線-=1(a>0,b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為-=1(-a2<λ2.與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線系方程
(1)與橢圓+=1(a>b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為-=1(a>b>0,b2<λ(2)與橢圓+=1(a>b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為-=1(a>b>0,b2<λ【診斷分析】 判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)雙曲線-=1與雙曲線-=1有相同的焦點(diǎn). (　 )
(2)雙曲線-=1與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn). (　 )
(3)雙曲線-=1與雙曲線-=1有公共漸近線. (　 )
(4)已知雙曲線-=1與雙曲線-=1(0【課中探究】
◆ 探究點(diǎn)一　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
例1 (1)求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長.
(2)求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
①雙曲線焦距為8,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),(-3,0);
②雙曲線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),(0,-4),虛軸長為2;
③雙曲線實(shí)軸長和虛軸長相等,且經(jīng)過點(diǎn)(2,1).
變式 已知雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0),求該雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).
[素養(yǎng)小結(jié)]
由雙曲線的方程研究其幾何性質(zhì)的解題步驟:
(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,這是解題的關(guān)鍵;
(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置,確定a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).
提醒:在求雙曲線的幾何性質(zhì)時(shí)一定要注意焦點(diǎn)的位置.
◆ 探究點(diǎn)二　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例2 (1)已知雙曲線-=1(a>0)的虛軸長是實(shí)軸長的3倍,則實(shí)數(shù)a的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線兩頂點(diǎn)間的距離是6,其焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,兩焦點(diǎn)的連線被兩頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)四等分,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 　　　　　　　　　.
變式 (1)已知F1,F2是雙曲線-=1(a>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),若雙曲線的左、右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)把線段|F1F2|四等分,則該雙曲線的焦距為 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)黃金分割是指將整體一分為二,較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值,其比值為,把稱為黃金分割數(shù).已知雙曲線-=1(m>0)的實(shí)軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù),則m的值為 (　 )
A.2-2
B.+1
C.2
D.2
[素養(yǎng)小結(jié)]
運(yùn)用雙曲線的某些幾何性質(zhì)求參數(shù)的值,關(guān)鍵是設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,再根據(jù)已知條件,列出關(guān)于參數(shù)a,b,c的方程并求出a,b,c的值.
拓展 如圖,從某個(gè)角度觀察籃球,可以得到一個(gè)對稱的平面圖形,將籃球的外輪廓記為圓O,將籃球表面的黏合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線,若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長八等分,|AB|=|BC|=|CD|=1,則該雙曲線的焦距為 (　 )
A. B.
C.2 D.
◆ 探究點(diǎn)三　雙曲線和橢圓的關(guān)系問題
例3 與橢圓+=1有相同焦點(diǎn)的曲線的方程可以是 (　 )
A.+=1
B.+=1
C.-=1
D.x2-3y2=3
變式 (1)雙曲線-y2=1與橢圓+=1的焦點(diǎn)相同,則a等于 (　 )
A.1 B.-2
C.1或-2 D.2
(2)若曲線x2+=1的焦距為4,則實(shí)數(shù)m的值是　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
在求雙曲線與橢圓的關(guān)系問題時(shí),常常有兩種思路:
1.由雙曲線的幾何性質(zhì)來進(jìn)行判斷求解;
2.由雙曲線系方程來判斷求解.
拓展 (多選題)已知橢圓C1:+=1與雙曲線C2:+=1(9A.C1的長軸長與C2的實(shí)軸長相等
B.C1的短軸長與C2的虛軸長相等
C.兩曲線的焦距相等
D.兩曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)一樣
2.2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
第1課時(shí)　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
F1(-c,0),F2(c,0)　F1(0,-c),F2(0,c)　2c　2c　x≤-a或x≥a,且y∈R　y≤-a或y≥a,且x∈R　x軸、y軸和原點(diǎn)　A1(-a,0),A2(a,0)　A1(0,-a),A2(0,a)　c2=a2+b2
診斷分析 (1)×　(2)√　(3)×
知識(shí)點(diǎn)二
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
【課中探究】
例1　解:(1)雙曲線9y2-4x2=-36的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1,∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=.又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0),實(shí)軸長為6,虛軸長為4.
(2)①因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),(-3,0),所以a=3,且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上.因?yàn)殡p曲線的焦距為8,所以2c=8,則c=4.可得b2=c2-a2=7,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
②因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),(0,-4),所以a=4,且雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,因?yàn)殡p曲線的虛軸長為2,所以2b=2,則b=1.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-x2=1.
③因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長和虛軸長相等,所以可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=t(t≠0).因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)(2,1),所以22-12=t,即t=3,所以雙曲線的方程為x2-y2=3,標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
變式　解:雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(m>0,n>0),由此可知,其焦點(diǎn)在x軸上,實(shí)半軸長為,虛半軸長為,c=,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),(-,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0).
例2　(1)A　(2)-=1或-=1　[解析] (1)由題意得2=3×2,解得a=.故選A.
(2)由雙曲線兩頂點(diǎn)間的距離是6得2a=6,即a=3.由兩焦點(diǎn)的連線被兩頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)四等分可得2c=4a=12,即c=6,所以b2=c2-a2=62-32=27.因?yàn)樵撾p曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1.
變式　(1)D　(2)A　[解析] (1)因?yàn)镕1,F2是雙曲線-=1(a>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),且雙曲線的左、右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)把線段|F1F2|四等分,所以2c=4a,即c=2a,即c2=4a2,又因?yàn)閏2=a2+3,所以所以c=2,所以該雙曲線的焦距為2×2=4.故選D.
(2)由題意得,a2=(-1)2,b2=m,∴c2=a2+b2=(-1)2+m.∵雙曲線的實(shí)軸長與焦距的比值為黃金分割數(shù),∴==,∴=,則=,解得m=2-2.故選A.
拓展　C　[解析] 如圖,以O(shè)為原點(diǎn),AD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),則該雙曲線過點(diǎn)(,),且a=1,所以-=1,解得b2=2,所以c2=a2+b2=3,得c=,所以該雙曲線的焦距為2,故選C.
例3　D　[解析] 易知橢圓+=1的焦點(diǎn)為(±2,0).對于A,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±2),A不符合題意;對于B,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0),B不符合題意;對于C,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0),C不符合題意;對于D,雙曲線方程可化為-y2=1,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0),D符合題意.故選D.
變式　(1)A　(2)5或-3　[解析] (1)依題意,雙曲線-y2=1的焦點(diǎn)在x軸上,∴a+1>0,即a>-1,又∵雙曲線-y2=1與橢圓+=1的焦點(diǎn)相同,∴(a+1)+1=4-a2,且0(2)由題意得c=2.當(dāng)曲線為橢圓時(shí),因?yàn)閏2=4,所以a2>4,則a2=m,所以m-1=4,則m=5;當(dāng)曲線為雙曲線時(shí),1+(-m)=4,則m=-3.綜上實(shí)數(shù)m的值為5或-3.
拓展　AB　[解析] 由題意可知,橢圓C1的長軸長為8,短軸長為6,焦距為2=2.當(dāng)90,9-k<0,則雙曲線C2的焦點(diǎn)在x軸上,其實(shí)軸長為2,虛軸長為2,焦距為2=2,故C1的長軸長與C2的實(shí)軸長不相等,C1的短軸長與C2的虛軸長不相等,C1與C2的焦距相等,焦點(diǎn)坐標(biāo)一樣.故A,B中說法錯(cuò)誤;C,D中說法正確.故選AB.

展開更多......

收起↑