資源簡介

2.3　直線與圓的位置關系
【學習目標】
　　1.能根據給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關系.
　　2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
【課前預習】
◆ 知識點　直線與圓的位置關系
一般地,已知直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0)和圓E:(x-a)2+(y-b)2=r2,則直線l與圓E的位置關系如下:
位置關系 相交 相切 相離
圖形關系
公共點個數 　　　 　　 　　　
幾 何 法 計算圓心到直線的距離:d= 　　 d=r 　　　
代 數 法 由 消元得到一元二次方程,計算方程的判別式Δ 　　 　　 Δ<0
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)過圓外一點可作兩條該圓的切線. (　 )
(2)已知一條直線與圓相交,當這條直線被圓截得的弦最長時,這條直線過圓心. (　 )
(3)過半徑外端(圓上的端點)的直線與圓相切. (　 )
(4)若C為圓O內一點,則過點C的直線與圓O相交. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　直線與圓的位置關系的判定
例1 已知直線l:mx-y-m-1=0,圓C:x2+y2-4x-2y+1=0,分別求實數m的值或范圍,使直線l與圓C有兩個公共點、只有一個公共點、沒有公共點.
變式 (多選題)[2024·浙江金華高二期中] 已知直線l:ax+by-r2=0(r>0)與圓C:x2+y2=r2(r>0),點A(a,b),則下列說法正確的是 (　 )
A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切
B.若點A在圓C內,則直線l與圓C相離
C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離
D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切
[素養小結]
直線與圓的位置關系的判斷方法
(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷.
(2)代數法:根據直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷.
(3)直線系法:若直線恒過定點,可通過判斷點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系,但有一定的局限性,必須是過定點的直線系.
拓展 一個小島的周圍有環島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為2 km的圓形區域內.已知小島中心位于輪船正西方向4 km處,某港口位于小島中心正北方向3 km處,如果輪船沿直線返航,那么它是否有觸礁危險 請說明理由.
◆ 探究點二　直線與圓相切問題　　　　　 　　　　　 　　　　　
例2 (1)圓x2+y2-2x-4y=0在點P(3,3)處的切線方程為 (　 )
A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0
C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0
(2)經過P(2,3)向圓x2+y2=4作切線,則切線方程為 (　 )
A.5x-12y+26=0
B.13x-12y+10=0
C.5x-12y+26=0或x=2
D.13x-12y+10=0或x=2
變式 已知圓O:x2+y2=1,過直線l:3x+4y-10=0上的動點P作圓O的一條切線,切點為A,則|PA|的最小值為 (　 )
A.1 B. C. D.2
[素養小結]
圓的切線方程的求法
(1)點在圓上時
求過圓上一點(x0,y0)的圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率k(斜率存在且不為零),再由垂直關系得切線的斜率為-,由點斜式可得切線方程.若斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程為x=x0或y=y0.
(2)點在圓外時
①幾何法:設切線方程為y-y0=k(x-x0)(斜率存在),由圓心到直線的距離等于半徑,可求得k,從而得到切線方程.
②代數法:設切線方程為y-y0=k(x-x0)(斜率存在),與圓的方程聯立,消去y后得到關于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切線方程.
提醒:不要遺漏切線的斜率不存在的情況.
◆ 探究點三　直線與圓相交問題
例3 求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長|AB|.
變式 (1)[2024·哈爾濱高二期末] 經過第一、二、三象限的直線l:ax-by+4=0與圓C:x2+y2+2x-2y-7=0交于A,B兩點,若|AB|=6,則ab的最大值是 (　 )
A.8 B.4 C.2 D.1
(2)過點(-4,0)作直線l與圓x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B兩點,若|AB|=8,求直線l的方程.
[素養小結]
求弦長常用的三種方法
(1)利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的關系+d2=r2解題.
(2)利用交點坐標,若直線與圓的交點坐標易求出,求出交點坐標后,直接用兩點間的距離公式計算弦長.
(3)利用弦長公式,設直線l:y=kx+b與圓的兩個交點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),將直線方程代入圓的方程,消元后利用根與系數的關系得弦長l=|x1-x2|=.
拓展 已知直線l:(2m+1)x+(m+1)y-9m-7=0,圓C:x2+y2-6x-4y-3=0,當直線l被圓C截得的弦長最短時,l的方程為 (　 )
A.x-3y-13=0 B.x-3y-17=0
C.x+3y-17=0 D.x-3y+13=0
2.3　直線與圓的位置關系
【課前預習】
知識點
2　1　0　dr　Δ>0　Δ=0
診斷分析 (1)√　(2)√　(3)×　(4)√
【課中探究】
例1　 解:方法一:將直線l的方程與圓C的方程聯立,消去y整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,Δ=4m(3m+4).當Δ>0,即m>0或m<-時,直線l與圓C相交,即直線l與圓C有兩個公共點;當Δ=0,即m=0或m=-時,直線l與圓C相切,即直線l與圓C只有一個公共點;當Δ<0,即-方法二:圓C的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2,圓心(2,1)到直線l:mx-y-m-1=0的距離d==.當d<2,即m>0或m<-時,直線l與圓C相交,即直線l與圓C有兩個公共點;當d=2,即m=0或m=-時,直線l與圓C相切,即直線l與圓C只有一個公共點;當d>2,即-變式　ABD　[解析] 對于A,因為點A在圓C上,所以a2+b2=r2,所以圓心C(0,0)到直線l的距離d1===r,所以直線l與圓C相切,故A正確;對于B,因為點A在圓C內,所以a2+b2r,所以直線l與圓C相離,故B正確;對于C,因為點A在圓C外,所以a2+b2>r2,所以圓心C(0,0)到直線l的距離d3==拓展　解:設點O為小島中心,點A為輪船的初始位置,點B為港口,以點O為坐標原點,正東、正北方向分別為x軸、y軸的正方向,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(4,0),B(0,3),易得直線AB的方程為+=1,即3x+4y-12=0,圓O的方程為x2+y2=4.由圓心O到直線AB的距離d==>2,可知圓O與直線AB無公共點.因此如果輪船沿直線返航,它無觸礁危險.
例2　(1)B　(2)C　[解析] (1)圓的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=5,圓心為C(1,2),又點P在圓上,kCP=,所以切線斜率為-2,所以切線方程為y-3=-2(x-3),化簡得2x+y-9=0,故選B.
(2)點P在圓外,因此過點P的圓的切線有兩條,排除A,B.①當切線的斜率不存在時,切線方程為x=2,滿足題意.②當切線的斜率存在時,設切線方程為y-3=k(x-2),由(0,0)到切線的距離d==2得k=,此時切線方程為y-3=(x-2),即5x-12y+26=0.故選C.
變式　C　[解析] 作出圓O與直線l,如圖所示,連接PO,AO,則|PA|2=|PO|2-r2,易知當|PO|取得最小值時,|PA|取得最小值,因為|PO|min==2,所以|PA|的最小值為=.故選C.
例3　解:聯立直線l與圓C的方程,得解得或所以直線l與圓C的兩個交點為A(1,3),B(2,0),故直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長|AB|==.
變式　(1)B　[解析] 方程x2+y2+2x-2y-7=0可化為(x+1)2+(y-1)2=9,則圓C的圓心為(-1,1),半徑為3,因為|AB|=6,所以直線l經過該圓的圓心,即-a-b+4=0,所以a+b=4.又直線l經過第一、二、三象限,所以即a>0,b>0,則ab≤=4,當且僅當a=b=2時,等號成立,所以ab的最大值是4.故選B.
(2)解:將圓的方程化成標準方程得(x+1)2+(y-2)2=25,由圓的性質可得,圓心(-1,2)到直線l的距離d==3.
①當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-4,滿足題意;
②當直線l的斜率存在時,設l的方程為y=k(x+4),即kx-y+4k=0,由點到直線的距離公式,得3=,解得k=-,所以直線l的方程為5x+12y+20=0.綜上所述,直線l的方程為x+4=0或5x+12y+20=0.
拓展　D　[解析] 直線l的方程可化為(2x+y-9)m+(x+y-7)=0,由解得所以直線l過定點A(2,5).圓C的標準方程為(x-3)2+(y-2)2=16,則圓C的的圓心坐標為(3,2),半徑r=4,連接AC,顯然|AC|=<4=r,即點A(2,5)在圓C內.直線AC的斜率為=-3,當l⊥AC時,直線l被圓C截得的弦長最短,此時直線l的斜率為,故所求直線方程為y-5=(x-2),即x-3y+13=0.故選D.

展開更多......

收起↑