資源簡(jiǎn)介

§3　拋物線
3.1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　1.了解拋物線的實(shí)際背景.
　　2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出拋物線的過程.
　　3.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.
【課前預(yù)習(xí)】
◆ 知識(shí)點(diǎn)一　拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的集合(或軌跡)叫作拋物線.這個(gè)定點(diǎn)F叫作拋物線的　　　　,這條定直線l叫作拋物線的　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-2的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡是拋物線. (　 )
(2)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x+y-1=0的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡是拋物線. (　 )
(3)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡是拋物線. (　 )
◆ 知識(shí)點(diǎn)二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,且焦點(diǎn)的坐標(biāo)是的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　(p>0),它的準(zhǔn)線方程是x=-,其中p是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)拋物線的方程都是二次函數(shù). (　 )
(2)原點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是p. (　 )
(3)拋物線的開口方向由方程中的一次項(xiàng)確定. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點(diǎn)一　拋物線的定義
例1 (1)(多選題)若動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等,則點(diǎn)M的軌跡可以是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.拋物線 B.雙曲線
C.圓 D.直線
(2)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,若點(diǎn)A(,2)在C上,則|AF|= (　 )
A. B. C. D.
(3)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足5=|3x+4y-7|,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是 (　 )
A.直線 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
變式 (1)過點(diǎn)F(0,4)且與直線y+4=0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡為 (　 )
A.拋物線 B.雙曲線
C.圓 D.直線
(2)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上,點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上,且MN平行于x軸,若|NF|=|MN|,則|MF|= (　 )
A. B.1
C. D.4
[素養(yǎng)小結(jié)]
拋物線上任意一點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于它到拋物線的準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線的定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)到點(diǎn)距離與點(diǎn)到線距離的相互轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化某些問題.
拓展 (1)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線l上,線段MF與y軸交于點(diǎn)A,與拋物線C交于點(diǎn)B,若|MA|=3|AB|=3,則p= (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l:2x-y+3=0和y軸的距離之和的最小值是 (　 )
A. B. C.2 D.-1
◆ 探究點(diǎn)二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2 過點(diǎn)(1,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　　　　　　　　　.
變式 (1)若拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M(3,y)到焦點(diǎn)的距離是4,則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (　 )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=8x D.y2=12x
(2)焦點(diǎn)在直線2x+5y-10=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法是待定系數(shù)法和定義法,注意不要混淆拋物線的焦點(diǎn)的位置和方程的形式.
§3　拋物線
3.1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
【課前預(yù)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)一
焦點(diǎn)　準(zhǔn)線
診斷分析 (1)√　(2)×　(3)√
知識(shí)點(diǎn)二
y2=2px
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√
【課中探究】
例1　(1)AD　(2)C　(3)D　[解析] (1)若定點(diǎn)不在定直線上,則由拋物線的定義知點(diǎn)M的軌跡是拋物線;若定點(diǎn)在定直線上,則點(diǎn)M的軌跡是過定點(diǎn)且與定直線垂直的直線.故選AD.
(2)方法一:因?yàn)辄c(diǎn)A(,2)在C上,所以()2=2p·2,得p=,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-.由拋物線的定義知,|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離,即|AF|=2+=.
方法二:因?yàn)辄c(diǎn)A(,2)在C上,所以()2=2p·2,得p=,所以F,所以|AF|2=()2+=2+=,則|AF|=,故選C.
(3)由5=|3x+4y-7|,得=,即動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)(2,1)的距離與到定直線3x+4y-7=0的距離相等,又易知點(diǎn)(2,1)不在直線3x+4y-7=0上,所以由拋物線的定義知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線.故選D.
變式　(1)A　(2)D　[解析] (1)由題意可得,動(dòng)圓的圓心到直線y=-4的距離與到點(diǎn)F(0,4)的距離相等,所以動(dòng)圓的圓心是以點(diǎn)F(0,4)為焦點(diǎn),直線y=-4為準(zhǔn)線的拋物線, 故選A.
(2)根據(jù)題意可得,拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2,所以拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1.設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E,由題知MN⊥l,由拋物線的定義可知|MN|=|MF|,因?yàn)閨NF|=|MN|,所以△MNF是正三角形.因?yàn)镸N∥EF,所以∠EFN=∠MNF=60°,所以在Rt△NEF中,|MF|=|NF|=2|EF|=2p=4.故選D.
拓展　(1)C　(2)D　[解析] (1)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為H,由原點(diǎn)O為線段FH的中點(diǎn)知,點(diǎn)A為線段MF的中點(diǎn),因?yàn)閨MA|=3|AB|=3,所以|MF|=6,|BF|=2,|BM|=4.過點(diǎn)B作BQ⊥l,垂足為Q,則由拋物線的定義可知|BQ|=|BF|=2,所以|BM|=2|BQ|,則|MF|=2|FH|=6,所以p=|FH|=3.故選C.
(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則F(1,0).設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d,連接PF,由拋物線的定義可知,點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|-1,所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離,故d+|PF|的最小值為=,所以d+|PF|-1的最小值為-1.
例2　y2=4x或x2=-y　[解析] 當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)方程為y2=mx(m≠0),則有(-2)2=m·1,解得m=4,所以拋物線的方程為y2=4x;當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)方程為x2=ny(n≠0),則有12=n·(-2),解得n=-,所以拋物線的方程為x2=-y.所以過點(diǎn)(1,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x或x2=-y.
變式　(1)B　(2)y2=20x或x2=8y　[解析] (1)由題得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-(p>0),點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離,則3+=4,所以p=2,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x,故選B.
(2)直線2x+5y-10=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(5,0)和(0,2),所以拋物線的焦點(diǎn)為(5,0)或(0,2).當(dāng)焦點(diǎn)為(5,0)時(shí),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=20x;當(dāng)焦點(diǎn)為(0,2)時(shí),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=20x或x2=8y.

展開更多......

收起↑