資源簡介

第2課時　拋物線的簡單幾何性質(二)
【學習目標】
　　1.理解拋物線的簡單幾何特征.
　　2.能求與拋物線相關的軌跡問題.
【課前預習】
◆ 知識點一　與拋物線有關的軌跡問題
求解與拋物線有關的軌跡的方程的常見方法:
(1)定義法:若動點P(x,y)的運動規律符合拋物線的定義,則可先設出軌跡方程,再根據已知條件解方程中的參數,即可求得軌跡方程.
(2)直接法:若動點P(x,y)的運動規律滿足的等量關系容易建立,則可用點P的坐標(x,y)表示該等量關系,即可求得軌跡方程.
(3)相關點法:若動點P的運動是由另外一點P'的運動引發的,而點P'的運動規律已知(坐標滿足某已知的曲線方程),則用點P的坐標(x,y)表示出點P'的坐標,然后將點P'的坐標代入已知曲線方程,即可得到點P的軌跡方程.
(4)交軌消參法:在求動點軌跡時,有時會出現要求兩個動曲線交點的軌跡問題,這類問題通常通過解方程組得出交點(含參數)的坐標,再消去參數得到所求的軌跡方程.
◆ 知識點二　拋物線中的最值問題
拋物線中的最值問題的求法大體歸結為“回歸定義法”“構造目標函數法”和“數形結合法”三類.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)拋物線y2=2px(p>0)上任意一點的橫坐標的最小值是0. (　 )
(2)拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點的距離的最小值為p. (　 )
◆ 知識點三　拋物線的實際應用
與拋物線有關的實際問題,通過建立坐標系,利用坐標法,把實際問題轉化為幾何問題.而建立坐標系的方法為:以拋物線的頂點為坐標原點,對稱軸為一條坐標軸建立平面直角坐標系.這樣可使得拋物線不僅具有對稱性,而且曲線過原點,方程不含常數項,形式更為簡單.
【診斷分析】 一元二次函數的圖象與拋物線之間的關系是什么
【課中探究】
◆ 探究點一　與拋物線有關的軌跡問題
例1 已知動圓M與直線y=-2相切,且與定圓C:x2+(y-3)2=1外切,那么動圓圓心M的軌跡方程為　　　　.
變式 (1)已知在平面直角坐標系中,O為坐標原點,直線l平行于y軸,且l與x軸的交點為(4,0),點A在直線l上,動點P的縱坐標與A的縱坐標相同,且⊥,求動點P的軌跡方程,并說明軌跡的形狀.
(2)已知點P是曲線y=x2+1上任意一點,A(2,0),連接PA并延長至Q,使得=2,求動點Q的軌跡方程.
[素養小結]
解決與拋物線有關的軌跡問題的關鍵點:
①要深入理解求動點的軌跡方程的各種方法及其適用的基本題型.②求軌跡方程時要注意檢驗,多余的點要除去,而遺漏的點要補上.③要明確拋物線的簡單幾何性質,選相應的解題策略和擬定具體的解題方法.
◆ 探究點二　拋物線中的最值問題
例2 (1)已知定點Q(1,0),P是拋物線y2=8x上的動點,則|PQ|的最小值為　　　　. 　　　　　 　　　　　 　　　　　
(2)已知點P是拋物線C:x2=12y上的一點,過點P作直線y=-1的垂線,垂足為M,若G(4,0),則|PG|+|PM|的最小值為 (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
變式 (1)已知A(3,2),點F為拋物線y2=2x的焦點,直線l為拋物線的準線,點P在拋物線上移動,當|PA|+|PF|取得最小值時,點P的坐標為 (　 )
A.(0,0) B.(2,2)
C.(1,) D.
(2)已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,O為原點,點M是拋物線C的準線上一動點,點A在拋物線C上,且|AF|=2,則|MA|+|MO|的最小值為　　　　.
[素養小結]
解決與拋物線有關的最值問題,常結合拋物線的定義、幾何性質進行轉化構建函數.其中構建函數是確定最值的一個重要的途徑,但一定要注意自變量的取值范圍.
拓展 設拋物線x2=4y上一點P到x軸的距離為d,點Q為圓E:(x-4)2+(y+2)2=1上任意一點,則d+|PQ|的最小值為 (　 )
A.2-1 B.2
C.3 D.4
◆ 探究點三　拋物線的實際應用
例3 如圖所示,某橋是拋物線形拱橋,此時水面寬為4 m,經過一次暴雨后,水位上升了1 m,水面寬為3 m,則暴雨后的水面離拱頂的距離為 (　 )
A. m B. m
C. m D. m
變式 已知某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔,示意圖如圖所示.上部呈拋物線形,跨度為20米,拱頂距水面6米,橋墩高出水面4米.現有一艘貨船欲過此橋孔,該貨船水下寬度不超過18米,目前吃水線上部中央船體高5米,寬16米,且該貨船在現有狀況下還可多裝1000噸貨物,但每多裝150噸貨物,船體吃水線就要上升0.04米.若不考慮水下深度,問:該貨船在現有狀況下能否直接或設法通過該橋孔 為什么
[素養小結]
求解拋物線的實際應用問題的步驟
第2課時　拋物線的簡單幾何性質(二)
【課前預習】
知識點二
診斷分析 (1)√　(2)×
知識點三
診斷分析
解:一元二次函數與拋物線是高中數學中的重要概念,它們在數學建模、物理學和實際應用中有著廣泛的應用,一元二次函數的圖象是一條開口向上或向下的拋物線,其對稱軸不一定是坐標軸,其頂點不一定在原點.
【課中探究】
例1　x2=12y　[解析] 方法一:設M(x,y),由題意知,=|y+2|+1,易知y≥0,所以x2+y2-6y+9=y2+6y+9,整理得x2=12y.
方法二:由題意知,動點M到點C(0,3)的距離比到直線y=-2的距離多1,則動點M到點C(0,3)的距離與到直線y=-3的距離相等,根據拋物線的定義可知,點M的軌跡是以直線y=-3為準線,點(0,3)為焦點的拋物線,設拋物線方程為x2=2py(p>0),則=3,得p=6,故動圓圓心M的軌跡方程為x2=12y.
變式　解:(1)由條件可知,直線l的方程為x=4,因此點A的橫坐標為4.設點P的坐標為(x,y),則點A的坐標為(4,y),因此=(4,y),=(x,y).因為⊥的充要條件是·=0,所以4x+y2=0,即動點P的軌跡方程為y2=-4x.從而可以看出,軌跡是開口向左的拋物線.
(2)設動點Q的坐標為(x,y),點P的坐標為(x1,y1),則=(x-2,y),=(2-x1,-y1),y1=+1.
因為=2,所以x-2=2(2-x1),y=-2y1,
可得x1=,y1=-,代入y1=+1得-=+1,整理得y=-x2+6x-20,
所以動點Q的軌跡方程為y=-x2+6x-20.
例2　(1)1　(2)A　[解析] (1)∵點P是拋物線y2=8x上的動點,∴根據拋物線的對稱性可設點P的坐標為(x,2),x≥0,∵點Q的坐標為(1,0),∴|PQ|===,又x≥0,∴當x=0,即P(0,0)時,|PQ|取得最小值1.
(2)由拋物線C:x2=12y可知其焦點坐標為(0,3),準線方程為y=-3,記拋物線C的焦點為F(0,3),連接PF,FG,如圖,所以|PG|+|PM|=|PG|+|PF|-2≥|FG|-2=-2=3,當且僅當點P在線段FG上時等號成立,所以|PG|+|PM|的最小值為3.故選A.
變式　(1)B　(2)　[解析] (1)在y2=2x中,當x=3時,|y|=>2,所以點A在拋物線的內部.作AB⊥l,垂足為B,設點P到拋物線的準線l的距離為d,準線的方程為x=-,所以|PA|+|PF|=|PA|+d≥|AB|=3+=,當且僅當點P為線段AB與拋物線的交點時,|PA|+|PF|取得最小值,此時點P的坐標為(2,2).故選B.
(2)由題知拋物線的準線方程為y=-1,因為|AF|=2,所以yA+1=2,所以yA=1,所以xA=±2,不妨取A(2,1),如圖,作A關于準線的對稱點B,則B(2,-3),連接OB,MB,所以|MA|+|MO|=|MB|+|MO|≥|OB|,當且僅當O,M,B三點共線時取等號,所以|MA|+|MO|的最小值為=.
拓展　C　[解析] 設拋物線的焦點為F,則F(0,1),準線方程為y=-1,連接PF,則d+1=|PF|,即d=|PF|-1,所以d+|PQ|=|PF|-1+|PQ|.連接FE,FQ,因為圓E:(x-4)2+(y+2)2=1的圓心為E(4,-2),半徑r=1,所以d+|PQ|=|PF|-1+|PQ|≥|FQ|-1≥|FE|-r-1=-1-1=3,當且僅當點P,Q均在線段EF上時取等號,即d+|PQ|的最小值為3.故選C.
例3　C　[解析] 在一個鉛垂平面內,以拱頂為坐標原點,水平向右為x軸正方向,豎直向上為y軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標系.設橋孔所在拋物線的方程為x2=-2py(p>0),A,B(2,t-1),由題可得
解得t=-,所以暴雨后的水面離拱頂的距離為 m.故選C.
變式　解:如圖所示,在一個鉛垂平面內,以拱頂為坐標原點,過拱頂的水平直線為x軸,過拱頂且垂直于水平直線的直線為y軸,建立平面直角坐標系.因為拱頂距離水面6米,橋墩高出水面4米,所以A(10,-2).設橋孔上部所在拋物線的方程是x2=-2py(p>0),則102=-2p×(-2),所以p=25,所以拋物線的方程為x2=-50y,即y=-x2.當x=8時,y=-×82=-1.28,所以若貨船沿正中央航行,則當船體吃水線上部貨物的高度不超過6+(-1.28)=4.72(米)時可正常通行.
又目前吃水線上部中央船體高5米,所以無法通行.
因為5-4.72=0.28,0.28÷0.04=7,150×7=1050,所以若該貨船通過增加貨物通過橋孔,則至少要增加1050噸貨物,而貨船最多還能裝1000噸貨物,所以貨船在現有狀況下不能通過該橋孔.

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