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3.2　拋物線的簡單幾何性質
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(一)
【學習目標】
　　1.了解拋物線的簡單幾何特征.
　　2.了解拋物線標準方程中p的幾何意義.
【課前預習】
◆ 知識點　拋物線的幾何性質
標準 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
圖象
焦點坐標
準線方程 x=- x= y=- y=
(續表)
標準方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
開口方向 　　 　　 　　 　　
范圍 　　　, y∈R 　　　, y∈R 　　　, x∈R 　　　, x∈R
對稱性 關于　　　對稱 關于　　　對稱
頂點坐標 　　
離心率 　　
【診斷分析】 1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)拋物線關于原點對稱. (　 )
(2)拋物線只有一個焦點,一條對稱軸,無對稱中心. (　 )
(3)拋物線的標準方程雖然各不相同,但是其離心率都相同. (　 )
2.(1)從形狀上看,拋物線有點像雙曲線的一支,它們有區別嗎
(2)如何把握拋物線的簡單幾何性質
【課中探究】
◆ 探究點一　拋物線的簡單幾何性質
例1 (1)一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2=ax(a≠0)上(除原點外),另一個頂點是坐標原點,如果這個三角形的面積為36,那么a=　　　　.
(2)求下列拋物線的頂點坐標、對稱軸、焦點坐標和準線方程.
①y2=2x;②x2=32y;③y=-8x2;④x=-y2.
變式 在同一直角坐標系中,方程mx+ny2=0與mx2+ny2=1(mn≠0)表示的曲線大致是 (　 )
A B C D
[素養小結]
確定拋物線的簡單幾何性質要把握三個要點:
(1)開口:由拋物線的標準方程看曲線的開口方向,關鍵是看準一次項是x還是y,一次項的系數是正還是負.
(2)關系:頂點位于焦點與準線中間,準線垂直于對稱軸.
(3)定值:焦點到準線的距離為p;過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p;離心率恒等于1.
◆ 探究點二　拋物線的簡單幾何性質的應用
例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程:
(1)焦點F關于準線的對稱點為M(0,-9);
(2)關于y軸對稱,與直線y=-12相交所得線段的長為12;
(3)關于x軸對稱,以焦點和準線上的兩點為頂點的三角形是邊長為2的等邊三角形.
變式 (1)“米”是象形字,數學探究課上,某同學在直角坐標系中用拋物線C1:=-2px(p>0)和C2:=2px構造了一個類似“米”字圖案,如圖所示.拋物線C1,C2的焦點分別為F1,F2,點P在拋物線C1上,過點P作x軸的平行線交拋物線C2于點Q,若|PF1|=3|PQ|=6,則p= (　 )
A.4 B.6
C.8 D.10
(2)已知F為拋物線C:y2=12x的焦點,直線x=1與拋物線交于A,B兩點,則∠AFB的大小為 (　 )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(3)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,O為坐標原點,P為拋物線C上一點,且滿足|PF|=3,則△POF的面積為　　　　.
[素養小結]
用待定系數法求拋物線的標準方程的步驟:
拓展 已知拋物線C: y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,點P(1,y0)在C上,過P作l的垂線,垂足為Q,若∠FPQ=120°,則F到y軸的距離為 (　 )
A.3 B.4 C.6 D.12
3.2　拋物線的簡單幾何性質
第1課時　拋物線的簡單幾何性質(一)
【課前預習】
知識點
向右　向左　向上　向下　x≥0　x≤0　y≥0　y≤0
x軸　y軸　(0,0)　e=1
診斷分析 1.(1)×　(2)√　(3)√
2.解:(1)有區別.拋物線與雙曲線的曲線延伸趨勢不同.例如當拋物線y2=2px(p>0)上的點趨于無窮遠時,它在這一點的切線的斜率接近于0,也就是說在無窮遠處拋物線與x軸接近于平行;而當雙曲線上的點趨于無窮遠時,它的一條切線的斜率接近于它的一條漸近線的斜率.雙曲線有漸近線而拋物線沒有漸近線.
(2)確定拋物線的幾何性質,一要定性,確定拋物線的開口方向,從而可得到方程的形式;二要定量,確定焦點到準線的距離,進而得到拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程等.
【課中探究】
例1　(1)±2　[解析] 由題意可知,該正三角形在拋物線上(除原點外)的兩個頂點關于x軸對稱,則由正三角形的性質可設這兩個頂點的坐標分別為,(t≠0),則正三角形的邊長為t.把點的坐標代入拋物線方程可得t2=ta,解得a=t.由題可知·=36,解得t=±6,所以a=±2.
(2)解:設拋物線的焦點到準線的距離為p.
①拋物線y2=2x的焦點在x軸正半軸上,p=1,則該拋物線的頂點坐標為(0,0),對稱軸為x軸,焦點坐標為,準線方程為x=-.
②拋物線x2=32y的焦點在y軸正半軸上,p=16,則該拋物線的頂點坐標為(0,0),對稱軸為y軸,焦點坐標為(0,8),準線方程為y=-8.
③拋物線y=-8x2,即x2=-y,其焦點在y軸負半軸上,p=,則該拋物線的頂點坐標為(0,0),對稱軸為y軸,焦點坐標為,準線方程為y=.
④拋物線x=-y2,即y2=-16x,其焦點在x軸負半軸上,p=8,則該拋物線的頂點坐標為(0,0),對稱軸為x軸,焦點坐標為(-4,0),準線方程為x=4.
變式　A　[解析] mx+ny2=0(mn≠0)可變形為y2=-x,此方程表示焦點在x軸上的拋物線,排除D.當mn>0時,y2=-x表示開口向左的拋物線,此時mx2+ny2=1表示橢圓或圓或不表示任何圖形,排除B.當mn<0時,y2=-x表示開口向右的拋物線,此時mx2+ny2=1表示雙曲線,排除C,A符合條件.故選A.
例2　解:(1)由題意可設拋物線的標準方程為x2=2py(p>0),則拋物線的焦點F的坐標為,準線方程為y=-.
因為焦點F關于準線的對稱點為M(0,-9),
所以p=--(-9),解得p=6,
所以所求拋物線的標準方程為x2=12y.
(2)由題意可設拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0),
因為直線y=-12與拋物線相交所得線段的長為12,
所以點(6,-12)在拋物線上,由62=-2p×(-12)(p>0),解得2p=3,所以所求拋物線的標準方程為x2=-3y.
(3)當焦點在x軸正半軸上時,可設拋物線的標準方程為x2=2py(p>0),因為△MNF為等邊三角形,且|MF|=2,所以|DF|=|MF|sin 60°=2×=3,即p=3,所以拋物線的標準方程為y2=6x.
同理可得,當焦點在x軸負半軸上時,拋物線的標準方程為y2=-6x.
變式　(1)D　(2)C　(3)2　[解析] (1)因為3|PQ|=6,所以|PQ|=2,又易知點P,Q關于y軸對稱,所以xP=-1.由拋物線定義可知,|PF1|=-xP,即6=-(-1),解得p=10.
(2)拋物線C的方程為y2=12x,令x=1,可得y=±2,不妨設點A在第一象限,則A(1,2),B(1,-2).易知F(3,0),AB⊥x軸,取H(1,0),∴tan∠AFH===,∴∠AFH=60°,又易知∠BFH=∠AFH,∴∠AFB=120°.故選C.
(3)因為拋物線C的方程為y2=4x,所以2p=4,可得=,所以焦點為F(,0),準線方程為x=-,又P為拋物線C上一點,且|PF|=3,所以點P到準線x=-的距離為3,所以xP=3-=2,所以=4×2=16,所以|yP|=4,所以S△POF=×|OF|×|yP|=××4=2.
拓展　A　[解析] 由拋物線的對稱性,不妨令P在x軸上方,設準線l與x軸的交點為M,因為點P(1,y0)在C上,所以根據拋物線的定義可得|PQ|=|PF|=1+,|MF|=p,且∠FPQ=120°,連接QF,則∠PQF=∠PFQ=30°,所以△FPQ為等腰三角形,且=,所以|QF|=.在Rt△QMF中,∠MQF=60°,sin∠MQF=,即=,解得p=6,所以F到y軸的距離為3.故選A.

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