資源簡介

2.4　圓與圓的位置關系
【學習目標】
　　1.能根據給定圓的方程,判斷圓與圓的位置關系.
　　2.能用圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
【課前預習】
◆ 知識點　圓與圓的位置關系
1.兩圓的位置關系包括:外離、　　　　、　　　　、　　　　和內含.
2.兩圓的位置關系的判斷:
(1)代數法:已知圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0),由消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則求出方程組的解進行判斷),計算判別式Δ的值,進而進行判斷.
(2)幾何法:已知兩圓的半徑分別為r1,r2,計算兩圓心連線的長d,進而進行判斷.
(3)判斷標準:
位置 關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
公共點 個數 0 1 2 1 0
Δ的值 Δ<0 　　　 　　 Δ=0 Δ<0
d與r1, r2的 關系 　　 　　 d=r1+r2 　　 　　 　　 　　 d<|r1-r2|
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩圓的方程聯立,若方程組有兩個解,則兩圓相交. (　 )
(2)若兩個圓沒有公共點,則兩圓一定外離. (　 )
(3)若兩圓外切,則兩圓有且只有一個公共點,反之也成立. (　 )
(4)當兩圓的方程組成的方程組無解時,兩圓一定內含. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　兩圓位置關系的判斷
例1 (1)[2024·江蘇淮安高二期中] 已知圓C1:(x+2)2+y2=4與圓C2:(x-2)2+(y-1)2=4,則兩圓的位置關系為 (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.內切 B.相交
C.外切 D.外離
(2)若圓C1:x2+y2+4x-4y+7=0與圓C2:x2+y2-4x+2y+m=0相切,則實數m的值為　　　　.
變式 (1)(多選題) 已知b∈R,圓C1:(x-1)2+(y-b)2=4,C2:x2+y2=1,則 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.兩圓可能外離
B.兩圓可能外切
C.兩圓可能相交
D.兩圓可能內含
(2)已知圓C1:x2+y2-2x+4y-4=0和圓C2:4x2+4y2-16x-16y+31=0,則這兩個圓的公切線的條數為 (　 )
A.1或3 B.4
C.0 D.2
[素養小結]
判斷兩圓的位置關系的兩種方法
(1)幾何法:將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和進行比較,進而判斷出兩圓的位置關系,這是在解析幾何中主要使用的方法.
(2)代數法:將兩圓的方程組成方程組,根據方程組解的個數判斷兩圓的位置關系.
◆ 探究點二　已知位置關系求圓的方程
例2 (1)求與兩坐標軸及圓C:x2+y2-6x-2y+9=0都相切且圓心在第一象限的圓的標準方程;
(2) 求過圓C1:x2+y2-2y-4=0和圓C2:x2+y2-4x+2y=0的交點,且圓心在直線l:2x+4y-1=0上的圓的方程.
變式 (1)[2024·江西九江高二期末] 經過點(0,4),且與圓C:x2+y2+10x+10y=0相切于原點的圓的方程為　　　　　　　　　.
(2)[2024·江蘇連云港高二期中] 圓心在直線y=x上,且與直線y=-x及圓(x-3)2+(y-3)2=2都相切的一個圓的方程為　　　　　　　.
[素養小結]
已知位置關系求圓的方程,先利用已知條件設出圓的標準方程或一般方程,再根據直線與圓或者圓與圓的位置關系建立適當的方程,求出圓的方程中的參數,進而寫出圓的方程.
◆ 探究點三　已知兩圓位置關系求參數或最值
例3 (1)已知圓C1:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)與圓C2:(x-1)2+(y+2)2=4,若圓C1與圓C2有且僅有一個公共點,則實數r等于 (　 )
A.7 B.3
C.3或7 D.5
(2)已知P是圓C:x2+y2=1上一點,Q是圓D:(x-3)2+(y+4)2=3上一點,則|PQ|的最小值為 (　 )
A.1 B.4- C.2 D.3-
變式 已知兩圓C1,C2內切,且C1,C2的半徑是方程x2+px+q=0的兩根,兩圓的圓心距為1,圓C1的半徑為3,則p+q= (　 )
A.2或4 B.4
C.1或5 D.5
[素養小結]
利用兩圓的位置關系求參數的值或范圍問題有以下幾個步驟:
(1)化成圓的標準方程,寫出圓心和半徑;
(2)計算兩圓圓心之間的距離d;
(3)通過兩圓的位置關系列出關于d,r1+r2,|r1-r2|的關系式,從而求得參數的值或范圍.
拓展 [2024·廣東深圳高二期中] 月球背面指月球永遠背對地球的那一面,從地球上始終不能完全看見.某學習小組通過單光源實驗來演示月球背面.由光源點A(0,-2)射出的兩條光線與圓O:x2+y2=1分別相切于點M,N,稱兩射線AM,AN的切點上方部分與優弧MN上方所夾的平面區域(含邊界)為圓O的“背面”.若以點B(a,2)(a>0)為圓心,r為半徑的圓處于圓O的“背面”,則當r取得最大值時,a的值為　　　　.
◆ 探究點四　兩圓公共弦問題
例4 已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求兩圓公共弦所在直線的方程;
(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.
變式 (1)若圓C1:x2+y2+4x-2y-10=0與圓C2:x2+y2=r2(r>0)的公共弦恰為圓C1的直徑,則圓C2的面積是 (　 )
A.2π B.4π C.10π D.20π
(2)(多選題)已知圓C1的方程為x2+y2=4,圓C2的方程為(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),則下列說法正確的是 (　 )
A.若兩圓外切,則r=3
B.若兩圓公共弦所在直線的方程為3x-4y-2=0,則r=5
C.若兩圓的公共弦長為2,則r=
D.若兩圓在交點處的切線互相垂直,則r=4
[素養小結]
解決兩圓公共弦問題的方法如下:
(1)當兩圓相交時,利用兩圓方程相減,可得公共弦所在直線的方程;
(2)在由半徑、弦心距、弦長的一半為三邊邊長的直角三角形中,利用勾股定理可求弦長;
(3)根據公共弦的中垂線過兩圓圓心,可得公共弦的中垂線所在直線的方程.
2.4　圓與圓的位置關系
【課前預習】
知識點
1.外切　相交　內切
2.(3)Δ=0　Δ>0　d>r1+r2　|r1-r2|d=|r1-r2|
診斷分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×
【課中探究】
例1　(1)D　(2)-11或-31　[解析] (1)由圓C1:(x+2)2+y2=4,可得圓心C1的坐標為(-2,0),半徑r1=2.由圓C2:(x-2)2+(y-1)2=4,可得圓心C2的坐標為(2,1),半徑r2=2,則兩圓心的距離d==,又r1+r2=4,所以d>r1+r2,故兩圓外離.故選D.
(2)圓C1的標準方程為(x+2)2+(y-2)2=1,則圓C1的圓心為C1(-2,2),半徑r1=1.圓C2的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=5-m,則圓C2的圓心為C2(2,-1),半徑r2=(m<5).當圓C1與圓C2外切時,|C1C2|=r1+r2,即=1+,解得m=-11;當圓C1與圓C2內切時,|C1C2|=|r1-r2|,即=|1-|,解得m=-31.所以當圓C1與圓C2相切時,m=-11或m=-31.
變式　(1)ABC　(2)B　[解析] (1)圓C1:(x-1)2+(y-b)2=4的圓心為C1(1,b),半徑r1=2,圓C2:x2+y2=1的圓心為C2(0,0),半徑r2=1,則|C1C2|=≥1,r1+r2=3,r1-r2=1.當b2>8時,|C1C2|>r1+r2,兩圓外離;當0(2)因為圓C1:(x-1)2+(y+2)2=9,圓C2:(x-2)2+(y-2)2=,所以圓心距d=|C1C2|==,因為兩圓半徑之和為3+=<,所以兩個圓外離,則這兩個圓的公切線有4條.故選B.
例2　解:(1)設所求圓的圓心坐標為(a,b),半徑為r,因為所求圓與兩坐標軸相切,且圓心在第一象限,所以a=b=r>0,則所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0).圓C的標準方程為(x-3)2+(y-1)2=1,則圓C的圓心坐標為(3,1),半徑為1.當所求圓與圓C外切時,可得=a+1,解得a=1或a=9,此時所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=1或(x-9)2+(y-9)2=81;當所求圓與圓C內切時,可得=|a-1|,解得a=3,此時所求圓的標準方程為(x-3)2+(y-3)2=9.綜上可知,所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y-3)2=9或(x-9)2+(y-9)2=81.
(2)設所求圓的方程為x2+y2-4x+2y+λ(x2+y2-2y-4)=0(λ≠-1),則(1+λ)x2-4x+(1+λ)y2+(2-2λ)y-4λ=0,即x2+y2-x+y-=0,所以所求圓的圓心坐標為,把代入方程2x+4y-1=0中,得2×+4×-1=0,解得λ=,所以所求圓的方程為x2+y2-3x+y-1=0.
變式　(1)(x-2)2+(y-2)2=8　(2)(x-1)2+(y-1)2=2或(x-2)2+(y-2)2=8(寫出其中一個即可)　[解析] (1)由題意知,圓C的標準方程為(x+5)2+(y+5)2=50,圓心為C(-5,-5),半徑r1=5.因為所求圓與圓C相切于原點,所以兩圓的圓心均在直線y=x上,設所求圓的圓心坐標為(a,a),因為該圓過點(0,4)及原點,所以圓心(a,a)在直線y=2上,即a=2,可得所求圓的半徑r2=2,所以所求圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=8.
(2)設圓心坐標為(m,m),則所求圓的半徑為=|m|.因為圓C:(x-3)2+(y-3)2=2上的點都在第一象限,且所求圓與圓C相切,所以m>0.若所求圓與圓C外切,則=+m,可得m=1,則所求圓的圓心為(1,1),半徑為,方程為(x-1)2+(y-1)2=2.若所求圓與圓C內切,則=|m-|,可得m=2,則所求圓的圓心為(2,2),半徑為2,方程為(x-2)2+(y-2)2=8.綜上,所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x-2)2+(y-2)2=8.
例3　(1)C　(2)B　[解析] (1)圓C1:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)的圓心為C1(-2,2),半徑為r,圓C2:(x-1)2+(y+2)2=4的圓心為C2(1,-2),半徑為2,所以|C1C2|==5.因為圓C1與圓C2有且僅有一個公共點,所以圓C1與圓C2內切或外切,所以|r-2|=5或r+2=5,解得r=7或r=3或r=-3(舍).故選C.
(2)由題意知,C(0,0),D(3,-4),且圓C,圓D的半徑分別為r1=1,r2=,所以|CD|=5,可得r1+r2<|CD|,所以兩圓外離,所以|PQ|的最小值為|CD|-r1-r2=5-1-=4-.故選B.
變式　C　[解析] 設圓C2的半徑為r,由題知因為兩圓內切,所以|r-3|=1,所以r=4或r=2.當r=4時,p=-7,q=12,滿足Δ>0,此時p+q=5;當r=2時,p=-5,q=6,滿足Δ>0,此時p+q=1.故選C.
拓展　8-6　　[解析] 易知切線斜率存在,設切線的方程為y=kx-2,即kx-y-2=0,則圓心O到切線的距離d==1,解得k=±.不妨設切線AM的方程為x-y-2=0,令y=2,得x=;則切線AN的方程為-x-y-2=0,令y=2,得x=-.因為圓B處于圓O的“背面”,所以a∈.易知當圓B與直線AM相切且與圓O外切時半徑r最大,則
因為a∈,所以4-a>0,所以r=,故=+1,解得a=8-6(舍去負值).
例4　解:(1)設兩圓的交點為A,B,則A,B兩點的坐標是方程組的解.①-②,得x-y+4=0,∵A,B兩點的坐標都滿足此方程,∴x-y+4=0即為兩圓公共弦所在直線的方程.
(2)方法一:解方程組得兩圓的交點為A(-1,3),B(-6,-2).設所求圓的圓心為(a,b),因為圓心在直線x-y-4=0上,所以b=a-4.由=,解得a=,則b=-,故所求圓的圓心為,半徑為.故所求圓的方程為+=,即x2+y2-x+7y-32=0.
方法二:設所求圓的方程為x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),其圓心坐標為,代入x-y-4=0,解得λ=-7,故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.
變式　(1)D　(2)AB　[解析] (1)兩圓方程相減得4x-2y-10+r2=0,因為公共弦恰為圓C1的直徑,所以圓C1的圓心(-2,1)在直線4x-2y-10+r2=0上,可得4×(-2)-2-10+r2=0,解得r2=20,所以圓C2的面積為20π.故選D.
(2)由題意知,圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=2,圓C2的圓心為C2(3,-4),半徑r2=r,|C1C2|=5.對于A選項,若兩圓外切,則|C1C2|=r1+r2,即5=2+r,可得r=3,A選項正確.對于B選項,兩圓方程相減并化簡得3x-4y+=0,則=-2,即r2=25,可得r=5,此時r2-r1=3,r2+r1=7,所以3<|C1C2|<7,滿足兩圓相交,B選項正確.對于C選項,兩圓方程相減并化簡得3x-4y+=0,則C1(0,0)到直線3x-4y+=0的距離d==,所以2=2,則4-d2=3,可得d2=1,則=1,即|r2-29|=10,解得r=或r=,C選項錯誤.對于D選項,設兩圓的一個交點為D,連接C1D,C2D,則根據圓的幾何性質可知C1D⊥C2D,所以r2=|C2D|2=|C1C2|2-=25-4=21,則r=,D選項錯誤.故選AB.

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