資源簡介

§4　直線與圓錐曲線的位置關系
4.1　直線與圓錐曲線的交點
【學習目標】
　　正確判斷直線與橢圓、直線與雙曲線、直線與拋物線的位置關系.
【課前預習】
◆ 知識點一　直線與橢圓的交點問題
直線y=kx+m與橢圓+=1(a>b>0)的交點個數的判斷方法:由消去y得到一個關于x的一元二次方程,通過Δ與0的大小關系判斷直線與橢圓的交點個數.
直線與橢圓的位置關系、對應一元二次方程解的個數(直線與橢圓交點的個數)及Δ的取值的關系如下表所示.
位置關系 解的個數 Δ的取值
相交 　　　 　　　
相切 　　　 　　　
相離 　　　 　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)已知橢圓+=1(a>b>0)與點P(b,0),過點P可作出該橢圓的一條切線. (　 )
(2)直線y=k(x-a)與橢圓+=1(a>b>0)的位置關系是相交. (　 )
(3)直線與橢圓的公共點最多有2個. (　 )
◆ 知識點二　直線與雙曲線的交點問題
一般地,設直線l的方程為y=kx+m(m≠0)①,雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0)②,把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)當b2-a2k2=0,即k=±時,直線l與雙曲線C的漸近線　　　　,直線與雙曲線　　　　　　.
(2)當b2-a2k2≠0,即k≠±時,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
判別式 位置關系 交點情況
Δ>0 直線與雙曲線　　 　　　　　
Δ=0 直線與雙曲線　　 　　　　　
Δ<0 直線與雙曲線　　 　　　　　
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若直線與雙曲線交于一點,則直線與雙曲線相切. (　 )
(2)過點A(1,0)作直線l,使得直線l與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點,這樣的直線可作2條. (　 )
(3)直線l:y=x與雙曲線C:x2-=1有兩個公共點. (　 )
(4)過點(0,2)且與雙曲線-=1只有一個公共點的直線有2條. (　 )
(5)若直線與雙曲線的一條漸近線平行,則該直線與雙曲線有兩個交點. (　 )
◆ 知識點三　直線與拋物線的交點問題
設直線l:y=kx+m,拋物線C:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯立,整理成關于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,則有
判別式 位置關系 交點情況
Δ>0 直線與拋物線　　 　　　　
Δ=0 直線與拋物線　　　 　　　　
Δ<0 直線與拋物線　　 　　　　
(2)若k=0,則直線與拋物線有　　　　交點,此時直線與拋物線的對稱軸　　　　　　.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若一條直線與拋物線只有一個公共點,則二者一定相切. (　 )
(2)“直線與拋物線有一個交點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件. (　 )
(3)直線x-2y+1=0與拋物線y2=x的位置關系是相交. (　 )
(4)若直線與拋物線有兩個交點,則直線與拋物線相交. (　 )
(5)若直線與拋物線相交,則直線與拋物線有兩個交點. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點一　直線與橢圓的交點問題
例1 (1)給定三條曲線:①+=1;②x2+=1;③+y2=1.其中與直線x+y-=0僅有一個交點的曲線是　　　　.(填序號)
(2)對不同的實數m,討論直線y=x+m與橢圓+y2=1的位置關系.
變式 (1)若直線y=kx+2與橢圓+=1相切,則k的值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.-
C.± D.±
(2)若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓+=1總有公共點,則m的取值范圍為　　　　.
[素養小結]
判斷直線和橢圓的位置關系的方法
將直線的方程和橢圓的方程聯立,消去一個變量,得到一個一元二次方程.若Δ>0,則直線和橢圓相交;若Δ=0,則直線和橢圓相切;若Δ<0,則直線和橢圓相離.
◆ 探究點二　直線與雙曲線的交點問題
例2 已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試確定滿足下列條件的實數k的值或取值范圍.
(1)直線l與雙曲線有兩個不同的公共點;
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點;
(3)直線l與雙曲線沒有公共點.
變式 直線l過點(0,1)且與雙曲線x2-y2=2僅有一個公共點,則這樣的直線有 (　 )
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
[素養小結]
(1)解決直線與雙曲線的公共點問題,不僅要考慮判別式,更要注意二次項系數為0時,直線與漸近線平行的特殊情況.
(2)雙曲線與直線只有一個公共點的題目,應分兩種情況討論,即直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.
(3)注意對直線的斜率是否存在進行討論.
◆ 探究點三　直線與拋物線的交點問題
例3 (1)(多選題)已知直線l過定點P(0,1),則與拋物線y2=2x有且只有一個公共點的直線l的方程可以為 (　 )
A.y=1 B.x-2y+2=0
C.x=0 D.x=
(2)已知直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x,分別求k的值或范圍,使得直線l與拋物線C只有一個公共點,有兩個公共點,沒有公共點.
變式 (1)已知直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰有一個公共點,則實數a的值為　　　　.
(2)已知拋物線C:x2=4y,過點P(0,-1)作拋物線的切線PA,PB,切點分別為A,B,則·=　　　　.
[素養小結]
直線與拋物線交點的個數,等價于直線方程與拋物線方程聯立得到的方程組的解的個數.注意直線斜率不存在和消去一個變量后得到的方程的二次項系數為0的情況.
拓展 已知拋物線的方程為y2=8x,若過點Q(-2,0)的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是　　　　.
§4　直線與圓錐曲線的位置關系
4.1　直線與圓錐曲線的交點
【課前預習】
知識點一
2　Δ>0　1　Δ=0　0　Δ<0
診斷分析 (1)×　(2)√　(3)√
知識點二
(1)平行　相交于一點
(2)相交　兩個交點　相切　一個交點　相離　沒有交點
診斷分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
知識點三
(1)相交　兩個交點　相切　一個交點　相離　沒有交點　(2)一個　平行或重合
診斷分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
【課中探究】
例1　(1)②③　[解析] ①中,由整理得13x2-18x+9=0,Δ1=(-18)2-4×13×9≠0,不滿足題意;②中,由整理得5x2-2x+1=0,Δ2=(-2)2-4×5×1=0,滿足題意;③中,由
整理得5x2-8x+16=0,Δ3=(-8)2-4×5×16=0,滿足題意.故填②③.
(2)解:聯立直線與橢圓的方程,得消去y,整理得5x2+8mx+4m2-4=0,則Δ=(8m)2-4×5×(4m2-4)=16(5-m2).當-0,直線與橢圓相交;當m=-或m=時,Δ=0,直線與橢圓相切;當m<-或m>時,Δ<0,直線與橢圓相離.
變式　(1)C　(2)[1,5)　[解析] (1)聯立直線與橢圓的方程,得消去y,整理得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由題知Δ=0,∴k2=,∴k=±.
(2)顯然直線y=kx+1過定點A(0,1).由題意知,點A在橢圓+=1上或其內部,∴m>0,m≠5,+≤1,∴m≠5,且m≥1.又橢圓的焦點在x軸上,∴m<5,故m的取值范圍為[1,5).
例2　解:聯立直線與雙曲線的方程,得消去y,整理得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*).當1-k2≠0,即k≠±1時,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
(1)由得-(2)由得k=±,此時方程(*)有唯一的實數解,即直線l與雙曲線有且只有一個公共點.當1-k2=0,即k=±1時,直線l與雙曲線的漸近線平行,方程(*)可化為2x=5,故方程(*)只有一個實數解,即直線l與雙曲線相交且只有一個公共點.綜上,當k=±或k=±1時,直線l與雙曲線有且只有一個公共點.
(3)由得k<-或k>,此時方程(*)無實數解,即直線l與雙曲線無公共點.
變式　D　[解析] 依題意,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx+1,由消去y并整理,得(1-k2)x2-2kx-3=0.當1-k2=0,即k=±1時,方程(1-k2)x2-2kx-3=0只有一個解x=-,此時直線l與雙曲線只有一個公共點,這樣的直線l有2條;當1-k2≠0時,由Δ=4k2-12(k2-1)=0,解得k=±,此時方程(1-k2)x2-2kx-3=0有兩個相等的實根x=,直線l與雙曲線只有一個公共點,這樣的直線l有2條.綜上,滿足題意的直線有4條,故選D.
例3　(1)ABC　[解析] 當過點P(0,1)的直線l的斜率存在時,設其方程為y=kx+1,由方程組消去y得k2x2+(2k-2)x+1=0.若k=0,則-2x+1=0,解得x=,此時直線與拋物線只有一個交點,直線l的方程為y=1;若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此時直線與拋物線相切,只有一個交點,直線l的方程為y=x+1,即x-2y+2=0.當過點P(0,1)的直線l的斜率不存在時,其方程為x=0,此時直線l與拋物線相切,只有一個交點.綜上,直線l的方程為y=1或x-2y+2=0或x=0.故選ABC.
(2)解:由消去y,整理得k2x2+(2k-4)x+1=0(*).當k=0時,(*)式為-4x+1=0,解得x=,∴y=1,∴直線l與拋物線C只有一個公共點,此時直線l平行于x軸.當k≠0時,(*)式是一個一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
①當Δ>0,即k<1且k≠0時,直線l與拋物線C有兩個公共點,此時直線l與拋物線C相交;
②當Δ=0,即k=1時,直線l與拋物線C有一個公共點,此時直線l與拋物線C相切;
③當Δ<0,即k>1時,直線l與拋物線C沒有公共點,此時直線l與拋物線C相離.
綜上所述,當k=1或k=0時,直線l與拋物線C有一個公共點;當k<1且k≠0時,直線l與拋物線C有兩個公共點;當k>1時,直線l與拋物線C沒有公共點.
變式　(1)0或-1或-　(2)0　[解析] (1)當a=0時,曲線y2=ax為直線y=0,顯然直線y=x-1與直線y=0有唯一公共點(1,0),因此a=0滿足題意.當a≠0時,由消去y并整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0(*),當a=-1時,x=-1,y=-1,直線y=-1與曲線y2=-x有唯一公共點(-1,-1),因此a=-1滿足題意;當a≠0且a≠-1時,方程(*)的判別式Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=5a2+4a=0,則a=-,此時直線y=x-1與曲線y2=-x相切,有唯一公共點,因此a=-滿足題意.所以實數a的值為0或-1或-.
(2)∵切線過點P(0,-1),且與拋物線C:x2=4y切于A,B兩點,∴切線的斜率存在,設切線的斜率為k,則過點P(0,-1)的切線方程為y=kx-1.由得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,得k=±1,不妨令切線PA,PB的方程分別為y=x-1,y=-x-1.由得x2-4x+4=0,∴x=2,∴A(2,1),同理可知B(-2,1).∵P(0,-1),∴=(2,2),=(-2,2),∴·=-4+4=0.
拓展　[-1,1]　[解析] 由題意知,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x+2),由消去y并整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.當k=0時,顯然滿足題意;當k≠0時,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0

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