資源簡介

4.2　直線與圓錐曲線的綜合問題
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
　　會求直線與圓錐曲線相交所得的弦長.
【課前預(yù)習(xí)】
◆ 知識點(diǎn)　圓錐曲線的弦長公式
(1)圓錐曲線的弦長
當(dāng)直線與圓錐曲線相交有兩個交點(diǎn)時,這條直線上以這兩個交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段叫作圓錐曲線的弦(就是連接圓錐曲線上任意兩點(diǎn)所得的線段),線段的長就是弦長.
(2)圓錐曲線的弦長的計算
設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=
　　　　　　　　　　=　　　　　　　　=　　　　　　　　.拋物線的過焦點(diǎn)的弦長|AB|=x1+x2+p=,θ為弦AB所在直線的傾斜角.
【診斷分析】 判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若直線的斜率不變,則當(dāng)直線過橢圓的中心時,弦長最大. (　 )
(2)過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)的弦長|AB|=p+y1+y2. (　 )
【課中探究】
◆ 探究點(diǎn)一　弦長公式
例1 (1)[2024·浙江溫州高二期中] 過雙曲線x2-y2=4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線,交雙曲線于A,B兩點(diǎn),則弦長|AB|=　　　　.
(2)[2024·四川德陽高二期中] 已知橢圓C:x2+2y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F1作傾斜角為的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
①求AB的長;
②求△ABF2的面積.
變式 (1)已知拋物線C1:y2=8x的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線C2的一個焦點(diǎn),且被雙曲線C2所截得的弦長為6,則雙曲線C2的漸近線方程是　　　　.
(2)[2024·廈門一中高二月考] 已知橢圓+=1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)為A(0,1),離心率為,過點(diǎn)B(0,-2)及左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于C,D兩點(diǎn),設(shè)右焦點(diǎn)為F2.
①求橢圓的方程;
②求△CDF2的面積.
[素養(yǎng)小結(jié)]
求弦長的兩種方法
①距離公式法:當(dāng)弦的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)易求時,可直接求出交點(diǎn)坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長.
②弦長公式法:當(dāng)直線(斜率為k)與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)時,|AB|=·|x1-x2|=|y1-y2|,而|x1-x2|=,可根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式,然后再進(jìn)行整體代入求解.
◆ 探究點(diǎn)二　已知弦長求參數(shù)
例2 直線y=x+m與橢圓+y2=1交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=,則實(shí)數(shù)m的值為 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.± B.±1 C.± D.±2
變式 已知斜率為2的直線l經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長為9,則p= (　 )
A.1 B.2 C.4 D.8
[素養(yǎng)小結(jié)]
關(guān)于已知弦長求參數(shù)問題,常常利用弦長公式,構(gòu)建方程來求解.在求解過程中體現(xiàn)了解析幾何中的設(shè)而不求的思想,其實(shí)質(zhì)是利用兩點(diǎn)之間的距離公式以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
拓展 經(jīng)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,若S△AOB=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則直線l的斜率為　　　　.
◆ 探究點(diǎn)三　與弦長有關(guān)的最值、范圍問題
例3 [2024·吉林白山高二期末] 已知過點(diǎn)(0,1)的直線與橢圓x2+=1交于A,B兩點(diǎn),求弦長|AB|的取值范圍.
變式 已知雙曲線C:-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=x+m與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)|PQ|取得最小值時,求四邊形F1PF2Q的面積.
[素養(yǎng)小結(jié)]
有關(guān)弦長的最值問題,常有兩種解法:一是幾何方法,常結(jié)合圓錐曲線的定義來求解;二是代數(shù)方法,構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式來求解.
拓展 已知橢圓+y2=1,過點(diǎn)P(2,0)且斜率為k的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△AOB的面積S的最大值為　　　　.
◆ 探究點(diǎn)四　中點(diǎn)弦問題
例4 (1)[2024·安徽蕪湖高二期中] 已知A,B是橢圓E:+=1上的兩點(diǎn),點(diǎn)P(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),則直線AB的方程為 (　 )
A.x-2y+4=0 B.x-y+3=0
C.2x-y+5=0 D.x-4y+6=0
(2)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),且它的一個焦點(diǎn)為F(,0),直線y=x-1與雙曲線相交于M,N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,求此雙曲線的方程.
變式 直線x+y-1=0被橢圓+=1截得的弦的中點(diǎn)M與橢圓中心O的連線OM的斜率為　　　　.
[素養(yǎng)小結(jié)]
已知弦中點(diǎn)求弦所在直線方程或求曲線方程,利用點(diǎn)差法得到弦所在直線斜率與弦中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式,從而減小計算量降低難度.
拓展 直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則O到直線AB的距離為 (　 )
A. B. C. D.
4.2　直線與圓錐曲線的綜合問題
【課前預(yù)習(xí)】
知識點(diǎn)
(2)　|x1-x2|
·|y1-y2|
診斷分析 (1)√　(2)√
【課中探究】
例1　(1)8　[解析] 由雙曲線x2-y2=4,得a=b=2,c==2,則F(2,0),設(shè)直線AB的傾斜角為θ,則θ=30°.
方法一:直線AB的斜率k=tan 30°=,則直線AB的方程為x=y+2,由消去x得y2+2y+2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系知又|AB|=|y1-y2|=
2,所以|AB|=2=8.
方法二(利用雙曲線的二級結(jié)論):|AB|===8.
(2)解:①橢圓C:+y2=1中,a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,即F1(-1,0),所以直線l的方程為y=x+1.
由得3x2+4x=0,得x1=0,x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=×=.
(2)由x1=0,得y1=1,由x2=-,得y2=-,不妨設(shè)A(0,1),B,則△ABF2的面積S=×|F1F2|×|y1-y2|=×2×=.
變式　(1)y=±x　[解析] 由題知拋物線C1:y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,因為直線x=-2經(jīng)過雙曲線C2的一個焦點(diǎn),所以雙曲線的左焦點(diǎn)為(-2,0).設(shè)雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),因為雙曲線C2的半焦距c=2,拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線C2所截得的弦長為6,所以將x=-c代入-=1,結(jié)合a2+b2=c2得y=±,即=6 =3 b2=3a,結(jié)合a2+b2=c2=4得a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4(舍去),所以b=,所以雙曲線C2的漸近線方程為y=±x.
(2)解:①∵橢圓+=1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)為A(0,1),∴b=1,又離心率e===,∴a2=2,
∴橢圓的方程為+y2=1.
②∵F1(-1,0),F2(1,0),∴直線BF1的方程為y=-2x-2.由消去y,得9x2+16x+6=0,∴Δ=162-4×9×6=40>0,∴直線與橢圓有兩個交點(diǎn).設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則∴|CD|=|x1-x2|=·=×=,又點(diǎn)F2到直線BF1的距離d==,故=|CD|·d=.
例2　B　[解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得3x2+4mx+2m2-2=0,由Δ=16m2-12(2m2-2)>0,得m2<3,因為x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=·=×=×=,解得m=±1,滿足Δ>0.故選B.
變式　C　[解析] 由題意可知直線l的方程為y=2(p>0),由消去y,整理得4x2-5px+p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+p==9,解得p=4.故選C.
拓展　±　[解析] 由已知得F(1,0),設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x-1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,所以|AB|=|x1-x2|=·=.又點(diǎn)O到直線AB的距離d=,所以S△AOB=|AB|d=··=2,解得k=±.
例3　解:由02+<1,得點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi),若直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k∈R),與橢圓方程聯(lián)立,整理得(2+k2)x2+2kx-1=0,所以xA+xB=-,xAxB=-,則|AB|=×=2·=2×∈[,2).若直線AB的斜率不存在,則|AB|即為長軸長,即為2.綜上,|AB|的取值范圍為[,2].
變式　解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由得x2-8mx-4m2-20=0,則x1+x2=8m,x1·x2=-4m2-20,所以|PQ|=·=·=4.當(dāng)m=0時,|PQ|取得最小值4,此時直線的方程為y=x.設(shè)F1(-3,0),F2(3,0)到直線y=x的距離分別為d1,d2,則d1==,d2==,所以四邊形F1PF2Q的面積為+=|PQ|·(d1+d2)=×4×=12.
拓展　　[解析] 顯然直線l不垂直于y軸,故設(shè)其方程為x=my+2,由消去x并整理得(m2+2)y2+4my+2=0,由Δ>0得m2>2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則所以|y1-y2|==.S=|OP||y1-y2|=|y1-y2|===≤
=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=±時取“=”,所以△AOB的面積S的最大值為.
例4　(1)A　[解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以=-2,=1,即x1+x2=-4,y1+y2=2.將A,B的坐標(biāo)代入橢圓的方程,得兩式作差可得+=0,所以=-×=,所以直線AB的方程為y-1=(x+2),即x-2y+4=0.故選A.
(2)解:設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),由題意可得a2+b2=7,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由直線y=x-1與雙曲線相交于M,N兩點(diǎn),線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,得線段MN的中點(diǎn)為,則x1+x2=-,y1+y2=-.由-=1且-=1,兩式相減得=,則=,即=,所以a2=b2,與a2+b2=7聯(lián)立,解得a2=2,b2=5,故雙曲線的方程為-=1.
變式　　[解析] 設(shè)直線x+y-1=0與橢圓+=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),則M,可得kAB==-1,kOM==.因為A,B在橢圓上,所以兩式相減得+=0,整理得=·=-,即-kOM=-,所以kOM=.
拓展　A　[解析] 由拋物線y2=4x得其焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式相減得-=4(x1-x2),即=,因為線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,即y1+y2=2,所以=2,即kAB=2,所以直線AB的方程為y=2(x-1),即2x-y-2=0,所以O(shè)到直線AB的距離d==,故選A.

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